2025屆邢臺(tái)市重點(diǎn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2025屆邢臺(tái)市重點(diǎn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖的折線圖為某小區(qū)小型超市今年一月份到五月份的營業(yè)額和支出數(shù)據(jù)（利潤=營業(yè)額-支出），根據(jù)折線圖，下列說法中正確的是（）A．該超市這五個(gè)月中，利潤隨營業(yè)額的增長在增長B．該超市這五個(gè)月中，利潤基本保持不變C．該超市這五個(gè)月中，三月份的利潤最高D．該超市這五個(gè)月中的營業(yè)額和支出呈正相關(guān)2．已知，集合，則A． B． C． D．3．在三棱錐中，，，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．4．不等式>0的解集是（）A．（－，0）（1，+） B．（－，0）C．（1，+） D．（0，1）5．在△ABC中，如果，那么cosC等于（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列滿足，，則（）A．4 B．-4 C．8 D．-87．已知函數(shù)的最小正周期是，其圖象向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù).有下列結(jié)論：①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③函數(shù)在上是減函數(shù)；④函數(shù)在上的值域?yàn)?其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．48．閱讀程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果為()A． B． C． D．9．在四邊形中，，且·＝0，則四邊形是（）A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形10．經(jīng)過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)與平面垂直的平面有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．無數(shù)個(gè) D．1個(gè)或無數(shù)個(gè)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的模為______．12．如圖，在內(nèi)有一系列的正方形，它們的邊長依次為，若，，則所有正方形的面積的和為___________.13．已知，均為銳角，，，則______.14．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則角________.15．_____________.16．某四棱錐的三視圖如圖所示，如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該四棱錐最長棱的棱長為．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在中，，為內(nèi)一點(diǎn)，.（1）若，求；（2）若，求的面積.18．已知向量，，.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求向量與的夾角.19．已知曲線C：x2+y2+2x+4y+m=1．（1）當(dāng)m為何值時(shí)，曲線C表示圓？（2）若直線l：y=x﹣m與圓C相切，求m的值．20．交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指數(shù)值，記交通指數(shù)為，其范圍為，分別有五個(gè)級(jí)別：，暢通；，基本暢通；，輕度擁堵；，中度擁堵；，嚴(yán)重?fù)矶?在晚高峰時(shí)段（），從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個(gè)交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范蔚膫€(gè)數(shù)；(2)用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范沃泄渤槿?個(gè)路段，求依次抽取的三個(gè)級(jí)別路段的個(gè)數(shù)；(3)從(2)中抽取的6個(gè)路段中任取2個(gè)，求至少有1個(gè)路段為輕度擁堵的概率.21．已知（1）求的值；（2）求的最小值以及取得最小值時(shí)的值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)折線圖，分析出超市五個(gè)月中利潤的情況以及營業(yè)額和支出的相關(guān)性.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，五個(gè)月的利潤依次為：，其中四月比三月是下降的，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，五月的月份是一月和四月的兩倍，說明利潤有比較大的波動(dòng)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，五個(gè)月的利潤依次為：，所以五月的利潤最高，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)圖像可知，超市這五個(gè)月中的營業(yè)額和支出呈正相關(guān)，故D選項(xiàng)正確.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查折線圖的分析與理解，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

先求出集合A，由此能求出?UA．【詳解】∵U＝R，集合A＝{x|1﹣2x＞0}＝{x|x}，∴?UA＝{x|x}．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集的求法，考查補(bǔ)集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．3、D【解析】

結(jié)合題意，結(jié)合直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，得到兩個(gè)直角三角形，取斜邊的一半，即為外接球的半徑，結(jié)合球表面積計(jì)算公式，計(jì)算，即可．【詳解】過P點(diǎn)作，結(jié)合平面ABC平面PAC可知，，故，結(jié)合可知，，所以，結(jié)合所以,所以，故該外接球的半徑等于，所以球的表面積為，故選D．【點(diǎn)睛】考查了平面與平面垂直的性質(zhì)，考查了直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，難度偏難．4、A【解析】

由題意可得，，求解即可.【詳解】，解得或，故解集為（－，0）（1，+），故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式的解法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4可設(shè)a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，CosC=,選D6、C【解析】

根據(jù)遞推公式，逐步計(jì)算，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，所以，，.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查由遞推公式求數(shù)列中的項(xiàng)，逐步代入即可，屬于基礎(chǔ)題型.7、C【解析】

根據(jù)函數(shù)最小正周期可求得,由函數(shù)圖象平移后為奇函數(shù),可求得,即可得函數(shù)的解析式.再根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性判斷①②,利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷③,由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷④即可.【詳解】函數(shù)的最小正周期是則,即向右平移個(gè)單位可得由為奇函數(shù),可知解得因?yàn)樗援?dāng)時(shí),則對(duì)于①,當(dāng)時(shí),代入解析式可得,即點(diǎn)不為對(duì)稱中心,所以①錯(cuò)誤;對(duì)于②,當(dāng)時(shí)帶入的解析式可得,所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,所以②正確;對(duì)于③,的單調(diào)遞減區(qū)間為解得當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減區(qū)間為,而,所以函數(shù)在上是減函數(shù),故③正確;對(duì)于④,當(dāng)時(shí),由正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,,故④正確.綜上可知,正確的為②③④故選:C【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)和平移變換求得解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)判斷選項(xiàng),屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

按照程序框圖運(yùn)行程序，直到時(shí)輸出結(jié)果即可.【詳解】按照程序框圖運(yùn)行程序輸入，，則，滿足，，則，滿足，，則，滿足，，則，滿足，，則，滿足，，則，不滿足，輸出故選：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果的問題，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

由可得四邊形為平行四邊形，由·＝0得四邊形的對(duì)角線垂直，故可得四邊形為菱形．【詳解】∵，∴與平行且相等，∴四邊形為平行四邊形．又，∴，即平行四邊形的對(duì)角線互相垂直，∴平行四邊形為菱形．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查向量相等和向量數(shù)量積的的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解有關(guān)的概念，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解析】

討論平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)連線，與平面垂直和不垂直兩種情況.【詳解】（1）設(shè)平面為平面，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，此時(shí)，直線垂直底面，過直線的平面有無數(shù)多個(gè)與底面垂直；（2）設(shè)平面為平面，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，此時(shí)，直線與底面不垂直，過直線的平面，只有平面垂直底面.綜上，過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)與平面垂直的平面有1個(gè)或無數(shù)個(gè)，故選D.【點(diǎn)睛】借助長方體研究空間中線、面位置關(guān)系問題，能使問題直觀化，降低問題的抽象性.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、5【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡，然后代入復(fù)數(shù)模的公式，即可求得答案．【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的模為．故答案為5【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模的計(jì)算，其中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，和復(fù)數(shù)模的公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、【解析】

根據(jù)題意可知，可得，依次計(jì)算，，不難發(fā)現(xiàn)：邊長依次為，，，，構(gòu)成是公比為的等比數(shù)列，正方形的面積：依次，，不難發(fā)現(xiàn)：邊長依次為，，，，正方形的面積構(gòu)成是公比為的等比數(shù)列．利用無窮等比數(shù)列的和公式可得所有正方形的面積的和．【詳解】根據(jù)題意可知，可得，依次計(jì)算，，是公比為的等比數(shù)列，正方形的面積：依次，，邊長依次為，，，，正方形的面積構(gòu)成是公比為的等比數(shù)列．所有正方形的面積的和．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了無窮等比數(shù)列的和公式的運(yùn)用．利用邊長關(guān)系建立等式，找到公比是解題的關(guān)鍵．屬于中檔題．13、【解析】

先求出，，再由，并結(jié)合兩角和與差的正弦公式求解即可.【詳解】由題意，可知，則，又，則，或者，因?yàn)闉殇J角，所以不成立，即成立，所以.故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.14、【解析】

根據(jù)得，利用余弦定理即可得解.【詳解】由題：，，，由余弦定理可得：，.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)余弦定理求解三角形的內(nèi)角，關(guān)鍵在于熟練掌握余弦定理公式，準(zhǔn)確計(jì)算求解.15、【解析】,故填.16、【解析】

先通過拔高法還原三視圖為一個(gè)四棱錐，再根據(jù)圖像找到最長棱計(jì)算即可?！驹斀狻扛鶕?jù)拔高法還原三視圖，可得斜棱長最長，所以斜棱長為?！军c(diǎn)睛】此題考查簡單三視圖還原，關(guān)鍵點(diǎn)通過拔高法將三視圖還原易求解，屬于較易題目。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）求出，，中由余弦定理即可求得；（2）設(shè)，利用正弦定理表示出，求得，利用面積公式即可得解.【詳解】（1）在中，，為內(nèi)一點(diǎn)，，，所以，中，由余弦定理得：所以中，由余弦定理得：；（2），設(shè)，在中，，在中，由正弦定理，即，，所以，的面積.【點(diǎn)睛】此題考查解三角形，對(duì)正余弦定理的綜合使用，涉及兩角差的正弦公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系的使用，綜合性較強(qiáng).18、（1）；（2）【解析】

（1）由向量平行的坐標(biāo)表示可構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）利用向量夾角公式可求得，進(jìn)而根據(jù)向量夾角的范圍求得結(jié)果.【詳解】（1），解得：（2）又【點(diǎn)睛】本題考查平面向量共線的坐標(biāo)表示、向量夾角的求解問題；考查學(xué)生對(duì)于平面向量坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算掌握的熟練程度，屬于基礎(chǔ)應(yīng)用問題.19、（1）當(dāng)m＜2時(shí)，曲線C表示圓（2）m=±3【解析】解：（1）由C：x2+y2+2x+4y+m=1，得（x+1）2+（y+2）2=2﹣m，由2﹣m＞1，得m＜2．∴當(dāng)m＜2時(shí)，曲線C表示圓；（2）圓C的圓心坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），半徑為．∵直線l：y=x﹣m與圓C相切，∴，解得：m=±3，滿足m＜2．∴m=±3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的一般方程，考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．20、（1）輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范蔚膫€(gè)數(shù)分別為6，9，3；（2）從交通指數(shù)在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分別抽取的個(gè)數(shù)為2,3,1；（3）【解析】

（1）根據(jù)在頻率分布直方圖中，小長方形的面積表示各組的頻率，可以求出頻率，再根據(jù)頻數(shù)等于頻率乘以樣本容量，求出頻數(shù)；（2）根據(jù)（1）求出擁堵路段的個(gè)數(shù)，求出每層之間的占有比例，然后求出每層的個(gè)數(shù)；（3）先求出從(2)中抽取的6個(gè)路段中任取2個(gè)，有多少種可能情況，然后求出至少有1個(gè)路段為輕度擁堵有多少種可能情況，根據(jù)古典概型概率公式求出.【詳解】(1)由頻率分布直方圖得，這20個(gè)交通路段中，輕度擁堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(個(gè))，中度擁堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(個(gè))，嚴(yán)重?fù)矶碌穆范斡?0.1＋0.05)×1×20＝3(個(gè)).(2)由(1)知，擁堵路段共有6＋9＋3＝18(個(gè))，按分層抽樣，從18個(gè)路段抽取6個(gè)，則抽取的三個(gè)級(jí)別路段的個(gè)數(shù)分別為，，，即從交通指數(shù)在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分別抽取的個(gè)數(shù)為2,3,1.(3)記抽取的2個(gè)輕度擁堵路段為，，抽取的3個(gè)中度擁堵路段為，，，抽取的1個(gè)嚴(yán)重?fù)矶侣范螢?，則從這6個(gè)路段中抽取2個(gè)路段的所有可能情況為：，共15種，其中至少有1個(gè)路段為輕