吉林省白山市第七中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末綜合測試試題含解析

吉林省白山市第七中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末綜合測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則A．140 B．70 C．154 D．772．若正實(shí)數(shù)，滿足，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．某班設(shè)計(jì)了一個(gè)八邊形的班徽（如圖），它由腰長為1，頂角為的四個(gè)等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為A．； B．C． D．4．已知數(shù)列（，）具有性質(zhì)：對(duì)任意、（），與兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，對(duì)于命題：①若數(shù)列具有性質(zhì)，則；②若數(shù)列，，（）具有性質(zhì)，則；下列判斷正確的是（）A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題5．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=-x2-5xA．(-1,2) B．(-1,3) C．(-2,3) D．(-2,4)6．已知tan(α+π5A．1B．-57C．7．在等差數(shù)列{an}中，已知a1=2A．50 B．52 C．54 D．568．我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1500石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得250粒內(nèi)夾谷30粒，則這批米內(nèi)夾谷約為多少石？A．180 B．160 C．90 D．3609．已知直線的傾斜角為，且過點(diǎn)，則直線的方程為（）A． B． C． D．10．在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則的面積為（）A． B．4 C． D．8二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的反函數(shù)是______.12．已知與的夾角為，，，則________.13．在等比數(shù)列中，，公比，若，則達(dá)到最大時(shí)n的值為____________．14．若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____.15．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，的平分線交AC于點(diǎn)D，且，則的最小值為________．16．已知向量，，且與垂直，則的值為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．若x，y為正實(shí)數(shù)，求證：，并說明等號(hào)成立的條件.18．已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若對(duì)一切，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．如圖，某快遞小哥從地出發(fā)，沿小路以平均速度為20公里小時(shí)送快件到處，已知公里，，是等腰三角形，．（1）試問，快遞小哥能否在50分鐘內(nèi)將快件送到處？（2）快遞小哥出發(fā)15分鐘后，快遞公司發(fā)現(xiàn)快件有重大問題，由于通訊不暢，公司只能派車沿大路追趕，若汽車的平均速度為60公里小時(shí)，問，汽車能否先到達(dá)處？20．現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐，下部分的形狀是正四棱柱（如圖所示），并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍.（1）若則倉庫的容積是多少？（2）若正四棱錐的側(cè)棱長為，則當(dāng)為多少時(shí)，倉庫的容積最大？21．（1）己知直線，求與直線l平行且到直線l距離為2的直線方程；（2）若關(guān)于x的不等式的解集是的子集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，及等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法和等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

根據(jù)，結(jié)合基本不等式可求得，從而得到關(guān)于的不等式，解不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意知：，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），解得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求解和的最小值問題，關(guān)鍵是配湊出符合基本不等式的形式，從而求得最值.3、A【解析】

試題分析：利用余弦定理求出正方形面積；利用三角形知識(shí)得出四個(gè)等腰三角形面積；故八邊形面積.故本題正確答案為A.考點(diǎn)：余弦定理和三角形面積的求解.【方法點(diǎn)晴】本題是一道關(guān)于三角函數(shù)在幾何中的應(yīng)用的題目，掌握正余弦定理是解題的關(guān)鍵；首先根據(jù)三角形面積公式求出個(gè)三角形的面積；接下來利用余弦定理可求出正方形的邊長的平方，進(jìn)而得到正方形的面積，最后得到答案.4、A【解析】

本題是一種重新定義問題，要我們理解題目中所給的條件，解決后面的問題，把后面的問題挨個(gè)驗(yàn)證．【詳解】解：①若數(shù)列具有性質(zhì)，取數(shù)列中最大項(xiàng)，則與兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，而不是該數(shù)列中的項(xiàng)，是該數(shù)列中的項(xiàng)，又由，；故①正確；②數(shù)列，，具有性質(zhì)，，與至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，且，若是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則，，易知不是該數(shù)列的項(xiàng)，．若是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則或或，a、若同，b、若，則，與矛盾，c、，則，綜上．故②正確．故選：．【點(diǎn)睛】考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，此題能很好的考查學(xué)生的應(yīng)用知識(shí)分析、解決問題的能力，側(cè)重于對(duì)能力的考查，屬中檔題．5、C【解析】

根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性分析可得函數(shù)的解析式，作出函數(shù)圖象，結(jié)合不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖象中的遞減區(qū)間，分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)x>0，則-x<0，所以f(-x)=-x因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(-x)=-x所以f(x)=x即x≥0時(shí)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=-x則f(x)的圖象如圖：在區(qū)間(-5若f(x)-f(x-1)<0，即f(x-1)>f(x)，又由x-1<x，且f(-3)=f(-2),f(2)=f(3)，必有x-1>-3x<3時(shí)，f(x)-f(x-1)<0解得-2<x<3，因此不等式的解集是(-2,3)，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，利用函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的解析式，根據(jù)圖象解不等式是本題的關(guān)鍵，屬于難題.6、D【解析】∵α-β+π=(α+π∴tan=2+3tan(α-β)=7、C【解析】

利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得基本量d，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得a4【詳解】設(shè)等差數(shù)列an公差為則a2+∴本題正確選項(xiàng)：C【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式構(gòu)造方程求得公差，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)數(shù)得250粒內(nèi)夾谷30粒，根據(jù)比例，即可求得結(jié)論?！驹斀狻吭O(shè)批米內(nèi)夾谷約為x石，則，解得：選A?！军c(diǎn)睛】此題考查簡單隨機(jī)抽樣，根據(jù)部分的比重計(jì)算整體值。9、B【解析】

根據(jù)傾斜角的正切值為斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線方程，化為一般式即可.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，故直線斜率.又直線過點(diǎn)，故由點(diǎn)斜式方程可得整理為一般式可得：.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的求解，涉及點(diǎn)斜式，屬基礎(chǔ)題.10、B【解析】

求出直線AB的方程及點(diǎn)C到直線AB的距離d，再求出，代入即可得解.【詳解】，即，點(diǎn)到直線的距離，，的面積為：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查直線的點(diǎn)斜式方程，點(diǎn)到直線的距離與兩點(diǎn)之間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、，【解析】

求出函數(shù)的值域作為其反函數(shù)的定義域，再由求出其反函數(shù)的解析式，綜合可得出答案.【詳解】，則，由可得，，因此，函數(shù)的反函數(shù)是，.故答案為：，.【點(diǎn)睛】本題考查反三角函數(shù)的求解，解題時(shí)注意求出原函數(shù)的值域作為其反函數(shù)的定義域，考查計(jì)算能力，屬于中等題.12、3【解析】

將平方再利用數(shù)量積公式求解即可.【詳解】因?yàn)?故.化簡得.因?yàn)椋?故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查了模長與數(shù)量積的綜合運(yùn)用,經(jīng)常利用平方去處理.屬于基礎(chǔ)題.13、7【解析】

利用，得的值【詳解】因?yàn)?，，所以?.故答案為：7【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)及單調(diào)性，找到與1的分界是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題14、【解析】

用換元法把不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式．然后用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值．【詳解】設(shè)，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，不等式化為，即，不等式在上恒成立，時(shí)，顯然成立，，對(duì)上恒成立，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知在是減函數(shù)，時(shí)，，∴，即．綜上，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題，解題方法是轉(zhuǎn)化與化歸，首先用換元法化指數(shù)型不等式為一元二次不等式，再用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值．15、32【解析】

根據(jù)面積關(guān)系建立方程關(guān)系，結(jié)合基本不等式1的代換進(jìn)行求解即可．【詳解】如圖所示，則△ABC的面積為，即ac=2a+2c，得，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即3c=a時(shí)取等號(hào)；∴的最小值為32.故答案為：32.【點(diǎn)睛】本題考查三角形中的幾何計(jì)算，屬于中等題.16、【解析】

根據(jù)與垂直即可得出，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出x的值．【詳解】；；．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，證明見解析【解析】

由題意，.【詳解】由題意，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，聯(lián)立解得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的運(yùn)用，考查了不等式的證明，屬于中檔題.18、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)一元二次不等式的求解方法直接求解即可；（2）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立的問題，通過基本不等式求得的最小值，則.【詳解】（1）或所求不等式解集為：（2）當(dāng)時(shí)，可化為：又（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）即的取值范圍為：【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的求解、恒成立問題的求解問題.解決恒成立問題的關(guān)鍵是通過分離變量的方式，將問題轉(zhuǎn)化為所求參數(shù)與函數(shù)最值之間的比較問題.19、(1)快遞小哥不能在50分鐘內(nèi)將快件送到處．(2)汽車能先到達(dá)處．【解析】試題分析：（1）由題意結(jié)合圖形，根據(jù)正弦定理可得，，求得的長，又，可求出快遞小哥從地到地的路程，再計(jì)算小哥到達(dá)地的時(shí)間，從而問題可得解；（2）由題意，可根據(jù)余弦定理分別算出與的長，計(jì)算汽車行馳的路程，從而求出汽車到達(dá)地所用的時(shí)間，計(jì)算其與步小哥所用時(shí)間相差是否有15分鐘，從而問題可得解.試題解析：（1）（公里），中，由，得（公里）于是，由知，快遞小哥不能在50分鐘內(nèi)將快件送到處．（2）在中，由，得（公里），在中，，由，得（公里），-由（分鐘）知，汽車能先到達(dá)處．點(diǎn)睛：此題主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，以及關(guān)于路程問題的求解運(yùn)算等方面的知識(shí)與技能，屬于中低檔題型，也是?？碱}型.在此類問題中，總是正弦定理、余弦定理，以及相關(guān)聯(lián)的三角函數(shù)的知識(shí)，所以根據(jù)題目條件、圖形進(jìn)行挖掘，找到與問題銜接處，從而尋找到問題的解決方案.20、（1）312（2）【解析】試題分析：（1）明確柱體與錐體積公式的區(qū)別，分別代入對(duì)應(yīng)公式求解；（2）先根據(jù)體積關(guān)系建立函數(shù)解析式，，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最值.試題解析：解：（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.因?yàn)锳1B1=AB=6，所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積所以倉庫的容積V=V錐+V柱=24+288=312（m3）.（2）設(shè)A1B1=a（m），PO1=h（m），則0<h<6，OO1=4h.連結(jié)O1B1.因?yàn)樵谥?，所以，即于是倉庫的容積，從而.令，得或（舍）.當(dāng)時(shí)，，V是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，V是單調(diào)減函數(shù).故時(shí)，V取得極大值，也是最大值.因此，當(dāng)m時(shí)，倉庫的容積最大.【考點(diǎn)】函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、棱柱和棱錐的體積【名師點(diǎn)睛】對(duì)應(yīng)用題的訓(xùn)練，一般從讀題、審題、剖析題目、尋找切入點(diǎn)等方面進(jìn)行強(qiáng)化，注重培養(yǎng)將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的能力，強(qiáng)化構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的幾種方法.而江蘇高考的應(yīng)用題往往需結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決相應(yīng)的最值問題，因此掌握利用導(dǎo)數(shù)求最值方法是一項(xiàng)基本要求，需熟練掌握.21、（1）或；（2）【解析】

（1）根據(jù)兩直