2023-2024學(xué)年河北省保定市曲陽縣高一年級下冊5月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年河北省保定市曲陽縣高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量

檢測試卷

注意事項(xiàng):

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

l+3i

Z—

1.已知復(fù)數(shù)1+產(chǎn),i為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.在i^ABC中,角B,C的對邊分別為a,b,c.若acosC+ccos/=a,則O3C的形狀一定

是

A.等腰三角形B.銳角三角形

C.直角三角形D.鈍角三角形

1=2,刃=(3,0),卜一“卜麗，則向量之在向量否方向上的投影向量為

3.已知向量6滿足

)

?0

A.(°B.C.r°D.

4.宋代是中國瓷器的黃金時(shí)代，涌現(xiàn)出了五大名窯：汝窯、官窯、哥窯、鈞窯、定窯.其中汝窯

被認(rèn)為是五大名窯之首.如圖1,這是汝窯雙耳罐，該汝窯雙耳罐可近似看成由兩個(gè)圓臺拼接而成,

其直觀圖如圖2所示.已知該汝窯雙耳罐下底面圓的直徑是12厘米，中間圓的直徑是20厘米，上

底面圓的直徑是8厘米，高是14厘米，且上、下兩圓臺的高之比是3：4,則該汝窯雙耳罐的體積

是（）

圖1圖2

1784兀1884兀2304兀2504兀

A.3B.3C.3D.3

5.從甲隊(duì)60人、乙隊(duì)40人中，按照分層抽樣的方法從兩隊(duì)共抽取10人，進(jìn)行一輪答題.相關(guān)統(tǒng)

計(jì)情況如下：甲隊(duì)答對題目的平均數(shù)為1,方差為1;乙隊(duì)答對題目的平均數(shù)為1.5,方差為0.4,

則這10人答對題目的方差為（）

A.0.8B.0.675C.0.74D.0.82

6.設(shè)加、〃為空間中兩條不同直線，々、2為空間中兩個(gè)不同平面，下列命題中正確的為（）

A.若加上有兩個(gè)點(diǎn)到平面々的距離相等，則機(jī)"0

B.若加〃u,，貝i]"機(jī)〃〃，，是“C”的既不充分也不必要條件

C.若a10,mua,〃u/7,則冽_L〃

D.若〃八〃是異面直線，"a,m\\/3t尸，〃〃巴貝產(chǎn)〃夕

CD=-BC=47

7.在“8C中，AC=2,。為45的中點(diǎn)，2,尸為CD上一點(diǎn)，且

AP=mAC+-AB

3,則iT?pl-卜（）

V31叵叵2而

A.4B.3C.2D.3

8.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)

學(xué)的對稱美.如圖所示，將正方體沿交同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三

棱錐，得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形的一種阿基米德多面體.已知/8=1,則關(guān)于圖中的

半正多面體，下列說法正確的有（）

5^/2

A.該半正多面體的體積為4

3也

B.該半正多面體過A,B,C三點(diǎn)的截面面積為4

C.該半正多面體外接球的表面積為班

D.該半正多面體的表面積為6+2月

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得。分）

9.某燈具配件廠生產(chǎn)了一種塑膠配件，該廠質(zhì)檢人員某日隨機(jī)抽取了100個(gè)該配件的質(zhì)量指標(biāo)值

（單位：分）作為一個(gè)樣本，得到如下所示的頻率分布直方圖，則（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的

中點(diǎn)值作代表）（）

頻率

0.035..............1—,

1--fh

0.015------

0.010—1--------..........1

。飛060708090拓質(zhì)衣指標(biāo)值/分

A.加=0.030

B.樣本質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為75

C.樣本質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)小于其平均數(shù)

D.樣本質(zhì)量指標(biāo)值的第75百分位數(shù)為85

10.設(shè)a/BC的內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若力>B,貝（］sin/>sin8

B.若/+〃</,則A48C為鈍角三角形

C=-

C.若。=10,c=8,3,則符合條件的azsc有兩個(gè)

D.若acos/=6cos8,則A48C為等腰三角形或者直角三角形

11.如圖，已知直三棱柱/8C-4耳G的所有棱長均為3,。，反尸”分別在棱/4,/?,上,

且4D=4E=8F=CG,〃,尸分別為的中點(diǎn)，則（）

A.DE//平面PFG

9

B.若M，"分別是平面4和內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值為K

3739

BF=-AB

C.若3，過尸，尸，G三點(diǎn)的平面截三棱柱所得截面的面積為4

D.過點(diǎn)A且與直線44和8c所成的角都為45°的直線有且僅有1條

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12.已知向量8C=（3,1），"°=（2,3）,40=（刈，一3）,若8c,。三點(diǎn)共線，貝配=.

13.已知在“3C中，內(nèi)角4民0所對的邊分別為見a°,點(diǎn)G是05c的重心，且

-G3+-G5+-GC=0

357,則角C的大小為.

14.如圖所示，直角三角形N3C所在平面垂直于平面a,一條直角邊“C在平面a內(nèi)，另一條直角

—ZBAC=-—

邊2c長為3且6,若平面a上存在點(diǎn)P,使得的面積為3,則線段。尸長度的最

小值為?

四、解答題（共5道大題，其中15題13分，16題、17題15分，18題、19題17分，共77分）

15.已知向量癡滿足。+'=（3］），。-25=（0,7）,

⑴求<人

⑵求2;

(3)若向量Z+7正與向量加￡+3的方向相反，求實(shí)數(shù)加的值.

16.某地統(tǒng)計(jì)局就該地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖

(每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示收入在口°0°/500).

O1000150020002500300035004000月收入/元

⑴求居民月收入在［3000,3500)的頻率；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

(3)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這10000人中用分層抽樣方

法抽出100人作進(jìn)一步分析，則月收入在［25°°，30°0)的這段應(yīng)抽多少人？

BC=CD=-AD=\

17.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，ADUBC,ADLDC,2,E為棱/。的中

點(diǎn)，P/JL平面"CD.

⑴求證：羽〃平面小后；

(2)求證：平面尸平面尸B。；

(3)若二面角尸-CD-/的大小為45°,求直線產(chǎn)/與平面心。所成角的正弦值.

18.在“8C中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,向量藐=(a,sin2N),3=(6,sinB),且

m//n

(1)求角力的大小;

⑵已知/=/+C2_4C,S/UMC=86,求|AB|+|/C|的直

773

19.如圖，已知三棱臺/8C-44￡的體積為E,平面力3旦4,平面BCGg,MBC是以B為

直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且=2N4=244=2BB、,

(1)證明：8C/平面43々4；

(2)求點(diǎn)B到面“CQ4的距離；

兀

(3)在線段CG上是否存在點(diǎn)尸，使得二面角F-/8-C的大小為片,若存在，求出CV的長，若不存

在，請說明理由.

1.B

【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法和乘方化簡復(fù)數(shù)z,再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可.

l+3il+3i(l+3i)(l+i)-2+4i1~

z-............=-------=-----------------=---------=-1+21

、辛版管粉2023

【r詳解】y復(fù)數(shù)1+i1-i('l-八i)(l+i)J2

所以在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)為(-1'2),

該點(diǎn)位于第二象限.

故選：B.

2.A

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合和角的正弦推理判斷即可.

［詳解］在中，由QCOsC+ccosZ=〃及正弦定理，sinAcosC+sinCcosA=sinA9

于是sin/=sin(/+C)=sinB,而0<4<兀,0<5<兀,0</+8<兀，貝=

所以A/BC是等腰三角形.

故選：A

3.C

同=37B二j

【分析】由題意可知：H,根據(jù)模長關(guān)系結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可得2,進(jìn)而可求投影向量.

【詳解】由題意可知：W=-

l-1r-irri2「2rrr

、"q—M"J10Q—b=a-2a-b+b2

因?yàn)镮?，則??,

一73

11a，b=—

即10=4-2Q-6+9,可得2,

閏中心。)

所以向量a在向量b方向上的投影向量為I6>').

故選：C.

4.D

【分析】求出上下圓臺的高，利用臺體體積公式求出答案.

14x------=6

【詳解】上、下兩圓臺的高之比是3：4,故上圓臺的高為3+4厘米，

4

14x——=8

下圓臺的高為3+4厘米，

兀仔+1()2+J16x100)

E=6x—----------------^二312兀

故上圓臺的體積為13立方厘米,

7i^2+102+736x100)1568

匕=8x

下圓臺的體積為33立方厘米,

15682504兀

匕+匕=312兀+----n=------

故該汝窯雙耳罐的體積為33立方厘米.

故選：D

5.D

【分析】根據(jù)分層抽樣的均值與方差公式計(jì)算即可.

10x里=6

【詳解】根據(jù)題意，按照分層抽樣的方法從甲隊(duì)中抽取100人,

1。工4

從乙隊(duì)中抽取100人,

—(6xl+4xl.5)=1.2

這10人答對題目的平均數(shù)為1°，

工「6。+1-1.22)+4(0.4+1.52-1.2個(gè)=0.82

所以這10人答對題目的方差為10L'''力

6.D

【分析】對于A,加與?？梢韵嘟唬本€僅上關(guān)于交點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)到平面的距離相等；對于

B,C,根據(jù)面面垂直的判定及性質(zhì)進(jìn)行判斷；對于D,根據(jù)面面平行的判定定理進(jìn)行判斷.

【詳解】對于A,當(dāng)直線力與a相交時(shí)，直線加上關(guān)于交點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)到平面的距離相等，故A

錯(cuò)誤；

對于B,若加上a,nu/3,m//n,則〃_La,又“uy?,所以a_L￡；當(dāng)a_L6時(shí)，mla,當(dāng)

加u/?時(shí)，nufi,%”可以相交，所以“機(jī)〃〃”是的充分不必要條件，故B錯(cuò)誤；

對于C,若加ua,nu/3,加與"位置關(guān)系不固定，可以是各自平面內(nèi)的任意直線，故

C錯(cuò)誤；

對于D,若加、〃是異面直線，mua,利||尸，"u#,”〃a,則在直線加任取一點(diǎn)尸，過直線

〃與點(diǎn)尸確定平面？，7n0=c,又〃〃々，貝p〃c,仁。，CO/7,所以c〃1,又團(tuán)|/,

"zua,cua,mQc=P,所以&〃力，故D正確

故選：D.

7.D

【分析】由中點(diǎn)可知根據(jù)模長關(guān)系可得古?赤=-2,設(shè)爐=2函，結(jié)合平面向

用田，而表示萬，結(jié)合模長運(yùn)算求解.

量的線性運(yùn)算以及基本定理可得

【詳解】因?yàn)椤镹8的中點(diǎn)，則

CD=~(C^L+CB+2CA-CB]7=-(4+28+2G4-CB)

可得4\4即4、),解得B-屈=-2,

又因?yàn)槭瑸?上一點(diǎn)，設(shè)少=為而,

___2___.___k1____

AP^AC+CP=AC+ACD^AC+A\-AB-AC=(i-A)AC+-AB=mAC+-AB

則12

1

「11=一

1—A=mm3

<1L2ULT2

—=—/L——CP=-CD

可得〔23,解得13即3

AP^AC+CP=-CA+^-[LCA+LCBV^CA+LCB

則3(22)33

皿4321mr411rLi1r52I—d2V13

AP=-CA+-CB2——CACB=——\AP\

可得9999,gpl?3

故選：D.

關(guān)鍵點(diǎn)睛：1.根據(jù)模長關(guān)系可得有?瓦=4；

1

m=—

3

一

2.設(shè)b=XCD,根據(jù)平面向量基本定理求得3.

3.以a，*為基底表示喜，進(jìn)而運(yùn)算求解.

8.D

【分析】先將該半正多面體補(bǔ)形為正方體，利用正方體與棱錐的體積公式判斷A,利用該半正多面

體的對稱性，得到截面為正六邊形與外接球的球心位置，從而判斷BC,利用正三角形與正方體的

面積公式判斷D.

【詳解】A：如圖，因?yàn)?5=1,

所以該半正多面體是由棱長為血的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的,

v?11(V2?V25V2

V=1^/2I—8x—X—x----x----=------

所以該半正多面體的體積為：<>,故A錯(cuò)誤;

B：根據(jù)該半正多面體的對稱性可知，過4WC三點(diǎn)的截面為正六邊形48。廠助,

—V3,2_3A/3

又AB=\,所以正六邊形面積為42,故B錯(cuò)誤；

C：根據(jù)該半正多面體的對稱性可知，該半正多面體的外接球的球心為正方體的中心,

即正六邊形N3C廠皮）的中心，故半徑為/8=1,

所以該半正多面體外接球的表面積為S=4無左=4無，12=物，故。錯(cuò)誤；

D：因?yàn)樵摪胝嗝骟w的八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形，棱長皆為1,

8x—xl2+6xl2=6+2>/3

所以其表面積為4,故D正確.

故選：D.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵有二，一是將該半正多面體補(bǔ)形為正方體，二是充分利用該半正多面

體的對稱性，從而得解.

9.ACD

【分析】運(yùn)用頻率分布直方圖中所有頻率之和為1及平均數(shù)、眾數(shù)、百分位數(shù)公式計(jì)算即可.

【詳解】對于A項(xiàng)，由題意知（0Q10+0Q15+加+0.035+0.010）x10=1,解得吁^。，故A項(xiàng)正

確；

對于B項(xiàng)，樣本質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為55x0.1+65x0.15+75x0.35+85x0.3+95x0.1=76.5,故B

項(xiàng)錯(cuò)誤；

70+80?…

---------=75<76.5

對于C項(xiàng)，樣本質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)是2,故C項(xiàng)正確；

對于D項(xiàng),前3組的頻率之和為（°。1°+°°15+°035卜10=0.60,前4組的頻率之和為

0.60+0.030x10=0.90,

故第75百分位數(shù)位于第4組，設(shè)其為，，

貝汁0-80）x0.030+0.60=0.75；解得/=85,

即第75百分位數(shù)為85,故D項(xiàng)正確.

故選：ACD項(xiàng).

10.ABD

【分析】利用正弦定理、余弦定理逐一判斷即可.

【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)大角對大邊，4>Bna>b,

根據(jù)正弦定理可得2Rsin/=a>Z）=2Rsin8,其中&為三角形外接圓半徑，

于是si威〉sinfi,A選項(xiàng)正確；

?a2+b2-c2八

cosC=--------------<0

B選項(xiàng)，根據(jù)余弦定理結(jié)合選項(xiàng)可知，2ab,

cp,兀］

由0￡（0,兀），進(jìn)而12九B選項(xiàng)正確；

ac.5A/31

--------------sinA----〉I

C選項(xiàng)，根據(jù)正弦定理，sin/sine,結(jié)合選項(xiàng)數(shù)據(jù)，得出8

故這樣的三角形不存在，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，若acos/=bcosB,由正弦定理，2Rsin/cos/=2及sinBcosB,

則sin2A=sin2B,貝|J2A=2B或者2/+25=兀，

A+B=-

即/=8,或者2,即“BC是等腰三角形或者直角三角形，D選項(xiàng)正確.

故選：ABD.

11.BC

【分析】根據(jù)線面平行的定義判斷A；求出點(diǎn)P關(guān)于平面和4/cq的對稱點(diǎn)的距離判斷

B；計(jì)算截面面積判斷C；找出與過點(diǎn)/且與直線和2c所成的角都為45°的直線條數(shù)判斷D.

【詳解】直三棱柱,BC-44G的所有棱長均為3,

對于A,由4D=4E=5F=CG,,sDE//BlCl//BC//FG

B

顯然尸GOE構(gòu)成一個(gè)平面，連接。REG,/d和40,

正方形44百5中，A［D=BF,設(shè)45rlz)/=。］,顯然△ZQq三△5F。］,

則4。小町即a為4s的中點(diǎn)，于是的=做，即a為妙的中點(diǎn)，

同理設(shè)40n￡G=°2,則°?為EG的中點(diǎn)，因此aa是A4BC中位線，

由4"為A/I'C中線，得P為。。2中點(diǎn)，因?yàn)?102u平面尸GED,

因此尸e平面尸GED,即平面PFG與平面尸GED為同一個(gè)平面，則在平面尸F(xiàn)G內(nèi)，A錯(cuò)誤;

對于B,顯然平面與平面所成銳二面角大小為60°,

3-

計(jì)算可得點(diǎn)“到平面4和4/CG的距離4,由選項(xiàng)A知，P是的中點(diǎn)，

373

則點(diǎn)P到平面4"網(wǎng)和4/CG的距離8,令點(diǎn)尸關(guān)于平面4"班|和4"CG的對稱點(diǎn)分別為

M,M

則當(dāng)M,N分別取直線MIM與平面//呂4和A.ACC,的交點(diǎn)時(shí)，4MNP的周長最短,

|PMl|=|尸M|=速,NM/N]=120°9

MN1t

由4得4

9

所以周長的最小值為W,B正確；

對于C,由選項(xiàng)A知，D,E在過尸，F(xiàn),G三點(diǎn)的平面內(nèi)，截面為四邊形尸GEO,

1I1八c、3739

-x./10—x(l+2)-----

DE=\,FG=2,DF=EG=s/i0

,則截面面積為2V44C正確;

對于D,顯然E,BC,過點(diǎn)”作2C的平行線8'C',則/4'8'C',

與“4成45°的所有直線構(gòu)成以/為頂點(diǎn)的兩個(gè)對頂圓錐（24為軸），

同理與B'C'成45°的所有直線構(gòu)成以A為頂點(diǎn)兩個(gè)對頂圓錐（8'?！癁檩S）,

而'4與BC'所成角90°,因此圓錐面上公共直線共有兩條，

所以過點(diǎn)A且與直線/4和2C所成的角都為45°的直線有2條，D錯(cuò)誤.

故選：BC

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及空間圖形中幾條線段和最小的問題，把相關(guān)線段所在的平面圖形展開并放在同一

平面內(nèi)，再利用兩點(diǎn)之間線段最短解決是關(guān)鍵.

12.76

【分析】求出無，再利用共線向量的坐標(biāo)表示求出加.

【詳解】依題意，函=屈-%=（加-2,-6）,由-c,。三點(diǎn)共線，得前//函，

貝I」加一2=-18,所以加=-16.

故T6

2兀

13.3

3

—c

7

【分析】根據(jù)重心性質(zhì)可得G0=—@+G'）,代入己知，結(jié)合平面向量基本定理可得b=~c

7

然后由余弦定理可解.

【詳解】記/BIC,。的中點(diǎn)分別為0E,尸,

貝ijGA+GB=2GD,

由重心性質(zhì)可知，GC=-2GD,所以=-回+儂）,

7/7—3c--76—5c---

q0+2瓦一|(G2+G5)=O即

所以352135

3

a=-c

7

7。-3。=075

b=—c

由平面向量基本定理可知lb-5c=0即7

92252

2.722----cH------c

a+b—c4949

cosC=

3

lab2XCXAC2

所以,77

因?yàn)椤恪辏ā闶觯ヽ=-

,所以3

271

故3

14.3##3

【分析】由題意，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面/8C,利用線面垂直的性質(zhì)可得8c4CP,

CP=，由三角形的面積公式可得利二熹，即可求解.

進(jìn)而

BC=—ZBAC=-4B=2百

【詳解】在RM4BC中，BC3，々"6,則3,

又平面43cla,平面ABCna=/C,ZCJL5C,BCu平面A8C,

所以2C1平面N3C,連接CP,CPua,所以8c

設(shè)ZABP=9（0＜。＜兀）,

5.?p=-AB-BPsin0-=----BPsm0BP=」~

則"*BP2，即323，得sin。

當(dāng)sin。=1即2即/BLBP時(shí)，2尸取到最小值1,

此時(shí)CP取到最小值

底

CP=

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是利用勾股定理和三角形面積公式計(jì)算得到

SP=—!—.”，

sin。，而smOWl,即為所求.

15?⑴17

叵

⑵2

(3)-1

【分析】（1）首先求出之、石的坐標(biāo)，從而得到。-6的坐標(biāo)，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算可得;

1一7

—a+b

（2）求出2的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法計(jì)算可得；

（3）首先求出。+心1與加。+區(qū)的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出加，再代入檢驗(yàn).

【詳解】⑴因?yàn)?+'=（3/），2B=（O,7）,

所以31=2斛不＞”2分=2(3,1)+(0,7)=(6,9),貝即=(2,3)

所以B=(31)_(2,3)=(1,-2),

所以八?。?,3）-0,-2）=。5）

ul,,5-（3-ft）=2xl+3x5=17

所以11

-5+6=-（2,3）+（1,-2）=

（2）因?yàn)?2

1一F后

—a+b

所以2

（3）因?yàn)槿f=（2,3）,在=。，-2）,

所以5+加B=（2,3）+加（1,-2）=（2+掰,3—2加）

ma+b=m（2,3）+（1,-2）=（2m+1,3m-2）

因?yàn)镼+加B與次a+B共線,

則（3-2%）（2心+1）=（2+加）（3加-2）,解得機(jī)=1或機(jī)=T,

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，?萬+）=（3,1）,a+mb=（3,l）＞^+mb=m2+b,

此時(shí)。+加3與加。+l方向相同，不符題意；

當(dāng)m=-l時(shí),—+3=（1,5）,[+法=（_1,-5）,則"而=-3+不）,

此時(shí)￡+版與拓+書方向相反，符合題意；

綜上可得相=T.

16.（1）0.15

（2）2400元

（3）25人

【分析】（1）根據(jù)圖中[300°，35。0）所對應(yīng)的頻率/組距的值，乘上組距，即可得到月收入在

[3000,3500）的頻率.

（2）通過比較幾個(gè)區(qū)間的頻率之和與0.5的關(guān)系，判斷出中位數(shù)所在區(qū)間，進(jìn)而求出樣本數(shù)據(jù)的

中位數(shù).

(3)根據(jù)表格先居民月收入在［25°°，3000)的頻率，接著計(jì)算10000人中月收入在［25?！?，3。00)的

人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣抽出100人，計(jì)算得出月收入在［250°，3000)的這段應(yīng)抽取的人數(shù).

【詳解】(1)月收入在3500)的頻率為：

0.0003x(3500-3000)=0.15

二居民月收入在［3000,3500)的頻率為0.15.

(2)0.0002x(1500-1000)=0.1,

0.0004x(2000-1500)=0.2

0.0005x(2500-2000)=0.25,

0.1+0.2+0.25=0.55>0.5,

0.5-(0.1+0.2)

2000+------------------L=2000+400=2400

??.樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為0-0005

??.樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2400元.

(3)居民月收入在MO,3000)的頻率為：

0.0005x(3000-2500)=0.25,

.*.10000人中月收入在［250°，3000)的人數(shù)為：

0.25x10000=2500

再從10000人中分層抽樣方法抽出100人，

則月收入在［25°°，3000)的這段應(yīng)抽?。?/p>

???月收入在［25°°，30°0)的這段應(yīng)抽25人.

17.(1)證明見解析

(2)證明見解析

V3

⑶3

【分析】(1)由題意可證四邊形3CE”為平行四邊形，則23//EC,結(jié)合線面平行的判定定理即可

證明；

(2)如圖，易證3。工EC,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定定理可得2。上平面尸結(jié)合面面垂直

的判定定理即可證明；

(3)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定定理可得一尸以為二面角尸一°一/的平面角，即NP以=45°,

作由面面垂直的性質(zhì)確定為直線產(chǎn)/與平面尸&D所成的角，即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)?C//NE且BC=4E,所以四邊形BCE”為平行四邊形，

則48//EC,又482平面2?！?ECu平面尸CE,

所以48//平面尸CE；

(2)由"_L平面/8C。，BOu平面得PALBD,

連接8E,由2C//OE且3c=OE,

所以四邊形BCDE為平行四邊形，又DE,CD,BC=CD=1,

所以平行四邊形8CDE為正方形，所以3。工EC,

又ABIIEC,所以BD,又尸4n48=4"、4Bu平面P48,

所以平面尸由8。u平面尸30,

所以平面尸8。，平面PAB；

(3)由尸平面/BCD,CDu平面/BCD,所以P/LCD,

又CZ)_LAD,PAHAD=A,PA.ADc[gjPAD,

所以CD，平面p/。，又尸。U平面P/。，所以CD，尸。，

故一尸口4為二面角尸-CD-4的平面角，即NPD4=45°,

在必△尸40中，PA=AD=2,作㈤WJ.尸2,垂足為M,

由(2)知，平面平面尸48,平面P3。口平面尸4B=P5,/Mu平面尸48,

所以平面PBD,則尸田為直線在在平面尸BD上的投影，

所以ZAPM為直線AP與平面PBD所成的角，

PA-AB2-V22V3

AM=

AB=CE=0PA=2邢=巫PB一a一亍

在Rt^PAB中,,所以

273

sinZAPM=—亍

在Rt^AMP中,AP23,

V3

即直線/P與平面尸8。所成角的正弦值為3.

【分析】（1）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算及正弦定理得sin/sinB=2sinBsin/cos/,化簡得

,1

COS>4—_

“-2,根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可；

（2）方法一：結(jié)合題干利用余弦定理求得°=4,再代入面積公式求得c=8,利用數(shù)量積定義求得

萬.就=16,即可解答;

方法二：根據(jù)三角形面積公式求得尻=32,進(jìn)而利用數(shù)量積的定義求得方?次=16,再利用余弦

定理和題干求得6=4和。=8,即可得解.

［詳解］（1）由向量加=Qsin2/）,n=（b,sinB）,且加〃“，得asinB=bsin2Z,

禾U用正弦定理可得sin4sin8=2sinBsinAcosA,

,1

cos力—_

又sin/sin5w0,所以2cosZ=l,可得2.

1

又“€（0,兀），所以A=3.

b1+C1—a21

（2）方法一：由（1）得2bc2,即〃+。2一/=A.

由。2=〃+。2-4生得4。二6。，得6=4.

S=—bcsinA=6c=8^3

又2可得。=8,

TT

AB-AC=AB-ACcosA=8x4xcos-=16

此時(shí)3

ABAC_16_4

所以I萬1+1%「百

kI

cosA=—sin/=——S.?r=-bcsinA-8>/3

方法二：由（1）得22,又向C2可得be=32,

AB-AC=AB-ACcosA=32xcos-=16

此時(shí)3,

.b2+c2-a21

由余弦定理可得_2bc_2,即〃+/_/=兒，

由/=6?+(?-4c,得4c=6c,得6=4,

由6c=32,可得c=8,

AB-AC164

^\AB\+\AC\~I^~3

19.(1)證明見解析

2后

⑵7

CF2

(3)存在，5

【分析】（1）根據(jù)棱臺的性質(zhì)、長度關(guān)系和勾股定理可證得/4,8片；由面面垂直和線面垂直的

性質(zhì)可證得結(jié)合8CL/8可證得結(jié)論；

⑵延長外網(wǎng)e交于-點(diǎn)2，根據(jù)'R一產(chǎn)…心可求得腺-，利用體積橋

—BC=VB-PAC可構(gòu)造方程求得結(jié)果；

（3）根據(jù)線面垂直和面面垂直性質(zhì)可作出二面角的平面角，設(shè)莊=",根據(jù)幾何關(guān)系可表示出

DE,由二面角大小可構(gòu)造方程求得,，進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】（1）連接“與，

在三棱臺N3C-44G中，ABHAXB｝；

4B=2,4=244=254，...四邊形ABB4為等腰梯形且=ABAAX=60°,

設(shè)45=2x,則網(wǎng)=匕

由余弦定理得.=AB2+BB；—2AB-BB、cos60°=3x2

AB2=ABf+BB；AB_L網(wǎng).

，X，

...平面/8片4，平面BCGA,平面”8514n平