陜西省渭南市韓城市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年陜西省渭南市韓城市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.數(shù)列1，，5，，…的第9項(xiàng)是(

)A. B.19 C. D.172.已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為3，則(

)A.6 B.3 C. D.3.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(

)A.

B.

C.

D.

4.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則當(dāng)取得最小值時(shí)，(

)A.4 B.5 C.6 D.75.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列關(guān)于的描述一定正確的是(

)A.在區(qū)間上單調(diào)遞減

B.當(dāng)時(shí)，取得最大值

C.在區(qū)間上單調(diào)遞減

D.當(dāng)時(shí)，取得最小值6.設(shè)數(shù)列滿足…，則(

)A. B. C. D.7.設(shè)函數(shù)，若，且，則下列不等式恒成立的是(

)A. B. C. D.8.風(fēng)箏由中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明于東周春秋時(shí)期，距今已2000多年.因龍被視為中華古老文明的象征，再加上大型龍類風(fēng)箏放飛場(chǎng)面壯觀，氣勢(shì)磅礴而廣受喜愛(ài).某團(tuán)隊(duì)耗時(shí)3個(gè)多月做出一長(zhǎng)達(dá)180米、重約20公斤，“龍身”共有140節(jié)“鱗片”的巨龍風(fēng)箏.制作過(guò)程中，風(fēng)箏骨架可采用竹子制作，但竹子易斷，還有一種耐用的碳桿材質(zhì)也可做骨架，但它比竹質(zhì)的成本高.最終團(tuán)隊(duì)決定鱗片骨架按圖中規(guī)律創(chuàng)作.則所有鱗片中竹質(zhì)鱗片個(gè)數(shù)為(

)A.120 B.124 C.128 D.130二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.若數(shù)列為遞增數(shù)列，則的通項(xiàng)公式可以為(

)A. B. C. D.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(

)A.，

B.函數(shù)可能無(wú)極值點(diǎn)

C.若是的極值點(diǎn)，則

D.若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間單調(diào)遞減11.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，若，，且，則下列結(jié)論正確的是(

)A. B.

C.數(shù)列中的最大值是 D.數(shù)列無(wú)最大值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)，______.13.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，，則的值為_(kāi)_____.14.設(shè)且，若關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是______.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.本小題13分

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

Ⅰ；

Ⅱ16.本小題15分

已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為公比，若，

求的通項(xiàng)公式；

證明：17.本小題15分

已知函數(shù)，

Ⅰ若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

Ⅱ若在上恒成立，求a的取值范圍.18.本小題17分

若數(shù)列滿足條件：存在正整數(shù)k，使得對(duì)一切，都成立，則稱數(shù)列為k級(jí)等差數(shù)列.

Ⅰ若數(shù)列為1級(jí)等差數(shù)列，，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；

Ⅱ若數(shù)列為2級(jí)等差數(shù)列，且前四項(xiàng)依次為2，0，4，3，求、及數(shù)列的前2024項(xiàng)和19.本小題17分

已知函數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，

Ⅰ當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

Ⅱ是否存在實(shí)數(shù)a，使的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由.

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：由題意可知，該數(shù)列可用表示，

故

故選：

該數(shù)列可用表示，將代入，即可求解．

本題主要考查數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】A

【解析】解：由題意可得，

則

故選：

利用極限的運(yùn)算性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義化簡(jiǎn)即可求解．

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及極限的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3.【答案】A

【解析】解：由圖可得，函數(shù)一直單調(diào)遞增，且遞增速度越來(lái)越慢，

故

故選：

直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的圖像即可得到結(jié)論．

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】B

【解析】解：，

則，

，

則，

故當(dāng)取得最小值時(shí)，

故選：

根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5.【答案】C

【解析】解：由圖可知，時(shí)，，為增函數(shù)；

時(shí)，，為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，有極大值，不一定為最大值；

時(shí)，，為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，有極小值，不一定為最小值；

時(shí)，，為減函數(shù)，

綜上可得只有C正確．

故選：

根據(jù)導(dǎo)數(shù)圖象與函數(shù)圖象的關(guān)系可得答案．

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．6.【答案】D

【解析】解：…，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，…，

，

當(dāng)時(shí)也成立，

故選：

利用遞推關(guān)系即可得出．

本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式求法、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．7.【答案】D

【解析】解：，則函數(shù)為偶函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又，且，

則，

故

故選：

易知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，結(jié)合題意可得，由此得解．

本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．8.【答案】B

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的求和公式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，分析碳桿材質(zhì)的鱗片和竹質(zhì)鱗片之間的規(guī)律，再假設(shè)有n個(gè)“碳桿”鱗片，分析可得n的不等式，求出n的值，分析可得答案．【解答】

解：根據(jù)題意，分析可得：第n個(gè)碳桿材質(zhì)的鱗片和第個(gè)碳桿材質(zhì)的鱗片之間有n個(gè)竹質(zhì)鱗片，

假設(shè)有n個(gè)碳桿材質(zhì)的鱗片，，

由已知可得…①，

如果只有個(gè)碳桿材質(zhì)的鱗片，則骨架總數(shù)少于140，

所以…②，

聯(lián)立①②可得：且，

又，解得，即需要16個(gè)碳桿材質(zhì)的鱗片，

故需要個(gè)竹質(zhì)鱗片．

故選：9.【答案】ABD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，，則，易得，則數(shù)列為遞增數(shù)列，符合題意；

對(duì)于B，，則，則數(shù)列為遞增數(shù)列，符合題意；

對(duì)于C，，有，數(shù)列不是遞增數(shù)列，不符合題意；

對(duì)于D，，，數(shù)列為遞增數(shù)列，符合題意．

故選：

根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中數(shù)列的單調(diào)性，綜合可得答案．

本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，涉及數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．10.【答案】ABC

【解析】解：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

又連續(xù)，所以，，A正確；

當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，故B正確；

三次函數(shù)是連續(xù)的，若是的極值點(diǎn)，則，故C正確；

若是的極小值點(diǎn)，可能還有極大值點(diǎn)，若，

則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤．

故選：

由三次函數(shù)的圖象特征可判斷A；取函數(shù)即可判斷B；由極值點(diǎn)的定義即可判斷C；由極值點(diǎn)與單調(diào)性的關(guān)系即可判斷

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．11.【答案】ABC

【解析】解：，，且，

則，，

對(duì)于A，，故A正確；

對(duì)于B，，故B正確；

對(duì)于CD，，，，

則數(shù)列中的最大值是，故C正確，D錯(cuò)誤．

故選：

根據(jù)已知條件，推得，，即可依次判斷．

本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12.【答案】

【解析】解：由題，

所以，

則

故答案為：

先求出導(dǎo)數(shù)，即可求出常數(shù)

本題主要考查了函數(shù)的求導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13.【答案】35

【解析】解：正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，

故，，成等比數(shù)列；由于，，

所以，解得

故答案為：

直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出結(jié)果．

本題考查的知識(shí)點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．14.【答案】

【解析】解：當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知與只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；

當(dāng)時(shí)，

設(shè)，

則在上有2個(gè)根，

因?yàn)椋?/p>

易知在0，上單調(diào)遞增，

設(shè)，即有，

則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

所以，

所以，

即，，

，，，

解得，

綜上，

故答案為：

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，設(shè)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有2個(gè)根，利用導(dǎo)數(shù)求解即可．

本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、轉(zhuǎn)化思想及導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．15.【答案】解：；

Ⅱ

【解析】由已知結(jié)合函數(shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則即可分別求解．

本題主要考查了函數(shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16.【答案】解：等比數(shù)列中，由于，，

則有，

解得或舍去，所以

因?yàn)椋遥?/p>

所以，

所以

【解析】根據(jù)題意，分析得到關(guān)于、q的方程組，解得即可；

首先求出，再利用作差法證明即可．

本題考查等不數(shù)量的求和，涉及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題．17.【答案】解：Ⅰ當(dāng)時(shí)，，

則，，

，

曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；

Ⅱ在上恒成立，等價(jià)于在上恒成立，

即，令，

則，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

在上的極小值點(diǎn)為，也是最小值點(diǎn)，

，

，

即a的取值范圍為

【解析】Ⅰ利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；

Ⅱ由題意可知，在上恒成立，即，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可．

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬于中檔題．18.【答案】解：Ⅰ若數(shù)列為1級(jí)等差數(shù)列，即對(duì)一切，都成立，

則數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，

由，，可得，

則

Ⅱ由數(shù)列為2級(jí)等差數(shù)列，且前四項(xiàng)分別為2，0，4，3，

可得對(duì)一切，都成立，

，，，…，

可得數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)和公差均為2的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為0，公差為3的等差數(shù)列，

則

【解析】Ⅰ結(jié)合已知定義，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式即可求解；

Ⅱ由已知遞推關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解．

本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．19.【答案】解：Ⅰ當(dāng)時(shí)，，

則，

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增．

所以函數(shù)的極小值為，

故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

的極小值為，無(wú)極大值；

Ⅱ假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使，的最小值是3，

，

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)樗?，在上單調(diào)遞減，

所以，解得舍去；

②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)