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絕密★啟用前
吉安市2024屆高三
吉水中學(xué)吉安縣立中學(xué)峽江中學(xué)
永豐中學(xué)井岡山中學(xué)泰和中學(xué)
六校協(xié)作體5月聯(lián)合考試
數(shù)學(xué)試卷
試卷共4頁(yè),19小題,滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng):
L答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡指定位置上.
2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改
動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上.寫在本
試卷上無效.
3.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后,請(qǐng)將答題卡交回.
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是
符合題目要求的.
QI,
1.已知z=一里是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)。=()
2+i
33
A.----B.1C.—D.2
22
2.若5=(1,%),加=(也-2),且,+可=,_可,則%=()
A.72B.-72C—正D.正
22
3.已知圓。:k+丁2—6x+8=0與直線區(qū)―y+2=0有公共點(diǎn),則整數(shù)左的值為()
A.-3B.-lC.lD.2
4.已知三棱錐A-BCD的所有棱長(zhǎng)均為6,點(diǎn)及E分別在棱BC,8。上,EF//CD,EF=4,則四棱錐
A—CDEE的體積為()
A.10#>B.8A/3C.IOA/2D,8A/2
5.為營(yíng)造歡樂節(jié)日氣氛、傳承傳統(tǒng)習(xí)俗,同時(shí)又要確保公共安全,某市決定春節(jié)期間對(duì)煙花爆竹燃放實(shí)施
“禁改限”,規(guī)定可以在農(nóng)歷正月初一到初六及十五在市區(qū)兩個(gè)規(guī)定區(qū)域燃放煙花爆竹,甲、乙兩人各
自決定從這7天選1天去A,5中的一個(gè)區(qū)域燃放煙花爆竹,若甲、乙兩人不在同一天去同一個(gè)地方,則去
的種數(shù)為()
A.35B.84C.91D.182
6.若a>b>2,且加(a—l)=(b————?jiǎng)t實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()
C11(11「1)「1A
A.0,-B.-co,-C.一,+8|D.-,1
x-V
7.若sinx+cosx=2V2cossin-------,貝Utany=
T~4
A.-2B.2C.-lD.l
8.已知正項(xiàng)數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和滿足2S〃=a〃+一(“eN”),若〃")=不+不+不++—,記
[根]表示不超過加的最大整數(shù),貝亞"400)]=()
A.37B.38C.39D.40
二、多選題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目
要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.比亞迪將在2024年發(fā)布第二代刀片電池,能量密度更高,帶來更長(zhǎng)的續(xù)航里程,更耐低溫,除此之外還
將發(fā)布1000V高壓Sic平臺(tái),實(shí)現(xiàn)充電5?8分鐘續(xù)航500公里.已知在每款新能源電車正式發(fā)布前要對(duì)每
輛車進(jìn)行續(xù)航、抗壓等相關(guān)系數(shù)的測(cè)驗(yàn),現(xiàn)隨機(jī)抽取將要上市發(fā)布的8臺(tái)新能源電車進(jìn)行續(xù)航系數(shù)測(cè)評(píng),
得到下列一組樣本數(shù)據(jù):1,2,3,4,1,5,1,2,則()
A.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1B.這組數(shù)據(jù)的極差為3
C.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2.5D.這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為2
22
10.已知點(diǎn)A8是橢圓c:上+上=1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且不與C的頂點(diǎn)重合的兩點(diǎn),。的左、右焦點(diǎn)分別為
43
耳,鳥,點(diǎn)。為原點(diǎn),則(
A.C的離心率為一
2
B.的值可以為3
C.\AF2\+\BF2\=4
315
D.若A耳心的面積為,,則仙周-3居|=1
11.已知函數(shù)/(x)=sinxsinx-cos2x,則
A./(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(兀,0)對(duì)稱
B"(x)的值域?yàn)椴?,2]
C.若方程/■(>)=-]在(0,機(jī))上有6個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是[?,一)
6
D.若方程[/(x)]2-2af(x)+1=l(aeR)在(0,2兀)上有6個(gè)不同的實(shí)根%(z=l,2,,6),則工七
Z=1
的取值范圍是(0,3兀)
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.設(shè)集合A={1,2,3,4},3=<x:x<4>,則集合Ac5的子集個(gè)數(shù)為..
2
13.已知「ABC的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a,b,c,且。2+2°2=3?,貝hosA的最小值為
22
14.在以。為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中,F(xiàn)'和F分別為雙曲線C:?-3=l(a〉0,6〉0)的左、右焦點(diǎn),
ab'
點(diǎn)A為C右支上一點(diǎn),且Q4尸是以A為頂點(diǎn)的直角三角形,延長(zhǎng)E4交C的左支于點(diǎn)3,若點(diǎn)A為線
段3尸上靠近點(diǎn)F的五等分點(diǎn),則C的離心率為.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)已知函數(shù)/(x)=e*T—av—a(acR).
(1)當(dāng)a=2時(shí),求曲線y=/(x)在x=l處的切線方程;
(2)若函數(shù)/(%)有2個(gè)零點(diǎn),求。的取值范圍.
16.(15分)2023年10月國(guó)家發(fā)改委、工信部等部門聯(lián)合印發(fā)了《加快“以竹代塑”發(fā)展三年行動(dòng)計(jì)劃》,
該計(jì)劃將推動(dòng)“以竹代塑”高質(zhì)量發(fā)展,助力減少塑料污染,并將帶動(dòng)竹產(chǎn)業(yè)新一輪的增長(zhǎng).下表為2019年
—2023年中國(guó)竹產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值規(guī)模V(單位:千億元),其中2019年—2023年的年份代碼x依次為1-5.
12345
y2.893.223.824.345.41
(1)記第i+1年與,年(i=L2,3,4)中國(guó)竹產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值規(guī)模y差值的2倍的整數(shù)部分分別為“,從
小,〃2,%,%中任取2個(gè)數(shù)相乘,記乘積為X,求X的分布列與期望;
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)及相關(guān)系數(shù),判斷能否用線性回歸模型擬合中國(guó)竹產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值規(guī)模y與年份x之間的關(guān)
系.
參考數(shù)據(jù):2%=19.68,方玉%=65.20£(%-7)2?1.99,VW?3.16.
z=li=lVi=l
-呵
相關(guān)系數(shù)r=彳旦[若W..0.75,則認(rèn)為V與x有較強(qiáng)的相關(guān)性.
£(x,.-%)2J(x-y)2
Vi=li=l
17.(15分)如圖,GAB為圓錐。。2的軸截面,點(diǎn)C為圓°2上與AB不重合的點(diǎn).
(1)在線段AC上找一點(diǎn)E,使平面。。2七,平面0AC,并證明你的結(jié)論;
(2)若平面QA3,點(diǎn)C,。在平面0A3的兩側(cè),O02=3,AB=2,AC=RO[D=3,求平
面O.AC與平面0即夾角的余弦值.
18.(17分)已知點(diǎn)4(%,%),3(%2,%),。(毛,%)是拋物線用:丁2=221](口>0)上不同三點(diǎn),直線
AB,AC與拋物線與:Y=2p2y(P2>0)相切.
⑴若直線AB的斜率為2,線段的中點(diǎn)為。(2,2),求耳,馬的方程;
(2)若Pi,P2為定值,當(dāng)A,8,C變動(dòng)時(shí),判斷%+%+%是否為定值,若為定值,求出該定值;若不為
定值,請(qǐng)說明理由.
19.(17分)初中學(xué)過多項(xiàng)式的基本運(yùn)算法則,其實(shí)多項(xiàng)式與方程的根也有密切關(guān)聯(lián).對(duì)一組變量
%,%2,,xn,幕和對(duì)稱多項(xiàng)式6(和孫…,%)=2七*,左,“eN*,且?,尤”)=72;初等對(duì)稱多
Z=1
項(xiàng)式外(七,%2,一,%)表示在石,工2,,,工"中選出左(%cN*)個(gè)變量進(jìn)行相乘再相加,且
eo(xi,x2,rxjul.例如:對(duì)玉,々,13,,=1,耳=%+尤2+%,02=玉々+%退+玉%,03=%工2尤3.已知三
次函數(shù)/(1)=。0%3+%£+。2%+。3有3個(gè)零點(diǎn)國(guó),%2,龍3,且。0=1?記號(hào)=片(玉,%2,項(xiàng)),
(1)證明:/=以?(一1)%(左=0,1,2,3);
(2)(i)證明:鳥—,尾+4耳—q式)二0;
3
(ii)證明:£(-1)&?e/Mt=0(帆.3,且weN*);
k=0
(3)若%+/+%3=1,%:++x;—2,X;+%;+X;—3,求入;+x|+.
吉安市2024屆高三
吉水中學(xué)吉安縣立中學(xué)峽江中學(xué)
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六校協(xié)作體5月聯(lián)合考試
皿.J、/.、1九
數(shù)學(xué)試卷
I.【答案】C
2
(3+〃i)(2-i)_6-3i+2m-m(6+Q)+(2〃—3)i
3+ai-——V------結(jié)合題意,則
【解析】由z=W(2+i)(2-i)-4+1
r\Qq
第二=0,解得。=士.故選C.
52
2.【答案】D
【解析】k+,=%一可兩邊平方得。e=0,所以lxa+%.(—2)=0,解得x.故選D.
3.【答案】B
【解析】由題意可知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—3了+寸=1,圓心為(3,0),半徑/?=1所以
—0+2|,----R_Q,C
於+(『I'得|3k+2|”jR+i,即8/+12k+3,,0,可得一;二張灰,故左=—1.故
選B.
4.【答案】C
【解析】由EF=4,CD=6,可得EC=ED=2,則%棱柱“FE=/三棱制"取跖的中點(diǎn)。,易
知。為.BCD的中心,則4。,平面BCD,AO=[AB?-OB?=2瓜,故
V四棱錐A-COFE=|匕棱錐A-BC。=:*!義¥*36義2A/6=10A/2,故選c.
5.【答案】D
【解析】甲、乙兩人不在同一天去同一個(gè)地方的種數(shù)為C;x2xC;x2—7x2=182.故選D.
6.【答案】A
[n〃一]
【解析】由加(a-l)=(b-l)ln(a-l)-(b-l)ln(b—1),得加=丁.,設(shè)
b-1b-1
In〃-1
—=x,則X〉L—=則,設(shè)〃x)=^(x>l),貝ur(x)=^^,當(dāng)xw(l,e)時(shí),
b-1"1xxx
/'(x)>0,〃x)單調(diào)遞增,當(dāng)xw(e,+")時(shí),/'(x)<0"(x)單調(diào)遞減,所以)(%),,/(e)=工,又
e
x>l,/(x)>0,所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是]o,g.故選A.
7.【答案】C
【解析】因?yàn)閟inx+cosx=J^sin\X+~V+—|+――-
[24J2
Si"晝+*早+展段4卜嚀=23[晝+伊w
,所以
.(x+y兀)x-y(x+y兀).x-y
sin-+—cos-cos-+—sm—=0,即
(24j2(24j2
x+y7ix-y=sin卜+小=0,
sin----------1-----------------所以y=(左eZ),tany=-1.故選C.
242
8.【答案】B
【解析】當(dāng)"=1時(shí),2a,=?1+—,%〉(),.,.6=1.當(dāng)幾.2時(shí),由2S“=4+,,及a“=S”—S“T
4an
得,S:-S;i=l,所以數(shù)列同}是以S;=4=1為首項(xiàng)、i為公差的等差數(shù)列,因此
s;=1+("—1)4=〃,則S"=6?,/(")=g+g+g++g=l+++]++白,又當(dāng)"-2
1_22
時(shí),=2(?-
A/H2Gy[n+>J'n-l
.?./(400)<1+2X(A/2-1)+2X(A/3-72)++2X(^/55^—7^)=1+2X(^/55^—1)=39,對(duì)于
/eN*,;=i〉2=2(J〃+1-冊(cè))
\n27rl\n+\n+\
.?./(400)〉2x[(后—1)+(省—行)++(A/40T-7400)]=2(V40T-1J>38,[/(400)]=38.
故選B.
9.【答案】AD(每選對(duì)1個(gè)得3分)
【解析】數(shù)據(jù)從小到大排列為1,1,1,2,2,3,4,5.對(duì)于A,該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1,故A正確;對(duì)于B,極差為
5-1=4,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,平均數(shù)為-------------------=一,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,因?yàn)?/p>
88
8x40%=3.2,所以這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)2,故D正確.故選AD.
10.【答案】ACD(每選對(duì)1個(gè)得2分)
【解析】橢圓。:二+乙=1中,a=2,b=5c=l,離心率為一,A正確;
432
|幺同=2|。網(wǎng)>2b=2百>3,B錯(cuò)誤;由對(duì)稱性可得忸閶=|A周,所以
|A^|+|B^|=|A^|+|A^|=2a=4,C正確;不妨設(shè)A在第一象限,A(x0,%),則
133/3、33515
S=亍,%=7,則則|A閭=1,|4耳]=4—7=用=彳,故D
正確.故選ACD.
11.【答案】BC(每選對(duì)1個(gè)得3分)
【解析】因?yàn)?(x)=sinx|sinx|-cos2x,所以/(2?!獂)=-sinx|sinx|-cos2x豐-f(x)"(x)的圖象
不關(guān)于點(diǎn)(兀,0)對(duì)稱,A錯(cuò)誤;當(dāng)sinx.O時(shí),f(x)=3sin2x-1,-If$sin2x-12,當(dāng)siiu<0時(shí),
/(x)=sin2%-1,-1<sin2x-1,,0,綜上得—1期(x)2,B正確;當(dāng)sinx.O時(shí),由/'(力=一],得
sinx=1,當(dāng)sim:<0時(shí),由/'(x)=—得siru=—所以方程/'(>)=—;在(0,+")上的前7個(gè)
.,,,,兀5兀4兀5兀13兀17兀1°兀「L…17兀1°兀,
實(shí)根a分別n為sr:,▼,:-,二,^一,^二,二一,所以^―</,一「,C正確;由
663366363
[/(x)F—24(1)+4=1得/'(x)=a—1或/(x)=a+l,所以/(x)=°-1有4個(gè)不同的實(shí)根,
/、—1<6Z—1<0,
〃x)=a+l有2個(gè)不同的實(shí)根,所以jo<Q+]<2所以設(shè)%1<%2<%3y<%6,則
66
%+%=%+演=兀,叫+工6=3兀,所以£玉=5萬,所以七的取值范圍是(0,5兀),D錯(cuò)誤.故選
i=li=l
12.【答案】4
【解析】由題意可得Ac3={2,3},故Ac5的子集個(gè)數(shù)為2?=4.
13.【答案W
3
*+,「2
【解析】由題意可得批=,由余弦定理可得
3
(b2+2c2}
,,,從+°2-
I3J12b2+c2_1-
COS」+C「J----------
2bc2bc32bc~3
bc
—+一,因?yàn)椤?gt;03>0,c>0,所以cosA>0,所以Ae0,5,所以根據(jù)基本不等式
c2b
bc.32beh21
cosA=--—+一,當(dāng)且僅當(dāng)'=上,即勺=上時(shí)等號(hào)成立.
3c2bc2bC22
14.【答案】叵
2
【解析】由點(diǎn)A為線段BE上靠近點(diǎn)E的五等分點(diǎn),不妨設(shè)|A同=加,貝U忸耳=5加,忸H=47%,連接
BF',A尸.由雙曲線的定義可知,|A尸[=加+2a,忸尸[=5加—2a.由一OAF是以A為頂點(diǎn)的直角三角形可
\AF\m
知'/0鼾=9。,則8,"叢=同。①.在―的,中,
|"T+|AF『TAET_4。2+冽2一(加+2a)2
cos/OFA=②,在一中,
2\FF'\-\AF\2-2c-m
|"'「+|3用2—忸「「4c2+25加2—(5"/-2。)2
cos/OFA=cos/F'FB-③,由①②得
2\FF,[\BF\2-2c-5m
-。2—metTH-一/+5機(jī)〃YYlcri.,77_7.
-----------=一,所以02—/=/+.;由①③得=一,所以02一/=5m2—5加〃
c-mc5c-mc
3931519
所以機(jī)2+他2=5加2—,解得根=不“,ffflikc2—a2=—a2+—a2=—a2,所以。之二二-/,故
24244
c/19719
e一廠匕一〒
15.解:(1)當(dāng)a=2時(shí),/(X)=e*1—2x—2,
所以尸(x)=ei—2
所以7?'(1)=-1,因?yàn)?(1)=—3,
所以曲線y=/(x)在%=1處的切線方程為y+3=—(x—1),
即%+y+2=0.
(2)f\x)=e-r-a,若④0/(%)>0,〃力在R上單調(diào)遞增,不滿足題意,
若〃>0,令/'(%)=0得1=l+ln〃,
/(x)在(—8,1+lna)上單調(diào)遞減,在(1+lna,+。)上單調(diào)遞增,
且當(dāng)x一—8和時(shí),—+8,
故了(1十ln.)=—a(l+lna)<0,解得a>—,
e
即a的取值范圍是[—,+a].
16.解:(1)由題得4=0,〃2=,%=1,%=2,
所以X的取值依次為04,2,
「2iC4cdi
P(x=o)=巖=;,P(X=1A*/、*言=1,
。46C43
所以X的分布列為
X012
111
P———
263
所以EX=0」+1XL2X』=9.
2636
_1+2+3+4+5.」
(2)由題意得%==3,£(NX)2=10,
5z=i
55I5
=65.20,Z%=19.68區(qū)(y-寸?1.99,,
i=li=lVi=l
5
所以Z七%—〃回=65.20-3x19.68=6.16,
i=l
5
卒”一際6.16
?丁____________Li*_____________?_________r=0.98>0.75.
fXz_、2受/_、23.16x1.99
L(x-y)
Vi=li=l
因?yàn)閥與x的相關(guān)系數(shù)大于0.75,說明y與%的線性相關(guān)程度高,可以用線性回歸模型擬合y與%的關(guān)系.
17.解:(1)當(dāng)£為AC的中點(diǎn)時(shí),平面。1。2后,平面°1AC,證明如下:
因?yàn)闉閳A。2的直徑,所以
當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時(shí),O.E//BC,
所以GE^AC,
在圓錐。1。2中,。。2,平面ABC,
因?yàn)锳Cu平面ABC,所以O(shè)R,AC,
因?yàn)椤?。,cO,E=02,
所以ACJ_平面。1QE,
因?yàn)锳Cu平面。1AC,
所以平面。iQE,平面O.AC,
所以當(dāng)點(diǎn)石為AC中點(diǎn)時(shí),平面。]。2后,平面°iAC.
(2)以點(diǎn)。為原點(diǎn),直線a。為%軸、過點(diǎn)。]與平面。。。2垂直的直線為丁軸、直線aa為z軸,建立
如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則a(0,0,0),唱‘'A(。'T3),3(0,1,3),C(一1,0,3),
所以aA=(O,—L3),a3=(O,L3),aC=(—LO,3),aD=1|,O,o)
n-(9.4=0,「一乂+34=0,
設(shè)平面0AC的法向量為〃=(石,%,zj,則有得°八
110^=0,[—石+34=0,
取4=1,得〃=(3,3,1),
m-0B=0%+3z?=0,
設(shè)平面的法向量為加=(w,%,Z2),則有41,得〈3
mOxD—0,3%=°,
取立2=1,得沅=(0,-3,1),
設(shè)平面O.AC與平面0即的夾角為。,
八\n-m\|3x0+3x(-3)+lxl|4^/190
貝°cos0=;-r;j-=-//=—,
同帆732+32+12X^/O2+(-3)2+1295
所以平面O.AC與平面0即的夾角的余弦值為上叵.
95
18.解:(1)因?yàn)橹本€AB的斜率為2,線段的中點(diǎn)為。(2,2),
所以%+%=4,
%一―=X——=2Pl_28_2
所以直線的斜率為七一々y£____yl_%+%4,
2Pl2Pl
所以p1=4,&的方程為/=8x,
直線AB方程為廣2=2(x-2),即y=2x-2,
與無2=2p2y聯(lián)立得彳2_”2龍+402=0,
因?yàn)橹本€AB與62相切,
所以(~4必)2—4x4.2=0,解得。2=1,
所以石2的方程為V=2y.
(2)由(1)知,直線AB斜率存在且為-2Pl,
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