廣東省茂名市重點中學高三下學期第五次調(diào)研考試新高考數(shù)學試題及答案解析

廣東省茂名市重點中學高三下學期第五次調(diào)研考試新高考數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設a=log73，，c=30.7，則a，b，c的大小關系是（）A． B． C． D．2．的展開式中的常數(shù)項為()A．－60 B．240 C．－80 D．1803．已知實數(shù)集，集合，集合，則（）A． B． C． D．4．設命題p:>1,n2>2n,則p為（）A． B．C． D．5．已知雙曲線的右焦點為，若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且點到該漸近線的距離為，則雙曲線的實軸的長為A． B．C． D．6．已知等差數(shù)列中，，則（）A．20 B．18 C．16 D．147．在關于的不等式中，“”是“恒成立”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．設正項等差數(shù)列的前項和為，且滿足，則的最小值為A．8 B．16 C．24 D．369．數(shù)列滿足：，，，為其前n項和，則（）A．0 B．1 C．3 D．410．已知向量滿足,且與的夾角為,則()A． B． C． D．11．如圖，四邊形為平行四邊形，為中點，為的三等分點（靠近）若，則的值為（）A． B． C． D．12．已知命題：，，則為()A．， B．，C．， D．，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關于直線對稱，當時，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)，若，則實數(shù)的值為_____.14．在中，點在邊上，且，設，，則________（用，表示）15．已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)，則＝_______．16．某商場一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中正確的是______.①2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同；②支出最高值與支出最低值的比是6:1；③第三季度平均收入為50萬元；④利潤最高的月份是2月份．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若，求證：.（2）討論函數(shù)的極值；（3）是否存在實數(shù)，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由.18．（12分）如圖，在平行四邊形中，，，現(xiàn)沿對角線將折起，使點A到達點P，點M，N分別在直線，上，且A，B，M，N四點共面.（1）求證：；（2）若平面平面，二面角平面角大小為，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）如圖，在直角梯形中，，，，為的中點，沿將折起，使得點到點位置，且，為的中點，是上的動點（與點，不重合）.（Ⅰ）證明：平面平面垂直；（Ⅱ）是否存在點，使得二面角的余弦值？若存在，確定點位置；若不存在，說明理由.20．（12分）如圖，在四面體中，.（1）求證:平面平面；（2）若，二面角為，求異面直線與所成角的余弦值.21．（12分）已知數(shù)列滿足：對任意，都有.（1）若，求的值；（2）若是等比數(shù)列，求的通項公式；（3）設，，求證：若成等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列.22．（10分）為了響應國家號召，促進垃圾分類，某校組織了高三年級學生參與了“垃圾分類，從我做起”的知識問卷作答隨機抽出男女各20名同學的問卷進行打分，作出如圖所示的莖葉圖，成績大于70分的為“合格”.（Ⅰ）由以上數(shù)據(jù)繪制成2×2聯(lián)表，是否有95%以上的把握認為“性別”與“問卷結果”有關？男女總計合格不合格總計（Ⅱ）從上述樣本中，成績在60分以下（不含60分）的男女學生問卷中任意選2個，記來自男生的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

，，得解．【詳解】，，，所以，故選D【點睛】比較不同數(shù)的大小，找中間量作比較是一種常見的方法．2、D【解析】

求的展開式中的常數(shù)項，可轉(zhuǎn)化為求展開式中的常數(shù)項和項，再求和即可得出答案.【詳解】由題意，中常數(shù)項為，中項為，所以的展開式中的常數(shù)項為：.故選：D【點睛】本題主要考查二項式定理的應用和二項式展開式的通項公式，考查學生計算能力，屬于基礎題.3、A【解析】

可得集合,求出補集,再求出即可.【詳解】由,得,即,所以,所以.故選:A【點睛】本題考查了集合的補集和交集的混合運算,屬于基礎題.4、C【解析】根據(jù)命題的否定，可以寫出：，所以選C.5、B【解析】

雙曲線的漸近線方程為，由題可知．設點，則點到直線的距離為，解得，所以，解得，所以雙曲線的實軸的長為，故選B．6、A【解析】

設等差數(shù)列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項與公差,進而求得即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為.由得,解得.所以.故選：A【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎題.7、C【解析】

討論當時，是否恒成立；討論當恒成立時，是否成立，即可選出正確答案.【詳解】解：當時，，由開口向上，則恒成立；當恒成立時，若，則不恒成立，不符合題意，若時，要使得恒成立，則，即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.【點睛】本題考查了命題的關系，考查了不等式恒成立問題.對于探究兩個命題的關系時，一般分成兩步，若，則推出是的充分條件；若，則推出是的必要條件.8、B【解析】

方法一：由題意得，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得成等差數(shù)列，設，則，，則，當且僅當時等號成立，從而的最小值為16，故選B．方法二：設正項等差數(shù)列的公差為d，由等差數(shù)列的前項和公式及，化簡可得，即，則，當且僅當，即時等號成立，從而的最小值為16，故選B．9、D【解析】

用去換中的n，得，相加即可找到數(shù)列的周期，再利用計算.【詳解】由已知，①，所以②，①+②，得，從而，數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，且前6項分別為1，2，1，-1，-2，-1，所以，.故選：D.【點睛】本題考查周期數(shù)列的應用，在求時，先算出一個周期的和即，再將表示成即可，本題是一道中檔題.10、A【解析】

根據(jù)向量的運算法則展開后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.【詳解】.故選：A.【點睛】本題主要考查數(shù)量積的運算，屬于基礎題.11、D【解析】

使用不同方法用表示出，結合平面向量的基本定理列出方程解出．【詳解】解：，又解得，所以故選：D【點睛】本題考查了平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎題．12、C【解析】

根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，即得答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，且命題：，，.故選：.【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先推導出函數(shù)的周期為，可得出，代值計算，即可求出實數(shù)的值.【詳解】由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，又該函數(shù)的圖象關于直線對稱，則，所以，，則，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，所以，解得.故答案為：.【點睛】本題考查利用函數(shù)的對稱性計算函數(shù)值，解題的關鍵就是結合函數(shù)的奇偶性與對稱軸推導出函數(shù)的周期，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.14、【解析】

結合圖形及向量的線性運算將轉(zhuǎn)化為用向量表示，即可得到結果．【詳解】在中，因為，所以，又因為，所以．故答案為：【點睛】本題主要考查三角形中向量的線性運算，關鍵是利用已知向量為基底，將未知向量通過幾何條件向基底轉(zhuǎn)化．15、【解析】

先把復數(shù)進行化簡，然后利用求模公式可得結果.【詳解】．故答案為：.【點睛】本題主要考查復數(shù)模的求解，利用復數(shù)的運算把復數(shù)化為的形式是求解的關鍵，側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).16、①②③【解析】

通過圖片信息直接觀察，計算，找出答案即可．【詳解】對于①，2至月份的收入的變化率為20，11至12月份的變化率為20，故相同，正確．對于②，支出最高值是2月份60萬元，支出最低值是5月份的10萬元，故支出最高值與支出最低值的比是6：1，正確．對于③，第三季度的7，8，9月每個月的收入分別為40萬元，50萬元，60萬元，故第三季度的平均收入為50萬元，正確．對于④，利潤最高的月份是3月份和10月份都是30萬元，高于2月份的利潤是80﹣60＝20萬元，錯誤．故答案為①②③．【點睛】本題考查利用圖象信息，分析歸納得出正確結論，屬于基礎題目．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）見解析；（3）存在，1.【解析】

（1），求出單調(diào)區(qū)間，進而求出，即可證明結論；（2）對（或）是否恒成立分類討論，若恒成立，沒有極值點，若不恒成立，求出的解，即可求出結論；（3）令，可證恒成立，而，由（2）得，在為減函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在都存在，不滿足，當時，設，且，只需求出在單調(diào)遞增時的取值范圍即可.【詳解】（1），，，當時，，當時，，∴，故.（2）由題知，，，①當時，，所以在上單調(diào)遞減，沒有極值；②當時，，得，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故在處取得極小值，無極大值.（3）不妨令，設在恒成立，在單調(diào)遞增，，在恒成立，所以，當時，，由（2）知，當時，在上單調(diào)遞減，恒成立；所以不等式在上恒成立，只能.當時，，由（1）知在上單調(diào)遞減，所以，不滿足題意.當時，設，因為，所以，，即，所以在上單調(diào)遞增，又，所以時，恒成立，即恒成立，故存在，使得不等式在上恒成立，此時的最小值是1.【點睛】本題考查導數(shù)綜合應用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、不等式證明，考查分類討論思想，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學計算能力，屬于較難題.18、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）根據(jù)余弦定理，可得，利用//，可得//平面，然后利用線面平行的性質(zhì)定理，//，最后可得結果.（2）根據(jù)二面角平面角大小為，可知N為的中點，然后利用建系，計算以及平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，可得結果.【詳解】（1）不妨設，則，在中,，則，因為，所以，因為//，且A、B、M、N四點共面，所以//平面.又平面平面，所以//.而，.（2）因為平面平面，且，所以平面，，因為，所以平面，，因為，平面與平面夾角為，所以，在中，易知N為的中點，如圖，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則由，令，得.設與平面所成角為，則.【點睛】本題考查線面平行的性質(zhì)定理以及線面角，熟練掌握利用建系的方法解決幾何問題，將幾何問題代數(shù)化，化繁為簡，屬中檔題.19、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）存在，此時為的中點.【解析】

（Ⅰ）證明平面，得到平面平面，故平面平面，平面，得到答案.（Ⅱ）假設存在點滿足題意，過作于，平面，過作于，連接，則，過作于，連接，是二面角的平面角，設，，計算得到答案.【詳解】（Ⅰ）∵，，，∴平面.又平面，∴平面平面，而平面，，∴平面平面，由，知，可知平面，又平面，∴平面平面.（Ⅱ）假設存在點滿足題意，過作于，由知，易證平面，所以平面，過作于，連接，則（三垂線定理），即是二面角的平面角，不妨設，則，在中，設（），由得，即，得，∴，依題意知，即，解得，此時為的中點.綜上知，存在點，使得二面角的余弦值，此時為的中點.【點睛】本題考查了面面垂直，根據(jù)二面角確定點的位置，意在考查學生的空間想象能力和計算能力，也可以建立空間直角坐標系解得答案.20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）取中點連接，得，可得，可證，可得，進而平面，即可證明結論；（2）設分別為邊的中點，連，可得，，可得（或補角）是異面直線與所成的角，，可得，為二面角的平面角，即，設，求解，即可得出結論.【詳解】（1）證明:取中點連接，由則，則，故，，平面，又平面，故平面平面（2）解法一:設分別為邊的中點，則，（或補角）是異面直線與所成的角.設為邊的中點，則，由知.又由（1）有平面，平面，所以為二面角的平面角，，設則在中，從而在中，，又，從而在中，因，，因此，異面直線與所成角的余弦值為.解法二:過點作交于點由（1）易知兩兩垂直，以為原點，射線分別為軸，軸，軸的正半軸，建立空間直角坐標系.不妨設，由，易知點的坐標分別為則顯然向量是平面的法向量已知二面角為，設，則設平面的法向量為，則令，則由由上式整理得，解之得(舍)或，因此，異面直線與所成角的余弦值為.【點睛】本題考查空間點、線、面位置關系，證明平面與平面垂直，考查空間角，涉及到二面角、異面直線所成的角，做出空間角對應的平面角是解題的關鍵，或用空間向量法求角，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學計算能力，屬于中檔題.21、（1）3；（2）；（3）見解析.【解析】

（1）依據(jù)下標的關系，有，，兩式相加，即可求出；（2）依據(jù)等比數(shù)列的通項公式知，求出首項和公比即可。利用關系式，列出方程，可以解出首項和公比；（3）利用等差數(shù)列的定義，即可證出?！驹斀狻浚?）因為對任意，都有，所以，，兩式相加，，解得；（2）設等比數(shù)列的首項為，公比為，因為對任意，都有，所以有，解得，又，即有，化簡得，，即，或，因為，化簡得，所以故。（3）因為對任意，都有，所以有，成等差數(shù)列，設公差為，，，，，由等差數(shù)列的定義知，也成等差數(shù)列?！军c睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列的定義以及賦值法的應用，意在考查學生的