小學奧數(shù)盈虧問題

盈虧問題

兒歌：鳥兒飛來了，落在大樹梢，每樹落一只，一鳥沒樹找，每樹落2只，一樹沒有鳥，請問幾棵樹？

又有幾只鳥？

居澄思公

一、在理解的基礎上掌握盈虧問題的三種類型

二、能靈活運用盈虧問題的基本公式解題

三、理解盈虧中的“總量”和“份數(shù)”，靈活應用盈虧法解決問題

頌旗陽咫

一、盈虧問題的三種類型

1.直接計算型盈虧問題

【舉例】朝陽小學買來一批小足球分給各班：如果每班分個，就差個；如果每班分個，則正好分完,

朝陽小學一共有多少個班？買來多少個足球？

2.條件轉換型盈虧問題

【舉例】幼兒園把一袋糖果分給小朋友，如果分給大班的小朋友，每人粒就缺粒；如果分給小班的

小朋友，每人粒就余粒.已知大班比小班少個小朋友，這袋糖果共有多少粒？

3.關系互換型盈虧問題

【舉例】小明媽媽帶著一筆錢去買肉，若買10千克牛肉則還差6元，若買12千克豬肉則還剩4元.已

知每千克牛肉比豬肉貴3元，問：小明媽媽帶了多少錢？

二、基本公式

1.（盈+虧）+兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)

2.（盈一盈）4■兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)

3.（虧一虧）+兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)

三、基本思想方法

1.實質

分配中的余缺問題

2.三種類型的綜合處理

簡單問題的處理：量的差別十單位差別

3.遇到陌生'復雜的盈虧問題，可以用轉換的思想

用假設法，把陌生問題、復雜問題轉化為熟悉問題、簡單問題

￡1湄麻

重點：在理解的基礎上，掌握盈虧問題的基本類型并能靈活運用公式解決問題

難點：盈虧問題中份數(shù)與總量的區(qū)分（這是學生能夠靈活運用盈虧法解決問題的前提）

做I題需檢

【例。小朋友分糖果，若每人分10粒則多9粒；若每人分11粒則剛好.問：有多少個小朋友分多少粒糖？

【考點】直接計算型盈虧問題【難度】☆【題型】填空題；應用題；結合方程的應用題

【解析】在這個例題中，主要讓學生體會到分10粒則多9粒，而分II粒則剛剛好！那么可以說”這九粒

糖的任務”就是給每一位小朋友再發(fā)一個糖，那么九粒糖每人發(fā)一個？是多少個小朋友？九個.這

道題的目的在于讓學生體會盈虧的思想，數(shù)量上都不用做太高要求，這是學習盈虧問題之前的預

熱！

【答案】（1）9個小朋友（2）99顆糖

【鞏固】北京某校三年級一部分同學分小玩具，如果每人分4個就少9個，如果每人分3個正好分完.問：

有多少位同學分多少個小玩具？

【答案】（1）9個小朋友（2）36個玩具

【例2】小朋友分糖果，若每人分10粒則多9粒；若每人分11粒則差6粒.問：有多少個小朋友分多少粒

糖？總共有多少粒糖果？

【考點】直接計算型盈虧問題【難度】☆【題型】填空題；應用題；結合方程的應用題

【解析】與上題相比，這題有了變化，本來9粒糖就可以分了，但是現(xiàn)在呢？要幾粒糖？15粒？小朋友的

人數(shù)（份數(shù)）與糖的粒數(shù)（總數(shù)）是不變的.比較兩種分配方案，第一種方案每人分4粒就多9

粒，第二種方案每人分5粒就少6粒，兩種不同的方案一多一少相差9+6=15（粒）.相差的原

因在于兩種方案的分配數(shù)不同，第一種方案每人分4粒，第二種方案每人分5粒，兩次分配數(shù)之

差為5—4=1（粒）.每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人數(shù)為15+1=15（人），

糖果的粒數(shù)為：4x15+9=69（粒）.

通過上述兩道例題主要是讓學生體會盈虧的思想，這對于后面公式的總結比較有幫助.教師可以酌

情考慮，假如學生的情況比較好，那就不需要上述預熱.

【答案】（1）15（2）69

【鞏固】智康給優(yōu)秀學員發(fā)獎品，假如每人領取7枝筆，則還剩3枝，假如每人領取8枝筆，則還差55

枝.問：有多少優(yōu)秀學員？多少支筆？

【答案】（1）58（人）（2）409（支）

【例3】點點媽媽買回一筐蘋果，按計劃吃的天數(shù)算了一下，如果每天吃4個，要多出48個蘋果；如果每

天吃6個，則又少8個蘋果.那么媽媽買回的蘋果有多少個？計劃吃多少天？

【考點】直接計算型盈虧問題【難度【題型】填空題；應用題；結合方程的應用題

【解析】題中告訴我們每天吃4個，多出48個蘋果；每天吃6個，少8個蘋果.觀察每天吃的個數(shù)與革

果剩余個數(shù)的變化就能看出，由每天吃4個變?yōu)槊刻斐?個，也就是每天多吃2個時，蘋果從多

出48個到少8個，也就是所需的蘋果總數(shù)要相差48+8=56（個）.從這個對應的變化中可以看

出，只要求56里面含有多少個2,就是所求的計劃吃的天數(shù)；有了計劃吃的天數(shù)，就不難求出共

有多少個蘋果了.吃的天數(shù)是（48+8）+（6-4）=56+2=28（天），蘋果數(shù)是6x28-8=160（個）

或4x28+48=160（個）.

【答案】（1）160（2）28

【鞏固】“六一”國際兒童節(jié)聯(lián)歡會上，買來一包糖，如果每人分15塊，則還剩42塊，如果每人分17塊,

則少16塊.問：這包糖有幾塊？一共有幾個學生？

【答案】（1）29（2）477

【例4］媽媽帶小敏去商店買布，媽媽帶的錢如果買2米還余1.80元，如果買4米則差2.40元，問媽媽帶

著多少錢？

【難度】【考點】直接計算型盈虧問題【題型】填空題；應用題；結合方程的應用題

【解析】題中告訴我們買2米還余1.80元，如果買4米則差2.40元，那么買兩米布需要多少錢？通過上

述兩種方案我們可以知道本來買2米剩1.80元，而再買兩米就還要差2.40元，所以我們可以知

道兩相對比錢數(shù)的變化是3.2元.而錢發(fā)生變化是因為我們又買了2米，也就是說2米3.2元，所

以很自然就可以知道一米1.6元，算式：1.6x2+1.8=4（元）.

【答案】4元

【鞏固】某校同學排隊上操.如果每行站9人，則多69人；如果每行站12人，則多15人.一共有多少學生？

【答案】（1）10人(2)72

【例5】一家旅店，若每個房間住6人，則16人沒有床位；若每個房間住8人，則有一間房間是空出來

的.這家旅店有多少個房間？要住宿的人數(shù)有多少？

【考點】條件轉化型盈虧問題【難度】☆☆☆【題型】填空題；應用題；結合方程的應用題

【解析】這道題式較之前的題發(fā)生變化的是在第二個分配方案里并沒直接告述我們少多少（即虧是多少），

在這種說法中學生可能會錯誤計算.實際上，在第二種方案中，只要換一個說法：若每個房間住8

人，還需要8個人才能住滿。這就跟之前的盈虧沒有區(qū)別，同樣是方案一：有一批人（總數(shù)），

住進房間（份數(shù)）第一次分配6人住一間（一間房間分給它6個人），還多余8個人；第二次分

配是8人住一間（一間房間分給它6個人），再來8個人才能讓所有房間有人.也就是所需的人的

總數(shù)要相差16+8=24（人），從這個對應的變化中可以看出，只要求24里面含有多少個2,就

是所求的房間數(shù)；有了房間數(shù)，就不難求出有多少人了.

16+8=24（人）；24+2=12（間）人數(shù)是12x8-8=88（人）或6x12+16=88（人）.

【答案】12個房間；88人

【鞏固】某合唱隊的同學到會議室開會，若每條長椅上坐3人則多出9人，若每條長椅上坐4人則多一個

長椅.問：合唱隊有多少人？有多少個長椅？

【答案】48人；13個長椅

【例6】某班同學去劃船.他們算了一下，如果增加一條船，正好每條船坐6人；如果減少一條船，正好

每條船坐9人.問：這個班共有多少同學？

【考點】條件轉化型盈虧問題【難度】☆☆☆【題型】填空題；應用題；結合方程的應用題

【解析】這道題中，總量:人的數(shù)量份數(shù)：計劃中船的數(shù)量.但是在兩種分配方案中都沒有統(tǒng)一的份數(shù)，

一個是比計劃的船數(shù)少一，一個是比船數(shù)多一.我們不妨用假設法（這是在盈虧問題中常用的思想

方法）假設在方案一中，不增加船數(shù)那么就有六個人沒座（即剩六人），假設在方案一中，不減

少船數(shù)那么就有9個座沒人（即差9個人來坐這位置）.原式9+6=15（人）；15+3=5（條）人

數(shù)是5x9—9=36（個）或5x6+6=36（個）.

【答案】36個人

【鞏固】某實驗小學學生乘車去春游，如果每輛車坐60人，則還需要加派一輛車；如果每輛車多坐5人,

恰好多出一輛車.問一共有幾輛車，多少個學生？

【答案】25輛車；1560個人

【例7】少先隊員去植樹，如果每人挖5個樹坑，還有3個樹坑沒人挖；如果其中兩人各挖4個樹坑，其

余每人挖6個樹坑，就恰好挖完所有的樹坑.請問，共有多少名少先隊員？共挖了多少樹坑？

【考點】條件轉化型盈虧問題【難度】☆☆☆【題型】填空題；應用題；結合方程的應用題

【解析】題中告訴我們每人挖5個，還有3個樹坑沒人挖（即是多出3個樹坑）；如果其中兩人各挖4個

樹坑，其余每人挖6個樹坑.也許有同學會有一個想法，假如第二個方案中所有人都挖6個樹坑那

就好了！那我們有什么辦法把第二種方案中所有人都變成挖6個樹坑呢？假設法!這里我們自己提

供了一種方案：每人都挖6個樹坑，則還差四個樹坑（2x2=4,較原來的基礎上多挖了，多挖的

是別人的樹坑不是少先隊員的樹坑，所以是差四而不是多四）少先隊員：（3+4）-（5-4）=7

（人），樹坑數(shù)是7x6-4=38（個）或5x7+3=38（個）

【答案】7個人；38個樹坑

【鞏固】兔子媽媽分白菜：如果其中2只小兔子每只分4棵，其余每只分2棵，則多4棵白菜；如果其中

一只小兔子分6棵，其余每只分4棵，則差12棵白菜.問：一共有多少只小兔子？一共有多少棵白菜？

【答案】9只兔子；26棵白菜

［例8］有若干個蘋果和梨，如果按1個蘋果配3個梨分一堆，那么蘋果分完時，還剩2個梨；如果按1

個蘋果配4個梨分一堆.那么梨分完時，還剩1個蘋果.問梨有多少個？

【考點】條件轉化型盈虧問題【難度】☆☆☆☆【題型】填空題；應用題；結合方程的應用題

【解析】在這道題中，我們主要是把蘋果看作為份數(shù)（即我們分糖果中的人頭），有了這個想法這道題就

不難解決了！就變成了我們盈虧中的基本題型了！

方案一：三個梨—?一個蘋果（一個小朋友），剩兩個梨.

方案二：四個梨—?一個蘋果（一個小朋友），剩一個蘋果.

方案三：四個梨一?一個蘋果（一個小朋友），剩一個蘋果即差兩個梨.

方案三是建立在方案二的基礎上的，方案三是隱形的方案.由方案一和方案三就可以通過基本

盈虧問題來解決.2+2=4蘋果數(shù)：4+1=4梨數(shù)：4x4-2=14（個）或3x4+2=14（個）

【答案】14個梨

【鞏固】肯德基搞買漢堡贈玩具活動（玩具是有限的，送完即止），如果按照三個漢堡換贈一個玩具，那

么玩具送完了，漢堡還剩10個，假如按照四個漢堡送一個玩具，那么漢堡賣完了，玩具還剩4個？問這

一天肯德基準備了多少漢堡？多少玩具？假如你是肯德基的負責人你會怎么計劃呀？

【答案】88個漢堡；26個玩具；以玩具剛好送完為原則（答案不唯一）

【例9】王老師由家里到學校，如果每分鐘騎車500米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘騎車600米,

就可以比上課時間提前2分鐘到校.王老師家到學校的路程是多少米？

【考點】條件轉化型盈虧問題【難度】☆☆☆☆☆【題型】填空題：應用題；結合方程的應用題

【解析】對于學生來說，這道題的盈與虧好像都不容易直接看出來，假如前面的學習中對份數(shù)和總量都有

所要求，那么在后面的講解中也會容易許多.這道題我們主要是把時間看作為份數(shù)（即我們分糖果

中的人頭），而路程是總數(shù).

方案一：500米一?一分鐘，遲到三分鐘.

500米一?一分鐘，剩1500米（假設遲到的三分鐘停止不動）...①

方案二：600米一?一分鐘，提前兩分鐘.

600米一?一分鐘，少1200米（假設早到的二分鐘也在肺車）...②

由①與②可以得出以下算式：1500+1200=2700米原計劃時間：2700+100=27分鐘

路程：600x27-1200=15000（個）或500x27+1500=15000（米）

【答案】15000米

【鞏固】（☆☆☆☆☆）學校規(guī)定上午8時到校，小明去上學，如果每分種走60米，可提早3分鐘到校；

如果每分鐘走50米，要遲到2分鐘到校.由家到學校的路程是多少？

【答案】1500米

【例10】李阿姨給小朋友分糖果.若每人分8塊，還剩10塊；若每人分9塊，最后一人分不到9塊，但

至少可分到一塊.那么糖果最多有多少塊？

【考點】條件轉化型盈虧問題【難度】☆☆☆☆☆【題型】填空題；應用題；結合方程的應用題

【解析】方法一：假設法

我們可以假設最后這人分8塊，分7塊讓后去分別進行計算.

分7塊時：還差3塊，10+3=13+1=13人糖果數(shù)：13x8+10=114

分8塊時：還差2塊，10+2=12+1=12人糖果數(shù)：12x8+10=106

通過上述兩個算式我們可以看到差的越多在計算糖果數(shù)時會越大，所以差9塊（分一塊）

時糖果數(shù)是最多的.19x8+10=162

方法二：當（盈+虧）越大，糖果數(shù)越多，所以虧=9時，糖果數(shù)最大.

（10+9）x8+10=162

【答案】162

【鞏固】（☆☆☆☆☆）有48個香蕉分給兩個籠子的小猩猩，已知第二個籠子比第一個籠子多5只猩猩.如

果把香蕉全部分給第一個籠子的猩猩，那么每只猩猩4個，有剩余；每只猩猩5個，香蕉不夠.如果把香

蕉全分給第二個籠子里面的猩猩，那么每只猩猩3個，有剩余；每只猩猩4個，香蕉不夠.問第二個籠子

有多少只猩猩？

【答案】第一組：10只猩猩第二組：15只猩猩

盤繪組測

一、假設法常使用（當問題與基本盈虧問題有差異時，我們可以通過一些假設創(chuàng)造出符合我們要求的方案）

二、公式要活學：（盈+虧）+兩次分得之差=份數(shù)（人數(shù)）

三、“總數(shù)”、份數(shù)要分清（需要多變式練習）

圖第希雨

一、教學目標

本講主要學習第一種類型的盈虧問題：

1.理解掌握并運用直接計算解決盈虧問題（盈與虧型）

2.通過例題練習，讓學生總結盈虧公式

3.能夠運用假設法解決復雜的盈虧問題

二、教學建議

本堂課作為盈虧問題（直接計算型）的第一課時，是基礎章節(jié).但是在這一堂課中必須要學生充分理解

盈虧問題的涵義，這樣才能游刃有余。再通過例題讓學生掌握解答盈虧問題的基本技巧，培養(yǎng)學生的思維

分析能力.

1.（☆）“六一”國際兒童節(jié)聯(lián)歡會上，買來一包糖，如果每人分15塊，則還剩42塊，如果每人分17塊,

則少16塊，這包糖有塊，一共有個學生.

【解析】（42+16）+2=29（人）29x15+42=477（塊）

【答案】477塊；29人

2.（☆☆☆）李師傅加工一批零件，如果每天做50個，要比原計劃晚8天完成；如果每天做60個，就可

以提前5天完成.這批零件共有多少個？

【解析】（在這道題中，我們主要是把天數(shù)看作為份數(shù)（即我們分糖果中的人頭），有了這個想法這道題

就不難解決了！就變成了我們盈虧中的基本題型了！

方案一：50個零件一?一天（一個小朋友），要比原計劃晚8天完成（相當于多了400個零件）

方案一：60個零件一?一天（一個小朋友），提前五天完成（相當于還差300個零件）

通過盈虧問題來解決.300+400=700天數(shù)：700+10=70天零件數(shù)：70x60—300=3900（個）

【答案】3900個

3.（☆☆☆）有一批故事書分給幾個小朋友，如果其中3人每人5本，其余每人4本，那么會剩2本；如

果其中1人分3本，其余每人5本，就會剛好分完.這批故事書共有多少本？

【解析】方案一：3人每人5本，其余每人4本，剩2本

每人四本，剩5本（假設那三人也是四本）

方案二：1人分3本，其余每人5本，就會剛好分完

每人五本，差兩本（假設那一個人也是五本）

算式：（5+2）+1=7（人）7x4+5=33（塊）

【答案】33本

相局岱迪

【家庭作業(yè)】

1.（☆）秋天到了，小白兔收獲了一筐蘿卜，它按照計劃吃的天數(shù)算了一下，如果每天吃4