高考數(shù)學二輪復習教學案專題 函數(shù)與導數(shù)(教師)

專題一函數(shù)與導數(shù)【知識絡構建】【高頻考點突破】考點一、函數(shù)及其表示函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應關系.兩個函數(shù)當且僅當它們的三要素完全相同時才表示同一個函數(shù)，定義域和對應關系相同的兩個函數(shù)是同一函數(shù)．1．求函數(shù)定義域的類型和相應方法(1)若已知函數(shù)的解析式，則這時函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍，只需構建并解不等式(組)即可．(2)對于復合函數(shù)求定義域問題，若已知f(x)的定義域[a，b]，其復合函數(shù)f(g(x))的定義域應由不等式a≤g(x)≤b解出．(3)實際問題或幾何問題除要考慮解析式有意義外，還應使實際問題有意義．2．求f(g(x))類型的函數(shù)值應遵循先內(nèi)后外的原則；而對于分段函數(shù)的求值、圖像、解不等式等問題，必須依據(jù)條件準確地找出利用哪一段求解；特別地對具有周期性的函數(shù)求值要用好其周期性.例1、函數(shù)f(x)＝eq\f(1,1－x)＋lg(1＋x)的定義域是 (C)A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)考點二、函數(shù)的圖像作函數(shù)圖像有兩種基本方法：一是描點法；二是圖像變換法，其中圖像變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換．例2、函數(shù)y＝eq\f(x,2)－2sinx的圖像大致是(C)【變式探究】函數(shù)y＝xln(－x)與y＝xlnx的圖像關于 (D)A．直線y＝x對稱 B．x軸對稱C．y軸對稱 D．原點對稱考點三、函數(shù)的性質(zhì)1．單調(diào)性是函數(shù)的一個局部性質(zhì)，一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性．判定函數(shù)的單調(diào)性常用定義法、圖像法及導數(shù)法．對于選擇題和填空題，也可用一些命題，如兩個增(減)函數(shù)的和函數(shù)仍為增(減)函數(shù)等．2．函數(shù)的奇偶性反映了函數(shù)圖像的對稱性，是函數(shù)的整體特性．利用函數(shù)的奇偶性可以把研究整個函數(shù)具有的性質(zhì)問題轉化到只研究部分(一半)區(qū)間上，是簡化問題的一種途徑．例3、對于函數(shù)f(x)＝asinx＋bx＋c(其中，a，b∈R，c∈Z)，選取a，b，c的一組值計算f(1)和f(－1)，所得出的正確結果一定不可能是 (D)A．4和6 B．3和1C．2和4 D．1和2考點四二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)：(1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像是拋物線①過定點(0，c)；②對稱軸為x＝－eq\f(b,2a)，頂點坐標為(－eq\f(b,2a)，eq\f(4ac－b2,4a))．(2)當a＞0時，圖像開口向上，在(－∞，－eq\f(b,2a)]上單調(diào)遞減，在[－eq\f(b,2a)，＋∞)上單調(diào)遞增，有最小值eq\f(4ac－b2,4a)；例4、已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)當a＝－1時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；(2)求實數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－5,5]上是單調(diào)函數(shù)．解：(1)當a＝－1時，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，∴x＝1時，f(x)取得最小值1；x＝－5時，f(x)取得最大值37.(2)函數(shù)f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的圖像的對稱軸為直線x＝－a，∵y＝f(x)在區(qū)間[－5,5]上是單調(diào)函數(shù)，∴－a≤－5或－a≥5.故a的取值范圍是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．【變式探究】設二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，如果f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，則f(x1＋x2)＝ (C)A．－eq\f(b,2a) B．－eq\f(b,a)C．c D.eq\f(4ac－b2,4a)【方法技巧】求二次函數(shù)在某段區(qū)間上的最值時，要利用好數(shù)形結合，特別是含參數(shù)的兩種類型：“定軸動區(qū)間，定區(qū)間動軸”的問題，抓住“三點一軸”，三點指的是區(qū)間兩個端點和區(qū)間中點，一軸指的是對稱軸.考點五指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)定義域(－∞，＋∞)(0，＋∞)值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)不變性恒過定點(0,1)恒過定點(1,0)1．對于兩個數(shù)都為指數(shù)或對數(shù)的大小比較：如果底數(shù)相同，直接應用指數(shù)函數(shù)或對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較；如果底數(shù)與指數(shù)(或真數(shù))皆不同，則要增加一個變量進行過渡比較，或利用換底公式統(tǒng)一底數(shù)進行比較．2．對于含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)問題，在應用單調(diào)性時，要注意對底數(shù)進行討論，解決對數(shù)問題時，首先要考慮定義域，其次再利用性質(zhì)求解.例5、已知函數(shù)y＝f(x)的周期為2，當x∈[－1,1]時f(x)＝x2，那么函數(shù)y＝f(x)的圖像與函數(shù)y＝|lgx|的圖像的交點共有 (A)A．10個 B．9個C．8個 D．1個解析：畫出兩個函數(shù)圖像可看出交點有10個．答案：A考點六函數(shù)的零點1．函數(shù)的零點與方程根的關系：函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數(shù)y＝f(x)的圖像與函數(shù)y＝g(x)的圖像交點的橫坐標．2．零點存在性定理：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．例6、函數(shù)f(x)＝eq\r(x)－cosx在[0，＋∞)內(nèi) (B)A．沒有零點 B．有且僅有一個零點C．有且僅有兩個零點 D．有無窮多個零點【變式探究】在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝ex＋4x－3的零點所在的區(qū)間為 (C)A．(－eq\f(1,4)，0) B．(0，eq\f(1,4))C．(eq\f(1,4)，eq\f(1,2)) D．(eq\f(1,2)，eq\f(3,4))【方法技巧】函數(shù)零點(即方程的根)的確定問題，常見的有①數(shù)值的確定；②所在區(qū)間的確定；③個數(shù)的確定．解決這類問題的常用方法有解方程、根據(jù)區(qū)間端點函數(shù)值的符號數(shù)形結合，尤其是那些方程兩邊對應的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結合求解.考點七函數(shù)的應用例7、如圖，長方體物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向作勻速移動，速度為v(v＞0)，雨速沿E移動方向的分速度為c(c∈R)．E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：P或P的平行面(只有一個面淋雨)的淋雨量，假設其值與|v－c|×S成正比，比例系數(shù)為eq\f(1,10)；(2)其他面的淋雨量之和，其值為eq\f(1,2).記y為E移動過程中的總淋雨量．當移動距離d＝100，面積S＝eq\f(3,2)時，(1)寫出y的表達式；(2)設0＜v≤10,0＜c≤5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動速度v，使總淋雨量y最少．①當0＜c≤eq\f(10,3)時，y是關于v的減函數(shù)．故當v＝10時，ymin＝20－eq\f(3c,2).②當eq\f(10,3)＜c≤5時，在(0，c]上，y是關于v的減函數(shù)；在(c,10]上，y是關于v的增函數(shù)，故當v＝c時，ymin＝eq\f(50,c).考點八利用導數(shù)求切線導數(shù)的幾何意義：(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)f′(x0)就是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，即k＝f′(x0)．(2)曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(3)導數(shù)的物理意義：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)．例8、曲線y＝x3＋11在點P(1,12)處的切線與y軸交點的縱坐標是(C)－9B．－3C．9 D．15【變式探究】已知直線y=x+a與曲線f(x)=lnx相切，則a的值為_____-1【方法技巧】求曲線y＝f(x)的切線方程的類型及方法(1)已知切點P(x0，y0)，求切線方程：求出切線的斜率f′(x0)，由點斜式寫出方程；(2)已知切線的斜率k，求切線方程：設切點P(x0，y0)，通過方程k＝f′(x0)解得x0，再由點斜式寫出方程；(3)已知切線上一點(非切點)，求切線方程：設切點P(x0，y0)，利用導數(shù)求得切線斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切線斜率．列方程(組)解得x0，再由點斜式或兩點式寫出方程.考點九、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系：在區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f′(x)>0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增；如果f′(x)<0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減．例9、設a＞0，討論函數(shù)f(x)＝lnx＋a(1－a)x2－2(1－a)x的單調(diào)性．解：由題知a＞0，x＞0，f′(x)＝eq\f(2a1－ax2－21－ax＋1,x)，令g(x)＝2a(1－a)x2－2(1－a)x＋1，(1)當a＝1時，g(x)＝1＞0，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；(2)當0＜a＜1時，g(x)的圖像為開口方向向上的拋物線，Δ＝[－2(1－a)]2－8a(1－a)＝4(1－a)(1－3a)若eq\f(1,3)≤a＜1，Δ≤0，g(x)≥0，f′(x)≥0，僅當a＝eq\f(1,3)，x＝eq\f(3,2)時取等號，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；綜上，當0＜a＜eq\f(1,3)時，f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(x1，x2)上單調(diào)遞減；當eq\f(1,3)≤a≤1時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當a＞1時，f(x)在(0，x1)上單調(diào)遞增，在(x1，＋∞)上單調(diào)遞減．其中x1＝eq\f(1－a－\r(1－a1－3a),2a1－a)，x2＝eq\f(1－a＋\r(1－a1－3a),2a1－a).考點10、利用函數(shù)單調(diào)性求極值1.若在x0附近左側f′(x)>0，右側f′(x)<0，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值；若在x0附近左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值．2．設函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，則f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在極值點或端點處取得．例10、設f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2＋2ax.(1)若f(x)在(eq\f(2,3)，＋∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；(2)當0＜a＜2時，f(x)在[1,4]上的最小值為－eq\f(16,3)，求f(x)在該區(qū)間上的最大值．解：(1)由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,4)＋2a，當x∈[eq\f(2,3)，＋∞)時，f′(x)的最大值為f′(eq\f(2,3))＝eq\f(2,9)＋2a；令eq\f(2,9)＋2a＞0，得a＞－eq\f(1,9).所以，當a＞－eq\f(1,9)時，f(x)在(eq\f(2,3)，＋∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間．【方法技巧】1．利用導數(shù)研究函數(shù)的極值的一般步驟(1)確定定義域．(2)求導數(shù)f′(x)．(3)①若求極值，則先求方程f′(x)＝0的根，再檢驗f′(x)在方程根左、右值的符號，求出極值．(當根中有參數(shù)時要注意分類討論根是否在定義域內(nèi))②若已知極值大小或存在情況，則轉化為已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情況，從而求解．2．求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟(1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.考點11定積分例11、(1)(ex＋2x)dx等于(C)A．1B．e－1C．eD．e＋1(2)由曲線y＝eq\r(x)，直線y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為(C)A.eq\f(10,3)B．4C.eq\f(16,3)D．6【歷屆高考真題】1.【2012高考真題重慶理8】設函數(shù)在R上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結論中一定成立的是D（A）函數(shù)有極大值和極小值（B）函數(shù)有極大值和極小值（C）函數(shù)有極大值和極小值（D）函數(shù)有極大值和極小值2.【2012高考真題新課標理12】設點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（B）3.【2012高考真題陜西理7】設函數(shù)，則（D）A.為的極大值點B.為的極小值點C.為的極大值點D.為的極小值點[學4.【2012高考真題遼寧理12】若，則下列不等式恒成立的是C(A)(B)(C)(D)5.【2012高考真題湖北理3】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則它與軸所圍圖形的面積為BA． B． C．D．6.【2012高考真題天津理4】函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是B（A）0（B）1（C）2（D）37.【2012高考真題全國卷理9】已知x=lnπ，y=log52，，則D(A)x＜y＜z（B）z＜x＜y(C)z＜y＜x(D)y＜z＜x7.【2012高考真題陜西理2】下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（D）A.B.C.D.8.【2012高考真題重慶理10】設平面點集，則所表示的平面圖形的面積為D（A）（B）（C）（D）9.【2012高考真題山東理3】設且，則“函數(shù)在上是減函數(shù)”，是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的A（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件10.【2012高考真題山東理8】定義在上的函數(shù)滿足.當時，，當時，。則B（A）335（B）338（C）1678（D）201215.【2012高考真題遼寧理11】設函數(shù)f(x)滿足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且當時，f(x)=x3.又函數(shù)g(x)=|xcos|，則函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)在上的零點個數(shù)為B(A)5(B)6(C)7(D)811.【2012高考真題浙江理16】定義：曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離，已知曲線C1：y=x2+a到直線l:y=x的距離等于曲線C2：x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距離，則實數(shù)a=_______。9/412．(2011年高考遼寧卷理科9)設函數(shù)f（x）=則滿足f（x）≤2的x的取值范圍是（D）（A）[-1，2]（B）[0，2]（C）[1，+）（D）[0，+）13．(2011年高考遼寧卷理科11)函數(shù)f（x）的定義域為R，f（-1）=2，對任意x∈R，f’(x)＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（B）（A）（-1，1）（B）（-1，+）（C）（-，-1）（D）（-，+）14.（2010遼寧理數(shù)）(1O)已知點P在曲線y=上，a為曲線在點P處的切線的傾斜角，則a的取值范圍是D(A)[0,)(B)(D)15.(2011年高考湖南卷理科8)設直線與函數(shù)的圖像分別交于點，則當達到最小時的值為DA.1B.C.D.16.(2011年高考湖北卷理科10)放射性元素由于不斷有原子放射微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象稱為衰變，假設在放射性同位素銫137的衰變過程中，其含量M（單位：太貝克）與時間t（單位年）滿足函數(shù)關系：，其中為t=0時銫137的含量，已知t=30時，銫137含量的變化率是—10ln2（太貝克/年），則M(60)=DA.5太貝克 B.75ln2太貝克 C.150ln2太貝克 D.150太貝克答案：D 17.(2011年高考山東卷理科16)已知函數(shù)=當2＜a＜3＜b＜4時，函數(shù)的零點2.18．(2011年高考陜西卷理科11)設，若，則119.(2011年高考四川卷理科13)計算-20.答案：20.(2011年高考江蘇卷8)在平面直角坐標系中，過坐標原點的一條直線與函數(shù)的圖象交于P、Q兩點，則線段PQ長的最小值是___4_____三、解答題:1．(2011年高考浙江卷理科22)（本題滿分14分）設函數(shù)（Ⅰ）若為的極值點，求實數(shù)（Ⅱ）求實數(shù)的取值范圍，使得對任意恒有成立注：為自然對數(shù)的底數(shù)【解析】（Ⅰ）因為所以因為為的極值點所以解得或經(jīng)檢驗，符合題意，所以或當時即在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增。所以要使對恒成立，只要成立，由，知將（3）代入（1）得又。注意到函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，故再由（3）以及函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，由（2）解得，所以綜上，的取值范圍為.2、（2010北京理數(shù)）(18)(本小題共13分)已知函數(shù)()=In(1+)-+(≥0)。(Ⅰ)當=2時，求曲線=()在點(1，(1))處的切線方程；(Ⅱ)求()的單調(diào)區(qū)間。解：（I）當時，，由于，，所以曲線在點處的切線方程為即（II），.當時，.函數(shù)與導數(shù)單元訓練題一、選擇題1．下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()A.B．C.D.2．曲線與直線及所圍成的封閉圖形的面積為()A．B．C．D．3．設a∈R，函數(shù)f(x)＝ex＋a·e－x的導函數(shù)f′(x)，且f′(x)是奇函數(shù)．若曲線y＝f(x)的一條切線的斜率是2(3)，則切點的橫坐標為()A．－2(ln2)B．－ln2C．2(ln2)D．ln24．設，函數(shù)，則使的取值范圍是()A．B．C．D．【答案】A5．函數(shù)的部分圖象大致是()6．函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是()A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7．若定義在正整數(shù)有序對集合上的二元函數(shù)f滿足：①f（x，x）＝x，②f（x，y）＝f(y,x)③(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)，則f（12,16）的值是()A．12 B．16C．24 D．488．設函數(shù)f（x）=則滿足f（x）≤2的x的取值范圍是()A．[-1，2] B．[0，2]