微專題11 立體幾何中的截面問(wèn)題（六大題型）（原卷版）

微專題11立體幾何中的截面問(wèn)題【題型歸納目錄】題型一：判斷截面形狀題型二：截面周長(zhǎng)題型三：截面面積題型四：截面作圖題型五：截面切割幾何體的體積問(wèn)題題型六：截面圖形有關(guān)面積、長(zhǎng)度及周長(zhǎng)范圍與最值問(wèn)題【方法技巧與總結(jié)】1、突破思維定式，靈活分析問(wèn)題解答高中數(shù)學(xué)立體幾何截面問(wèn)題要突破思維定式，多視角地進(jìn)行觀察、分析、對(duì)比，深人地理解截面對(duì)原立體幾何圖形體積造成的影響，避免掉進(jìn)出題人設(shè)計(jì)的陷阱之中．2、注重應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，快速破解問(wèn)題解答高中數(shù)學(xué)立體幾何截面問(wèn)題時(shí)應(yīng)注重具體問(wèn)題具體分析，尤其遇到似曾相識(shí)的問(wèn)題時(shí)應(yīng)注重聯(lián)系已有的解題經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)用所學(xué)的幾何知識(shí)找到參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，構(gòu)建正確的數(shù)學(xué)方程，快速破解問(wèn)題．3、借助幾何模型，化陌生為熟悉在解答一些高中數(shù)學(xué)立體幾何截面問(wèn)題時(shí)，應(yīng)用幾何模型化陌生為熟悉，可大大降低解題難度，提高解題效率．解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題，充分挖掘隱含條件，將陌生圖形融人熟悉的情境中，以更好地找到解題思路，達(dá)到事半功倍的解題效果．【典型例題】題型一：判斷截面形狀【典例1-1】（2024·高一·重慶渝中·期末）過(guò)正三棱柱底面一邊和兩底中心連線的中點(diǎn)作截面，則這個(gè)截面的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰梯形 D．平行四邊形【典例1-2】（2024·高一·福建·階段練習(xí)）用一個(gè)平面去截一個(gè)四棱錐，截面形狀不可能的是(

)A．四邊形 B．三角形 C．五邊形 D．六邊形【變式1-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則平面AEF截正方體形成的截面圖形為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形題型二：截面周長(zhǎng)【典例2-1】（2024·高二·上海普陀·期中）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則由點(diǎn)確定的平面截正方體所得的截面多邊形的周長(zhǎng)等于.【典例2-2】（2024·高三·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，，為棱的中點(diǎn)，為棱的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)作該正方體的截面，則該截面的周長(zhǎng)是.【變式2-1】（2024·高三·四川成都·開學(xué)考試）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，E是側(cè)棱的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面圖形的周長(zhǎng)是．

【變式2-2】（2024·高一·遼寧大連·階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為6，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為．

題型三：截面面積【典例3-1】（2024·高一·廣東清遠(yuǎn)·期末）在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)課中，小華進(jìn)行了如下探究:如圖，這是注入了一定量水的正方體密閉容器，現(xiàn)將該正方體容器的一個(gè)頂點(diǎn)A固定在地面上，使得AD，AB，AA1三條棱與水平面所成角均相等，此時(shí)水平面恰好經(jīng)過(guò)BB1的中點(diǎn)，若AB=1，則該水平面截正方體ABCD-A1B1C1D1所得截面的面積為.

【典例3-2】（2024·高一·江蘇南京·期末）已知正方體棱長(zhǎng)為2，為棱中點(diǎn)，過(guò)，，三點(diǎn)的平面截正方體，所得截面面積為．【變式3-1】（2024·山東濰坊·二模）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)、、分別是棱、、的中點(diǎn)，則由點(diǎn)、、確定的平面截正方體所得的截面多邊形的面積等于．

【變式3-2】（2024·高二·江西九江·階段練習(xí)）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)G在棱上，，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，過(guò)E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的截面將正方體分成兩部分，則正方體的四個(gè)側(cè)面被截面截得的上、下兩部分面積比值為．【變式3-3】（2024·高一·山西晉城·期中）在棱長(zhǎng)為6的正方體中，E是棱AB的中點(diǎn)，過(guò)作正方體的截面，則該截面的面積是．題型四：截面作圖【典例4-1】（2024·高一·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖①，在棱長(zhǎng)為2的正方體木塊中，是的中點(diǎn).

(1)要經(jīng)過(guò)點(diǎn)將該木塊鋸開，使截面平行于平面，在該木塊的表面應(yīng)該怎樣畫線？請(qǐng)?jiān)趫D①中作圖，寫出畫法，并證明.(2)求四棱錐的體積；【典例4-2】（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知四棱錐中，底面為直角梯形，平面，，，，，M為中點(diǎn)，過(guò)C，D，M的平面截四棱錐所得的截面為．若與棱交于點(diǎn)F，畫出截面，保留作圖痕跡（不用說(shuō)明理由），求點(diǎn)F的位置；【變式4-1】（2024·廣西河池·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐中，底面為直角梯形，平面，，，，，為中點(diǎn)，過(guò)，，的平面截四棱錐所得的截面為．(1)若與棱交于點(diǎn)，畫出截面，保留作圖痕跡（不用說(shuō)明理由），并證明．(2)求多面體的體積．題型五：截面切割幾何體的體積問(wèn)題【典例5-1】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，用截面截下一個(gè)三棱錐，則三棱錐的體積與剩余部分的體積之比為.【典例5-2】（2024·貴州貴陽(yáng)·貴陽(yáng)六中?？家荒＃┰谌庵?，底面，，點(diǎn)P是棱上的點(diǎn)，，若截面分這個(gè)棱柱為兩部分，則這兩部分的體積比為.【變式5-1】（2024·廣東揭陽(yáng)·高一普寧市華僑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體中，E?F分別是棱?的中點(diǎn)，則正方體被截面BEFC分成兩部分的體積之比.題型六：截面圖形有關(guān)面積、長(zhǎng)度及周長(zhǎng)范圍與最值問(wèn)題【典例6-1】（2024·高三·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，過(guò)作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為（

）

A． B． C． D．【典例6-2】（2024·高一·遼寧大連·期末）已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為4，圓心角為的扇形，過(guò)該圓錐頂點(diǎn)作截面，則截面面積的最大值為（

）A． B．8 C． D．6【變式6-1】（2024·高一·河北唐山·期末）若圓錐的底面半徑為，高為1，過(guò)圓錐頂點(diǎn)作一截面，則截面面積的最大值為（

）A．2 B． C． D．【變式6-2】（多選題）（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）已知一圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，為底面圓的一條直徑上的兩個(gè)端點(diǎn)，則（

）A．該圓錐的母線長(zhǎng)為2B．該圓錐的體積為C．從點(diǎn)經(jīng)過(guò)圓錐的側(cè)面到達(dá)點(diǎn)的最短距離為D．過(guò)該圓錐的頂點(diǎn)作圓錐的截面，則截面面積的最大值為【過(guò)關(guān)測(cè)試】1．（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，棱錐的高，截面平行于底面與截面交于點(diǎn)，且．若四邊形的面積為36，則四邊形的面積為（

）A．12 B．16C．4 D．82．（2024·高二·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）截角四面體可由四面體經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕亟嵌玫剑鐖D所示為一個(gè)正四面體，作平行于各個(gè)面的截面截角得到一個(gè)所有棱長(zhǎng)均為2的截角四面體，則該截角四面體的體積為（

）

A． B． C． D．3．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)飛機(jī)超音速飛行時(shí)，聲波會(huì)形成一個(gè)以飛機(jī)前端為頂點(diǎn)，飛機(jī)的飛行方向?yàn)檩S的圓錐（如圖），稱為“馬赫錐”.馬赫錐的軸截面頂角與飛機(jī)的速度、音速滿足關(guān)系式.若一架飛機(jī)以2倍音速沿直線飛行，則該飛機(jī)形成的馬赫錐在距離頂點(diǎn)處的截面圓面積為（

）

A． B． C． D．4．（2024·高三·江西·開學(xué)考試）已知一正方體木塊的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)在校上，且.現(xiàn)過(guò)三點(diǎn)作一截面將該木塊分開，則該截面的面積為（

）A． B． C． D．5．（2024·高三·福建泉州·期末）已知圓柱母線長(zhǎng)等于2，過(guò)母線作截面，截面的最大周長(zhǎng)等于8，則該圓柱的體積等于（

）A． B． C． D．6．（2024·高三·河北滄州·階段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，為棱上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，若平面截該正方體所得的截面為五邊形，則線段的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2024·高二·上海長(zhǎng)寧·期末）已知圓錐的底面直徑為8，母線長(zhǎng)為5，過(guò)圓錐的任意兩條母線作一個(gè)平面與圓錐相截，則截面面積的最大值是．8．（2024·高二·上?！て谀┮阎比庵?，，過(guò)點(diǎn)的平面分別交棱AB，AC于點(diǎn)D，E，若