2024福建省寧德市高三下學(xué)期5月質(zhì)量檢測(cè)三模數(shù)學(xué)試題及答案

2024屆福建省寧德市普通高中畢業(yè)班五月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,學(xué)生務(wù)必在練習(xí)卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的學(xué)校、準(zhǔn)考證號(hào)、姓名。學(xué)生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與學(xué)生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上。寫在本練習(xí)卷上無效。3.答題結(jié)束后,學(xué)生必須將練習(xí)卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共8小題,每題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.樣本數(shù)據(jù)2,2,3,3,3,4,4,5,5,6的中位數(shù)和眾數(shù)分別為A.3和3B.3.5和3C.4和3D.3.5和2,3,4,52.已知集合A2,0,2,4},B{xx}.若ABA,則m的取值范圍是A.)B.)C.)D.)3.設(shè),n表示兩條不同的直線,表示平面,則以下結(jié)論正確的是A.若m/,n/,則m//nC.若m/,mn,則nB.若m,mn,則n/D.若m,n,則mn1:命題q:aa1,則p是q的74.記T為等比數(shù)列a的前n項(xiàng)積.設(shè)命題p:Tnn126A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件5.2024海峓兩岸各民族歡度“三月三”暨福籽同心愛中華福建省第十一屆“三月三”畬族文化節(jié)活動(dòng)在寧德隆重開幕.海峽兩岸各民族同胞齊聚于此,與當(dāng)?shù)厝罕姽餐瑲g慶“三月三”,暢敘兩岸情.在活動(dòng)現(xiàn)場,為了解不同時(shí)段的入口游客人流量,從上午10點(diǎn)開始第一次向指揮中心反饋入口人流量,以后每過一個(gè)小時(shí)反饋一次.指揮中心統(tǒng)計(jì)了前5次的數(shù)據(jù)i,yt,其中i4,5,y為第i次入口人流量數(shù)據(jù)(單位:百人),由此得到y(tǒng)關(guān)i?于i的回歸方程?b(i5.已知y9,根據(jù)回歸方程(參考數(shù)據(jù):31.6,log52.3),可頂測(cè)222下午4點(diǎn)時(shí)入口游客的人流量為A.9.6B.11.0C.11.4D.12.06.已知圓臺(tái)OO的上底半徑為3,下底半徑為6,母線長為6,則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是12A.圓臺(tái)側(cè)面積為C.圓臺(tái)的體積為126B.圓臺(tái)外接球的半徑為6D.圓臺(tái)側(cè)面上的點(diǎn)到下底圓心2的最短距離為33x4y的焦點(diǎn)為F,Ax,y,Bx,y是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).若227.已知拋物線1122|AB,則的最大值為yy2212A.B.C.D.4324x8.函數(shù)f(x),若關(guān)于x的不等式[f(x)]af(x)0(aR)有且僅有三個(gè)整數(shù)解,則a的取值范圍是2x25ln2ln525ln2ln535ln3ln55ln5A.,B.,C.,D.e,二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知z,z是兩個(gè)復(fù)數(shù),下列結(jié)論中正確的是12A.若zz,則zzRB.若zz為實(shí)數(shù),則zz121212121為實(shí)數(shù)D.若1為實(shí)數(shù),則z,z均為純虛數(shù)zC.若z,z均為純虛數(shù),則1212z2z23cosx.若存在aR,使得f(xa)為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)的值可以是10.函數(shù)f(x)(x2)A.B.C.D.42411.若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)f(x)f(y),且值域?yàn)閇),則以下結(jié)論正確的是A.f(0)1B.f(0C.f(x)為偶函數(shù)D.f(x)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.112.已知e,e是兩個(gè)單位向量,若e在e上的投影向量為e,則e與ee的夾角為______________.12122112213.中國古代歷法是中國勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶,《尚書·堯典》記載“期三百有六旬有六日,以閏月定四時(shí)成歲”,指出閏年有366天.元代郭守敬創(chuàng)造了中國古代最精密的歷法——《授時(shí)歷》,規(guī)定一年為365.2425天,和現(xiàn)行公歷格里高利歷是一樣的,但比它早了300多年.現(xiàn)行公歷閏年是如下確定的:①能被4整除,但不能被100整除;②能被400整除,滿足以上兩個(gè)條件之一的年份均為閏年,則公元1110年,距上一個(gè)閏年的年數(shù)為_____.yexa和圓x2y2有2個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________.214.已知曲線四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)在中,角,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a2c92acB,且B3sinAsinC.2(1)若BDAC,垂足為D,求BD的長;(2)若3,求ac的長.16.(15分)3.將沿AC翻折到的位置,使得在平行四邊形ABCD中,D60,ACPD5.(1)證明;CD平面APC;23913|AM||MD|(2)在線段AD上是否存在點(diǎn)M,使得二面角MPCA的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.17.(15分))f(x)axex1(aR的圖象在x0處的切線過點(diǎn)(2).已知函數(shù)(1)求f(x)在[0,]上的最小值;(2)判斷f(x)在,0內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明理由.318.(17分)桌上有除顏色外其他沒有任何區(qū)別的7個(gè)黑球和7個(gè)白球,現(xiàn)將3個(gè)黑球和4個(gè)白球裝入不透明的袋中.第一次從袋中任取一個(gè)球,若取出的是黑球則放入一個(gè)白球,若取出的是白球則放入一個(gè)黑球,本次操作完成.第二次起每次取球、放球的規(guī)則和第一次相同.(1)求第2次取出黑球的概率;(2)記操作完成n次后袋中黑球的個(gè)數(shù)為變量Xn.;(i)求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望EX22.(ii)求X的數(shù)學(xué)期望EXnn19.(17分)坐標(biāo)平面上的點(diǎn)P(x,y)也可表示為P(rcos,rsin),其中r|OP|,為x軸非負(fù)半軸繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與OP重合的旋轉(zhuǎn)角.將點(diǎn)P繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)Px,y,這個(gè)過程稱之為旋轉(zhuǎn)變換.xxcosysin,(1)證明旋轉(zhuǎn)變換公式:并利用該公式,求點(diǎn)P(3,0)繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)yxsinycos,4P的坐標(biāo);(2)旋轉(zhuǎn)變換建立了平面上的每個(gè)點(diǎn)P到P的對(duì)應(yīng)關(guān)系.利用旋轉(zhuǎn)變換,可將曲線通過旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的曲線進(jìn)行研究.33(i)求將曲線C:yx繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線方程,并求該曲線的離心率;32x666:5x25y26xy8,點(diǎn)F,,直線AB交曲線于A,B兩點(diǎn),作的外角平分(ii)已知曲線22線交直線AB于點(diǎn)M,求|FM|的最小值.2024屆寧德市普通高中畢業(yè)班五月份質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：1.本解答指出了每題要考察的主要知識(shí)和能力，給出一種或幾種解法供參考．如果考生的解法與給出的解法不同，可根據(jù)試題的主要考察內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)確定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則．2.對(duì)解答題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，但整體解決方案可行且后續(xù)步驟沒有出現(xiàn)推理或計(jì)算錯(cuò)誤，則錯(cuò)誤部分依細(xì)則扣分，并根據(jù)對(duì)后續(xù)步驟影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過后續(xù)部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．3.解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．4.解答題只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，填空題不給中間分．一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分40分．1．B2．D3．D4．B5．B6．C7．C8．A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．AC10．BD11．ABC11.解法一：對(duì)于選項(xiàng)A,令xy0,得f(0)f(0)f(0),所以f(0)0或f(0)1.2令y0,得f(0)f(x)f(0)f(x)f(0),由f(x)的值域?yàn)閇),所以當(dāng)f(0)0時(shí),得f(x)0,不合題意,所以f(0)1.A正確.對(duì)于選項(xiàng)B,令xy1,得ff2f,所以f0或f1.2令y1,得f(x)f(x)ff(x)f,得ff(x)0，因?yàn)閒(x)的值域?yàn)閇),所以f0.令xy1,得ff(2f(0,所以f(0或f(2.2因?yàn)橹涤驗(yàn)閇),所以f(C正確.對(duì)于選項(xiàng)C,令y1,得f(x)f(x)f(f(x)f(,因?yàn)閒(0,則f(x)f(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù),圖像關(guān)于x0對(duì)稱,C正確.對(duì)于選項(xiàng)D,由值域[)和偶函數(shù),D錯(cuò)誤.選ABC.解法二:由f(xy)f(x)f(y)f(x)f(y),則f(xy)1f(x)f(y)f(x)f(y)1,得f(xy)1[f(x)f(y),設(shè)g(x)f(x)1,得g(xy)g(x)g(y),可設(shè)g(x)x(為正偶數(shù)),f(x)x1,f(x)x1,可判斷ABC正確,D錯(cuò)誤.選ABC.2不妨設(shè)三、填空題:本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算,每小題5分,滿分20分.12.13.514.(3四、解答題：本大題共6小題，滿分70分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．15.本題主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想等，考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性與綜合性．滿分13分．解:(1)由a2c292acB及余弦定理,得b2ac222acBb3.…………...2分由B3sinAsinC及正弦定理,得basinC,.…………...4分11因?yàn)榈拿娣eSbBDabsinC223所以BDasinC3.…………………….6分3(2)由BABC3得acABC3①,.……………………7分11因?yàn)镾ABCacsinABC33,22所以acsinABC33,②……………8分由①②得tanABC3,………9分又ABC(0,),故ABC,.………………10分31從而aca2c292615.……….11分2得(ac)a22c22ac27,………………12分所以ac33.……………….13分16.本小題主要考查空間解三角形、直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系,空間角的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等,考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎(chǔ)性與綜合性.滿分15分.3,1,解:(1)證明:翻折前,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形,D60,ACCD31在三角形ACD中,由正弦定理可得,,….1分sinsinCADsin60sinCAD1sinCAD,又AC,故CAD30..……………………2分2所以ACD90,即AC,.…………3分因?yàn)镻D5,PC1,所以PC2PD2,則有PC...………………5分2PCACC,AC,PC平面APC,所以CD平面APC,.…………6分(2)由(1)CD⊥平面APC,且平面ADC,所以平面ADC平面APC.在平行四邊形ABCD中,BAAC,即PAAC,故平面ADC...………………7分以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),CDCA的方向分別為、、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),D(1,0,0),P(0,(0,3,0),…………………8分設(shè)AMAD3,0)(,,0)，其中??1，則AM(0,3,0)(,,0)(,3,0),(0,,.……………9分設(shè)平面MCP的法向量為m(x,y,z),m3yz0,x3(,則,取y,則zmx(3)y0所以,m(3(,),………11分易知平面CPA的一個(gè)法向量為n0),………………12分|mn||m||n||3(|23913則|m,,整理可得210,222321因?yàn)??1,解得,………………………14分5因此,線段PC上存在點(diǎn)M,使二面角MABC的余弦值為239,且|AM||MD|14.…………15分1317.本小題主要考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)和不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力等,考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想,考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎(chǔ)性與綜合性.滿分15分.f(x)asinxex1,f(0)e,..…………2分解法一:(1)又f(0)ae,所以切線方程為yexea，..……3分又切線過點(diǎn)(2),得2eea,所以a2..…………4分f(x)2cosxex1,f(x)2sinxex1,所以當(dāng)x[0,]時(shí),f(x)0,所以f(x)在]上單調(diào)遞減,……6分所以f(x)的最小值為f)21.………7分(2)判斷f(x)在,0零點(diǎn)個(gè)數(shù),等價(jià)于判斷方程2xex1根的個(gè)數(shù),32x等價(jià)于判斷方程1根的個(gè)數(shù).………8分x1e2cosx,x令g(x),0x13e2sinx2cosx4g(x),令g(x)0,則sinx0,得x..……10分x14e當(dāng)x,時(shí),g(x)g(x)在,單調(diào)遞增;343444當(dāng)x,0時(shí),g(x)g(x)在,0單調(diào)遞減.……12分1ge23gg(0)1,23ee3e34431(或g2e2111.41)44所以x,0時(shí),方程g(x)1有2根,3所以f(x)在,0有2個(gè)零點(diǎn)..……………….15分3f(x)asinxex1,f(0)e，……………….2分解法二:(1)所以切線方程為yexe2,………….3分因此切點(diǎn)為(0,2e),得2eae,所以a2,.………….4分f(x)2cosxex1,f(x)2sinxex1,所以當(dāng)x[0,]時(shí),f(x)0,所以f(x)在]上單調(diào)遞減,…………6分所以f(x)的最小值為f)21…………………….7分f(x)2cosxex1,f(x)2sinxex1,………………….8分(2)由(1)得(x)2xex1在令h(x)2sinxex1,則h,0上為減函數(shù),…………….9分322h1ehe0,323所以在,上h(x)必有一個(gè)零點(diǎn)x,使得hx0,…………10分0032從而當(dāng)x,x時(shí),h(x)0,當(dāng)xx,0時(shí),h(x)0,003所以h(x)在,x上單調(diào)遞增,在x,0上單調(diào)遞減..…………11分003h2e2又h3eh(0)e0,…………12分32322所以在,0上h(x)必有一個(gè)零點(diǎn)x,使得hx0.……………12分11當(dāng)x,x時(shí),h(x)0,即f(x)0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增;13當(dāng)x1,0時(shí),h(x)0,即f(x)0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減..………………13分2fef1e2又因?yàn)閒1ef(0)2e0,323323233所以f(x)在,上有一個(gè)零點(diǎn),在,0上有一個(gè)零點(diǎn).……….14分綜上,f(x)在,0有且只有2個(gè)零點(diǎn).………………….15分318.本小題主要考查全概率公式、概率的分布列及期望、遞推數(shù)列及等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí),考查數(shù)學(xué)建模能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識(shí),考查或然與必然思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性.滿分17分.(1)記第i次取出的球是黑球?yàn)槭录,iN*,,………………1分1A2則A1A22根據(jù)全概率公式得分分P2PAP∣APAPA1211213244777761622分494949所以第2次取出黑球的概率為22.49(2)(i)由題知得X2的可能取值為:1,3,5………………….5分32則P(X77496354431;P(X7777494312;P(X7749;………………8分故X2的分布列為:135XP26314912491215949631所以EX135.…………….9分249494949(ii)設(shè)第n1次完成操作后袋中黑球數(shù)為k(k,7)則7k7k7(kPXkn1EX(kn7k075k71PXkn1k075k77PXkPXkn1n1k0k05……13分EXn17(也可以按如下方法得出遞推關(guān)系:EXEXEXn1n11n1EX11EXnn1775EX1.n17(若通過特殊性入手得出遞推關(guān)系得２分)575772n1即EXEX1,由此得EXEX,………………15分nn1n72712又因?yàn)镋XEX,…………………16分002nn715271572所以EX,即EX.…………………17分27nn219.本題主要考查兩角和與差的正、余弦公式、雙曲線、橢圓、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想,考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性,滿分17分.(1)證明：設(shè)Px,y,由題意可知x||)rcoscosrsinsinxcosysin,y||)rsincosrcossinxsinycos,xxcosysin,所以..……………………2分yxsinycos.故當(dāng)x3,y0,且時(shí),4446x3,662所以P,..………….4分22y3sin6.2(2)(i)設(shè)曲線C上的任一點(diǎn)P(x,y)繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的點(diǎn)為Px,y,可視為Px,y繞原點(diǎn)6O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的點(diǎn)P(x,y),666663123xxysinxy,2所以..……