經(jīng)濟數(shù)學微積分 楊慧卿 第4版 教案 第1-3章 函數(shù)、極限與連續(xù)；一元函數(shù)微積分；一元函數(shù)積分學

第1章函數(shù)、極限與連續(xù)第1章函數(shù)、極限與連續(xù)本章知識結構導圖教學要求在初等數(shù)學基礎上，加深對函數(shù)概念的理解和對函數(shù)幾何特性（單調性、奇偶性、周期性、有界性）的了解。理解反函數(shù)、復合函數(shù)的定義，會求函數(shù)的反函數(shù)，會進行函數(shù)的復合與分解；了解基本初等函數(shù)的定義域、圖形與性質。掌握常用經(jīng)濟函數(shù)的含義、數(shù)學表達，會建立簡單經(jīng)濟問題的數(shù)學模型。理解數(shù)列極限、函數(shù)極限的描述性定義和性質。理解無窮小的概念和基本性質，會利用無窮小的性質計算極限；理解高階無窮小、等價無窮小的概念，會比較無窮小。掌握極限的四則運算法則；了解復合函數(shù)極限運算法則；熟練掌握極限計算。了解極限存在的兩個準則；熟練掌握利用兩個重要極限及無窮小等價替換定理計算極限。理解函數(shù)連續(xù)與間斷的概念，會判斷函數(shù)間斷點的類型；理解函數(shù)的連續(xù)性；了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質（最值定理、介值定理、零點定理）。教學重難點教學重點：常用的經(jīng)濟函數(shù)、無窮小的比較、極限運算法則、兩個重要極限、函數(shù)連續(xù)與間斷的概念、函數(shù)的連續(xù)性教學難點：反函數(shù)與復合函數(shù)、數(shù)列與函數(shù)的極限、極限的存在準則、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質教學內容及課時劃分1.1函數(shù)的概念和性質2課時1.2反函數(shù)與復合函數(shù)2課時1.3常用經(jīng)濟函數(shù)介紹2課時1.4數(shù)列、函數(shù)的極限2課時1.5無窮小與無窮大1課時1.6極限運算法則2課時1.7極限存在準則與兩個重要極限3課時1.8函數(shù)的連續(xù)性2課時習題課2課時計18課時1.1函數(shù)的概念和性質教學目的：理解函數(shù)的概念、函數(shù)的基本性質教學重難點：1、教學重點：鄰域的概念、函數(shù)的基本性質2.教學難點：函數(shù)的有界性教學課時：2教學過程：函數(shù)表示了變量之間的相依關系，是微積分的研究對象。本章從討論函數(shù)的概念開始,通過對一般函數(shù)特性的概括,引出初等函數(shù),為學習“經(jīng)濟數(shù)學”打下基礎.一、區(qū)間與鄰域區(qū)間分為有限區(qū)間與無限區(qū)間.有限區(qū)間有四個:開區(qū)間;閉區(qū)間;半開半閉區(qū)間;;無限區(qū)間有五個：;;;;.鄰域是一種特殊的區(qū)間，是后續(xù)學習函數(shù)極限、微分、積分等知識時常用一個重要概念。定義1.1設,且,則集合稱為點的-鄰域,記作,也即,這是以點為中心,區(qū)間長度為的開區(qū)間,正數(shù)叫做鄰域的半徑.在數(shù)軸上，表示到點的距離小于的所有點的集合。集合稱為點的去心鄰域,記作,也即.另外,點的左鄰域定義為，點的右鄰域定義為.當不必指明鄰域半徑時,上述記號中的正數(shù)可省略,即鄰域、空心鄰域、左鄰域和右鄰域可簡記為,,和.【例1】利用區(qū)間表示不等式的全部解.【解】先對不等式左端分解因式,原不等式為,則或.故.二、函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義定義1.2設是兩個變量，是非空實數(shù)集,如果對于任意的,按照某個對應法則,都有唯一的一個實數(shù)與之對應,則稱這個對應法則是定義在上的函數(shù)。其中叫做自變量,叫做因變量,的取值范圍叫做這個函數(shù)的定義域,通常將定義域記為.當?shù)娜”閮鹊乃袑崝?shù)時,對應的函數(shù)值的全體叫做這個函數(shù)的值域.習慣上常用表示函數(shù)。2.函數(shù)的幾點說明（1）函數(shù)的兩個要素定義域與對應法則是函數(shù)的兩個要素.只有兩個函數(shù)具有相同的定義域和相同的對應法則時,它們才是相同的函數(shù),否則就不是相同函數(shù).（2）函數(shù)的定義域在求函數(shù)的自然定義域時應遵守以下原則:偶次方根下被開方數(shù)非負;分式中分母不能為零;（3）對數(shù)中的真數(shù)大于零;（4）三角函數(shù)中,中;（5）反三角函數(shù)與中;【例2】求函數(shù)的定義域.【解】欲使函數(shù)有意義，則應有即故所求函數(shù)的定義域為.函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法主要有三種:表格法、圖形法和解析法（公式法）.4.幾種特殊的函數(shù)絕對值函數(shù)，。號函數(shù)，，。取整函數(shù)，表示不大于的最大整數(shù).[5.15]=5,[-7.8]=-8,.觀察這三個函數(shù)，易知在定義域的不同部分，函數(shù)分別用不同的算式表示。于是可給出分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)把定義域分成若干個區(qū)間,在不同的區(qū)間內用不同的數(shù)學算式表示的函數(shù)稱為分段函數(shù).三、函數(shù)的幾何特性研究函數(shù)的目的就是為了了解它所具有的性質,以便掌握它的變化規(guī)律.1.單調性定義1.3設函數(shù)定義域為，區(qū)間.如果對于區(qū)間內的任何兩點和，當,總有（或）,則稱函數(shù)在區(qū)間內單調遞增（或單調遞減）,叫做單調增區(qū)間(或單調減區(qū)間).【例3】證明在內是單調遞增的.【證明】任取且,則有,即,也就是說在內單調遞增的.函數(shù)的單調性與自變量取值范圍有關.例如函數(shù)在區(qū)間內是單調遞減的,在內是單調遞增的，但在內不單調.2.奇偶性定義1.4設函數(shù)的定義域關于原點對稱.如果對于任意恒有,則稱為奇函數(shù);如果對任意的,恒有,則稱為偶函數(shù).例如在內是偶函數(shù);在內是奇函數(shù).而是非奇非偶函數(shù)。顯然偶函數(shù)的圖形關于軸對稱;奇函數(shù)的圖形關于坐標原點對稱.【例4】判定函數(shù)與函數(shù)的奇偶性.【解】因為,所以在定義域內是偶函數(shù);又因為,所以在定義域內是奇函數(shù).思考：任意一個函數(shù)都可表示為偶函數(shù)與奇函數(shù)之和？3.周期性定義1.5設的定義域為.如果存在非零常數(shù),使得對任意的,都有,則稱為周期函數(shù)，稱為函數(shù)的一個周期.通常所說的周期是指周期函數(shù)的最小正周期,同樣記為.例如正弦函數(shù)中,都是它的周期,其最小正周期.有界性引子：在上的圖像介于水平線與之間，故其為有界函數(shù).定義1.6設函數(shù)的定義域為,數(shù)集.如果存在正數(shù),使得對所有的,都有,則稱函數(shù)在上有界,或稱是上的有界函數(shù).否則稱在上無界,也就稱為上的無界函數(shù).顯然，如果函數(shù)在上有界，則存在無窮多個這樣的，使得.【例5】函數(shù)在內無界,而在內有界.可見函數(shù)的有界性同樣與自變量的取值范圍有關.又如：四、作業(yè)習題1.12（2）（4）；4（1）（5）（6）；5（2）（3)1.2反函數(shù)與復合函數(shù)教學目的：1.理解反函數(shù)、復合函數(shù)的定義，會求函數(shù)的反函數(shù)，會進行函數(shù)的復合與分解.2.了解基本初等函數(shù)定義域、圖形與性質教學重難點：教學重點：復合函數(shù)的概念教學難點：復合函數(shù)的分解教學課時：2教學過程：反函數(shù)定義1.7設函數(shù)的定義域為,值域為,如果對中的任何一個實數(shù),有唯一的一個,使成立.那么把看成自變量,看成因變量,由函數(shù)的定義,就成為的函數(shù),稱這個函數(shù)為的反函數(shù),記,其定義域是,值域是.按照習慣,函數(shù)的反函數(shù)就寫成:.定理1.1（反函數(shù)存在定理）單調函數(shù)必存在單調的反函數(shù)，且具有與相同的單調性．注：求解的反函數(shù)步驟：求出的值域；用表示，即寫出；對換與，得到反函數(shù)以及其定義域.【例1】求的反函數(shù).【解】因為的定義域為，值域為.由，得即因此，所求的反函數(shù)為三角函數(shù)與反三角函數(shù)1.三角函數(shù)余切函數(shù)的定義域為，以為周期，為奇函數(shù)，且在其一個周期內是單調遞減的.（2）正割函數(shù)的定義域為，以為周期，且為偶函數(shù)（3）余割函數(shù)的定義域為，以為周期，且為奇函數(shù).2.反三角函數(shù)反正弦函數(shù)正弦函數(shù)在區(qū)間上單調增加，它的反函數(shù)稱為反正弦函數(shù)，記為，其定義域為，值域為,在其定義域上單調增加.(如圖1.5）（2）反余弦函數(shù)余弦函數(shù)在[]上單調增加，它的反函數(shù)稱為反余弦函數(shù)，記為，其定義域為,值域為[].（3）反正切函數(shù)正切函數(shù)在上單調增加，它的反函數(shù)稱為反正切函數(shù)，記為，其定義域為,值域為.（4）反余切函數(shù)余切函數(shù)在上單調遞增，它的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記為，其定義域為,值域為.注：正弦函數(shù)在除外其他單調區(qū)間上也具有反函數(shù)，只是此時的反函數(shù)不稱為反正弦函數(shù).顯然，余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)也如此.【例2】求下列各式的值（2）（3）【解】（1）（2）（3）復合函數(shù)【定義1.8】設函數(shù),定義域為；,定義域為,值域為.如果,那么稱函數(shù)，為由函數(shù)和構成的復合函數(shù),其中為自變量，為因變量，稱為中間變量.就是復合函數(shù)的定義域.習慣上稱函數(shù)為內函數(shù)，函數(shù)為外函數(shù).【例3】設,,構造復合函數(shù)并求其定義域.【解】因的定義域為,的定義域為,值域為,的定義域為，值域為.由于，.故復合函數(shù)為，定義域為.【例4】分析下列函數(shù)由哪些簡單函數(shù)復合而成，并求復合函數(shù)的定義域.（1）（2）（3）【解】（1）由函數(shù)復合而成，定義域為；（2）由函數(shù)復合而成，定義域為；（3）由函數(shù)復合而成，定義域為.四、基本初等函數(shù)與初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)我們接觸到的函數(shù)大部分都是由幾種最常見、最基本的函數(shù)經(jīng)過一定的運算而得到,這幾種函數(shù)就是我們已經(jīng)很熟悉的函數(shù),它們是常值函數(shù)（為常數(shù)）冪函數(shù)（為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)（為常數(shù)，且）對數(shù)函數(shù)（為常數(shù)，且）三角函數(shù)，，，，，反三角函數(shù)，，，這六種函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).作業(yè)：請將基本初等函數(shù)的名稱、表達式、定義域、圖形及性質列表表示出來.2.初等函數(shù)初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算及有限次復合運算所得到的，并可以用一個式子表示的函數(shù).注：一般來說，分段函數(shù)不是初等函數(shù).但絕對值函數(shù)例外，因為又可表示為，所以絕對值函數(shù)是初等函數(shù).函數(shù)的一般形式為，稱形如的函數(shù)為冪指函數(shù)，其中，均為初等函數(shù)，且，由恒等式因此，冪指函數(shù)是初等函數(shù).例如等都是初等函數(shù).作業(yè)習題1.21（4）；2（1）（5）（6）；3（2）；4（1）（4）.1.3常用的經(jīng)濟函數(shù)教學目的：掌握常用經(jīng)濟函數(shù)的含義、數(shù)學表達，會建立簡單實際問題的數(shù)學模型教學重難點：1、教學重點：常用的經(jīng)濟函數(shù)2、教學難點：建立簡單實際問題的數(shù)學模型教學課時：2教學過程：在經(jīng)濟問題中，首先分析出問題的變量，然后建立變量之間的函數(shù)關系，即建立數(shù)學模型，最后進行求解，達到對實際問題解決的目的.下面介紹幾個常用的經(jīng)濟函數(shù).單利與復利公式1.單利公式單利是指僅對本金計息，利息不計息的增值方式.設現(xiàn)有本金,每期利率為,期數(shù)為，則第一期末的本利和為第二期末的本利和為第期末的本利和為2.復利公式設現(xiàn)有本金,每期利率為,期數(shù)為.若每期結算一次,則第一期末的本利和為:,將本利和再存入銀行,第二期末的本利和為:,再把本利和存入銀行,如此反復,第期末的本利和為: , 例如設為本金，按年為期,年利率為,則第年末的本利和為:.二、需求函數(shù)與供給函數(shù)1.需求函數(shù)商品的需求量是該商品價格的函數(shù),稱為需求函數(shù).用表示對商品的需求量,表示商品的價格,則需示函數(shù)為:,鑒于實際情況,自變量,因變量都取非負值.一般地,需求函數(shù)是價格的遞減函數(shù).在直角坐標系中作出它的圖形稱為需求曲線.實際中，常用以下函數(shù)來近似表示需求函數(shù)：線性需求函數(shù):,其中冪函數(shù)需求函數(shù):,其中指數(shù)需求函數(shù):,其中需求函數(shù)的反函數(shù),稱為價格函數(shù),記作:,也反映商品的需求量與價格的關系，有時也稱為需求函數(shù).2.供給函數(shù)商品的供給量是該商品價格的函數(shù),稱為供給函數(shù).用表示對商品的需求量,表示商品的價格,則需示函數(shù)為:,鑒于實際情況,自變量,因變量都取非負值.一般地,商品供給函數(shù)是價格的遞增函數(shù).在直角坐標系中作出它的圖形稱為供給曲線.實際中，常用以下函數(shù)來近似表示供給函數(shù)：線性函數(shù)，其中冪函數(shù),其中指數(shù)函數(shù),其中將需求曲線和供給曲線畫在同一坐標系中.由于需求函數(shù)是遞減函數(shù),供給函數(shù)是遞增函數(shù),它們的圖形必相交于一點,該點叫做均衡點,該點對應的價格就是供、需平衡的價格,也叫均衡價格;這一點所對應的需求量或供給量就叫做均衡需求量或均衡供給量.稱為均衡條件.【例1】某商品每天的需求函數(shù)與供給函數(shù)分別為，試求市場達到供需平衡時的均衡價格和均衡需求量.【解】由均衡條件，得解得從而.故市場供需均衡時的均衡價格為單位,均衡需求量為個單位.三、成本函數(shù)與平均成本函數(shù)1.成本函數(shù)成本是指生產(chǎn)某種一定數(shù)量產(chǎn)品需要的費用,它包括固定成本和可變成本.如果記總成本為,固定成本為,可變成本為,設為產(chǎn)品數(shù)量，那么總成本函數(shù)其中.顯然成本函數(shù)是單調增加函數(shù),它隨產(chǎn)量的增加而增加.2.平均成本函數(shù)平均成本是指生產(chǎn)單位產(chǎn)品所花費的成本,記為,設為產(chǎn)品數(shù)量，則平均成本函數(shù)其中稱為平均不變成本，記為；稱為平均可變成本，記為.因此，有四、收益函數(shù)與利潤函數(shù)1.收益函數(shù)生產(chǎn)者銷售一定數(shù)量的產(chǎn)品或勞務所獲得的全部收入，稱為總收益，記為.生產(chǎn)者出售一定數(shù)量的產(chǎn)品時,單位產(chǎn)品的平均收入,即單位產(chǎn)品的平均售價，稱為平均收益,記為.如果記為總收益,為平均收益,為銷售量,則,都是的函數(shù),其中,取正值.如果產(chǎn)品的銷售價格保持不變，銷售量為，則,2.利潤函數(shù)利潤是指收益與成本之差,記為，是銷售量的函數(shù)，則有利潤函數(shù)可能會出現(xiàn)下列三種情形:（1）,表示有盈余；（2）,表示出現(xiàn)虧損；（3）,表示盈虧平衡.我們把盈虧平衡時的產(chǎn)量（銷量）稱為盈虧平衡點（又稱為保本點）.盈虧平衡點在分析企業(yè)經(jīng)營管理、產(chǎn)品定價和生產(chǎn)決策時具有重要意義.【例2】設每月生產(chǎn)某種商品件時的總成本為:(萬元),每售出一件該商品時的收入是萬元.求總利潤函數(shù)和平均利潤函數(shù).（2）求每月生產(chǎn)件（并售出）的總利潤和平均利潤.【解】（1）由題意銷售價格為，故總收益函數(shù)，又總成本函數(shù)，故總利潤函數(shù)平均利潤函數(shù)（2）由（1）當件時，該商品的總利潤（萬元）平均利潤為:(萬元).【例3】某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，據(jù)調查其需求函數(shù)為，生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本是元，而單位產(chǎn)品的變動成本為元，為獲得最大利潤，出廠價格應為多少？【解】成本函數(shù)，需求函數(shù)為于是收益函數(shù)利潤函數(shù)當時，取得最大利潤元所以該產(chǎn)品的出廠價應定為元.作業(yè)習題1.31；3；4；5；61.4數(shù)列、函數(shù)的極限教學目的：了解中國古代的極限思想；理解數(shù)列極限、函數(shù)極限的描述性定義和性質教學重難點：1、教學重點：數(shù)列極限、函數(shù)極限的描述性定義2、教學難點：數(shù)列極限的性質解釋教學課時：2教學過程：一、中國古代數(shù)學家的極限思想劉徽的割圓術“割圓術”就是用圓的內接正六邊形、正十二邊形、…、正邊形去逼近圓,即用正多邊形的面積（周長）代替圓面積（周長）.隨著正多邊形邊數(shù)的增加，正多邊形的面積（周長）越來越接近于圓面積（周長）.如果設正六邊形、正十二邊形、……、正邊形的面積分別為,,,…,,如此下去，就構成一個無窮數(shù)列,,,…,,…其中.隨著內接正多邊形的邊數(shù)的增加,正多邊形面積也越來越趨向于一個穩(wěn)定的值,這個穩(wěn)定值就是圓的面積.同樣若設正六邊形,正十二邊形,…,正邊形的周長分別為,,,…,,于是得另一數(shù)列,,,…,,…其中隨著內接正多邊形的邊數(shù)（這里為）的增加,正多邊形周長也越來越趨向于一個穩(wěn)定的值,這個穩(wěn)定值就是圓的周長.2.截杖問題一尺之棰,日取其半,萬世不竭.這是一個無窮數(shù)列，通項為，當無限增大時，會無限地變小，并且無限地接近常數(shù)0.“萬世不竭”表示的意思是，雖然每次取下的長度越來越小，但永遠不等于.二、數(shù)列的極限1.數(shù)列極限的定義在“割圓術”和“截杖問題”中，均涉及到對于一個無窮數(shù)列，當項數(shù)無限增大時，通項的變化情況.當無限增大時，數(shù)列,,,…,,…的通項無限趨近于；數(shù)列,,,…,,…的通項無限趨近于；數(shù)列的通項為無限趨近于0.下面再看幾個數(shù)列的通項在無限增大時的變化趨勢：（1）數(shù)列，其通項隨的增大而逐漸減小,越來越趨近于；（2）數(shù)列，其通項隨的增大而增大,越來越趨近于；（3）數(shù)列，其通項隨的增大而增大,且無限增大；（4）數(shù)列，其通項隨著的變化在的兩側跳動,并隨著的增大而趨近于；（5）數(shù)列，其通項隨著的增大始終交替取值和,而不趨向于某一個確定的常數(shù)；（6）數(shù)列的各項都是同一個數(shù),故當越來越大時,該數(shù)列的項也總是確定的常數(shù).定義1.9當無限增大時,如果數(shù)列的通項無限趨近于某個常數(shù),那么就稱數(shù)列收斂,常數(shù)稱為數(shù)列的極限,記為或否則稱數(shù)列發(fā)散.根據(jù)定義，數(shù)列（1），（2），（4），（6）為收斂的數(shù)列,它們的極限分別是,,,.也即,,,.而數(shù)列（3），（5）為發(fā)散的數(shù)列.下面給出以后常用的一些數(shù)列極限：（1）（為常數(shù)）（2）（為常數(shù)且）（3）（為常數(shù)且） （4）（為常數(shù)且）（5）2.收斂數(shù)列的重要性質一般地，收斂數(shù)列具有如下性質.性質1收斂數(shù)列是有界的.性質2收斂數(shù)列的極限是唯一的.函數(shù)的極限1.自變量趨于無窮時的極限（即當時,函數(shù)）自變量趨于無窮（記）可分為兩種情況:自變量趨于正無窮（記）和自變量趨于負無窮（記）.【例1】考察下列函數(shù),當時,函數(shù)（1）（2）（3）【解】（1）當時有,當時也有,所以當時有.（2）當時有,當時有,所以當時不能趨向于一個確定的常數(shù).（3）無論是還是時,都不能趨向于一個確定的常數(shù),所以當時也不能趨向于一個確定的常數(shù).定義1.10設函數(shù)在自變量充分大時總有定義，如果當自變量無限增大時,函數(shù)值無限趨近某個確定的常數(shù),那么稱為函數(shù)當時的極限,記作或否則，稱函數(shù)當時的極限不存在.定義1.11設函數(shù)在自變量充分小時總有定義，如果當自變量無限減小時,函數(shù)值無限趨近某個確定的常數(shù),那么稱為函數(shù)當時的極限,記為或否則，稱函數(shù)當時的極限不存在.例如，，，【定義】設函數(shù)在自變量充分大時總有定義，如果自變量無限增大時,函數(shù)值無限接近一個確定的常數(shù),則稱為函數(shù)當趨于無窮（）時的極限,記為或由于包含了和兩種情況，因此可以得到：定理1.2函數(shù)當時極限存在的充分必要條件是函數(shù)當時和時極限都存在且相等.即2.自變量趨于有限值時的極限（即當時,函數(shù)）【例2】討論當逐漸靠近時,函數(shù)值的變化情況.【解】我們列出自變量時的某些值,考察對應函數(shù)值的變化趨勢0.90.990.999…1…1.0011.011.101.111.01011.001001…1…0.9990010.99010.91從表中可看出,當越靠近,對應函數(shù)值越靠近常數(shù),即時,.【例3】討論當趨于時,函數(shù)值的變化趨勢.【解】列出自變量時的某些值,考察對應函數(shù)值的變化趨勢0.750.90.990.9999…1…1.0000011.011.251.51.751.91.991.9999……2.0000012.012.252.5當時,【例4】討論當趨于時,函數(shù)的變化趨勢.當趨于時，無限地增大，不趨近于某個確定的常數(shù).【例5】討論當趨于時，函數(shù)的變化趨勢.將函數(shù)的值列表如下…-1010-1…10-101當無限趨近于時，函數(shù)的圖形在與之間無限次地擺動，即不趨近于某個確定的常數(shù).定義1.12設函數(shù)在的某去心鄰域內有定義,如果當無限趨向于時,函數(shù)值無限趨近某個確定的常數(shù),那么稱為函數(shù)當時的極限,記為或否則，稱函數(shù)當時的極限不存在.例如，，，不存在，不存在.【例6】求.【解】從正弦函數(shù)的圖形中可看出,當時,,即定義1.13設函數(shù)在的左鄰域（可除外）內有定義,如果當自變量從的左側趨于（記作）時,函數(shù)值趨于一個確定的常數(shù),那么稱為函數(shù)當時的左極限,記為或.設函數(shù)在的右鄰域（可除外）內有定義,如果當自變量從的右側趨于（記作）時,函數(shù)值趨于一個確定的常數(shù),那么稱為函數(shù)當時的右極限,記為或.左極限和右極限統(tǒng)稱為單側極限.由定義1.12和定義1.13，可以得出：定理1.3函數(shù)當時的極限存在的充分必要條件是函數(shù)當時的左極限、右極限都存在且相等.即【例7】設函數(shù),求.【解】函數(shù)的圖像如圖1.16所示.當時,;當時,;根據(jù)定理1.3有.【例8】試討論函數(shù),在處的左、右極限.【解】函數(shù)的圖形如圖1.17所示,當時,;當時,.由定理1.3有在處不存在極限.3.函數(shù)極限的性質性質1（唯一性）若,則是唯一的.性質2（局部有界性）如果,那么函數(shù)在某個內有界.性質3（局部保號性）如果（或）,那么函數(shù)在某個內恒有（或）.由性質3還可得到下面的推論.推論1如果在某個內,恒有（或）,且,那么有（或）.推論2如果在某個內,恒有（或）,且,,那么有（或）.對于性質2和性質3，自變量的趨近方式為其他形式時，也可以得到類似的局部有界性和局部保號性以及推論.作業(yè)習題1.41（1）（3）；2（1）（2）（5）；3(2);41.5無窮小與無窮大教學目的：1.理解無窮小的概念與基本性質；2.利用無窮小的性質計算極限；3.理解高階無窮小和等價無窮小的概念，掌握無窮小階的比較方法.教學重難點：1、教學重點：無窮小的概念與性質，無窮小階的比較，利用等價無窮小求極限2、教學難點：無窮小階的比較教學課時：1教學過程：本節(jié)討論兩類極限值很特殊的極限,即極限值為零與極限值趨向無窮大的兩類.一、無窮小與無窮大的概念先觀察,,共同特點是:極限值為零.定義1.14如果當（）時,函數(shù)極限值為零,即，則稱函數(shù)為（）時的無窮小.再觀察觀察共同特點是：極限為無窮大.定義1.15在自變量的某個變化過程中，如果函數(shù)的絕對值無限增大,那么稱函數(shù)為該過程中的無窮大，記為；如果函數(shù)為正且絕對值無限增大，那么則稱函數(shù)為該過程中的正無窮大，記為；如果函數(shù)為負且絕對值無限增大，那么稱函數(shù)為該過程中的負無窮大，記為.例如，,,定理1.4在自變量同一變化過程中，如果為無窮小，且，那么為無窮大；如果為無窮大，那么為無窮小.為了敘述方便,本書中可表示自變量的六種變化過程中任意一種情況下的極限：，，，，，.無窮小與函數(shù)極限有著密切的關系：定理1.5的充分必要條件是,其中.【證】必要性設，則由極限的定義有令,則即是同一變化過程中的無窮小.充分性如果,其中，則由極限定義有證畢.二、無窮小的性質性質1有限個無窮小的和或差仍為無窮?。恍再|2有限個無窮小之積仍為無窮??；性質3無窮小與有界量之積為無窮小.【例1】求極限.【解】當時,，為有界函數(shù)；當時，為無窮小量，由無窮小的性質3可知類似地可得無窮小階的比較考慮變量,,，當時,變量,,都是無窮小,即當時,它們都趨于零.但很明顯,三者趨于的快慢程度不同,最快,最慢.為比較這種快慢程度,我們引進無窮小“階”的概念.定義1.16設,,且（1）如果,那么稱是比高階的無窮小,記為；（2）如果（為常數(shù)）,那么稱和是同階無窮?。惶貏e地,如果,那么稱與是等價無窮小,記為；（3）如果,那么稱是比低階的無窮小.定理1.6（無窮小等價替換定理）設為同一過程中的無窮小，，，且極限存在，那么=【證】由，得，于是=定理1.6表明，求兩個無窮小之比的極限時，分子或分母可以用等價無窮小來替換.該定理在極限計算中可以簡化運算.關于該定理在極限計算中的應用將在本章第七節(jié)詳細介紹.作業(yè)習題1.51（1）（3）；2（1）（5）；3；5（2）（4）.1.6極限的運算法則教學目的：1.掌握極限的四則運算法則；了解復合函數(shù)極限運算法則2.熟練掌握極限的計算教學重難點：1、教學重點：極限的四則運算法則、復合函數(shù)極限運算法則2、教學難點：根據(jù)極限的不同情形，采取相應的計算方法教學課時：2教學過程：一、極限的四則運算在下列同一命題中，考慮的是的同一變化過程.定理1.7如果,,其中為常數(shù)，那么（1）（為常數(shù)）（3）（4）（）下面只證（1）和（4），（2）、（3）可類似證明.【證】由,及定理1.5，有,其中為同一變化過程中的無窮小.于是有由無窮小的性質可知，，為同一過程中的無窮小.因此，由定理1.5可得（）定理中的式子推廣到有限個函數(shù)的情形,即若,,,,則有;.我們稱定理為極限的四則運算法則.下面舉例介紹幾種類型極限的計算.1、（其中為多項式）一般地,用極限四則運算法則可得到,對于任一個次多項式函數(shù),都有.而關于有理函數(shù)當時的極限，當時，根據(jù)定理1.7（4）有而當時，需根據(jù)情況選擇適當?shù)挠嬎惴椒ā纠?】求【解】因為分母的極限,由定理1.7的（4）式得,.【例3】求（1）（2）【解】（1），因為,但當,而時,有，從而得到.例3的求解方法可推廣到一般情形.設（1）若則 ；（2）若則必有公因子，將因式分解，并將分解后的的公因子約去，然后再利用定理1.7的（4）式求解.思考：求2、（其中表示次多項式，表示次多項式）【例4】求（1）（2）【解】（1）因為,所以（2）一般地,當時，有.【例5】求【解】【例6】已知，求常數(shù).【解】由于所以，，即思考：已知，求常數(shù).3.需經(jīng)適當變形再求極限【例7】求【解】從而有思考：求【例8】求【解】而,所以有二、復合函數(shù)的極限運算法則定理1.8（復合函數(shù)的極限運算法則或變量替換定理）設與構成復合函數(shù).如果，，那么有【例9】求【解】令，由于，所以推論（冪指函數(shù)的極限）如果，，那么有作業(yè)習題1.61（1）（3）（4）；2（6）（8）（11）；31.7極限存在準則與兩個重要極限教學目的：1.了解極限存在準則2.熟練掌握利用兩個重要極限、無窮小替換定理進行極限計算教學重難點：1、教學重點：兩個重要極限、利用無窮小替換定理計算極限2、教學難點：利用第二個重要極限進行極限計算教學課時：3教學過程：一、極限存在準則1.夾逼準則準則Ⅰ（數(shù)列收斂的夾逼準則）如果數(shù)列滿足下列條件:(1)(2)那么數(shù)列的極限存在，且.【例1.30】求【解】由于而，由夾逼準則得注：此例也說明無限個無窮小的代數(shù)和不一定是無窮小.【例1】求【解】而，由夾逼準則得準則（函數(shù)收斂的夾逼準則）如果函數(shù)滿足下列條件：（1）當（或）時,有（2）那么存在，且等于.2.單調有界準則如果數(shù)列滿足，那么稱數(shù)列是單調增加的；如果數(shù)列滿足，則稱數(shù)列是單調減少的；單調增加和單調減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調數(shù)列.準則Ⅱ單調有界數(shù)列必有極限.二、兩個重要極限1.（屬于型）【證明】因為是一個偶函數(shù),所以只要能證明成立即可.另外,由,不妨限制在內取值.如圖1.18所示,設單位圓心為,在圓周上取一定點,在圓周上任取一點使.過點作圓周的切線交的延長線于,連結,則得、扇形、三個圖形,設其面積分別為,則有關系.即,.因為,所以,得,即.因為,,于是由夾逼準則得,從而.當，該極限可以推廣：為自變量某一變化過程中的無窮小。如【例2】求【解】（方法一）令,則當時,,所以（方法二）方法一，采用了變量替換法；方法二，直接將待求極限“湊”成第一個重要極限的形式.一般地,.【例3】求【解】因為,所以.【例4】求圓的內接正邊形周長所構成數(shù)列的極限值【解】我們已計算出:,令,則當時,,所以.2.（屬于型）這里僅從數(shù)列各項數(shù)值的變化趨勢來說明.當時的情況:從以上表可看出,當時,數(shù)列是數(shù)值不超過3的單調增加數(shù)列.由極限存在準則Ⅱ可知，該數(shù)列存在極限，其極限就是無理數(shù),于是有在基礎上，可以證明當或時，函數(shù)的極限存在且等于，即有.若令，當時，，則有該極限的推廣形式其中為自變量某個變化過程中的同一個無窮大量.【例5】求【解】【例6】求【解】.觀察例1.35與例1.36發(fā)現(xiàn)兩者本質上是相同的.【例7】求【解】【例8】求【解】方法一：因為,所以有方法二：.三、利用無窮小等價替換定理進行極限計算常用的等價無窮小有：當時，，，為常數(shù)【例9】證明當時，（1）（2）（3）（4）為常數(shù).【證】（1）（2）令，當時，，則有（3）令，即，當時，，則有，由本例（2）所以（4），由本例（2）、（3）可得【例10】求【解】因為當時，，，所以一般地，思考：求【例11】求【解】因為當時，，所以【例12】求【解】因為當時，，所以【例13】求【解】因為當時，，所以思考：求利用等價無窮小替換計算極限需要注意，它適用于乘除法，一般不適用于加減.【例14】求【解】因為當時，，，所以連續(xù)復利設一筆貸款（稱本金,也稱現(xiàn)值），年利率為，由復利公式可知,年末的本利和（也稱未來值）為如果一年分期計息，年利率為，那么每期利率為，于是一年末的本利和為年末的本利和為該公式稱為離散復利公式.如果計息期數(shù)，即每時每刻計息（也稱為連續(xù)復利），年利率為，那么年末的本利和為該公式稱為連續(xù)復利公式.【例15】某人為孩子準備教育基金，希望10年后價值20萬元，如果按年利率6%的連續(xù)復利計息，問現(xiàn)在大約需要存入多少錢？如果以6%的年利率按年復利計息，問現(xiàn)在大約需要存入多少錢？【解】設按連續(xù)復利計息，現(xiàn)在大約需存入元，按年復利計息，現(xiàn)在大約需存入元.本題中兩個問題都是貼現(xiàn)問題，據(jù)題意，有，，得，，得所以，按連續(xù)復利計息，現(xiàn)在大約需存入10976.32元，按年復利利息，現(xiàn)在大約需存入111678.99元.作業(yè)習題1.71（4）（5）（8）；2（3）（4）；4（2）；5（5）（8）.1.8函數(shù)的連續(xù)性教學目的：1.理解函數(shù)連續(xù)、間斷的概念；2.會判斷間斷點的類型；3.了解初等函數(shù)的連續(xù)性；4.了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質（最值定理、介值定理、零點定理）教學重難點：1、教學重點：函數(shù)連續(xù)、間斷的概念；會判斷函數(shù)間斷點的類型2、教學難點：間斷點類型的判斷，初等函數(shù)的連續(xù)性與閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質教學課時：2教學過程：函數(shù)的連續(xù)與間斷1.連續(xù)與間斷的定義定義1.17設函數(shù)在的某鄰域內有定義,且則稱函數(shù)在處連續(xù),稱為函數(shù)的連續(xù)點，否則，稱為函數(shù)的間斷點.定義1.17說明，函數(shù)在處連續(xù)就是函數(shù)同時滿足下列三個條件：（1）函數(shù)在的某鄰域內有定義；（2）函數(shù)在處的極限存在，即；（3）函數(shù)在處的極限等于該點的函數(shù)值，即.設，稱為自變量在處的增量（增量可正可負），這時，則稱為函數(shù)在處的對應增量.圖1.19圖1.19定義1.18設函數(shù)在的某鄰域內有定義,若或則稱函數(shù)在處連續(xù).【例1】證明：函數(shù)在處連續(xù)。證明:而在處連續(xù)又如函數(shù),因為,所以該函數(shù)在處連續(xù).2、左右連續(xù)定義1.19如果函數(shù)在內有定義，且,則稱函數(shù)在處左連續(xù)；如果函數(shù)在內有定義，且,則稱函數(shù)在處右連續(xù).定理1.9函數(shù)在處連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)在處既左連續(xù)又右連續(xù)，即【例2】判斷函數(shù)在處是否連續(xù).【解】因為所以，函數(shù)在處既左連續(xù)又右連續(xù)，由定理1.9，函數(shù)在處連續(xù).可以證明絕對值函數(shù)在處連續(xù),符號函數(shù)在處不連續(xù).3．區(qū)間上連續(xù)如果函數(shù)在區(qū)間上每一點處都連續(xù)，那么稱函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，或稱函數(shù)是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).如果函數(shù)在內任一點處連續(xù)，且在點右連續(xù)，在點左連續(xù)，那么稱函數(shù)在上連續(xù).【例3】證明在上連續(xù).【證】任取，則由，得又于是，當時，由夾逼準則得，即所以函數(shù)在處連續(xù)，由的任意性，得到在上連續(xù).可以證明，基本初等函數(shù)在其定義域內是連續(xù)的.4.間斷點的分類間斷點的分類表示如下圖：例如是函數(shù)的可去間斷點，是符號函數(shù)的跳躍間斷點.又如就是函數(shù)的無窮間斷點，就是函數(shù)的振蕩間斷點.注：函數(shù)的可去間斷點有兩種情況：（1）函數(shù)在該點處左右極限存在且相等，但函數(shù)在該點無定義；（2）函數(shù)在該點的極限值不等于函數(shù)值.【例4】討論函數(shù)在和處的連續(xù)性，并判別間斷點的類型.【解】在處，因為,所以但函數(shù)定義域中不含,在處無定義.可采取補充定義的方式，令，使函數(shù)在處連續(xù)，所以是函數(shù)的可去間斷點.在處，因為，所以不存在.因此，函數(shù)在處間斷.由于函數(shù)在的左極限和右極限不相等，所以是函數(shù)的跳躍間斷點.【例5】設，求的間斷點并判別其類型.【解】根據(jù)的定義域可知，函數(shù)僅在和處無定義，所以和是函數(shù)的間斷點.在處，有所以，是函數(shù)的可去間斷點.在處，有所以，是函數(shù)的無窮間斷點.二、連續(xù)函數(shù)的性質及初等函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)函數(shù)在其連續(xù)點上的性質定理1.10（1）連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零處）是連續(xù)函數(shù)；（2）連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)是連續(xù)函數(shù).設函數(shù)在處連續(xù),而函數(shù)在處也連續(xù),則復合函數(shù)在處連續(xù),即有【例6】求【解】2.初等函數(shù)的連續(xù)性定理1.11一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都是連續(xù)的.【例7】求【解】.【例8】求下列極限：（1）（2）【解】（1）令，則觀察例1.53（2），發(fā)現(xiàn)當時，就得到得到，即.三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質定義1.20設函數(shù)在區(qū)間上有定義,如果存在,使得對任意的,有那么稱分別為函數(shù)在上的最大值和最小值,最大值與最小值統(tǒng)稱為最值.點分別稱為的最大值點和最小值點.定理1.12（最值定理）如果函數(shù)在上連續(xù),那么在上必取得最大值和最小值.由定理1.12可得出下面的推論推論1（閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理）若函數(shù)在上連續(xù),則函數(shù)在上有界.定理1.13（介值定理）設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),且，,則對于與之間任意實數(shù)，至少存在一點,使得定理1.14（零點定理）如果函數(shù)在上連續(xù),且,那么在內至少存在一點,使得.用方程的觀點來表述零點定理,即：如果在上連續(xù),且異號,那么方程在至少有一個根.【例9】證明方程至少有一個根介于和之間.【證明】設,則在在連續(xù),且,,即,由零點定理知,在上至少有一個根,使得,即方程至少有一個根介于和之間.四、經(jīng)濟和管理中的函數(shù)的連續(xù)性在經(jīng)濟理論中,為了簡化所討論的問題,通常假設所討論的函數(shù)是連續(xù)的.需求函數(shù),當價格有微小變動時,對應的需求函數(shù)的變動也是微小的.因此,需求函數(shù)是連續(xù)函數(shù).我們還假定國民經(jīng)濟的增長是連續(xù)的,供給函數(shù)、成本函數(shù)、收益函數(shù)等都是連續(xù)函數(shù).作業(yè)習題1.81（1）；2（1）；3（1）（3）；4；5（3）；6習題課知識總結1.函數(shù)的概念和性質2.反函數(shù)與復合函數(shù)、基本初等函數(shù)與初等函數(shù)3.常用的經(jīng)濟函數(shù)4.極限（1）數(shù)列極限:.（2）函數(shù)極限:（其中）;（其中）.（3）極限的性質:唯一性,局部有界性,局部保號性,夾逼準則以及四則運算等.（4）兩個重要的極限:與.（5）無窮小與無窮大:與;以及無窮小的性質.5.函數(shù)的連續(xù)性（1）連續(xù)概念:.（2）間斷點的分類:第一類間斷點（可去間斷點與跳躍間斷點）、第二類間斷點.（3）初等函數(shù)的連續(xù)性:在其定義域內是連續(xù).（4）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質:（最值定理）若函數(shù)在上連續(xù),則在上必取得最大值和最小值.（介值定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),且，,則對于與之間任意實數(shù)，至少存在一點,使得（零點定理）若函數(shù)在上連續(xù),且,則存在,使得.習題講解1.求函數(shù)定義域；判別函數(shù)的性質；掌握函數(shù)的復合與分解；求供需均衡點.【例1】求函數(shù)的定義域.【解】欲使函數(shù)有意義，則，即，解得.【例2】判別函數(shù)的奇偶性.【解】該函數(shù)為奇函數(shù).【例3】分解下列復合函數(shù)（2）【解】（1）（2）【例4】某商品需求函數(shù)為，供給函數(shù)為(價格單位：元，商品單位：萬件），求市場供需均衡時該商品均衡價格與均衡需求量.【解】由題設，由均衡條件,則，解得(元），（萬件）.2、求極限的基本方法（1）用極限運算法則及函數(shù)的連續(xù)性注意：1)參加運算的函數(shù)的極限必須都存在2)常用函數(shù)的極限【例5】求【解】原式=【例6】求【解】=【例7】求【解】=【例8】求【解】=（2）利用“有界函數(shù)與無窮小之積為無窮小”【例9】解：=（3）利用兩個重要極限與等價無窮小替換【例10】求解：（法一）（法二）（4）利用“夾逼準則”、“單調有界準則”【例11】求解：而，由“夾逼準則”，3、無窮小的比較【例12】當時，下列函數(shù)哪些是的高階無窮小，哪些是的同階無窮小或等價無窮?。浚?）；（2）；（3）解：（1），該函數(shù)為的高階無窮小。（2），該函數(shù)為的同階無窮小。（3），該函數(shù)為的等階無窮小。4、求分段函數(shù)的極限【例13】設求【解】，5、含參數(shù)的函數(shù)的極限【例14】設，求的表達式【解】當時，當時，，當時，則【例15】試確定，使（1）（2）【解】（1）由可知，即代入原式得，（2）由，得，得6、連續(xù)性的判定、間斷點及其類型【例16】研究函數(shù)在處的連續(xù)性，并判定間斷點的類型【解】所以函數(shù)在不連續(xù)。為跳躍間斷點。【例17】討論的連續(xù)性，如有間斷點，指出其類型，若是可去間斷點，則補充定義，使其在該點連續(xù)?！窘狻亢瘮?shù)在處無定義，所以為間斷點，函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為，為跳躍間斷點，為無窮間斷點，為可去間斷點，補充定義令，可使函數(shù)在連續(xù)7、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質【例18】試證方程，在內至少有一個根．證：設，則在上連續(xù).且，，故由零點定理在內至少存在一點使得.【例19】證明：若在上連續(xù)，且，則在內至少有一點使得．證明：設.由在上連續(xù)，則在上連續(xù).且故由零點定理在至少存在一點，使得，即，也即．【例20】試證方程至少有一個正根且不超過．【解】設，則在上連續(xù)，且，若，則，且.若，則由零點定理至少，使得，即.故至少有一個正根且不超過．第2章一元函數(shù)微分學——導數(shù)、微分及其應用本章知識結構導圖一、教學要求1.理解導數(shù)的概念及其幾何意義和經(jīng)濟意義，了解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系.2.掌握基本初等函數(shù)的求導公式；掌握導數(shù)的四則運算法則、復合函數(shù)求導法則、隱函數(shù)的求導方法與對數(shù)求導方法；了解反函數(shù)的求導法則.3.了解高階導數(shù)的概念，掌握初等函數(shù)的一階、二階導數(shù)的求法.了解幾個常見的函數(shù)的高階導數(shù)的一般表達式.4.理解導數(shù)在經(jīng)濟學中的簡單應用，如邊際分析與彈性分析.5.了解微分的概念及其幾何意義，導數(shù)與微分的關系.6.掌握微分的運算法則與公式.7.會用微分進行簡單的近似計算.8.理解羅爾定理、拉格朗日中值定理，會用羅爾定理、拉格朗日中指定理進行相關問題的證明；了解可惜中值定理.9.掌握洛必達法則，會靈活運用它解決未定式極限.10.掌握函數(shù)單調性的判別方法，會利用函數(shù)的單調性證明不等式；了解函數(shù)極值的概念，掌握求極值的方法；掌握函數(shù)最值的求法及其應用.11.理解函數(shù)凹凸性，會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性；會求函數(shù)曲線的拐點，會求曲線的漸近線；會用導數(shù)綜合研究的單調性、凹凸性、極值、拐點與漸近線，描繪一些簡單函數(shù)的圖形.教學重難點1.教學重點：導數(shù)、微分的概念；導數(shù)、微分的運算；微分中值定理；洛必達法則；函數(shù)的單調性，極值與最值；函數(shù)的凹凸性與拐點2.教學難點：復合函數(shù)的導數(shù)、隱函數(shù)的導數(shù)；運用洛必達法則求解未定式極限；函數(shù)極值的判別，最值的求解；曲線凹凸性的判別教學內容及課時劃分2.1導數(shù)的概念2課時2.2導數(shù)的運算法則2課時2.3特殊形式函數(shù)的導數(shù)4課時2.4導數(shù)在經(jīng)濟學中的簡單應用2課時2.5函數(shù)的微分2課時2.6微分中值定理2課時2.7洛必達法則2課時2.8函數(shù)單調性、極值與最值3課時2.9曲線的凹凸性、拐點及函數(shù)作圖3課時習題課4課時計26課時2.1導數(shù)的概念教學目的：1.理解導數(shù)的概念、幾何意義與經(jīng)濟意義2.了解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系3.熟練掌握幾個基本初等函數(shù)的求導公式教學重難點：1.教學重點：導數(shù)的概念，導數(shù)的幾何意義與經(jīng)濟意義2.教學難點：函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系教學課時：2教學過程：一、問題的引入1．曲線的切線斜率問題設平面曲線的方程為,如圖2.1所示，和為曲線上的兩個點,連接與得割線,當點沿曲線趨向于點時,割線的極限位置就是曲線在點處的切線.圖2.1設為割線的傾斜角,當點沿曲線趨向于點時,割線的極限就是切線,因此，切線的斜率為圖2.1圖2.1圖2.12．變速直線運動的瞬時速度問題設一質點作變速直線運動,其運動方程為.求這質點在某一時刻的速度.圖2.2圖2.2現(xiàn)考慮時間從到這一段時間內,質點經(jīng)過的路程為:,平均速度為:,若存在,則極限值就是質點在時刻的速度,即.3.產(chǎn)品總成本的變化率設，求產(chǎn)量為時的總成本的變化率.如果給產(chǎn)量一個增量，則總成本相應的改變量為總成本的平均變化率為當時，二、導數(shù)的定義定義2.1設函數(shù)在內有定義,且，相應地，函數(shù)取得增量，如果當時，極限存在,那么稱函數(shù)在點處可導,并稱該極限為函數(shù)在點處的導數(shù),記為，，或如果定義中極限不存在,那么稱函數(shù)在點處不可導，稱為的不可導點.注：1.導數(shù)的定義可取不同的形式,如.2.根據(jù)導數(shù)的定義,上面所討論的三個問題可敘述為:(1)曲線在點處的切線斜率為;(2)質點作變速直線運動在時刻的瞬時速度為.(3)產(chǎn)量為時的總成本的變化率,為.3.如果函數(shù)在開區(qū)間內的每一點都可導,就稱函數(shù)在開區(qū)間內可導.此時對的導數(shù)記為:、、或.4.函數(shù)在處的導數(shù)與函數(shù)的導函數(shù)既有區(qū)別又有聯(lián)系,并且顯然有.三、幾個基本初等函數(shù)的導數(shù)公式根據(jù)導數(shù)的定義，求函數(shù)的導數(shù)的一般步驟為:（1）求函數(shù)的改變量；（2）求比值；（3）求極限.【例1】求函數(shù)（為常數(shù)）的導數(shù).【解】因為,則,從而有即【例2】求冪函數(shù)(為實數(shù))的導數(shù).【解】因為，從而有由于當時，有所以有即【例3】求指數(shù)函數(shù)的導數(shù).【解】因為,從而有即特別地,當時，有.【例4】求對數(shù)函數(shù)的導數(shù).【解】因為，從而有即特別地,當時，有.【例5】求余弦函數(shù)的導數(shù)．【解】因為,從而有，即四、左右導數(shù)定義2.2設函數(shù)在的某個左鄰域（或右鄰域）內有定義，如果（或）存在，那么稱該極限為函數(shù)在點處的左導數(shù)（或右導數(shù)），記作或.左導數(shù)和右導數(shù)統(tǒng)稱為單側導數(shù)．定理2.1函數(shù)在點處可導的充分必要條件是左導數(shù)和右導數(shù)都存在且相等.【例6】討論函數(shù)在處的可導性.【解】由，得因為，所以函數(shù)在處不可導.注：絕對值函數(shù)在處連續(xù)但不可導.五、導數(shù)的幾何意義由前面的切線問題我們知道在幾何上表示曲線在點處的切線的斜率,即.（如圖2.3）曲線在點處的切線方程為過切點且與切線垂直的直線稱為曲線在點處的法線.若,則法線的斜率為,從而法線的方程為若，則過的切線方程為，即切線平行于軸.若函數(shù)在點處的導數(shù)為無窮大,則表示曲線在點處的切線垂直于軸，切線方程為.【例7】求曲線在點處的切線方程和法線方程.【解】，由于，于是,所以曲線在點處的切線方程為,即:;曲線在點處的法線方程為,即:.六、函數(shù)的可導與連續(xù)的關系若函數(shù)在點x0處可導,則有,由于,則,說明函數(shù)在點x0處連續(xù)．于是函數(shù)的連續(xù)與可導有如下關系：定理2.2如果函數(shù)在點處可導,那么函數(shù)在點處一定連續(xù).可導→連續(xù)，不連續(xù)→不可導，連續(xù)未必可導【例8】設.討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導性.【解】在處，函數(shù)在處可導、連續(xù).思考：函數(shù)在處的連續(xù)性與可導性.【例9】確定常數(shù)使函數(shù)在處可導.【解】由函數(shù)在可導，則函數(shù)在連續(xù).即有因為所以.又因為所以要在處可導，應有.聯(lián)立與，解得.綜上，當時函數(shù)在處可導.作業(yè)習題2.11；3（1）（3）；4；5（2）（5）；7；9.2.2導數(shù)運算法則教學目的：掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)求導法則；教學重難點：1.教學重點：導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)求導法則2.教學難點：復合函數(shù)求導法則；隱函數(shù)求導方法教學課時：2教學過程：導數(shù)的四則運算法則定理2.3如果函數(shù)，在點處可導,那么它們的和、差、積、商（分母不為零）在點處也可導，且（1）；（2）；（3）；（4）（）.【證明】這里僅證（3），其余由讀者自己證明.定理2.3中的公式（3）,可以推廣到有限個可導函數(shù)的乘積的導數(shù).例如，注：欲證明定理2.3中的公式（4），則只需先證明，然后按照公式（3）即可證明公式（4）成立.【例1】設,求.【解】【例2】設,求.【解】【例3】設,求,.【解】,.【例4】設,求.【解】即類似可得【例5】設,求.【解】即類似可得復合函數(shù)的求導法則假設鋼棒的長度（單位：）受氣溫（單位：）的影響，而氣溫又是時間（單位：）的函數(shù)，如果氣溫每升高，鋼棒長度增加，每隔１小時，氣溫上升，問鋼棒長度隨時間變化的速度是多少？這里很容易得到答案．鋼棒隨氣溫變化的速度為，氣溫隨時間的變化速度為，所求鋼棒長度隨時間的變化速度就是.這里與之間的函數(shù)關系，可以表示為那么對于一般情況下的復合函數(shù)的導數(shù)是否有此結論？定理2.4如果函數(shù)在點處可導,函數(shù)在點處可導,那么復合函數(shù)在點處可導,且有或【證明】:給一個增量,由得,由得,所以,由于存在,則是連續(xù)函數(shù),因而當時有,故有,即．設,，都可導,對于復合函數(shù)的導數(shù)為．【例6】設,求.【解】由,復合而成的,因此＝.【例7】設,求.【解】由,復合而成,因而.【例8】設,求.【解】由,,復合而成,所以.【例9】設,求.【解】.【例10】設,求.【解】.【例11】設(為常數(shù)),求.【解】.三、作業(yè)習題2.21（1）（3）（5）（7），2（1），3（1）（3）（5）（7）（9）2.3特殊形式函數(shù)的導數(shù)教學目的：1.掌握隱函數(shù)的求導方法、反函數(shù)的求導法則和對數(shù)求導法；2.熟練掌握基本初等函數(shù)的求導公式；3.會求函數(shù)的高階導數(shù).教學重難點：教學重點：隱函數(shù)求導方法與對數(shù)求導方法；高階導數(shù)2.教學難點：隱函數(shù)求導方法一、隱函數(shù)的求導方法,等,因變量是用自變量的關系式來表示的,這種函數(shù)稱為顯函數(shù).但是有時會遇到另一類函數(shù)，例如，，等,變量，之間的函數(shù)關系是用方程來表示的,這種函數(shù)就稱為由方程所確定的隱函數(shù).【例1】求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù).【解】將方程兩邊對求導,即,得,故.【例2】求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù).【解】將方程兩邊對求導,即,得,即,得.隱函數(shù)的求導方法可分為如下兩步:（1）將方程兩邊對求導（注意是的函數(shù)）;（2）從已求得的等式中解出.【例3】求函數(shù)的導數(shù).【解】由可得方程，將方程兩邊對求導,得由于，，，可得故即.類似可得,,.定理2.5如果函數(shù)在區(qū)間內可導，且，那么其反函數(shù)在相應區(qū)間內可導，且或【證】在方程兩邊對求導，得由，得或【例4】求的導數(shù).【解】由的反函數(shù)在內單調、可導，且由反函數(shù)的求導法則，有二、對數(shù)求導法在求形如的冪指函數(shù)、由若干個函數(shù)之積或商構成的函數(shù)的導數(shù)時,可以采取等式兩邊取自然對數(shù)的方法把它化為隱函數(shù)來求導,這種方法就是對數(shù)求導法或取對數(shù)求導法.【例5】求函數(shù)的導數(shù).【解】兩邊取自然對數(shù),得,兩邊對求導,得,于是,即.【例6】求函數(shù)的導數(shù).【解】兩邊取自然對數(shù),得兩邊對求導,得,于是.三、基本導數(shù)公式和求導法則1.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）(12)（13）（14）（15）（16）2.四則運算的求導法則（1）（2）（3）（4）（）3.復合函數(shù)的求導法則如果函數(shù)在點處可導,函數(shù)在點處也可導,那么復合函數(shù)在點處可導,且有或4.反函數(shù)的求導法則如果函數(shù)在區(qū)間內可導，且，那么其反函數(shù)在相應區(qū)間內可導，且或四、高階導數(shù)設一作直線運動的物體其運動方程為,則運動的速度方程為,仍然是一個關于的函數(shù),其加速度或.所以加速度可以看作是的導數(shù)的導數(shù)，稱為對的二階導數(shù)，記作或一般地,仍然是的函數(shù),如果仍可求導,我們把的導數(shù)叫做函數(shù)的二階導數(shù),記作,或.一般地,如果的階導數(shù)的導數(shù)存在,則稱為的階導數(shù),它們分別記作,,,或,,,或,,,.二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).【例7】設,求.【解】,.【例19】設,求,,.【解】,,,.【例8】設,求.【解】,,,……依次類推可得:.【例9】設,求.【解】,,,……依次類推可得.同理可得【例10】設，求.【解】由于，而，故【例11】設由方程確定函數(shù),求.【解】兩邊對求導,得,于是,所以,用=代入,得.作業(yè)習題2.31（1）（3）（5）；2（1）（3）；3；4（1）（3）；52.4導數(shù)在經(jīng)濟學中的應用教學目的：1.理解邊際、彈性的經(jīng)濟含義；2.會計算經(jīng)濟函數(shù)的邊際和彈性；3.會對經(jīng)濟函數(shù)進行邊際分析和彈性分析.教學重難點：1.教學重點：邊際與彈性的經(jīng)濟含義；經(jīng)濟函數(shù)邊際與彈性的計算2.教學難點：經(jīng)濟函數(shù)邊際與彈性的計算教學課時：2教學過程：一、邊際與邊際分析設經(jīng)濟函數(shù)可導，反映一個經(jīng)濟變量相對于另一個經(jīng)濟變量的變化率，即或稱為經(jīng)濟變量的邊際（函數(shù)）.是平均意義上的邊際，表示產(chǎn)生1個單位的變化時，將改變個單位.是自變量在處的邊際，由導數(shù)的定義可知在經(jīng)濟學中，在處的值稱為邊際函數(shù)值.由于在實際的經(jīng)濟問題中，一般是一個比較大的量，而就可以看作一個相對較小的量，因此，可以用平均意義上的邊際近似地代替在處的邊際，即在實際應用中邊際函數(shù)值表示自變量在處，當產(chǎn)生1個單位的變化時，將改變個單位.【例1】解釋下列邊際函數(shù)值或函數(shù)值的實際意義.（1）生產(chǎn)件襯衫的總成本是元，，；（2）某鮮奶訂購點在某個月新的預定份數(shù)是當月廣告投入金額元的函數(shù)，.【解】（1）表示生產(chǎn)件襯衫共需成本元；表示生產(chǎn)量為300件時，再多生產(chǎn)一件襯衫，將追加的成本是元.（2）表示投入300元的廣告費用時，新的預定份數(shù)為180份；表示投入300元的廣告費用時，再多投入一元，新的預定份數(shù)將增加3份，即.下面給出經(jīng)濟學中常見函數(shù)的邊際函數(shù).1.邊際成本總成本函數(shù)對產(chǎn)量的導數(shù)稱為邊際成本(函數(shù)),記作，即2.邊際收益總收益函數(shù)對產(chǎn)量的導數(shù)稱為邊際收益(函數(shù)).記作，即3.邊際利潤總利潤函數(shù)對產(chǎn)量的導數(shù)稱為邊際利潤(函數(shù)).記作或由于,所以【例2】已知需求函數(shù)為:,其中為商品價格,求生產(chǎn)個單位時的總收益、平均收益和邊際收益.【解】先寫出總收益函數(shù)，由已知可得:，總收益函數(shù)為,所以生產(chǎn)個單位時的總收益為:.平均收益所以生產(chǎn)個單位時的平均收益為.由總收益函數(shù)得邊際收益函數(shù)為,所以生產(chǎn)個單位時的邊際收益為.【例3】已知某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為，而需求函數(shù)為，其中分別為產(chǎn)品售價和需求量，求邊際利潤函數(shù)，以及時的邊際利潤，并解釋所得結果的經(jīng)濟意義.【解】由，得因此，有于是，邊際利潤函數(shù)為所以，經(jīng)濟意義：表示當銷售量為60個單位時，再多銷售1個單位產(chǎn)品，利潤將增加48個單位；表示當銷售量為80個單位時，再多銷售1個單位產(chǎn)品，利潤將減少4個單位.彈性與彈性分析在經(jīng)濟學中，彈性是用來描述一個經(jīng)濟變量對另一個經(jīng)濟變量變化的敏感程度，即一個經(jīng)濟變量變動百分之一會使另一變量變動百分之幾.1.函數(shù)的彈性定義2.3設函數(shù)在點處可導,且，則稱為函數(shù)在點與點之間的平均相對變化率，又稱為兩點間的彈性或弧彈性.如果極限存在,那么稱此極限為函數(shù)在點處的相對變化率，又稱為點彈性,記作,即如果函數(shù)在區(qū)間上可導，且，那么稱為函數(shù)在區(qū)間上的點彈性函數(shù)，簡稱彈性函數(shù).【例4】求函數(shù)的彈性.【解】由于,所以.彈性的經(jīng)濟意義我們以需求函數(shù)的彈性來說明彈性的經(jīng)濟意義.定義2.4設某商品的需求函數(shù)可導，稱為需求函數(shù)在價格處的需求價格彈性,簡稱為需求彈性.一般情況下因,,而,所以.在經(jīng)濟學上，常用表示價格變動時需求量的變化幅度，即需求價格彈性的經(jīng)濟意義:在價格為時,如果價格提高或降低,需求將減少或增加.當時,稱需求是低彈性的;當時,稱需求是高（強）彈性的;當時,稱需求是單位彈性的.【例5】設某商品的需求函數(shù)為,試求:（1）需求價格彈性;（2）當,,時的需求價格彈性,并作出經(jīng)濟解釋.【解】（1）因故;（2）當時,,需求是低彈性的.而當時,,這說明:在價格時,若價格提高或降低,需求將由起減少或增加.這時,需求下降或提高的幅度小于價格提高或降低的幅度.應采取提高價格的方法，增加收益.當時,,需求是單位彈性的.而時,,這說明:在價格時,若價格提高或降低,需求將由起減少或增加.這時,需求下降或提高的幅度等于價格提高或降低的幅度.表明提價與降價對總收益無明顯影響.當時,,需求是彈性的.而時,,這說明:在價格時,若價格提高或降低