人教版數(shù)學(xué)八年級下冊第十八章平行四邊形

第十八章平行四邊形

18.2矩形（能力提升）

【要點梳理】

要點一、矩形的定義

有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.

要點詮釋：矩形定義的兩個要素：①是平行四邊形；②有一個角是直角,即矩形首先是一個平

行四邊形，然后增加一個角是直角這個特殊條件.

要點二、矩形的性質(zhì)

矩形的性質(zhì)包括四個方面：

1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；

2.矩形的對角線相等；

3.矩形的四個角都是直角；

4.矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.

要點詮釋：（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對稱圖形.過中心的任意直線可將矩

形分成完全全等的兩部分.

（2）矩形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（分別通過對邊中點的直線）.對稱軸的交點就是

對角線的交點（即對稱中心）.

（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)可以歸

結(jié)為從三個方面看：從邊看，矩形對邊平行且相等；從角看，矩形四個角都是直角；從對角

線看，矩形的對角線互相平分且相等.

要點三、矩形的判定

矩形的判定有三種方法：

1.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.

2.對角線相等的平行四邊形是矩形.

3.有三個角是直角的四邊形是矩形.

要點詮釋：在平行四邊形的前提下，加上"一個角是直角”或“對角線相等”都能判定平行

四邊形是矩形.

要點四、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

要點詮釋：（1）直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是矩形性質(zhì)的推論.性質(zhì)的前提是直角三角

形，對一般三角形不可使用.

（2）學(xué)過的直角三角形主要性質(zhì)有：①直角三角形兩銳角互余；②直角三角形兩直角邊的

平方和等于斜邊的平方；③直角三角形中30。所對的直角邊等于斜邊的一半.

（3）性質(zhì)可以用來解決有關(guān)線段倍分的問題.

【典型例題】

類型一、矩形的性質(zhì)

例1、如圖所示，已知四邊形ABCD是矩形，APBC和aQCD都是等邊三角形，且點P在

矩形上方，點Q在矩形內(nèi).求證:(1)乙PBA=APCQ=30°；(2)PA=PQ.

【思路點撥】(1)矩形的四個內(nèi)角都等于90。，利用條件aPBC和4QCD都是等邊三角形，容

易求得乙PBA和乙PCQ度數(shù)；(2)利用⑴的結(jié)論以及矩形的性質(zhì)進一步證明△PAB/A

PQC(SAS),從而證得PA=PQ.

【總結(jié)升華】利用矩形的性質(zhì)，可以得到許多的結(jié)論，在解題時，針對問題列出有用的結(jié)論

作論據(jù)即可.

舉一反三：

【變式】如圖所示，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點9處，點A落

在點A處.

⑴求證：B'E=BF'

⑵設(shè)AE=",AB=＞，BF=J試猜想以從C之間有何等量關(guān)系，并給予證明.

例2、如圖所示，矩形ABCD中，AC、BD相交于。，AE平分乙BAD交BC于E,aCAE=

15°,求乙BOE的度數(shù).

【思路點撥】4BOE在ABOE中，易知乙OBE=30。，直接求4BOE有困難，轉(zhuǎn)為考慮證B0

=BE.由AE平分4BAD可求aBAE=45。得至ijAB=BE,進一步可得等邊AAOB.有AB=

0B.證得BO=BE.

【總結(jié)升華】矩形被每條對角線分成兩個直角三角形，被兩條對角線分成四個等腰三角形,

因此矩形中的計算問題可以轉(zhuǎn)化到直角三角形和等腰三角形中去解決.

知識點3.矩形的性質(zhì)綜合一角度一邊長計算-勾股定理計算

1.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O,過點C作CE，BD,垂足為E.已

知4BCE=44DCE,貝l」ZCOE=_____度

2.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別交AB,CD于點E,F,連接AF,

CE,如果4BCE=26°,貝IJaCAF=_____度。

3.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=3,AC的垂直平分線交BC于點E,連接AE,若AE平

分4BAC,則AC的長是（）

A.2B.6C.4D.5

4.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點。，過點A作AE1BD,垂足為點E,

若乙EAO=zlOAD,BE=2,貝!JAC=

5.如圖，矩形ABCD中，AB<BC,AC、BD交于點0,若AB=AO=4,貝（|S矩形ABCD=

6.如圖，矩形ABCD中，BC>AB,對角線AC、BD交于。點，且AC=10,過B點作BE1AC

于E點，若BE=4,貝IJAD=

類型二、矩形的判定

例3、如圖，AB=AC,AD=AE,DE=BC,且4BAD=ZCAE.

(1)求證：4ABE式ZXACD；

(2)求證：四邊形BCDE是矩形.

【思路點撥】(1)利用SAS證得兩個三角形全等即可；(2)要證明四邊形BCED為矩形，則

要證明四邊形BCED是平行四邊形，且對角線相等.

【總結(jié)升華】本題主要考查矩形的判定，證明對角線相等的平行四邊形是矩形，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握矩形的判定方法.

舉一反三：

【變式】矩形的判定定理一條件選擇利用矩形判定定理進行證明

1.如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點下列條件在,能判定四邊形ABCD是矩

形的是（）

A.AB〃DC,AB=CDB.AB〃CD,AD〃BCC.AC=BD,AC±BDD.OA=OB=OC=OD

2.如圖所示,四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點0,下列判斷中,能判斷四邊形ABCD是

矩形的有個.（填寫數(shù)字）

①:AB=CD,AD=BC/BAD=90。

②QA=0B=0C=0D③:AB〃CD且AB=CD,AC=BD

④:AB〃CD且AB=CD,0A=0C,0B=0D

3.平行四邊形的四個內(nèi)角平分線相交所構(gòu)成的四邊形一定是（）.

A一般平行四邊形B一般四邊形C對角線垂直的四邊形D矩形

4.如圖，在平行四邊形ABCD中，點。是邊BC的中點，連接D0并延長，交AB的延長線

于點E,連接BD、EC.若乙BOD=100。，則當(dāng)乙A=度時，四邊形BECD是矩形.

⑸如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點0,AO=CO,BO=DO中，且

ZABC+Z.ADC=180°.

（1）求證：四邊形ABCD是矩形.

（2）若aADF：ZFDC=3：2,DF1AC,則乙BDF的度數(shù)是多少？

BFC

[6].矩形的判定與性質(zhì)綜合--勾股定理計算

1.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC,BD交于點O,AC11BC,延長BC到點E,

使得BC=CE,連結(jié)DE.若AC=4,BD=6,貝IJCD=.

2.如圖，已知平行四邊形ABCD,延長AB至ijE使BE=AB,連接BD,ED,EC,若ED二AD.

（1）四邊形BECD是（填“矩形”“菱形”“正方形”）；

（2）連接AC,若AD=4,CD=2,求AC=.

類型三、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)

例4、如圖所示，BD、CE是4ABC兩邊上的高，G、F分別是BC、DE的中點.

求證：FG_LDE.

【總結(jié)升華】直角三角形斜邊中線的性質(zhì)是依據(jù)矩形的對角線互相平分且相等推出來的.根

據(jù)這個性質(zhì),又可以推出直角三角形的斜邊上的中線把直角三角形分成了兩個等腰三角

形.溫馨提示：若題目中給出直角三角形斜邊上的中點，常設(shè)法用此性質(zhì)解決問題.

舉一反三：

【變式】如圖，AM0N=90°,矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM,ON±,當(dāng)B在邊

ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2,BC=1,

運動過程中，點D到點。的最大距離為（）

A.夜+1B后

［變式］直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)定理

1.如圖，Z\ABC中，ZACB=90°,D是AB的中點，則下列結(jié)論正確的有個。

￡1_

①BC=2AB②CD二2AB（3）AC2+BC2=AB2?*D在線段BC的垂直平分線上

2.如圖，在四邊形ACBD中，ZACB=ZADB=90°,E是AB上的中點，則圖中的與線段CE

長度相等的線段有個（CE除外）。

知識點2.直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)--求線段長一求角度--共斜邊型

1.如圖，在aABC中，D是BC上一點，AB=AD,E,F分別是AC,BD的中點，EF=2,

則AC的長是.

2.如圖：AABC中，AD是高線，CE是中線，且AB=8cm,G是CE的中點，且DG1CE,

G為垂足，則CD=cm.

3.在直角三角形ABC中，ZACB=9(T,CD是斜邊AB上的中線，且BC=CD.貝叱B=()

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.如圖，在AABC中，ZB=50°,CDLAB于點D,乙BCD和aBDC的角平分線相交于點

E,F為邊AC的中點，CD=CF,貝IJaACD+乙CED=0

5.如圖，在四邊形ABCD中，乙DAB=90。，ZDCB=90°,