廣東省佛山市2022-2023學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

2022-2023學(xué)年下學(xué)期佛山市普通高中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

高一數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

(1Y

x+—

1.IXJ的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是()

A.0B.1C.2D.3

2.四名志愿者到3個(gè)小區(qū)開(kāi)展防詐騙宣傳活動(dòng)，向社區(qū)居民普及防詐騙、反詐騙的知識(shí).每名志愿者只去1

個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有()

A.18種B.30種C.36種D.72種

3.吹氣球時(shí)，氣球的半徑「(單位：dm)與體積V(單位：L)之間的函數(shù)關(guān)系是r(V)=后，估計(jì)V=1L

時(shí)氣球的膨脹率為()

(參考數(shù)據(jù)：?荻a4.8)

A.0.2B.0.6C.1D.1.2

Y=bx+a+e

4.對(duì)于變量丫和變量元的成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)，用一元線性回歸模型1~八_、2得到經(jīng)驗(yàn)回歸模

[E(e)=0,O(e)=cr2

型3=嬴+。，對(duì)應(yīng)的殘差如下圖所示，模型誤差()

，,殘差

3-

2-

A.滿足一元線性回歸模型的所有假設(shè)

B.不滿足一元線性回歸模型的E(e)=0的假設(shè)

C.不滿足一元線性回歸模型的。(e)=(?假設(shè)

D.不滿足一元線性回歸模型的E(e)=0和O(e)=<r2的假設(shè)

5.如圖，直線/和圓C,當(dāng)/從開(kāi)始在平面上繞點(diǎn)0按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)到（轉(zhuǎn)到角不超過(guò)90°）時(shí)，它

掃過(guò)的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)間t的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的圖像大致是

6.如圖，某單位計(jì)劃在辦公樓前的一個(gè)花壇的A、B、C、。四個(gè)區(qū)域重新種花.現(xiàn)有紅、藍(lán)、黃、白四種顏

色的花可選擇，一個(gè)區(qū)域只種一種顏色的花，且相鄰的兩個(gè)區(qū)域不能種同一種顏色的花，則共有（）種不

同的種植方案.

A.36B.48C.72D.84

7.已知等比數(shù)列｛4｝的公比大于I,且4+4+%=28,等差數(shù)列也｝滿足a=小"5=%+2"8=%，

則4+%23=（）

A.2026B.4050C.4052D.4054

8.已知函數(shù)+2x（。＞0）,若V%,/e（l,+oo）,且百＞々,

|/（玉）_/（%2）|>（玉_1）111（g-4）_（%2_1）111（心—4）,則實(shí)數(shù)4的取值范圍是（）

A.（0,e]B.（0,e2]C.（I,e]D.（e,e2]

二、選擇題：本題共4小題.每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.已知（3x—1）4=4+4*3，則（）

A.q+%+。3+%=17B.q+a,=-120

C.4+2%+3%+4%=96D.聞+同+同+同=256

10.三名男生和四名女生，按照不同的要求站成一排，貝M）

A.任何兩名男生不相鄰的排隊(duì)方案有1440種

B.若3名男生的順序一定，則不同的排隊(duì)方案有210種

C.甲不站左端，乙不站右端的排隊(duì)方案有3720種

D.甲乙兩名同學(xué)之間恰有2人的不同排隊(duì)方案有960種

11.事件A,8滿足P（A）=0.5,P（B）=0.4,尸（網(wǎng)A）=0.3,貝ij（）

A.P（AB）=0.75B.P（A|B）=0.375

C.P（B|A）=0.5D,尸（A|豆）=0.5

12.記等差數(shù)列｛4｝的"和為S,,數(shù)列的前k項(xiàng)和為，，貝4（）

A.若VneN*，均有S,川>Sn,則Tk>0

B.若當(dāng)且僅當(dāng)攵=20時(shí)，〃取得最小值，則S9>S”

C.若4<0且S20=0,則當(dāng)且僅當(dāng)攵=19時(shí)，”取得最小值

D.若左=19和攵=20時(shí)，，取得最小值，則mmeN*，鼠=0

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)隨機(jī)變量XP（—l<X<3）=0.7,則尸（X23）=.

14.已知成對(duì)樣本數(shù)據(jù)（々/J,（巧，/），…，（*"，％）（〃22）中x2,演不全相等，且所有樣

本點(diǎn)（%，y）（i=l，2，,"）都在直線y=-2x+l上，則這組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)廠=.

15.已知直線丁=依是曲線^=^切線，則實(shí)數(shù)&的值為.

16.河圖、洛書是我國(guó)古代流傳下來(lái)兩幅神秘圖案，蘊(yùn)含了深?yuàn)W的宇宙星象之理，被譽(yù)為“宇宙魔方”.洛書

是世界上最古老的三階幻方(一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1,2,3....1填入〃x〃個(gè)方格中，使得每行、

每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等，這個(gè)正方形叫做〃階幻方).記〃階幻方的數(shù)之和為S〃，則S4=

若S,,>2023,則〃的最小值為,

河圖洛書三階幻方

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.某商家為了提高服務(wù)質(zhì)量，專門開(kāi)設(shè)了顧客反饋熱線電話.熱線電話共有3個(gè)分機(jī)專供與顧客通話.設(shè)每

個(gè)分機(jī)在每一時(shí)刻占線的概率為!，并且各個(gè)分機(jī)是否占線是相互獨(dú)立的.

(1)求在某一時(shí)刻恰好有一個(gè)分機(jī)占線的概率；

(2)求任一時(shí)刻占線的分機(jī)個(gè)數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

18.已知函數(shù)/(力=丁一(2%一1。

⑴討論/(%)的單調(diào)性；

⑵求/(x)在區(qū)間［0,3］上的最小值與最大值.

19.記數(shù)列｛q,｝前〃項(xiàng)和為S“，已知％=3,S”+〃(〃+1)=解用.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若對(duì)任意〃eN*，帆2彳+與+，+2,求機(jī)的最小整數(shù)值.

31323"

20.ChatGPT作為一個(gè)基于大型語(yǔ)言模型的聊天機(jī)器人，最近成為全球關(guān)注的焦點(diǎn).ChatGPT是一個(gè)超強(qiáng)的

AL它能像人類一樣聊天交流，甚至能完成撰寫郵件、文案、寫論文、答辯、編程等任務(wù).專家預(yù)言，隨著

人工智能技術(shù)的發(fā)展，越來(lái)越多的職業(yè)可能會(huì)被ChatGPT或其他類似的人工智能工具所取代.某地區(qū)為了了

解ChatGPT的普及情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)從2023年1月至5月使用ChatGPT的用戶人數(shù)y(萬(wàn)人)，詳見(jiàn)下表：

x(月份)12345

y(萬(wàn)人)3.66.411.718.827.5

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)信息及模型①y=以+h與模型②y^ajr+b,判斷哪一個(gè)模型更適合描述變量X和y變

化規(guī)律（無(wú)需說(shuō)明理由），并求出y關(guān)于尤的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

（2）為了進(jìn)一步了解人們對(duì)適應(yīng)人工智能所將帶來(lái)職業(yè)結(jié)構(gòu)變化的自信程度（分為“基本適應(yīng)”和“不適應(yīng)”）

是否跟年齡有關(guān)，某部門從該地區(qū)隨機(jī)抽取300人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表：

基本適應(yīng)不適應(yīng)

年齡小于30歲10050

年齡不小于30歲7575

根據(jù)小概率a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該地區(qū)對(duì)職業(yè)結(jié)構(gòu)變化的自信程度是否與年齡有關(guān).

2n^ad-hcY

附參考數(shù)據(jù)：八個(gè)----------n—a+b+c+d.

L2(a+0)(c+d)(a+c)(b+d)

1=1

55

55&55

1=1i=li=l/=1z=l/=1

1555979682641122

a0.150.10.050.0250.010.001

%2.0722.7063.8415.0246.63510.828

21.機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)即汽車保險(xiǎn)（簡(jiǎn)稱車險(xiǎn)），是指對(duì)機(jī)動(dòng)車輛由于自然災(zāi)害或意外事故所造成的人身傷亡或財(cái)

產(chǎn)損失負(fù)賠償責(zé)任的一種商業(yè)保險(xiǎn).機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)一般包括交強(qiáng)險(xiǎn)和商業(yè)險(xiǎn)兩部分，其中商業(yè)險(xiǎn)包括基本險(xiǎn)

和附加險(xiǎn).經(jīng)驗(yàn)表明新車商業(yè)險(xiǎn)保費(fèi)丫（單位：元）與購(gòu)車價(jià)格x（單位：元）近似滿足函數(shù)y=7xl（F3x+i300,

且上一年的出險(xiǎn)次數(shù)決定了下一年的保費(fèi)倍率.佛山市某機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)公司將上一年的出險(xiǎn)次數(shù)與下一年的

保費(fèi)倍率的具體關(guān)系制作如下表格：

上一年出險(xiǎn)次數(shù)012345次以上（含5次）

下一年保費(fèi)倍率85%100%125%150%175%200%

連續(xù)兩年沒(méi)有出險(xiǎn)打7折，連續(xù)三年沒(méi)有出險(xiǎn)打6折

王先生于2021年3月份購(gòu)買了一輛30萬(wàn)元的新車，一直到2022年12月沒(méi)有出過(guò)險(xiǎn)，但于2023年買保險(xiǎn)

前僅出過(guò)兩次險(xiǎn).

(1)王先生在2023年應(yīng)交商業(yè)險(xiǎn)保費(fèi)多少元？

(2)保險(xiǎn)公司計(jì)劃為前來(lái)續(xù)保的每一位車主提供抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：有放回的從裝有大小相同的6個(gè)

紅球和4個(gè)黑球的袋中任意抽取一個(gè)，若第一次抽到紅球則獎(jiǎng)勵(lì)100元的獎(jiǎng)券，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)50元的獎(jiǎng)

券，第二次開(kāi)始，每一次抽到紅球則獎(jiǎng)券數(shù)額是上一次獎(jiǎng)券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)50元的獎(jiǎng)券，車

主所獲得的獎(jiǎng)券可以抵扣續(xù)保費(fèi).為了激勵(lì)車主謹(jǐn)慎駕駛，保險(xiǎn)公司規(guī)定：上一年沒(méi)有出險(xiǎn)的車主可以抽獎(jiǎng)

6次,車主每增加一次出險(xiǎn)就減少一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).記車主第，?次抽獎(jiǎng)所得的獎(jiǎng)券數(shù)額X](/eN*)的數(shù)學(xué)期望為

E(X,).

⑴寫出￡(X-)與E(XJ的遞推關(guān)系式(其中的2且ieN*)；

(ii)若按照保險(xiǎn)公司的計(jì)劃，且王先生不放棄每一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，王先生在2023年續(xù)保商業(yè)險(xiǎn)時(shí)，實(shí)際支付

保費(fèi)的期望值為多少？

22.已知函數(shù)/(x)=sinx+x-‘一2ax.

⑴當(dāng)x>0時(shí)，證明：/(x)+2av+l<e'+%T；

(2)若函數(shù)/(*)在(°'兀)上只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

2022-2023學(xué)年下學(xué)期佛山市普通高中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

高一數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

（1Y

x+—

1.IXJ的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，然后由x的次數(shù)為零，求出人從而可求出常數(shù)項(xiàng).

【詳解】（x+4）的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為=C；/-3"

令3—3廠=0,得廠=1，

所以的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是c；=3,

故選：D

2.四名志愿者到3個(gè)小區(qū)開(kāi)展防詐騙宣傳活動(dòng)，向社區(qū)居民普及防詐騙、反詐騙的知識(shí).每名志愿者只去1

個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有（）

A.18種B.30種C.36種D.72種

【答案】C

【解析】

【分析】將四名志愿者分成三個(gè)組，其中一組為2人，再由排列組合知識(shí)求解.

【詳解】不同的安排方法共有C：A；=6x6=36種.

故選：C

3.吹氣球時(shí)，氣球的半徑r（單位：dm）與體積V（單位：L）之間的函數(shù)關(guān)系是《丫）=招，估計(jì)V=1L

時(shí)氣球的膨脹率為（）

（參考數(shù)據(jù)：［36兀x4.8）

A.0.2B.0.6C.1D.1.2

【答案】A

【解析】

【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再求出導(dǎo)數(shù)值即可得到結(jié)果.

故選：A

Y=bx+a+e

4.對(duì)于變量Y和變量x成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)，用一元線性回歸模型《得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型

E(e)=O,D(e)=a2

y=bx+a,對(duì)應(yīng)的殘差如下圖所示，模型誤差()

A.滿足一元線性回歸模型的所有假設(shè)

B.不滿足一元線性回歸模型的E(e)=O的假設(shè)

C.不滿足一元線性回歸模型的0(6)=。?假設(shè)

D.不滿足一元線性回歸模型的E(e)=0和D(e)=a2的假設(shè)

【答案】C

【解析】

Y=Z?x+Q+e

分析】根據(jù)用一元線性回歸模型<?八八、2有關(guān)概念即可判斷.

E(e)=0,￡>(e)=<J~

Y=bx+a-\-e

【詳解】解：用一元線性回歸模型《得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型y=bx+a,根據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差圖,

E(e)=0,D(e)=(y2

殘差的均值E(e)=0可能成立,但明顯殘差的x軸上方的數(shù)據(jù)更分散，O(e)=b2不滿足一元線性回歸模型,

正確的只有c.

故選：C.

5.如圖，直線/和圓C,當(dāng)/從4開(kāi)始在平面上繞點(diǎn)0按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)至U（轉(zhuǎn)到角不超過(guò)90。）時(shí)，它

掃過(guò)的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)間/的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的圖像大致是

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可知：S變化情況為“一直增加，先慢后快，過(guò)圓心后又變慢”，據(jù)此確定函數(shù)的大致圖像即

可.

【詳解】觀察可知面積S變化情況為“一直增加，先慢后快，過(guò)圓心后又變慢”，

對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象是變化率先變大再變小，由此知。符合要求.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)圖像，函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和

計(jì)算求解能力.

6.如圖，某單位計(jì)劃在辦公樓前的一個(gè)花壇的A、B、C、。四個(gè)區(qū)域重新種花.現(xiàn)有紅、藍(lán)、黃、白四種顏

色的花可選擇，一個(gè)區(qū)域只種一種顏色的花，且相鄰的兩個(gè)區(qū)域不能種同一種顏色的花，則共有（）種不

同的種植方案.

A.36B.48C.72D.84

【答案】D

【解析】

【分析】考慮選用兩種顏色的花，三種顏色的花，四種顏色的花，利用排列組合知識(shí)求出答案后相加即可.

【詳解】若選用兩種顏色的花，則有C；=6種選擇，選擇的兩種顏色的花種在對(duì)角位置，有兩種選擇，故

共有2x6=12種選擇，

若選用三種顏色的花，則有C：=4種選擇，必有一個(gè)對(duì)角位置使用同種顏色的花，先選擇一個(gè)對(duì)角，再?gòu)?/p>

三種顏色的花中選擇一種，有C；C；=6種選擇，

另外的對(duì)角位置選擇不同位置的花，有A：=2種選擇，共有4x6x2=48種選擇，

若選用四種顏色的花，則有A：=24種選擇，

綜上：共有12+48+24=84種選擇.

故選：D

7.已知等比數(shù)列｛%｝的公比大于1,且4+%+%28,等差數(shù)列也｝滿足%=%+2=%，

則6+%23=（）

A.2026B.4050C.4052D.4054

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)出公比和公差，根據(jù)題目條件得到b2+b52+々=28,求出a=1。，從而求出色=仇一2=8,

進(jìn)而求出公比，由4=%=4求出公差，求出%）234046,得到答案.

【詳解】設(shè)｛4｝的公比為4>1,｛2｝的公差為d,

因?yàn)椤?=〃2,。4="5—2,%，/+。4+。5=28

所以打+4-2+4=28,

因?yàn)?+4=2%,所以34=30,解得％=10,

故％=仇一2=8,

8

故生+包+。5=7+8+8q=28,即8+8q+8d=28q,解得4=2或舍去)，

8,

則%=—=-=4>

q2

j.bq—b?10—4

又"=%=4A,故4=———-=----=2,

~5-23

則b1ffl3=打+2021d=4+2021x2=4046,

所以。3+3)23=4+4046=4050.

故選：B

8.已知函數(shù)/(x)=,e"+2x(〃>0),若VX，A：2w(l,+co),且為〉/，

|/(^)-/(%2)|>(^-1)10(<2%1-tz)-(x2-l)ln(<zr2-tz),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,e]B.(0,e2]C.(I,e]D.(e,e2]

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)〃x)的單調(diào)性，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為8(同=1*+2%-。-1)此(以-“)在(1,小)單調(diào)遞增，求

導(dǎo)，構(gòu)造〃(x)=g'(x)=Le*-ln(ax-tz)+l,4(x)=」：-x-21n(x-l)+l(x>l),利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的

ax-l

單調(diào)性，即可求解.

【詳解】由于y=：e'(a>0),y=2尤均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以/(x)=：e*+2x(a〉0)為(1,+8)上的

單調(diào)遞增函數(shù)，由VX1,%2e(l,+OO),且%>%2，則/(%)—/(*2)>°，

故|/(%)_/(%2)|=/(藥)_/(々)=(爐+2X]—(：e*+2々),

故+2玉+2%)>(玉一l)ln(aX]—。)一(入2-l)ln(ar2-a),

即一e'+2%]一(尤]_1)ln(。百一a)>(_e"+2x2|一-1)In(tzx2—a),

令g(x)=_e"+2x-(x-l)ln(or-^),

則由V%,%￡(l,+00),且玉>々，則g(Xi)>g(%2)，故且(%)在(L+00)單調(diào)遞增，

g'(x)=』e"+2-ln(or-a)-l=」e'-In(辦-a)+l20對(duì)任意的X￡(l,+oo)恒成立，

令〃(x)=g，(x)=』e'-ln(or-6f)+l,A'(x)=-ex———,

acix—1

由于y=!e*(a>0),y=--匚均為。,”)單調(diào)遞增函數(shù)，所以〃'⑺為(I,一)單調(diào)遞增函數(shù)，又當(dāng)》趨

ciX—1

向于1時(shí)，〃'(x)趨向于-8,而x趨向于+00時(shí)"(X)趨向于+00,

故存在唯一的實(shí)數(shù)不?1,物)，使得/7'伍)=0,即:6%=丁匕，則e*(xo-l)=a

當(dāng)X€(l,天)，〃'(%)<°，％€(%,+00),〃'(6〉0,故〃(%)在工€(1,%())單調(diào)遞減，在xe(如+°o)單調(diào)遞增,

故當(dāng)x=Xo時(shí)，〃(x)取極小值也是最小值,

由于Mx)=g'(x)=—6*-111(辦一0)+120對(duì)任意的為?1,+00)恒成立,

所以

=/1

^Wmin(^))=-^-ln(ar0-a)+l=—^—---lne'?(x()-l)-ln(x(,-l)+l=^-—xo-21n(xo-l)+l>O,

ae^x0—i)%()一］

ii?12

記"(x)=---x-21n(x-l)+l(x>l),/7(x)=--~-5--I-----=--~~r+l+--<0,所

%一］(x-l)%一］(x-l)XT

以H(x)在x?l,+oo)上單調(diào)遞減,又“(2)=1—2+1=0,

故當(dāng)1<x<2,〃(x)>0,當(dāng)x>2,〃(x)<0,

又H(Q0,所以1<%42,

又e,°(x0-1)=iz,所以%+ln(xo_1)=Ina,

由于y=毛+皿(％-l)=lna在1<x0<2單調(diào)遞增，所以后。=%+1!1(%-1)V2+lnl=2,

故aWe?，又a〉0,故OcaKe?，

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，求某點(diǎn)處的切線方程較為簡(jiǎn)單，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性時(shí)，如果求導(dǎo)后

的正負(fù)不容易辨別，往往可以將導(dǎo)函數(shù)的一部分抽離出來(lái)，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而

可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時(shí)，常采用兩種思路：求直接求最值和等價(jià)轉(zhuǎn)化.無(wú)論是那種方式，都

要敢于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造有效的函數(shù)往往是解題的關(guān)鍵.

二、選擇題：本題共4小題.每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.已知=%+4%+。2為2，則（）

A.4+g+/+4=17B.4+q=-120

C.fl]+2a,+3^+4a4=96D,同+悶+同+同=256

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理求出展開(kāi)式，再逐一判斷即可.

【詳解】（3x-1），

=C；（3x『（-1）°+C；（3x）3（_『+瑪（3x）2（_]）2+c；（3力（_葉十心色）。（_爐

=8bc4-108x3+54x2-12x+1）

44

X（3x—l）=0a+4%3+iZ4X,

所以4=1,%=—12,a,=54,%=—108,a4=81,

所以4+/+/+%=—12+54-108+81=15,故A錯(cuò)誤；

a,+03=-12-108=-120,故B正確；

q+2a,+3a§+4%=—12+108—324+324=96,故C正確；

同+同+同+|%|=12+54+108+81=255,故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.三名男生和四名女生，按照不同的要求站成一排，貝M）

A.任何兩名男生不相鄰的排隊(duì)方案有1440種

B.若3名男生的順序一定，則不同的排隊(duì)方案有210種

C.甲不站左端，乙不站右端的排隊(duì)方案有3720種

D,甲乙兩名同學(xué)之間恰有2人的不同排隊(duì)方案有960種

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)于排列問(wèn)題，按照先特殊后一般，分類分步進(jìn)行即可.

【詳解】選項(xiàng)A：即不相鄰問(wèn)題（插空法）：先排女生共A：種排法，男生在五個(gè)空中安插，有種排法,

故共有A：A；=1440種排法，選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B：先排女生共A；種排法,3名男生順序一定，排進(jìn)最后三個(gè)位置，只有這1種情況，則共有A；x1=840

種排隊(duì)方案，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：排法有A；-2人。+人；=3720種，其中A：是甲在左端或乙在右端的排法，A；是甲在左端且乙在

右端的排法，選項(xiàng)C正確；

選項(xiàng)D：（捆綁法）任取2人與甲、乙組成一個(gè)整體，與余下3個(gè)元素全排列，故共有（A；A；）A：=960種

排法，選項(xiàng)D正確；

故選：ACD.

11.事件A,B滿足尸（A）=0.5,尸（3）=04,P（B|4）=03,則（）

A.尸（A_B）=0.75B.P（A|5）=0.375

C.P（5|A）=0.5D.P（A|B）=0.5

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算可得P（AB）=P（@A）P（A）=0.3x0.5=0.15,進(jìn)而根據(jù)并事件的概率求

解A,根據(jù)條件概率的計(jì)算即可求解BCD.

【詳解】由尸（@A）=0.3得P（AB）=P（5|A）P（A）=0.3x0.5=0.15,

P（4B）=P（A）+P（3）—尸（AB）=0.5+0.4—0.15=0.75，故A正確，

（.、P（AB｝0.15

所以P（A|6）==8了=0375，故B正確，

*小嘉二叱產(chǎn)=喙詈。5故c正確，

/、P（BA\P（A）-尸（AB）0.5-0.157

對(duì)于D，尸（4忸）="=6=運(yùn)故口錯(cuò)誤，

故選：ABC

s'

12.記等差數(shù)列｛《,｝的〃和為s“，數(shù)列J的前左項(xiàng)和為《，則（）

A.若V”eN*，均有S“+]>Sn,則4>0

B.若當(dāng)且僅當(dāng)左=20時(shí)，】取得最小值，則S9>S"

C.若q<0且S20=0,則當(dāng)且僅當(dāng)k=l9時(shí)，，取得最小值

D.若4=19和左=20時(shí)，1取得最小值，則^neN*，S“=0

【答案】BD

【解析】

【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性和等差數(shù)列的性質(zhì)，可得結(jié)論;

【詳解】選項(xiàng)A：等差數(shù)列｛為｝的前〃和為S,,

因?yàn)镾用〉S,,所以a“+1=S用一S“>0,

所以從第二項(xiàng)開(kāi)始%〉0,故修正負(fù)不確定，[〉0不一定成立，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：當(dāng)左=20時(shí)，或取得最小值,

5

所以數(shù)列j是首項(xiàng)為負(fù)，慢慢遞增的數(shù)列，且有S2°<0,S,I>0

n

則有4<0,d>0,520=￡L±^0<o,s21=^±^21>0,

S]]-§9=%+4o=q+。20<0，故有選項(xiàng)B正確；

、乩工「20（4+縱））八19,「n（n-\\da.20“

選項(xiàng)C：S=-------=-=0,解得：％=---d,S=na,H---------=--n~9H-----n,,

2022w121919

_aLn+20ai

n1919

所以數(shù)列I是以q<0為首項(xiàng)，公差為—色>0的等差數(shù)列，（先減后增，由題意知&<0,9m=0,

KnJ191920

當(dāng)左=19,20時(shí)，】取得最小值，選項(xiàng)錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：當(dāng)左=19和％=20時(shí)，1取得最小值，故[先減后增，；<0,d>0,且

鳥±<0,&=0,故三加=20,S，o=O,選項(xiàng)D正確；

1920

故選：BD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：熟練掌握并應(yīng)用等差數(shù)列求和公式是本題的關(guān)鍵，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，將題目轉(zhuǎn)化

為對(duì)具體項(xiàng)正負(fù)的判斷是本題的解題關(guān)鍵和突破點(diǎn)；

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)隨機(jī)變量XN（1Q2）,P（-l<X<3）=0.7,則P（XN3）=.

3

【答案】0.15##—

20

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性得到答案.

【詳解】因?yàn)閄N0Q2）,由對(duì)稱性可知P（X23）=g[l—P（—l<X<3）]=0.15.

故答案為:0.15

14.已知成對(duì)樣本數(shù)據(jù)（為，匕），（巧，％），…，（玉，％）（〃》2）中4,x2..4不全相等，且所有樣

本點(diǎn)（玉，y）（，=1,2,,〃）都在直線y=-2x+1上，則這組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)r=.

【答案】-1

【解析】

【分析】由所有樣本點(diǎn)都在一條直線上，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的意義，可得出答案.

【詳解】由題意，所有樣本點(diǎn)（七,y）（i=l,2,…,〃）都在直線y=-2x+100上，

所以這組樣本數(shù)據(jù)完全負(fù)相關(guān)，即相關(guān)系數(shù)為-1.

故答案為：-1.

15.已知直線丁="是曲線>=6’的切線，則實(shí)數(shù)％的值為.

【答案】e

【解析】

【分析】本題先設(shè)切點(diǎn)得到切線方程，再根據(jù)其過(guò)原點(diǎn)，代入解出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，最后得到左值即可.

【詳解】若>=1,則P=6"設(shè)曲線y=e，上切點(diǎn)的坐標(biāo)為（與,*）,

則切點(diǎn)處切線的斜率k=y'\=e%,

此時(shí)切線方程為：y_e*=e%（x_.）,

切線為y=依，則切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，即：0—e"=e%（0-

解得：%=1,貝ij：k=y|=e1=e.

故答案為：e-

16.河圖、洛書是我國(guó)古代流傳下來(lái)的兩幅神秘圖案，蘊(yùn)含了深?yuàn)W的宇宙星象之理，被譽(yù)為“宇宙魔方洛書

是世界上最古老的三階幻方（一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1,2,3,…，/填入"X"個(gè)方格中，使得每行、

每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等，這個(gè)正方形叫做〃階幻方).記〃階幻方的數(shù)之和為S“，則S4=

若S,,>2023,則n的最小值為.

三階幻方

【答案】①.136②.8

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得連續(xù)的正整數(shù)1,2,3,川，構(gòu)成一個(gè)公差為1,首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，然后利

用等差數(shù)列的求和公式求解即可.

【詳解】因?yàn)檎麛?shù)1,2,3,…，構(gòu)成一個(gè)公差為1,首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，且記”階幻方的數(shù)之和

為九

所以=(一+近,

"2

所以S,=3i￡=X=i36，

422

由=(Y+1)Y>2023,得(n2+1)?2>4046,

2

因?yàn)楫?dāng)〃=7時(shí)，(72+l)x72=2450<4046,

當(dāng)”=8時(shí)，(82+l)x82=4160>4046,

且當(dāng)時(shí)，(〃2+I)〃2隨〃的增大而增大，

所以當(dāng)S,>2023時(shí)，”的最小值為8,

故答案為：136,8

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.某商家為了提高服務(wù)質(zhì)量，專門開(kāi)設(shè)了顧客反饋熱線電話.熱線電話共有3個(gè)分機(jī)專供與顧客通話.設(shè)每

個(gè)分機(jī)在每一時(shí)刻占線的概率為1,并且各個(gè)分機(jī)是否占線是相互獨(dú)立的.

3

(1)求在某一時(shí)刻恰好有一個(gè)分機(jī)占線的概率；

(2)求任一時(shí)刻占線的分機(jī)個(gè)數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

4

【答案】⑴/

(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為1.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求出概率，得分布列，再根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可得數(shù)學(xué)期望.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)事件A="恰好有一個(gè)分機(jī)占線”，

則P⑷"舊“一】高

【小問(wèn)2詳解】

由于各個(gè)分機(jī)是否占線是相互獨(dú)立的，則X

，(；1丫4

所以P(X=O)=C；=5PX=1)=C

3>9

、nV(1丫1

P(X=2)=C；尸(X=3)=C；X-X1——

出“4727

故X的分布列為:

X0123

8421

P

279927

Q421

所以X的期望E(X)=0X￡+1X-+2X-+3X—=1.

\'279927

18.已知函數(shù)/⑺二非一僅無(wú)一仔.

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

(2)求f(x)在區(qū)間［0,3］上的最小值與最大值.

【答案】(1)/(力在區(qū)間仁,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間「雙|卜口(2,+8)上單調(diào)遞增

(2)/(X)的最大值為2,最小值為一1

【解析】

【分析】(1)利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)/(X)的增區(qū)間和減區(qū)間；

⑵分析函數(shù)“X)在區(qū)間［0,3］上的單調(diào)性，進(jìn)而可求得函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,3］上的最大值和最小值.

【小問(wèn)1詳解】

由題知/(x)=d—(2x—1)--x3-4x2+4x—1,

所以r(x)=3x?—8x+4=(3x—2乂%—2),

/、2

令/"(x)=。,解得x=§或x=2.

當(dāng)x變化時(shí)，/'(x),/(x)的變化情況如下表所示.

2

X2（2,+oo）

卜W）3

/'(X)+0—0+

/(X)A、A

由表可知“X)在區(qū)間(|,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間18,|卜口(2,+8)上單調(diào)遞增.

【小問(wèn)2詳解】

由⑴知，函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,|)和(2,3)上單調(diào)遞增，在區(qū)間2)上單調(diào)遞減,

所以函數(shù)/(x)的極大值為/［I］=0，極小值為/(2)=-1,

又/⑼=-1,"3)=2,

所以，函數(shù)/(x)=d—(2x—l)2在［0,3］上的最大值為2,最小值為一1.

19.記數(shù)列｛。“｝的前〃項(xiàng)和為5“，已知q=3,S,,+〃(〃+1)=解用.

(1)求｛q｝的通項(xiàng)公式；

(2)若對(duì)任意〃eN*，m>^-+4++之，求機(jī)的最小整數(shù)值.

333

【答案】(1)?！?2及+1

(2)2

【解析】

【分析】（1）由S,,與an的關(guān)系結(jié)合等差定義得出a?；

（2）法一，由錯(cuò)位相減法，結(jié)合不等式的性質(zhì)得出機(jī)的最小整數(shù)值；法二，令7；=?+*+,+2,證明

31323〃

n+2

是常數(shù)列，從而得出結(jié)合不等式的性質(zhì)得出，〃的最小整數(shù)值;

3"

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?“+〃(〃+1)=加”+],所以S,i+〃(〃-1)=(〃-1)?！?〃22),

兩式相減得4+2〃=的;“M—(〃一1)%,即<2?+1-an=2(/z>2),

又$+2=%，所以4—q=2,

所以｛4｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,

所以a”=3+(〃-1)X2=2"+1.

【小問(wèn)2詳解】

a_2n+l‘設(shè)小A?+

（法一）因?yàn)閚+/

3〃3〃

352/?+1352〃+1

所以空=要+孕++---------7+-r++

3"?3233

兩式相減得：21=1+2222〃+1

------1--------FH--------------------

332333〃3'用

221

--------------X一

323"32〃+1_412〃+1

1+

3，山33"3,,+1

32〃+1-n+2

所以北=2—-----------------=2-----------

2x3"2x3"3"

因?yàn)?；<2,所以機(jī)的最小整數(shù)值是2.

2〃+1〃+272+1

（法二）設(shè)2=支北=$+卷+…則"=十+寧

3"

〃+3n+2

所以〃用=------i----1---------

3"+i3"

〃+3n+2

所以<+I一北=_------i----1---------

3"+|3"

幾十3%+2〃+2

所以尹乜+,即任+是常數(shù)列.

3"3"

所以北+攀=4+字=2,所以（=2—竽?

因?yàn)?；<2,所以，"的最小整數(shù)值是2.

20.ChatGPT作為一個(gè)基于大型語(yǔ)言模型的聊天機(jī)器人，最近成為全球關(guān)注的焦點(diǎn).ChatGPT是一個(gè)超強(qiáng)的

AI,它能像人類一樣聊天交流，甚至能完成撰寫郵件、文案、寫論文、答辯、編程等任務(wù).專家預(yù)言，隨著

人工智能技術(shù)的發(fā)展，越來(lái)越多的職業(yè)可能會(huì)被ChatGPT或其他類似的人工智能工具所取代.某地區(qū)為了了

解ChatGPT的普及情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)從2023年1月至5月使用ChatGPT的用戶人數(shù)y（萬(wàn)人），詳見(jiàn)下表：

x（月份）12345

y（萬(wàn)人）3.66.411.718.827.5

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)信息及模型①y=or+匕與模型②y=ax2+b,判斷哪一個(gè)模型更適合描述變量x和），的

變化規(guī)律（無(wú)需說(shuō)明理由），并求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;

（2）為了進(jìn)一步了解人們對(duì)適應(yīng)人工智能所將帶來(lái)的職業(yè)結(jié)構(gòu)變化的自信程度（分為“基本適應(yīng)”和“不適應(yīng)”）

是否跟年齡有關(guān)，某部門從該地區(qū)隨機(jī)抽取300人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表:

基本適應(yīng)不適應(yīng)

年齡小于30歲10050

年齡不小于30歲7575

根據(jù)小概率a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該地區(qū)對(duì)職業(yè)結(jié)構(gòu)變化的自信程度是否與年齡有關(guān).

自利-〃32〃(…)2

b

附參考數(shù)據(jù)：'?-夕一"Z-/,,,-n-a+b+c+d.

一看(a+b)v(c+d)v(a+c)v(b+d)

1=1

555555

IX&-

/=1/=]/=1/=1Z=1/=1

1555979682641122

a0.150.10.050.0250.010.001

X。2.0722.7063.8415.0246.63510.828

【答案】（D模型②,y=x2+2.6

（2）認(rèn)為該地區(qū)對(duì)職業(yè)結(jié)構(gòu)變化的自信程度與年齡有關(guān)

【解析】

【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)分析，函數(shù)和一次函數(shù)模型差距較大，選擇模型②：丁=依2+8.然后結(jié)合線性回歸

分析，求得函數(shù)y=V+2.6;

（2）列聯(lián)表，計(jì)算卡方，然后對(duì)比a=0.01的數(shù)據(jù)，做出判斷即可；

【小問(wèn)1詳解】

選擇模型②：y^cuc+b.

記0=爐，則y=

-55y=竺=13.6,=1122,

由題知，w=—=11,