廣東省深圳市普通高中2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（教師版）

2023年深圳市普通高中高一年級(jí)調(diào)研考試數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合交集的概念與運(yùn)算，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由集合，根據(jù)集合交集的概念與運(yùn)算，可得.故選：B.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（是虛數(shù)單位），則（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法法則求出復(fù)數(shù)，然后由復(fù)數(shù)的求模公式計(jì)算出.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：D.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式，結(jié)合平方關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次齊次式，再化為，代入求值.【詳解】.故選：A．4.某戶(hù)居民今年上半年每月的用水量（單位：t）如下：月份1月2月3月4月5月6月用水量9.09.614.95.94.077小明在錄入數(shù)據(jù)時(shí)，不小心把一個(gè)數(shù)據(jù)9.6錄成96，則這組數(shù)據(jù)中沒(méi)有發(fā)生變化的量是（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.極差 D.標(biāo)準(zhǔn)差【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、極差的計(jì)算公式計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)、極差，再結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)差的定義即可判斷.【詳解】實(shí)際數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，其平均數(shù)為：，中位數(shù)為：，極差為：，錄錯(cuò)數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，其平均數(shù)為：，中位數(shù)為：，極差為：，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的含義，標(biāo)準(zhǔn)差反映數(shù)據(jù)的離散程度可知，錯(cuò)誤的錄入一個(gè)非常大的數(shù)據(jù)會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差變化，所以這組數(shù)據(jù)中沒(méi)有發(fā)生變化的量是中位數(shù).故選：B5.已知m，n是空間兩條不重合的直線(xiàn)，是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題錯(cuò)誤的是（）A.，，，則B.，，，則C.，，，則D.，，，則【答案】C【解析】【分析】對(duì)于由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理即可判定；對(duì)于,可利用排除的思想；對(duì)于,根據(jù)條件可直接判定或者與相交，錯(cuò)誤；對(duì)于，通過(guò)構(gòu)造平面，利用平面與平面所成角的大小即可判定.【詳解】對(duì)于由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可知正確；對(duì)于,，，或者，又則，故正確；對(duì)于,由，，，則或者與相交或者異面，則不一定成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于,若，，，則與一定不平行，否則有，與已知矛盾，通過(guò)平移使與相交，設(shè)與確定的平面為，則與和的交線(xiàn)所成的角即為和所成的角，又，所以與所成的角為，故正確.故選:.6.在梯形中，若，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的基本定理化簡(jiǎn)，可得答案.【詳解】由題意，，化簡(jiǎn)得，即，則，故選：A.7.已知正實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足，則下列不等式恒成立的為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式逐一分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C.8.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】判斷出函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再由偶函數(shù)的定義和增函數(shù)的定義化簡(jiǎn)不等式，得出解集.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，即是偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造，，令，則在上單調(diào)遞增，又也是增函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，又是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，不等式等價(jià)于，即，平方得：，解得且，則不等式的解集為.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)C.的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng) D.在上單調(diào)遞減【答案】AC【解析】【分析】通過(guò)分析函數(shù)的周期，對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)區(qū)間即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，在中，，A正確；B項(xiàng)，∵函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴在中，，解得：，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤.C項(xiàng)，在函數(shù)中，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，在中，，解得：當(dāng)時(shí)，，C正確；D項(xiàng)，在函數(shù)中，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在中，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減時(shí)，，解得：，∴在上單調(diào)遞減，在在上單調(diào)遞增，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次，記事件“第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件“兩次點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)”，事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和為5”，則（）A.事件是必然事件 B.事件與事件是互斥事件C.事件包含事件 D.事件與事件是相互獨(dú)立事件【答案】ACD【解析】【分析】列出事件A，B，C，AC的基本事件，再利用事件的基本關(guān)系判斷.【詳解】解：事件A的基本事件有：，事件B的基本事件有：，，，事件C的基本事件有：，事件AC的基本事件有：，A.事件是必然事件，故正確；B.因?yàn)?，所以事件與事件不是互斥事件，故錯(cuò)誤；C.因?yàn)?，所以事件包含事件，故正確；D.因?yàn)?，所以，所以事件與事件是相互獨(dú)立事件，故正確；故選：ACD11.用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如，，.已知，則（）A. B.為奇函數(shù)C.，使得 D.方程所有根的和為【答案】AD【解析】【分析】代入計(jì)算判斷A，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)判斷B，根據(jù)的定義對(duì)函數(shù)作差判斷C，根據(jù)求出根的范圍，然后化簡(jiǎn)方程求解方程的根判斷D.【詳解】對(duì)于A，，正確；對(duì)于B，舉反例，當(dāng)時(shí)，，而，所以，故函數(shù)不是奇函數(shù)，錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)的定義，可知對(duì)，有，所以，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于D，即，所以，即，又，所以，解得，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足方程，即是方程的根，當(dāng)時(shí)，，方程化為，解得，故方程所有根的和為，正確.故選：AD12.在直三棱柱中，，且，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.B.三棱錐的體積不變C.的最小值為D.當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)三點(diǎn)的平面截三棱柱外接球所得的截面面積為【答案】ABD【解析】【分析】由線(xiàn)面垂直證明線(xiàn)線(xiàn)垂直證明選項(xiàng)A；，由底面積和高判斷體積驗(yàn)證選項(xiàng)B；轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和，計(jì)算驗(yàn)證選項(xiàng)C；通過(guò)構(gòu)造直角三角形求截面半徑，計(jì)算體積驗(yàn)證選項(xiàng)D.【詳解】連接，如圖所示，直三棱柱中，，為正方形，，，平面，平面，，平面，，平面，平面，，A選項(xiàng)正確；由直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征，，故三棱錐的體積為定值，B選項(xiàng)正確；設(shè)，，，，，，其幾何意義是點(diǎn)和點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和，最小值為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，，，，，，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，，直三棱柱是正方體的一半，外接球的球心為的中點(diǎn)，外接球的半徑，點(diǎn)到平面的距離為，則過(guò)三點(diǎn)的平面截三棱柱外接球所得截面圓的半徑為，截面面積為，D選項(xiàng)正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于線(xiàn)面位置關(guān)系的判定中，熟記線(xiàn)面平行與垂直、面面平行與垂直的定理是關(guān)鍵；與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，通過(guò)構(gòu)造直角三角形求半徑.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.______.【答案】【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)、指數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)算法則直接求解.【詳解】.故答案為：14.母線(xiàn)長(zhǎng)為的圓錐，其側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為_(kāi)____________.【答案】【解析】【分析】由已知求出底面圓的半徑，再由勾股定理求出圓錐的高，代入體積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，由題意，圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，且其側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為的扇形，則底面周長(zhǎng)為，解得，則該圓錐的體積為.故答案為：.15.高中數(shù)學(xué)興趣小組計(jì)劃測(cè)量某大廈的高度，選取與底部在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)基測(cè)點(diǎn)與.現(xiàn)測(cè)得，，米，在點(diǎn)測(cè)得大廈頂?shù)难鼋牵瑒t該大廈高度_____________米（精確到1米）.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】【解析】【分析】在中，利用正弦定理求出，再解即可.【詳解】在中，，，米，則，因?yàn)?，所以米，在中，，則，所以米.故答案為：.16.四邊形中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，，，，點(diǎn)滿(mǎn)足，則的最大值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】利用向量加法運(yùn)算及數(shù)量積定義得，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律得，設(shè)出向量夾角，從而，利用余弦函數(shù)求解最值即可.【詳解】因?yàn)?，，又點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以，所以，，又，所以，又點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，即，設(shè)，，則，所以，所以，所以當(dāng)即時(shí)，有最大值1，即有最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義.具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知函數(shù)，其中，且.（1）求；（2）若，求的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入，即可求的值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，首先求的范圍，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)的值域.【小問(wèn)1詳解】，，得；【小問(wèn)2詳解】，，，當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)取得最小值，當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)取得最大值，所以函數(shù)值域是.18.在中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)正弦定理邊角互化，再根據(jù)三角恒等變換，計(jì)算求得角；（2）根據(jù)條件結(jié)合余弦定理計(jì)算邊，再代入面積公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橹?，，由正弦定理可得，得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】由余弦定理得，因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)?，所以，，所以的面積為.19.已知函數(shù)（且）在上的最大值為.（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分和兩種情況討論，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出最大值，列方程解出的值；（2）將代入不等式，參變分離化簡(jiǎn)，并求出的最大值，可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，舍去；綜上可知，；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，當(dāng)時(shí)，，即，化簡(jiǎn)得，構(gòu)造，和分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.20.某工廠引進(jìn)了一條生產(chǎn)線(xiàn)，為了解產(chǎn)品的質(zhì)量情況，現(xiàn)從生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，測(cè)量其技術(shù)參數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）由頻率分布直方圖，估計(jì)樣本技術(shù)參數(shù)的平均數(shù)和75%分位數(shù)（精確到0.1）；（2）現(xiàn)從技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間，，的三組中，采用分層抽樣的方法抽取6件產(chǎn)品，再?gòu)倪@6件產(chǎn)品中任選3件產(chǎn)品，記事件“這3件產(chǎn)品中技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品至多1件”，事件“這3件產(chǎn)品中技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品至少1件”，求事件的概率.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖中平均數(shù)和百分位數(shù)的計(jì)算法則計(jì)算即可；（2）先利用分層抽樣確定各組的抽取產(chǎn)品數(shù)，然后列舉試驗(yàn)的總的基本事件個(gè)數(shù)和事件包含的基本事件個(gè)數(shù)，利用古典概型概率公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖知，樣本技術(shù)參數(shù)的平均數(shù)，因?yàn)榍叭M頻率之和為，第四組的頻率為，，所以第75百分位數(shù)一定在第四組，設(shè)第75百分?jǐn)?shù)為x，則，解得，所以第75百分?jǐn)?shù)約為.【小問(wèn)2詳解】采用分層抽樣的方法，從技術(shù)參數(shù)唯一區(qū)間，，三組的產(chǎn)品中抽取6件產(chǎn)品，則從技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間的產(chǎn)品應(yīng)抽取件，記為，從技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間產(chǎn)品應(yīng)抽取件，記為，從技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間的產(chǎn)品應(yīng)抽取件，記為，從這6件產(chǎn)品中任選3件產(chǎn)品，樣本空間，則，事件包含了三類(lèi)，一是在這三組分別抽取1件，1件，1件；二是在這三組分別抽取0件，2件，1件；三在這三組分別抽取1件，2件，0件.則，，所以.21.如圖，三棱錐的三個(gè)頂點(diǎn)在圓上，為圓的直徑，且，，，平面平面，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)位于直徑的兩側(cè).當(dāng)平面時(shí)，畫(huà)出二面角的平面角，并求出它的正切值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析，.【解析】【分析】（1）要證明平面平面ABC，只需利用線(xiàn)面垂直的判定定理證明平面即可；（2）解法一：建立空間坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量求解.解法二：作出二面角的平面角，利用正切值的定義即可求得二面角的正切值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)C在圓O上，,因此，又，即，所以是等腰直角三角形，由平面平面PBC，平面平面，所以平面PBC，平面PBC，所以可得，又，平面PAC，平面PAC，平面PAC，又平面ABC，所以平面平面ABC；【小問(wèn)2詳解】解法一：取AC的中點(diǎn)M，連接PM，則，由（1）可知平面平面ABC，平面平面，平面ABC，連接OM，OE，OF，則OM是中BC邊的中位線(xiàn)，，平面ABC，，即PM，AC，OM兩兩垂直，以M為原點(diǎn)，AC，OM，PM分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖：由于O，E分別是AB，PB的中點(diǎn)，連接BM，取BM的中點(diǎn)N，連接EN，則有，平面ABC，平面ABC，平面ABC，，過(guò)N點(diǎn)作FB的垂線(xiàn)，得垂足S，平面ENS，平面ENS，，就是二面角的平面角；平面PAC，平面PAC，平面PAC，又平面，平面平面PAC，又平面EFO，平面PAC，又平面平面，平面，，其中，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，令，得，可得；顯然平面ABC的一個(gè)法向量，設(shè)平面ABC與平面EFB的二面角為，則，綜上，二面角的余弦值為，正切值為.解法二：取的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面；又是的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面；平面，所以可知平面平面，又平面平面，平面平面，所以，又平面，所以平面，又在平面內(nèi)，所以三點(diǎn)共線(xiàn)，即；所以四邊形為直角梯形，易知，作于點(diǎn)，如下圖所示：則，，所以；取的中點(diǎn)為，連接，作交于點(diǎn)，連接由（1）可知平面，平面，所以，又，所以，且，平面，所以平面，平面，所以；所以即為二面角的平面角，也即的平面角；在四邊形中，交于點(diǎn)，如下圖所示：易知，，，可得，所以；又，所以；即二面角的正切值為.22.已知函數(shù)，，與的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍