安徽省黃山市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（教師版）

黃山市2022—2023學(xué)年度第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)高二數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】解一元二次不等式求集合A，再由交運(yùn)算求交集元素個(gè)數(shù).【詳解】由，而，所以，共有4個(gè)元素故選：C2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由點(diǎn)坐標(biāo)寫(xiě)出復(fù)數(shù)，應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘方、乘法運(yùn)化簡(jiǎn)即可.【詳解】由題意，則.故選：C3.已知平面向量，的夾角為，且，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由坐標(biāo)求的模，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求目標(biāo)式向量的模長(zhǎng)即可.詳解】由題意，，，所以.故選：B4.年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團(tuán)體錦標(biāo)賽在蘇州舉行.現(xiàn)將名志愿者分配到賽事宣傳、外事聯(lián)絡(luò)和酒店接待個(gè)部門(mén)進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到個(gè)部門(mén)，每個(gè)部門(mén)至少分配名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D【解析】【分析】利用分組分配的部分平均法，結(jié)合組合、排列數(shù)求分配方案數(shù).【詳解】由題意，志愿者按人數(shù)，可分組為、的形式，對(duì)于分組，分配方案有種；對(duì)于分組，分配方案有種；所以，共有種.故選：D5.數(shù)列中，，對(duì)任意正整數(shù)都滿足，數(shù)列，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題設(shè)，即得，結(jié)合已知等量關(guān)系及等比數(shù)列前n項(xiàng)和列方程求參數(shù).【詳解】由題意，又，則，，…，，累加得，所以，則，可得.故選：C6.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)易得，并判斷的周期，利用周期性、偶函數(shù)性質(zhì)求目標(biāo)函數(shù)值.【詳解】由題意關(guān)于對(duì)稱，即，且，所以，即，又，所以，即，所以，故的周期為4，則.故選：B7.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，其中，則在上的極值點(diǎn)有（）A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)【答案】C【解析】【分析】由三角恒等變換得，根據(jù)圖象對(duì)稱性得到，最后由極值點(diǎn)的定義求區(qū)間極值點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，且，所以，又，則，所以，在上，對(duì)于在上，有或或或，所以在上的極值點(diǎn)有4個(gè)極值點(diǎn).故選：C8.在三棱錐中，⊥底面，，，，則三棱錐外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】中應(yīng)用正弦定理求外接圓半徑，由線面垂直模型（棱垂直底面）求棱錐外接球半徑，進(jìn)而求外接球體積.【詳解】由題意，外接圓半徑為，又⊥底面，則棱錐外接球半徑，所以外接球的體積為.故選：A二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息，對(duì)樣本中的極端值更加敏感B.數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為C.已知，則D.當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義可判斷A，根據(jù)百分位數(shù)的定義可判斷B，根據(jù)條件概率公式可判斷C，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)，與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息，對(duì)樣本中的極端值更加敏感，A正確；B選項(xiàng)，數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)共個(gè)數(shù)，，則第百分位數(shù)為第五位數(shù)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，已知,則，C正確；D選項(xiàng)，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，D正確.故選：ACD.10.已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，，則（）A.直線與圓相離B.點(diǎn)到直線的距離可能大于C.當(dāng)最大時(shí)，D.滿足的點(diǎn)有且僅有個(gè)【答案】AC【解析】【分析】對(duì)A：用圓心到直線的距離與半徑相比即可判斷；對(duì)B：求出圓心到直線的距離加上半徑是否大于5即可判斷；對(duì)C：過(guò)點(diǎn)做圓靠下方的切線，求出此時(shí)的即可判斷；對(duì)D：以為直徑作圓，看該圓與圓有幾個(gè)交點(diǎn)即可判斷.【詳解】對(duì)A：直線的方程為，則點(diǎn)到直線的距離，所以A正確；對(duì)B：點(diǎn)到直線的距離的最大值為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)C：過(guò)點(diǎn)做圓靠下方的切線，此時(shí)，所以C正確；對(duì)D：以為直徑作圓，易知圓與圓有2個(gè)交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.如圖，已知棱長(zhǎng)為的正方體，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（）A.//平面B.直線與直線所成角的余弦值為C.點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離之比為D.以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為【答案】BCD【解析】【分析】連接，利用線面平行的判定證面，結(jié)合的位置關(guān)系判斷A；為中點(diǎn)，連接，利用異面直線所成角定義確定其平面角，進(jìn)而求余弦值判斷B；由對(duì)稱性知：到面距離相等，在棱臺(tái)中應(yīng)用等比例性質(zhì)判斷C；根據(jù)已知球體半徑判斷交線軌跡為四分之一圓弧，判斷D.【詳解】A：連接，由均為中點(diǎn)，則，面，面，所以面，而共面，且，故與面不平行，錯(cuò)；B：為中點(diǎn)，連接，則，則直線與直線所成角為或其補(bǔ)角，由面，則面，面，故，所以，則，故，對(duì)；C：由為的中點(diǎn)，則到面距離相等，而在棱臺(tái)的一條側(cè)棱上，結(jié)合棱臺(tái)上下底面的等比例關(guān)系，點(diǎn)到平面的距離之比為，故點(diǎn)到平面的距離之比為，對(duì)；D：以為球心，為半徑的球面與側(cè)面交線上的任意點(diǎn)為，則，即，故上述交線是以為圓心，1為半徑的四分之一圓弧，所以交線長(zhǎng)為，對(duì).故選：BCD12.已知拋物線，過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，分別過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則（）A.B.若，則的面積為C.若為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為D.若，則直線的傾斜角的正弦值為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，由拋物線的性質(zhì)可知，，可得，即可判定；

對(duì)于B，由，及，即可判定；

對(duì)于C，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，最大，此時(shí)最小，設(shè)直線的方程為，代入拋物線的方程可得，由，即可求解；

對(duì)于D，連接，可得，則，設(shè)出直線AB方程，聯(lián)立拋物線方程，即可求解．【詳解】對(duì)于A，由拋物線的性質(zhì)可知，所以，，又因?yàn)檩S，所以，，所以，，則有，得證，所以A正確；

對(duì)于B，設(shè)，由，可得，所以，代入拋物線的方程可得，可得，所以，所以B不正確；對(duì)于C，過(guò)作垂直于準(zhǔn)線于，

由拋物線的性質(zhì)可得，所以，則，

當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，最大，此時(shí)最小，設(shè)直線的方程為，代入拋物線的方程可得，即，由，可得，即直線的傾斜角為或，當(dāng)點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)，，則，所以．所以C正確；

對(duì)于D，由焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，代入拋物線的方程可得，即，設(shè)，，其中，，

則，，，，連接，可得，

則整理可得即，解得，則直線的斜率為，即，所以，故D正確．

故選：ACD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線相交，有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)(設(shè)焦點(diǎn)在x軸的正半軸上)，可直接使用公式，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．求解與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題的兩大轉(zhuǎn)換方法(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問(wèn)題得解．(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為80，則實(shí)數(shù)_________.【答案】【解析】【分析】寫(xiě)出展開(kāi)式通項(xiàng)公式，根據(jù)常數(shù)項(xiàng)求參數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，展開(kāi)式通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，則.故答案為：114.已知隨機(jī)變量，若，則_________.【答案】【解析】【分析】先由二項(xiàng)分布的均值，求出，再利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性、以及概率和為1求解.【詳解】由題可得，，所以，由正態(tài)分布曲線關(guān)于直線對(duì)稱，所以，故答案為：.15.已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)位于軸上方），若，則直線的斜率的值為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】設(shè)（），直線l方程為，依題意可得，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可表示出、，從而得解.【詳解】依題意，點(diǎn)位于軸上方且，則直線的斜率存在且不為，設(shè)（），則，，則可得，設(shè)直線l方程為，聯(lián)立直線與橢圓可得，顯然，，，，，解得，則直線的斜率為.故答案為：.16.已知對(duì)任意的恒成立，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】令，問(wèn)題化為在上恒成立，構(gòu)造研究單調(diào)性，討論、結(jié)合不等式恒成立，求關(guān)于的表達(dá)式，由此討論、，研究的最小值即可.【詳解】令，則，即在上恒成立，設(shè)，則，若，則恒成立，所以上遞增，令，則，當(dāng)，此時(shí)，即在上遞減，且趨向正無(wú)窮，趨向負(fù)無(wú)窮，不滿足恒成立；當(dāng)，則，時(shí)，遞減，時(shí)，遞增，所以，即，當(dāng)，恒成立；當(dāng)，，則；若，則，故，令，則，若得，所以上，遞減，上，遞增，故，則，即的最小值為；若，則，故，令，則，若得，所以上，遞減，上，遞增，故，則，即的最小值為；綜上，的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：換元法將問(wèn)題化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)的最小值關(guān)于的表達(dá)式是關(guān)鍵.四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知是公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，是與的等比中項(xiàng)，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等比中項(xiàng)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式列方程得，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和可得，進(jìn)而求基本量，寫(xiě)出通項(xiàng)公式即可；（2）應(yīng)用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求.【小問(wèn)1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d，由是與的等比中項(xiàng)，則，所以，且，整理得①，又，整理得②，由①②解得，，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，則，所以兩式相減得，所以.18.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求的值；（2）如圖，點(diǎn)在邊上，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理與三角恒等變換求解即可；（2）根據(jù)結(jié)合三角形面積公式可得，再根據(jù)余弦定理可得，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理得：，所以，所以．即，因?yàn)?，所以；【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，即，所以．中，由余弦定理得，所以，則，所以.19.如圖1，在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)分別是邊和的中點(diǎn)，將沿翻折到，連結(jié)，如圖2.（1）證明：；（2）當(dāng)平面平面時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，易得，進(jìn)而可得，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證結(jié)論；（2）由面面垂直的性質(zhì)得平面，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求面與面的法向量，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】連接交于點(diǎn)，在正方形中，分別是邊和的中點(diǎn)，易知，得，即，所以，根據(jù)翻折過(guò)程知：，，又，面，故平面，又平面，所以.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)面面，且交線為，又平面且，所以平面，結(jié)合（1）知：，由，，則，所以，，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，則，，設(shè)面的法向量為，則，取，則.設(shè)面的法向量為，則，取，則，即面與面夾角的余弦值為.20.某高中學(xué)校在5月20日召開(kāi)高三畢業(yè)典禮，為給高三學(xué)生創(chuàng)造輕松的氛圍，典禮上有一個(gè)“開(kāi)盲盒”游戲環(huán)節(jié)，主持人拿出10個(gè)盲盒，每個(gè)盲盒中裝有一個(gè)學(xué)校標(biāo)志建筑物的模型，其中有3個(gè)“校園”模型，4個(gè)“圖書(shū)館”模型，2個(gè)“名人館”模型，1個(gè)“科技館”模型.（1）一次取出2個(gè)盲盒，求2個(gè)盲盒為同一種模型的概率；（2）依次不放回地從中取出2個(gè)盲盒，求第2次取到的是“圖書(shū)館”模型的概率；（3）甲同學(xué)是個(gè)“科技狂熱粉”，特別想取到“科技館”模型，主持人為了滿足甲同學(xué)的愿望，設(shè)計(jì)如下游戲規(guī)則：在一個(gè)不透明的袋子中裝有大小完全相同的10個(gè)小球，其中9個(gè)白球，1個(gè)紅球，有放回的每次摸球一個(gè)，摸到紅球就可以取走“科技館”模型，游戲結(jié)束．現(xiàn)在讓甲同學(xué)參與游戲，規(guī)定甲同學(xué)可以按游戲規(guī)則最多摸球10次，若第10次還是摸到白球，主持人直接贈(zèng)予甲同學(xué)“科技館”模型．設(shè)他經(jīng)過(guò)第X次（X=1，2，…，10）摸球并獲得“科技館”模型，求X的分布列.【答案】（1）（2）（3）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用互斥事件的加法求2個(gè)盲盒為同一種模型的概率；（2）應(yīng)用全概率公式求第2次取到的是“圖書(shū)館”模型的概率；（3）根據(jù)步驟寫(xiě)出X的分布列即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)事件“2個(gè)盲盒都是“校園”模型”，事件“2個(gè)盲盒都是“圖書(shū)館”模型”，事件“2個(gè)盲盒都是“名人館”模型”，則與與為互斥事件，∵，，，∴2個(gè)盲盒為同一種模型的概率．【小問(wèn)2詳解】設(shè)事件“第次取到的是“校園”模型”，，設(shè)事件“第次取到的是“圖書(shū)館”模型”，，設(shè)事件“第次取到的是“名人館”模型”，，設(shè)事件“第次取到的是“科技館”模型”，.，，，，，，，∴由全概率公式知：第2次取到的是“圖書(shū)館”模型的概率為：.【小問(wèn)3詳解】∵，，，，，，，，，，1234567891021.已知函數(shù)，.（1）求的極值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷函數(shù)的極值；（2）參變分離后問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出的最大值，從而求出的范圍.【小問(wèn)1詳解】已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，有極大值，，無(wú)極小值，綜上：當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，極大值為，無(wú)極小值；【小問(wèn)2詳解】若，則在時(shí)恒成立，恒成立，令，令，