淺析函數(shù)方程的一些解法

淺析函數(shù)方程的一些解法(宜賓學(xué)院數(shù)學(xué)系周文波644000)指導(dǎo)教師：張玲摘要函數(shù)方程的理論是個(gè)歷史悠久、內(nèi)容豐富、應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)分支，本文就函數(shù)方程的解進(jìn)行探索歸納，從而得出求解函數(shù)方程的簡(jiǎn)潔有效方法.關(guān)鍵詞函數(shù)方程；解法1引言函數(shù)方程的解是古老的分析問題之一。早在200多年前的1769年法國數(shù)學(xué)家、理學(xué)家達(dá)郎貝爾在論證力的合成時(shí)，就導(dǎo)出了函數(shù)方程：。法國數(shù)學(xué)家柯西給出了這個(gè)方程的解，并創(chuàng)造了一種非常美妙的解法，這種方法被后人稱為柯西方法。許多數(shù)學(xué)家都曾對(duì)函數(shù)方程進(jìn)行過研究，可是至今還沒有完整的理論和解法。函數(shù)方程的問題對(duì)邏輯思維的開展起著重要作用，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和日常生活分析問題、解決問題的深化。隨著函數(shù)方程的廣泛應(yīng)用，這類問題就經(jīng)常出現(xiàn)在高考，奧林匹克競(jìng)賽，以及IMO等數(shù)學(xué)常見考試中，這也從客觀上說明了函數(shù)方程這個(gè)問題極具研究?jī)r(jià)值，對(duì)它進(jìn)行研究能培養(yǎng)我們的創(chuàng)新意識(shí)。它的解法都各具特色，一些簡(jiǎn)單的函數(shù)方程，只需要以初等數(shù)學(xué)為工具便可解答，這類題目經(jīng)常在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中出現(xiàn)。因此，對(duì)函數(shù)方程的研究就顯得非常有必要。在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常遇到與函數(shù)方程有關(guān)的問題,關(guān)于這類問題,主要是直接求解某一給定的函數(shù)方程或根據(jù)實(shí)際問題列出函數(shù)方程后再求解其它延伸問題。求解這類題型是有一定難度的,這些困難同函數(shù)方程本身有關(guān),因?yàn)闀簳r(shí)探索出解函數(shù)方程的方法還不全面,大量的函數(shù)方程至今仍未解出,而已解出的函數(shù)方程中的大多數(shù)需用高等數(shù)學(xué)方法求解,能運(yùn)用初等方法求解的函數(shù)方程并不多，這里先介紹函數(shù)方程的性質(zhì),然后介紹用初等方法解函數(shù)方程的方法.2函數(shù)方程的求解策略函數(shù)方程即含有未知函數(shù)的等式叫做函數(shù)方程。例如：等，都是函數(shù)方程，其中是未知函數(shù).如果函數(shù)在其定義域內(nèi)的一切值均滿足所給函數(shù)方程，那么稱是該函數(shù)方程的解。函數(shù)方程的解是一個(gè)或幾個(gè)，甚至無限多個(gè)函數(shù)。例如，上述第一個(gè)和第二個(gè)函數(shù)方程的解分別是一切偶函數(shù)，一切以T為周期的函數(shù)。尋求函數(shù)方程的解或證明函數(shù)方程無解的過程，叫做解函數(shù)方程。有關(guān)函數(shù)方程方面的題目大致可分為三類：確定函數(shù)的表達(dá)式；確定滿足函數(shù)方程的函數(shù)的性質(zhì)；確定函數(shù)的值。2.1換元法換元法是將函數(shù)的“自變量”或某個(gè)關(guān)系式代之以一個(gè)新的變量〔中間變量〕，然后找出函數(shù)對(duì)中間變量的關(guān)系，從而求出函數(shù)的表達(dá)式。是解函數(shù)方程的根本方法之一。對(duì)函數(shù)方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，得到一個(gè)新的函數(shù)方程，從而來得到原方程的解。例，求解：令，那么，于是，以代，得2.2解方程組法解方程組法是將函數(shù)方程的變量〔或關(guān)系式〕進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q〔有時(shí)需要幾次代換〕，得一個(gè)〔或幾個(gè)〕新的函數(shù)方程，然后與原方程聯(lián)立，解方程組中的未知函數(shù)，即可得出所求的函數(shù)方程的解。例設(shè)，且eq\o\ac(○,1)求.〔第32屆美國普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽題〕解從原方程的形式可以看出，作變量代換是有作用的，帶入eq\o\ac(○,1)得，把這個(gè)式子中的改寫成，得eq\o\ac(○,2)再令，代入eq\o\ac(○,1)得把換成，又得eq\o\ac(○,3)把eq\o\ac(○,1)，eq\o\ac(○,2)，eq\o\ac(○,3)聯(lián)立，就可以看成是一個(gè)關(guān)于的三元一次方程組。eq\o\ac(○,1)+eq\o\ac(○,2)-eq\o\ac(○,3)解之，可得經(jīng)驗(yàn)證這個(gè)函數(shù)滿足原函數(shù)方程。例是定義在的實(shí)值函數(shù)，且，eq\o\ac(○,1)求.解：以代，得eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)聯(lián)立，得消去，得:此方法的特點(diǎn)滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除是未知量外，還有其它未知量，如：，等，必須根據(jù)等式再構(gòu)造其它等式組成方程組，通過解方程組求出。用此方法解題的關(guān)鍵是得出一個(gè)新元，將新元換為，然后和原方程聯(lián)立求解，最后得出.這種方法無需進(jìn)行過多的結(jié)構(gòu)分析、對(duì)原來方程進(jìn)行變形等。此方法雖和換元法有聯(lián)系，但解決問題的思路還是比擬簡(jiǎn)單。2.3賦值法賦值法是在函數(shù)定義域內(nèi)，賦予變量〔一個(gè)或幾個(gè)〕一些特殊值或式子，使方程化簡(jiǎn)，從而使問題獲得解決.例設(shè)是定義在上的不恒等于零的函數(shù)，,且對(duì)任意，，恒有eq\o\ac(○,1)證明：〔1〕；〔2〕；〔3〕.證明：〔1〕在eq\o\ac(○,1)中，以分別代替，，得〔2〕在eq\o\ac(○,1)中，令，那么eq\o\ac(○,2)因不恒等于0，故必有，使，不妨取，那么，由eq\o\ac(○,2)可得.于是〔3〕在eq\o\ac(○,1)中，以，0分別代，，得例〔2002年北京卷〕是定義在上的不恒等于零的函數(shù)，且對(duì)任意的都滿足：(1)求的值.(2)判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論.解：(1)令，有令，有，得(2)令，有.因?yàn)?，所以令，那么故為奇函?shù).此方法的特點(diǎn)是當(dāng)函數(shù)方程的自變量多于一個(gè)時(shí)，將其中的一個(gè)或幾個(gè)自變量用一些特殊值代入，常?？梢院?jiǎn)化方程，或求得未知函數(shù)在某些特殊點(diǎn)的值。這樣就能使題設(shè)條件得到轉(zhuǎn)化，從而得出我們要求的結(jié)果。2.4遞推法遞推法涉及到兩個(gè)方面的內(nèi)容，一類是以遞推表達(dá)式為特征的函數(shù)方程形式，另一類是以遞歸數(shù)列表達(dá)的函數(shù)方程形式。當(dāng)函數(shù)方程按遞歸的方式表達(dá)時(shí)，可通過解函數(shù)方程相應(yīng)的特征方程，然后得出所求函數(shù)方程的解。設(shè)是定義在自然數(shù)集上的函數(shù).(確定常數(shù)),如果存在一個(gè)遞推(或遞歸)關(guān)系,當(dāng)知道了前面項(xiàng)的值由可唯一確定的值,那么稱為階遞歸函數(shù).遞推法(或遞歸)是解決函數(shù)方程的重要方法.例函數(shù)定義在自然數(shù)集上，且對(duì)任意的,都滿足求.分析：對(duì)于條件中的可首先確定遞推關(guān)系式，即令得出關(guān)于的遞推關(guān)系，利用遞歸數(shù)列求通項(xiàng)的方法求解.解令，得eq\o\ac(○,1)在eq\o\ac(○,1)中，依次令，有以上個(gè)式子相加，得即例是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，滿足，且對(duì)任意，有：，求.解原函數(shù)方程中令，并利用得整理后，可得令……將上述各式相加，得以代入后，經(jīng)過整理得于是，所求的函數(shù)應(yīng)為經(jīng)驗(yàn)證它滿足原函數(shù)方程.求定義在自然數(shù)集上的函數(shù),實(shí)際上就是數(shù)列的通項(xiàng).就是利用等比、等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)(通項(xiàng)公式、求和公式等)求定義在上的函數(shù).例有，.解法一由eq\o\ac(○,1)得eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,2)－eq\o\ac(○,1)，得所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，其通項(xiàng)為：eq\o\ac(○,3)將eq\o\ac(○,2)及代入eq\o\ac(○,3)，并整理，得即2.5數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中的重要方法之一.適用范圍相當(dāng)廣泛，所以對(duì)求解函數(shù)方程也同樣有效，當(dāng)未知函數(shù)定義在自然數(shù)集上時(shí)常用到.例函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集，值域?yàn)榉秦?fù)整數(shù)集，所有正整數(shù)，滿足：；，，求.〔第23屆IMO第1題〕分析：由條件得知的定義域?yàn)檎麛?shù)集，那么我們?cè)囍鴮⑦@個(gè)題的解法同數(shù)學(xué)歸納法相聯(lián)系，在解答過程中將題設(shè)中的條件適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，我們將發(fā)現(xiàn)一定規(guī)律，由此得出答案。解由或1，得下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)命題成立.假設(shè)對(duì)于小于的一切自然數(shù)，結(jié)論成立，那么例設(shè)是自然數(shù)集，是定義在上并在內(nèi)取值的函數(shù)，且對(duì)有eq\o\ac(○,1)求的所有可能的值.解設(shè)，那么由eq\o\ac(○,1)可得特別如果設(shè)，那么有下面用反證法證明，假設(shè)不然，設(shè)又設(shè)那么，這是不可能的，這就證明了，如果，那么由數(shù)學(xué)歸納法知，對(duì)一切所以例求證：不存在這樣的函數(shù)，它對(duì)每個(gè)都有證明：反設(shè)存在這樣的函數(shù)，它滿足條件，那么eq\o\ac(○,1)于是，用數(shù)學(xué)歸納法易證：對(duì)所有，有.下面證明：設(shè)那么eq\o\ac(○,2)的充分必要條件是，這里都是整數(shù).事實(shí)上，設(shè)eq\o\ac(○,2)成立，那么由eq\o\ac(○,1)有充分性可類似證明.由上述結(jié)論可見，假設(shè)那么可將配成一個(gè)無序數(shù)對(duì)，這樣，A中的數(shù)將兩兩配對(duì).由于A中有奇數(shù)〔1987〕個(gè)數(shù)，所以，必存在與自己配對(duì)，即存在整數(shù)，使得于是從而，與是整數(shù)矛盾.故假設(shè)不成立，原命題成立.2.6函數(shù)迭代法例設(shè)為自然數(shù)集，，如果有一個(gè)函數(shù)時(shí)嚴(yán)格遞增的，且對(duì)每一個(gè)，都有.求證：對(duì)每一個(gè)，都有〔CMO,1990年〕證明：例設(shè)(1999年第十屆希望杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽)解因?yàn)樗阅敲蠢O(shè)為常數(shù)，且證明：對(duì)任意〔2003年全國高考新課程卷天津等省市試卷第22題)分析：此題的遞推關(guān)系式中是一個(gè)變量，于是我們?cè)诶么ㄏ禂?shù)法構(gòu)造新數(shù)列時(shí)要注意與類型〔1〕的區(qū)別，于是可以設(shè)，由比擬系數(shù)得λ的值，再迭代；思路二，對(duì)遞推關(guān)系進(jìn)行等價(jià)變形，即兩邊同除以轉(zhuǎn)化為類型〔1〕的問題求解；思路三直接利用關(guān)系式迭代轉(zhuǎn)化為求和問題．解：法1(構(gòu)造等比數(shù)列迭代)方法2原式化為方法3(下標(biāo)遞降)：2.7不動(dòng)點(diǎn)法不動(dòng)點(diǎn)定理時(shí)應(yīng)用十分廣泛的定理，很多數(shù)學(xué)問題都可以用到它的理論來解題，函數(shù)方程的解也不例外，同樣可以應(yīng)用它，而且有時(shí)會(huì)覺得比其它方法更為簡(jiǎn)單。例求所有函數(shù)，使其定義域?yàn)橐磺姓龑?shí)數(shù)，值為正實(shí)數(shù)，且(1)(2).〔第24屆IMO第1題〕解對(duì)任意正實(shí)數(shù)，任意，所以，故，這說明任意正實(shí)數(shù)都在的值域內(nèi).特別地，存在，使，那么因，所以，即是的不動(dòng)點(diǎn)〔任〕假設(shè)，那么，即也是的不動(dòng)點(diǎn).特別地，是的不動(dòng)點(diǎn)，故不存在大于1的不動(dòng)點(diǎn).事實(shí)上，假設(shè),那么矛盾.因任意為的不動(dòng)點(diǎn)，故.即eq\o\ac(○,1)設(shè)所以也是的不動(dòng)點(diǎn)，故，所以eq\o\ac(○,2)由eq\o\ac(○,1)和eq\o\ac(○,2)，得.即滿足題設(shè)條件的函數(shù)只有.例數(shù)列的遞推公式為eq\o\ac(○,1)求它的通項(xiàng)公式.解先求出分式線性函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，既由eq\o\ac(○,2)得出不動(dòng)點(diǎn)eq\o\ac(○,3)由于滿足eq\o\ac(○,2)，所以所以即是公比為的等比數(shù)列.，那么可得例數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：令，得，那么是函數(shù)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)樗詳?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故，那么評(píng)注：此題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，即方程的兩個(gè)根，進(jìn)而可推出，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.2.8柯西方法柯西方法是一種“爬坡式”的推理方法，即首先求出自變量取自然數(shù)時(shí)，函數(shù)方程的解，然后依次求出自變量取整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)方程的解。例設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，且對(duì)一切，，eq\o\ac(○,1)求.解(1)當(dāng)自變量取自然數(shù)時(shí).由數(shù)學(xué)歸納法可得:令，那么eq\o\ac(○,2)在eq\o\ac(○,2)中，令eq\o\ac(○,3)(2)當(dāng)自變量取整數(shù)時(shí).eq\o\ac(○,4)eq\o\ac(○,5)由eq\o\ac(○,3)、eq\o\ac(○,4)、eq\o\ac(○,5)，得eq\o\ac(○,6)(3)當(dāng)自變量取有理數(shù)時(shí).設(shè)由eq\o\ac(○,2)，有由eq\o\ac(○,6)，有即eq\o\ac(○,7)(4)當(dāng)自變量取實(shí)數(shù)時(shí).對(duì)任意，存在.由于連續(xù)及eq\o\ac(○,7)，有本例中的函數(shù)方程是一個(gè)很重要的函數(shù)方程，它時(shí)由法國數(shù)學(xué)家柯西首先研究的，所以被稱為柯西函數(shù)方程。本例中的這個(gè)解函數(shù)方程的方法叫做柯西方法。在許多函數(shù)方程問題中，將函數(shù)方程通過變形或變換，轉(zhuǎn)化為柯西函數(shù)方程，即可利用上述結(jié)論例設(shè)是的連續(xù)函數(shù)，且不恒等于零，解函數(shù)方程解對(duì)一切，有假設(shè)存在，有，那么對(duì)任何，有這與不恒為零矛盾.故對(duì)一切，.于是，可以對(duì)原方程兩邊取對(duì)數(shù)，得令，得由于連續(xù)，由例14可得〔c為任意實(shí)數(shù)〕，即這里是任意正常數(shù).3結(jié)束語關(guān)于函數(shù)方程問題需要運(yùn)用初等代數(shù)的許多方法和技巧結(jié)合來處理相關(guān)問題，有時(shí)甚至需要用到高等代數(shù)的方法原理來指導(dǎo)解題思路。因此，學(xué)習(xí)關(guān)于函數(shù)方程的課題時(shí)，涉足大量的數(shù)學(xué)根底理論和原理是我們解決好這類問題的根底。求解這類問題能夠幫助我們提高邏輯思維以及分析問題、解決問題的能力。用所掌握的理論原理分析、解決一些實(shí)踐問題，這才是我們進(jìn)行探索的目的。函數(shù)方程的研究成果對(duì)我們的社會(huì)生活產(chǎn)生的影響日漸明顯，它能夠幫助我們解決許多生活中的實(shí)際問題。解復(fù)雜的函數(shù)方程無一般方法可循，導(dǎo)致求解這類問題需要靈活地應(yīng)用函數(shù)方程的根底知識(shí)和熟練的變形技巧，所以函數(shù)方程的研究是有一定難度的，但是也是十分有趣的課題。目前，函數(shù)方程需要我們研究更深入的問題，如用微積分方法，極限方法求解函數(shù)方程。在此，希望更多數(shù)學(xué)愛好者能把精力投入到這類問題的研究中。4謝辭本論文是在指導(dǎo)老師張玲副教授的指導(dǎo)下完成的。在論文寫作整個(gè)過程中，張林老師給予了悉心本次實(shí)驗(yàn)還得到了課題組的各位老師以及相關(guān)同學(xué)的大力協(xié)助，在此一并表示我的感謝！謝謝你們！參考文獻(xiàn)1陳傳理,張同君.競(jìng)賽數(shù)學(xué)教程.北京高等教育出版社,1995:61-73單墫.數(shù)學(xué)奧林匹克高中競(jìng)賽版競(jìng)賽篇.北京大學(xué)出版社,2003:251-283俞宏毓.函數(shù)方程的一些解法.重慶出版社數(shù)學(xué)教學(xué)通訊總第227期.2005周曉文.函數(shù)方程的求解策略.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué).2003年第5期葉軍,卞新榮,李再湘,高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽熱點(diǎn)