人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十八章平行四邊形

第十八章平行四邊形

18.2矩形（能力提升）

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、矩形的定義

有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.

要點(diǎn)詮釋：矩形定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形；②有一個(gè)角是直角,即矩形首先是一個(gè)平

行四邊形，然后增加一個(gè)角是直角這個(gè)特殊條件.

要點(diǎn)二、矩形的性質(zhì)

矩形的性質(zhì)包括四個(gè)方面：

1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；

2.矩形的對(duì)角線相等；

3.矩形的四個(gè)角都是直角；

4.矩形是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸.

要點(diǎn)詮釋：（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對(duì)稱圖形.過中心的任意直線可將矩

形分成完全全等的兩部分.

（2）矩形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（分別通過對(duì)邊中點(diǎn)的直線）.對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是

對(duì)角線的交點(diǎn)（即對(duì)稱中心）.

（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)可以歸

結(jié)為從三個(gè)方面看：從邊看，矩形對(duì)邊平行且相等；從角看，矩形四個(gè)角都是直角；從對(duì)角

線看，矩形的對(duì)角線互相平分且相等.

要點(diǎn)三、矩形的判定

矩形的判定有三種方法：

1.定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.

2.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.

3.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

要點(diǎn)詮釋：在平行四邊形的前提下，加上"一個(gè)角是直角”或“對(duì)角線相等”都能判定平行

四邊形是矩形.

要點(diǎn)四、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

要點(diǎn)詮釋：（1）直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是矩形性質(zhì)的推論.性質(zhì)的前提是直角三角

形，對(duì)一般三角形不可使用.

（2）學(xué)過的直角三角形主要性質(zhì)有：①直角三角形兩銳角互余；②直角三角形兩直角邊的

平方和等于斜邊的平方；③直角三角形中30。所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

（3）性質(zhì)可以用來解決有關(guān)線段倍分的問題.

【典型例題】

類型一、矩形的性質(zhì)

例1、如圖所示，已知四邊形ABCD是矩形，APBC和aQCD都是等邊三角形，且點(diǎn)P在

矩形上方，點(diǎn)Q在矩形內(nèi).求證:(1)乙PBA=APCQ=30°；(2)PA=PQ.

【思路點(diǎn)撥】(1)矩形的四個(gè)內(nèi)角都等于90。，利用條件aPBC和4QCD都是等邊三角形，容

易求得乙PBA和乙PCQ度數(shù)；(2)利用⑴的結(jié)論以及矩形的性質(zhì)進(jìn)一步證明△PAB/A

PQC(SAS),從而證得PA=PQ.

【總結(jié)升華】利用矩形的性質(zhì)，可以得到許多的結(jié)論，在解題時(shí)，針對(duì)問題列出有用的結(jié)論

作論據(jù)即可.

舉一反三：

【變式】如圖所示，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)9處，點(diǎn)A落

在點(diǎn)A處.

⑴求證：B'E=BF'

⑵設(shè)AE=",AB=＞，BF=J試猜想以從C之間有何等量關(guān)系，并給予證明.

例2、如圖所示，矩形ABCD中，AC、BD相交于。，AE平分乙BAD交BC于E,aCAE=

15°,求乙BOE的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】4BOE在ABOE中，易知乙OBE=30。，直接求4BOE有困難，轉(zhuǎn)為考慮證B0

=BE.由AE平分4BAD可求aBAE=45。得至ijAB=BE,進(jìn)一步可得等邊AAOB.有AB=

0B.證得BO=BE.

【總結(jié)升華】矩形被每條對(duì)角線分成兩個(gè)直角三角形，被兩條對(duì)角線分成四個(gè)等腰三角形,

因此矩形中的計(jì)算問題可以轉(zhuǎn)化到直角三角形和等腰三角形中去解決.

知識(shí)點(diǎn)3.矩形的性質(zhì)綜合一角度一邊長(zhǎng)計(jì)算-勾股定理計(jì)算

1.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)C作CE，BD,垂足為E.已

知4BCE=44DCE,貝l」ZCOE=_____度

2.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AB,CD于點(diǎn)E,F,連接AF,

CE,如果4BCE=26°,貝IJaCAF=_____度。

3.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=3,AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,連接AE,若AE平

分4BAC,則AC的長(zhǎng)是（）

A.2B.6C.4D.5

4.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)A作AE1BD,垂足為點(diǎn)E,

若乙EAO=zlOAD,BE=2,貝!JAC=

5.如圖，矩形ABCD中，AB<BC,AC、BD交于點(diǎn)0,若AB=AO=4,貝（|S矩形ABCD=

6.如圖，矩形ABCD中，BC>AB,對(duì)角線AC、BD交于。點(diǎn)，且AC=10,過B點(diǎn)作BE1AC

于E點(diǎn)，若BE=4,貝IJAD=

類型二、矩形的判定

例3、如圖，AB=AC,AD=AE,DE=BC,且4BAD=ZCAE.

(1)求證：4ABE式ZXACD；

(2)求證：四邊形BCDE是矩形.

【思路點(diǎn)撥】(1)利用SAS證得兩個(gè)三角形全等即可；(2)要證明四邊形BCED為矩形，則

要證明四邊形BCED是平行四邊形，且對(duì)角線相等.

【總結(jié)升華】本題主要考查矩形的判定，證明對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握矩形的判定方法.

舉一反三：

【變式】矩形的判定定理一條件選擇利用矩形判定定理進(jìn)行證明

1.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)下列條件在,能判定四邊形ABCD是矩

形的是（）

A.AB〃DC,AB=CDB.AB〃CD,AD〃BCC.AC=BD,AC±BDD.OA=OB=OC=OD

2.如圖所示,四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,下列判斷中,能判斷四邊形ABCD是

矩形的有個(gè).（填寫數(shù)字）

①:AB=CD,AD=BC/BAD=90。

②QA=0B=0C=0D③:AB〃CD且AB=CD,AC=BD

④:AB〃CD且AB=CD,0A=0C,0B=0D

3.平行四邊形的四個(gè)內(nèi)角平分線相交所構(gòu)成的四邊形一定是（）.

A一般平行四邊形B一般四邊形C對(duì)角線垂直的四邊形D矩形

4.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn)，連接D0并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)E,連接BD、EC.若乙BOD=100。，則當(dāng)乙A=度時(shí)，四邊形BECD是矩形.

⑸如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,AO=CO,BO=DO中，且

ZABC+Z.ADC=180°.

（1）求證：四邊形ABCD是矩形.

（2）若aADF：ZFDC=3：2,DF1AC,則乙BDF的度數(shù)是多少？

BFC

[6].矩形的判定與性質(zhì)綜合--勾股定理計(jì)算

1.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,AC11BC,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E,

使得BC=CE,連結(jié)DE.若AC=4,BD=6,貝IJCD=.

2.如圖，已知平行四邊形ABCD,延長(zhǎng)AB至ijE使BE=AB,連接BD,ED,EC,若ED二AD.

（1）四邊形BECD是（填“矩形”“菱形”“正方形”）；

（2）連接AC,若AD=4,CD=2,求AC=.

類型三、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)

例4、如圖所示，BD、CE是4ABC兩邊上的高，G、F分別是BC、DE的中點(diǎn).

求證：FG_LDE.

【總結(jié)升華】直角三角形斜邊中線的性質(zhì)是依據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等推出來的.根

據(jù)這個(gè)性質(zhì),又可以推出直角三角形的斜邊上的中線把直角三角形分成了兩個(gè)等腰三角

形.溫馨提示：若題目中給出直角三角形斜邊上的中點(diǎn)，常設(shè)法用此性質(zhì)解決問題.

舉一反三：

【變式】如圖，AM0N=90°,矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM,ON±,當(dāng)B在邊

ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2,BC=1,

運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)。的最大距離為（）

A.夜+1B后

［變式］直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)定理

1.如圖，Z\ABC中，ZACB=90°,D是AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有個(gè)。

￡1_

①BC=2AB②CD二2AB（3）AC2+BC2=AB2?*D在線段BC的垂直平分線上

2.如圖，在四邊形ACBD中，ZACB=ZADB=90°,E是AB上的中點(diǎn)，則圖中的與線段CE

長(zhǎng)度相等的線段有個(gè)（CE除外）。

知識(shí)點(diǎn)2.直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)--求線段長(zhǎng)一求角度--共斜邊型

1.如圖，在aABC中，D是BC上一點(diǎn)，AB=AD,E,F分別是AC,BD的中點(diǎn)，EF=2,

則AC的長(zhǎng)是.

2.如圖：AABC中，AD是高線，CE是中線，且AB=8cm,G是CE的中點(diǎn)，且DG1CE,

G為垂足，則CD=cm.

3.在直角三角形ABC中，ZACB=9(T,CD是斜邊AB上的中線，且BC=CD.貝叱B=()

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.如圖，在AABC中，ZB=50°,CDLAB于點(diǎn)D,乙BCD和aBDC的角平分線相交于點(diǎn)

E,F為邊AC的中點(diǎn)，CD=CF,貝IJaACD+乙CED=0

5.如圖，在四邊形ABCD中，乙DAB=90。，ZDCB=90°,