云南省楚雄州南華縣民中高三下第一次測(cè)試新高考數(shù)學(xué)試題及答案解析

云南省楚雄州南華縣民中高三下第一次測(cè)試新高考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知正四面體的內(nèi)切球體積為v，外接球的體積為V，則（）A．4 B．8 C．9 D．272．已知雙曲線的一條漸近線方程為，，分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，且，則()A．9 B．5 C．2或9 D．1或53．若（是虛數(shù)單位），則的值為（）A．3 B．5 C． D．4．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，.若，則函數(shù)在上的最大值為（）A．4 B．6 C．3 D．85．函數(shù)（），當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，則的范圍為（）A． B． C． D．6．若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．7．下圖是民航部門統(tǒng)計(jì)的某年春運(yùn)期間，六個(gè)城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格（單位元），以及相比于上一年同期價(jià)格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，以下敘述不正確的是（）A．深圳的變化幅度最小，北京的平均價(jià)格最高B．天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大C．上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)D．相比于上一年同期，其中四個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加8．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)（）A．伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度9．已知數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列.若的前n項(xiàng)和為，則的最小值為（）A． B． C． D．10．已知平面平面，且是正方形，在正方形內(nèi)部有一點(diǎn)，滿足與平面所成的角相等，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A． B．16 C． D．11．的展開式中的系數(shù)為（）A．5 B．10 C．20 D．3012．設(shè)全集，集合，則＝()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖,已知，，為的中點(diǎn)，為以為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_____．14．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則的值等于__________.15．已知集合，，則____________．16．已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，，則的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的離心率為，直線：與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.為左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，分別交直線于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）以線段為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若是，寫出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（12分）第十四屆全國(guó)冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)召開期間，某校舉行了“冰上運(yùn)動(dòng)知識(shí)競(jìng)賽”，為了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況，從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績(jī)(得分均為整數(shù)，滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，請(qǐng)根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，解答下列問題：（1）求、、的值及隨機(jī)抽取一考生其成績(jī)不低于70分的概率；（2）若從成績(jī)較好的3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取5人參加“普及冰雪知識(shí)”志愿活動(dòng)，并指定2名負(fù)責(zé)人，求從第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負(fù)責(zé)人的概率.組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組150.15第2組350.35第3組b0.20第4組20第5組100.1合計(jì)1.0019．（12分）如圖，在四棱柱中，平面平面，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角正弦值為，若存在求出的長(zhǎng)，若不存在說(shuō)明理由．20．（12分）設(shè)橢圓的離心率為，圓與軸正半軸交于點(diǎn)，圓在點(diǎn)處的切線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（12分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，其中，.（1）求角的值；（2）若，，為邊上的任意一點(diǎn)，求的最小值.22．（10分）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，它們的前項(xiàng)和分別為，且，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求；（3）是否存在正整數(shù)，使得恰好是數(shù)列或中的項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，取的中點(diǎn)為，連接，作正四面體的高為，首先求出正四面體的體積，再利用等體法求出內(nèi)切球的半徑，在中，根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，取的中點(diǎn)為，連接，作正四面體的高為，則，，，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，內(nèi)切球的球心為，則，解得：；設(shè)外接球的半徑為，外接球的球心為，則或，，在中，由勾股定理得：，，解得，，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

根據(jù)漸近線方程求得，再利用雙曲線定義即可求得.【詳解】由于，所以，又且，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由漸近線方程求雙曲線方程，涉及雙曲線的定義，屬基礎(chǔ)題.3、D【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的模的求法的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】（是虛數(shù)單位）可得解得本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計(jì)算能力.4、A【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)冪運(yùn)算，可得；利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性，由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則；任取，且，則，故，令，，則，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，令，，故，故函數(shù)在上的最大值為4.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算及化簡(jiǎn)，利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性，賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于中檔題.5、B【解析】

首先由，可得的范圍，結(jié)合函數(shù)的值域和正弦函數(shù)的圖像，可求的關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解不等式即可求得范圍.【詳解】因?yàn)椋?，若值域?yàn)?，所以只需，?故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域，熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).6、B【解析】

利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，由此求得.【詳解】依題意，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此得出敘述不正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小，根據(jù)條形圖可知北京的平均價(jià)格最高，所以A選項(xiàng)敘述正確.對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大，所以B選項(xiàng)敘述正確.對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)，所以C選項(xiàng)敘述正確.對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加，故D選項(xiàng)敘述錯(cuò)誤.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

分析：根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進(jìn)行判斷即可．詳解：將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），

得到再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換，結(jié)合和的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．9、D【解析】

利用等比中項(xiàng)性質(zhì)可得等差數(shù)列的首項(xiàng)，進(jìn)而求得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)或時(shí)，取到最小值.【詳解】根據(jù)題意，可知為等差數(shù)列，公差，由成等比數(shù)列，可得，∴，解得.∴.根據(jù)單調(diào)性，可知當(dāng)或時(shí)，取到最小值，最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)性質(zhì)、等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意當(dāng)或時(shí)同時(shí)取到最值.10、C【解析】

根據(jù)與平面所成的角相等，判斷出，建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的軌跡方程，由此求得點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度.【詳解】由于平面平面，且交線為，，所以平面，平面.所以和分別是直線與平面所成的角，所以，所以，即，所以.以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，則，，設(shè)（點(diǎn)在第一象限內(nèi)），由得，即，化簡(jiǎn)得，由于點(diǎn)在第一象限內(nèi)，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓在第一象限的部分.令代入原的方程，解得，故，由于，所以，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面角的概念和運(yùn)用，考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.11、C【解析】

由知，展開式中項(xiàng)有兩項(xiàng)，一項(xiàng)是中的項(xiàng)，另一項(xiàng)是與中含x的項(xiàng)乘積構(gòu)成.【詳解】由已知，，因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，所以展開式中的系數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)式定理展開式中的特定項(xiàng)，解決這類問題要注意通項(xiàng)公式應(yīng)寫準(zhǔn)確，本題是一道基礎(chǔ)題.12、A【解析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合的補(bǔ)集.【詳解】由解得，故，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

建立合適的直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可得的坐標(biāo)表示,利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出的表達(dá)式,求出其最小值即可.【詳解】建立直角坐標(biāo)系如圖所示：則點(diǎn),,,設(shè)點(diǎn),所以,由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得,,其中,因?yàn)?所以的最小值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和利用輔助角公式求最值;考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸能力、運(yùn)算求解能力;建立直角坐標(biāo)系,把表示為關(guān)于角的三角函數(shù),利用輔助角公式求最值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.14、【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可解決.【詳解】由已知，，，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要注意在某點(diǎn)的切線與過(guò)某點(diǎn)的切線的區(qū)別，本題屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由于，，則．16、27【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得，結(jié)合其下標(biāo)和性質(zhì)和均值不等式即可容易求得.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，則，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，涉及均值不等式求和的最小值，屬綜合基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）是，定點(diǎn)坐標(biāo)為或【解析】

（1）根據(jù)相切得到，根據(jù)離心率得到，得到橢圓方程.（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，聯(lián)立方程得到，，計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓的方程可化為，得到答案.【詳解】（1）根據(jù)題意：，因?yàn)?，所以，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，把直線的方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)得到，所以，，所以，，因?yàn)橹本€的斜率，所以直線的方程，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故以為直徑的圓的方程為，又因?yàn)椋?，所以圓的方程可化為，令，則有，所以定點(diǎn)坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程，圓過(guò)定點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.18、（1），，，；（2）【解析】

（1）根據(jù)第1組的頻數(shù)和頻率求出，根據(jù)頻數(shù)、頻率、的關(guān)系分別求出，進(jìn)而求出不低于70分的概率；（2）由（1）得，根據(jù)分層抽樣原則，分別從抽出2人，2人，1人，并按照所在組對(duì)抽出的5人編號(hào)，列出所有2名負(fù)責(zé)人的抽取方法，得出第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負(fù)責(zé)人的抽法數(shù)，由古典概型概率公式，即可求解.【詳解】（1），，，由頻率分布表可得成績(jī)不低于70分的概率約為：（2）因?yàn)榈?、4、5組共有50名學(xué)生，所以利用分層抽樣在50名學(xué)生中抽取5名學(xué)生，每組分別為：第3組：人，第4組：人，第5組：人，所以第3、4、5組分別抽取2人，2人，1人設(shè)第3組的3位同學(xué)為、，第4組的2位同學(xué)為、，第5組的1位同學(xué)為，則從五位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有10種可能抽法如下：，，，，，，，，，，其中第4組的2位同學(xué)、至少有一位同學(xué)是負(fù)責(zé)人有7種抽法，故所求的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)全頻率分布表、古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題.19、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）線段上是存在一點(diǎn)，，使直線與平面所成的角正弦值為.【解析】

（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)、，推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形，從而，由此能證明平面;（Ⅱ）取中點(diǎn)，連結(jié)，，推導(dǎo)出平面，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值；（Ⅲ）假設(shè)在線段上是存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角正弦值為，設(shè)．利用向量法能求出結(jié)果．【詳解】（Ⅰ）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)、，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面．（Ⅱ）解：取中點(diǎn)，連結(jié)，，在四棱柱中，平面平面，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，平面，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，1，，，0，，，1，，，0，，，，，，0，，，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，設(shè)二面角的平面角為，則．二面角的余弦值為．（Ⅲ）解：假設(shè)在線段上是存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角正弦值為，設(shè)．則，，，，，，平面的法向量，，解得，線段上是存在一點(diǎn)，，使直線與平面所成的角正弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足正弦值的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20、（1）；（2）見解析.【解析】

（I）結(jié)合離心率，得到a,b,c的關(guān)系，計(jì)算A的坐標(biāo)，計(jì)算切線與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，計(jì)算參數(shù)，即可．（II）分切線斜率存在與不存在討論，設(shè)出M,N的坐標(biāo)，設(shè)出切線方程，結(jié)合圓心到切線距離公式，得到m,k的關(guān)系式，將直線方程代入橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，表示，結(jié)合三角形相似，證明結(jié)論，即可．【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為知，，∴橢圓的方程可設(shè)為.易求得，∴點(diǎn)在橢圓上，∴，解得，∴橢圓的方程為.(Ⅱ)當(dāng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的切線斜率不存在時(shí)，不妨