2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型（廣東專用）專題09 二次函數(shù)中最值、變換、新定義型問題（教師版）

PAGE1PAGE專題09二次函數(shù)中最值、變換、新定義型問題通用的解題思路：第一步:先判定函數(shù)的增減性：一次函數(shù)、反比例函數(shù)看，二次函數(shù)看對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系；第二步：當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以.二次函數(shù)求取值范圍之動軸定區(qū)間或者定軸動區(qū)間的分類方法：分對稱軸在區(qū)間的左邊、右邊、中間三種情況。若自變量的取值范圍為全體實(shí)數(shù)，如圖①，函數(shù)在頂點(diǎn)處時，取到最值.若，如圖②，當(dāng)時，；當(dāng)時，.若，如圖③，當(dāng)，；當(dāng)，.若，且，，如圖④，當(dāng)，；當(dāng)，.1．（2023·廣東·中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過正方形的三個頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在軸上，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，交y軸于點(diǎn)D，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，然后可得點(diǎn)，進(jìn)而代入求解即可．【詳解】解：連接，交y軸于點(diǎn)D，如圖所示：

當(dāng)時，則，即，∵四邊形是正方形，∴，，∴點(diǎn)，∴，解得：，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東廣州·中考真題）如圖，拋物線的對稱軸為，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時，隨的增大而減小 D．當(dāng)時，隨的增大而減小【答案】C【分析】由圖像可知，拋物線開口向上，因此a＞0．由圖像與y軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上得c＜0．根據(jù)圖像可知，在對稱軸左側(cè)y隨x的增大而減小，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大．【詳解】拋物線開口向上，因此a＞0，故A選項(xiàng)不符合題意．拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，因此c＜0，故B選項(xiàng)不符合題意．拋物線開口向上，因此在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，故C選項(xiàng)符合題意．拋物線開口向上，因此在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大，故D選項(xiàng)不符合題意．故選C【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·廣東·中考真題）如圖，拋物線（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，，，點(diǎn)P為線段上的動點(diǎn)，過P作//交于點(diǎn)Q．(1)求該拋物線的解析式；(2)求面積的最大值，并求此時P點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)2；P（-1，0）【分析】（1）用待定系數(shù)法將A，B的坐標(biāo)代入函數(shù)一般式中，即可求出函數(shù)的解析式；（2）分別求出C點(diǎn)坐標(biāo)，直線AC，BC的解析式，PQ的解析式為：y=-2x+n，進(jìn)而求出P，Q的坐標(biāo)以及n的取值范圍，由列出函數(shù)式求解即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A（1，0），AB=4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0），將點(diǎn)A（1，0），B（-3，0）代入函數(shù)解析式中得：，解得：b=2，c=-3，∴拋物線的解析式為；（2）解：由（1）得拋物線的解析式為，頂點(diǎn)式為：，則C點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，-4），由B（-3，0），C（-1，-4）可求直線BC的解析式為：y=-2x-6，由A（1，0），C（-1，-4）可求直線AC的解析式為：y=2x-2，∵PQ∥BC，設(shè)直線PQ的解析式為：y=-2x+n，與x軸交點(diǎn)P，由解得：，∵P在線段AB上，∴，∴n的取值范圍為-6＜n＜2，則∴當(dāng)n=-2時，即P（-1，0）時，最大，最大值為2．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的面積最值問題，二次函數(shù)的圖象與解析式間的關(guān)系，一次函數(shù)的解析式與圖象，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．4．（2022·廣東廣州·中考真題）已知直線：經(jīng)過點(diǎn)（0，7）和點(diǎn)（1，6）．(1)求直線的解析式；(2)若點(diǎn)P（，）在直線上，以P為頂點(diǎn)的拋物線G過點(diǎn)（0，-3），且開口向下①求的取值范圍；②設(shè)拋物線G與直線的另一個交點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)Q向左平移1個單長度后得到的點(diǎn)Q'也在G上時，求G在≤≤的圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)直線解析式為：；(2)①m＜10，且m≠0；②最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，9）或（2，5）【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出解析式即可；（2）①設(shè)G的頂點(diǎn)式，根據(jù)點(diǎn)P在直線上得出G的關(guān)系式，根據(jù)題意得出點(diǎn)（0，-3）不能成為拋物線G的頂點(diǎn)，進(jìn)而得出點(diǎn)P必須位于直線的上方，可求m的取值范圍，然后結(jié)合點(diǎn)P不能在軸上得出答案；②先根據(jù)點(diǎn)Q，點(diǎn)的對稱，得QQ'=1，可表示點(diǎn)Q和的坐標(biāo)，再將點(diǎn)的坐標(biāo)的代入關(guān)系式，求出a，再將點(diǎn)（0，-3）代入可求出m的值，然后分兩種情況結(jié)合取值范圍，求出函數(shù)最大值時，最高點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：∵直線經(jīng)過點(diǎn)（0，7）和點(diǎn)（1，6），∴，解得，∴直線解析式為：；（2）解：①設(shè)G：（），∵點(diǎn)P（，）在直線上，∴；∴G：（）∵（0，-3）不在直線上，∴（0，-3）不能成為拋物線G的頂點(diǎn)，而以P為頂點(diǎn)的拋物線G開口向下，且經(jīng)過（0，-3），∴點(diǎn)P必須位于直線的上方，則，，另一方面，點(diǎn)P不能在軸上，∴，∴所求取值范圍為：，且；②如圖，QQ'關(guān)于直線對稱，且QQ'=1，∴點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為，而點(diǎn)Q在上，∴Q（，），Q'（，）；∵Q'（，）在G：上，∴，，∴G：，或．∵拋物線G過點(diǎn)（0，-3），∴，即，，；當(dāng)時，拋物線G為，對稱軸為直線，對應(yīng)區(qū)間為-2≤≤-1，整個區(qū)間在對稱軸的右側(cè)，此時，函數(shù)值隨著的增大而減小，如圖，∴當(dāng)取區(qū)間左端點(diǎn)時，達(dá)最大值9，最高點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，9）；當(dāng)時，對應(yīng)區(qū)間為≤≤，最高點(diǎn)為頂點(diǎn)P（2，5），如圖，∴G在指定區(qū)間圖象最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，9）或（2，5）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式，求二次函數(shù)的極值等．解題的關(guān)鍵是掌握當(dāng)時，頂點(diǎn)在直線與軸的交點(diǎn)（0，7），此時拋物線不可能過點(diǎn)（0，-3），因此，可能會被忽視．題型一二次函數(shù)圖象與系數(shù)a,b,c的關(guān)系1．已知二次函數(shù)圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為直線．對于下列結(jié)論：；②；③多項(xiàng)式可因式分解為；④無論m為何值時，．其中正確個數(shù)有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)等等：先根據(jù)圖像的開口方向和對稱軸可判斷①；由拋物線的對稱軸為可得拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為，由此可判斷②；根據(jù)拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)可判斷③；根據(jù)函數(shù)的對稱軸為可知時y有最大值，由此可判斷④．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴，∵對稱軸為直線，∴，結(jié)論①正確；∵拋物線與x軸的一個交點(diǎn)為，且對稱軸為直線，∴拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為，即當(dāng)時，，∴，∴，結(jié)論②錯誤；∵拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)為，，∴多項(xiàng)式可因式分解為，結(jié)論③錯誤；∵對稱軸為直線，且函數(shù)開口向下，∴當(dāng)時，y有最大值，由得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴無論m為何值時，，∴，結(jié)論④正確；綜上：正確的有①④．故選：B．2．如圖是二次函數(shù)的圖象，對稱軸是直線．關(guān)于下列結(jié)論：①；②，③；④；⑤方程兩個根為，，其中正確的結(jié)論有（

）A．①③④ B．②④⑤ C．①②⑤ D．②③⑤【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷．根據(jù)二次函數(shù)圖像判定代數(shù)式的正負(fù)和數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖象可得：拋物線開口向下，∴，對稱軸在y軸左側(cè)，根據(jù)左同右異，∴，∴，故①錯；由圖象可得：拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，∴，故②正確；由圖象可得：時，，∴，故③錯；由圖象可得：，∴，∴，故④正確；由圖象可得：的兩根分別為，，∴方程兩個根為，，故⑤正確；故選：B．3．拋物線上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表，下列說法正確的有（

）．x…01…y…33…①當(dāng)時，y隨x的增大而減??；②拋物線的對稱軸為直線；③當(dāng)時，；

④方程的一個正數(shù)解滿足．A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④【答案】D【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)和二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的特征，理解二次函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)表格信息，先確定出拋物線的對稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：①由表格看出，這個拋物線的對稱軸為直線且當(dāng)時，y隨x的增大而增大，根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性可得當(dāng)時，y隨x的增大而減小，故①的說法正確；②由表格看出，這個拋物線的對稱軸為直線，故②的說法正確；③當(dāng)時的函數(shù)值與時的函數(shù)值相同為，即，故③的說法錯誤；④當(dāng)時，，當(dāng)時，，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得當(dāng)時，，當(dāng)時，，故方程的正數(shù)解滿足，故④的說法正確．故選：D．題型二二次函數(shù)中線段最小值1．如題，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，．(1)求拋物線的解析式．(2)點(diǎn)為拋物線的對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)周長最小時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)點(diǎn)是的中點(diǎn)，射線交拋物線于點(diǎn)，是拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，交射線與點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接交對稱軸于點(diǎn)，連接，此時最小，得出直線的解析式為，當(dāng)時，，得出即可求解；（3）分兩種情況：，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：把點(diǎn)，分別代入，得解得∴拋物線的解析式為．（2）∵，∴對稱軸為直線點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接交對稱軸于點(diǎn)，連接，此時最小，當(dāng)時，，∴點(diǎn)．設(shè)直線的解析式為，代入得∴∴直線的解析式為當(dāng)時，，∴點(diǎn)．（3）存在．∵，是的中點(diǎn)，．又，∴直線的解析式為，．聯(lián)立得．解得，（舍）．當(dāng)時，．∴．設(shè)，則．∴．分以下兩種情況：①如圖2，若，則，．∴軸．∴．∴．解得或（舍）．∴．②如圖3，若，則，．過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，即．解得或（舍）．∴．綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段周長問題以及相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)解析式．2．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線（b，c是常數(shù)）交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上．設(shè)拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)C．

(1)求該拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)M是拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)P是拋物線上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），如圖2，若點(diǎn)P在直線上方，連接交于點(diǎn)D，求的最大值；【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直線與兩坐標(biāo)的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，將A、B代入拋物線，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)拋物線解析式確定與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再由對稱的性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線段最短即可確定點(diǎn)M的位置，然后代入一次函數(shù)解析式求解即可；（3）過點(diǎn)P作交直線于點(diǎn)E，則，所以，當(dāng)取最大值時，有最大值．【詳解】（1）解：直線與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，將A、B代入拋物線，得，解得，拋物線的解析式為：．（2）∵拋物線的解析式為：．∴當(dāng)時，解得，∴，∴拋物線的對稱軸為，

∵點(diǎn)關(guān)于對稱，連接交對稱軸于點(diǎn)M，∴，此時取得最小值，∴當(dāng)時，，∴；（3）過點(diǎn)P作交直線于點(diǎn)E，則，

設(shè)點(diǎn)，，，，代數(shù)式，當(dāng)時有最大值，的最大值為．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線證．3．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于、兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，其中，，．(1)求拋物線的解析式；(2)線段上有一動點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r，請直接寫出此時點(diǎn)的坐標(biāo)和的最小值．(3)如圖2，點(diǎn)為直線上方拋物線上一點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接，記的面積為，的面積為，求的最大值．【答案】(1)拋物線的解析式為：(2)，C的最小值為(3)最大值為【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)和的值可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入拋物線，組成方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）令，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得，過點(diǎn)作，則，則，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，再根據(jù)直角三角形的三邊關(guān)系可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交的延長線于點(diǎn)，由此可得，則，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，表達(dá)的長，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵

∴∵

∴，將、的坐標(biāo)代入得：

∴∴拋物線的解析式為：；（2）解：由，令，即，解得：，∴，∴，∴作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，連接，，，，，，，，綜上所述，當(dāng)時，的最小值為；（3）如圖，過作軸于點(diǎn)，交于，過作軸交延長線于，設(shè)直線解析式為：，由(1)得：，將，分別代入得：，解得：，直線的表達(dá)式為：，，故的橫坐標(biāo)，代入，得：，，，設(shè)，則，，軸于點(diǎn)，軸，，，，將、分別看作、為底邊，則它們的高相同，，，時，有最大值，最大值為【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定問題，解本題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，并正確表達(dá)面積的比值．題型三二次函數(shù)中面積最值問題1．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)在拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)D在第一象限內(nèi)的拋物線上，連接，，請求出面積的最大值；(3)點(diǎn)在拋物線上移動，連接，存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)4(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為：或．【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）由面積，即可求解；（3）當(dāng)點(diǎn)在軸上方時，則點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸對稱，即可求解；當(dāng)點(diǎn)在軸下方時，由，求出點(diǎn)，即可求解．【詳解】（1）解：拋物線的表達(dá)式為：，則，解得：，則拋物線的表達(dá)式為：①；（2）解：過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則面積，，故面積有最大值，當(dāng)時，面積的最大值為4；（3）解：當(dāng)點(diǎn)在軸上方時，所以平行于x軸則點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸對稱，則點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)在軸下方時，設(shè)交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，則，則，解得：，即點(diǎn)，由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：②，聯(lián)立①②得：，解得：（舍去）或，即點(diǎn)的坐標(biāo)為：；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到等腰三角形的性質(zhì)、面積的計(jì)算等，分類求解是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在直角坐標(biāo)系中有一直角三角形，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，將此三角形繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、、．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為t，①是否存在一點(diǎn)P，使的面積最大？若存在，求出的面積的最大值；若不存在，請說明理由．②設(shè)拋物線對稱軸l與x軸交于一點(diǎn)E，連接，交于，直接寫出當(dāng)與相似時，點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①存在，最大值為，理由見解析；②或【分析】（1）根據(jù)正切函數(shù)，可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，據(jù)此求出A、B、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式；（2）①可求得直線的解析式，過作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，可用表示出的長，當(dāng)取最大值時，則的面積最大，可求得其最大值；②當(dāng)時，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，證明，得到，進(jìn)而推出，則，解方程即可；當(dāng)時，，此時，軸，則．【詳解】（1）解：在中，，，，是由繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)而得到的，．，，的坐標(biāo)分別為，，，代入解析式得：，解得：，拋物線的解析式為；（2）解：存在點(diǎn)使的面積最大，的面積有最大值為理由如下：設(shè)直線解析式為，把、兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：，解得：，直線解析式為，如圖，過作軸，交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，，，點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)在點(diǎn)上方，，當(dāng)時，有最大值，最大值為，，當(dāng)有最大值時，的面積有最大值，，綜上可知，存在點(diǎn)使的面積最大，的面積有最大值為；當(dāng)時，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∴，又∵，∴，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，在第二象限，，，，解得，，與在二象限，橫坐標(biāo)小于矛盾，舍去，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，此時，軸，當(dāng)與相似時，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，相似三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與幾何綜合，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等等，解（1）的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，的長，又利用了待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)得出．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線相交于A，B兩點(diǎn)，其中．(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)點(diǎn)P為直線下方拋物線上的任意一點(diǎn)，連接，求面積的最大值；(3)若點(diǎn)M為拋物線對稱軸上的點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)N的坐標(biāo)為或或【分析】（1）用待定系數(shù)法可得拋物線的函數(shù)解析式為；（2）過P作軸交于Q，求出直線解析式為，設(shè)，則可得，故，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得面積的最大值為；（3）求出拋物線的對稱軸為直線，設(shè)，分三種情況：①當(dāng)為對角線時，的中點(diǎn)重合，，②當(dāng)為對角線時，，③當(dāng)為對角線時，，分別解方程組可得答案．【詳解】（1）解：把代入得：，解得，∴拋物線的函數(shù)解析式為；（2）解：過P作軸交于Q，如圖：由得直線解析式為，設(shè)，其中，則，，∵，∴當(dāng)時，取最大值，面積的最大值為；（3）解：拋物線上存在點(diǎn)N，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下：，∴拋物線的對稱軸為直線，設(shè)，又，①當(dāng)為對角線時，的中點(diǎn)重合，∴，解得，；②當(dāng)為對角線時，，解得，；③當(dāng)為對角線時，，解得，；綜上所述，N的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，平行四邊形等知識，解題的關(guān)鍵是分類討論思想和方程思想的應(yīng)用．題型四二次函數(shù)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)問題1．如圖1，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．直線經(jīng)過、兩點(diǎn)．(1)求直線和拋物線的解析式；(2)如圖2，將位于軸下方的拋物線沿軸向上翻折形成“”圖象，將直線向上平移個單位得到直線．當(dāng)直線與“”圖象有兩個交點(diǎn)時，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)或【分析】（1）先后求出坐標(biāo)即可求出解析式；（2）畫出平移后的圖像，分析當(dāng)在與之間移動時，和在上方移動時，直線與“”圖象有兩個交點(diǎn)，分情況討論，然后直接求解直線解析式即可．【詳解】（1）拋物線中，令，∴，∵在直線上，∴，∴，令，∴，將代入，∴，解得，∴，故直線解析式為，拋物線的解析式為．（2）將直線移動到如圖位置時，直線與“”圖象有三個交點(diǎn)，平移后的，①當(dāng)與翻折后的拋物線只有一個交點(diǎn)時，翻折后的函數(shù)解析式為：，∴，化簡得，∴，解得，②當(dāng)過點(diǎn)時，由（1）可知，，∴，將代入，∴，解得，∵直線與“”圖象有兩個交點(diǎn)，∴或，【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是取已知點(diǎn)代入解析式進(jìn)行求解，難點(diǎn)是判斷函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)，直接畫出函數(shù)圖像，找到函數(shù)有兩個交點(diǎn)的范圍，分情況討論求解．2．已知拋物線過點(diǎn)和兩點(diǎn)，交x軸于另一點(diǎn)B．(1)求拋物線解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P是BD上方拋物線上一點(diǎn)，連接AD，BD，PD，當(dāng)BD平分時，求P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)將拋物線圖象繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°形成如圖2的“心形”圖案，其中點(diǎn)M，N分別是旋轉(zhuǎn)前后拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E、F是旋轉(zhuǎn)前后拋物線的交點(diǎn)．①直線EF的解析式是______；②點(diǎn)G、H是“心形”圖案上兩點(diǎn)且關(guān)于EF對稱，則線段GH的最大值是______．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式；（2）過點(diǎn)B作軸交DP延長線與點(diǎn)E，過D作軸交x軸于點(diǎn)F．證明，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線DE的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式即可求解；（3）①根據(jù)順時針旋轉(zhuǎn)90°后點(diǎn)的坐標(biāo)特征可知對稱軸為；②連接，交于點(diǎn)，則，過點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，當(dāng)GM最大時，△GFE面積最大，設(shè)，則，根據(jù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)求得當(dāng)時，△GFE面積最大，，根據(jù)①的方法求得的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)公式求得的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求得，由即可求解．【詳解】（1）∵過，∴

解之得∴拋物線解析式為（2）過點(diǎn)B作軸交DP延長線與點(diǎn)E，過D作軸交x軸于點(diǎn)F．由，令，得，則，即，∴，∴又∵，BD平分，∴，∴，

∴設(shè)直線的解析式為，解得∴直線DE的解析式為聯(lián)立解得則（3）①直線EF解析式為．拋物線關(guān)于y軸對稱，所以旋轉(zhuǎn)后圖形關(guān)于x軸對稱，∴對于拋物線上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后對應(yīng)點(diǎn)為在旋轉(zhuǎn)后圖形上，關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)后圖形上，∵與關(guān)于對稱，∴圖形2關(guān)于對稱，∴直線EF解析式為故答案為：②GH最大值為如圖，連接，交于點(diǎn)，則，過點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，∴當(dāng)GM最大時，△GFE面積最大，又∵設(shè)，則∴∴當(dāng)時，△GFE面積最大，由①可知關(guān)于的對稱點(diǎn)∴GH的最大值為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)問題，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．題型五二次函數(shù)中的新定義型問題1．定義：若一個函數(shù)圖像上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個函數(shù)圖像的“等值點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是函數(shù)的圖像的“等值點(diǎn)”．(1)請判斷函數(shù)的圖像上是否存在“等值點(diǎn)”？如果存在，求出“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由；(2)設(shè)函數(shù)，的圖像的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)，，過點(diǎn)作軸，垂足為．當(dāng)?shù)拿娣e為時，求的值；(3)已知函數(shù)（為常數(shù)）有兩個“等值點(diǎn)”．存在函數(shù)（異于），若對于任意的自變量，都有點(diǎn)與點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等；當(dāng)時，都有成立，請結(jié)合圖像求的取值范圍．【答案】(1)存在；或(2)或(3)或【分析】（1）根據(jù)“等值點(diǎn)”的定義建立方程求解即可得出答案；（2）先根據(jù)“等值點(diǎn)”的定義求出函數(shù)的圖像上有兩個“等值點(diǎn)”，可得，同理求出，根據(jù)的面積為可得，求解即可；（3）先根據(jù)函數(shù)有兩個“等值點(diǎn)”，利用根的判別式可初步確定的取值范圍，依據(jù)拋物線性質(zhì)和圖像可得開口向上，對稱軸為直線，頂點(diǎn)，且圖像恒過點(diǎn)，當(dāng)，圖像的隨著的增大而增大，最大值比最小值大，根據(jù)對稱性確定拋物線的解析式，再分析拋物線的圖像和性質(zhì)；然后根據(jù)，兩點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論即可．【詳解】（1）解：在中，令，解得：，，∴函數(shù)的圖像上有兩個“等值點(diǎn)”，坐標(biāo)為或．（2）在函數(shù)中，令，解得：或（不符合題意，舍去）∴，在函數(shù)中，令，解得：，∴，∵軸，∴，∵的面積為，∴，整理，得：，當(dāng)時，解得：，，當(dāng)時，即，∵，∴方程沒有實(shí)數(shù)根，綜上所述，的值為或．（3）設(shè)，，設(shè)函數(shù)的頂點(diǎn)為，∵函數(shù)（為常數(shù)）有兩個“等值點(diǎn)”，∴令，即，∴，解得：或，由函數(shù)知：圖像開口向上，對稱軸為直線