高中數學熱點題型增分練專題11雙曲線圖像性質與離心率學生版新人教A版選擇性必修第一冊

專題11雙曲線圖像性質與離心率綜述1.雙曲線定義：動點P滿意：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c(其中a，c為常數且a>0，c>0).2.雙曲線標準方程和幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)實虛軸實軸|A1A2|＝2a；虛軸|B1B2|＝2b；a、b、c的關系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)性質：①動點P到同側焦點F2的距離最小值為：|PF2|最?。絴A2F2|＝c－a；②焦點到漸近線的距離為：|F2M|＝b；4.漸近線求法結論：可干脆令方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)等號右邊的常數為0，化簡解得；可巧設共漸近線雙曲線：與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同漸近線時，可設所求雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．5.漸近線的一些二級結論：（1）焦點到漸近線的距離為b（2）定點到漸近線的距離為（3）準線與對稱軸的交點到漸近線的距離為（4）雙曲線的焦點在漸近線上的射影對十周兩定點的張是直角（5）雙曲線的定點在漸近線上的射影對兩準線與對稱軸的交點張直角（6）始終線交雙曲線的漸近線于A.B兩點。A,B的中點為M，則.（7）過雙曲線上隨意一點P做切線，分別角兩漸近線于M,N兩點，O為坐標原點則有如下結論：①OM·ON=a2+b2；②；③7.離心率：①定義法，通過已知條件列出方程組，求得得值，依據離心率的定義求解離心率；②齊次式法，由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉化為關于的一元二次方程求解；③特別值法：通過取特別值或特別位置，求出離心率.8.焦點三角形與正弦定理設雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上隨意一點，在△PF1F2中，記,,，則有.9.焦點三角形面積公式雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點分別為F1，F2，點P為雙曲線上隨意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為.【題型一】求軌跡【典例分析】已知定點，動點Q在圓O：上，PQ的垂直平分線交直線OQ于M點，若動點M的軌跡是雙曲線，則m的值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【提分秘籍】基本規(guī)律求軌跡方程的常見方法有:①干脆法，設出動點的坐標，依據題意列出關于的等式即可；②定義法，依據題意動點符合已知曲線的定義，干脆求出方程；③參數法，把分別用第三個變量表示，消去參數即可；④逆代法，將代入.【變式訓練】1.圓的半徑為定長，是圓所在平面上與不重合的一個定點，是圓上隨意一點，線段的垂直平分線和直線相交于點，當點在圓上運動時，點的軌跡是________①橢圓；②雙曲線；③拋物線；④圓；⑤一個點2.已知定點，，是圓：上隨意一點，點關于點的對稱點為，線段的中垂線與直線相交于點，則點的軌跡是A．直線 B．圓C．橢圓 D．雙曲線3.已知圓及點，為圓周上一點，的垂直平分線交直線于點，則動點的軌跡方程為__________．河北省阜城中學2017-2025學年高二上學期第五次月考數學（文）試題【題型二】方程與圖像【典例分析】（2024·黑龍江·哈爾濱三中高二階段練習）已知實數，滿意，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1.已知曲線，點為曲線上隨意一點，若點，，則面積的最大值為______．2.方程的曲線即為函數的圖像，對于函數，有如下結論：①在上單調遞減；②函數不存在零點；③函數的值域是；④的圖像不經過第一象限，其中正確結論的個數是___________3.若直線與曲線有且僅有三個交點，則的取值范圍是A． B． C． D．【題型三】求雙曲線的方程【典例分析】在矩形中，，，把邊AB分成n等份，在的延長線上，以的n分之一為單位長度連續(xù)取點.過邊AB上各分點和點作直線，過延長線上的對應分點和點A作直線，這兩條直線的交點為P，如圖建立平面直角坐標系，則點P滿意的方程可能是（

）A． B．C． D．【變式訓練】1.若實軸長為2的雙曲線上恰有4個不同的點滿意，其中，，則雙曲線C的虛軸長的取值范圍為（

）A． B． C． D．2.在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線（，）的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．3.如圖，雙曲線：（，）的左、右焦點為，，過，作圓：的切線，四條切線圍成的四邊形的面積為，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【題型四】雙曲線第確定義【典例分析】設是雙曲線的兩個焦點，是雙曲線上隨意一點，過作平分線的垂線，垂足為，則點到直線的距離的最大值是（

）.A．4 B．5 C．6 D．3【提分秘籍】基本規(guī)律雙曲線定義：動點P滿意：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c(其中a，c為常數且a>0，c>0)【變式訓練】1..已知雙曲線：，分別是雙曲線的左、右焦點，為右支上一點，在線段上取“的周長中點”，滿意，同理可在線段上也取“的周長中點”.若的面積最大值為1，則________．2.．已知雙曲線的左焦點為，頂點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值等于__________.3.已知分別為雙曲線的左右焦點，為雙曲線右支上一點，關于直線的對稱點為關于直線的對稱點為，則當最小時，的值為（

）A． B． C． D．【題型五】雙曲線焦半徑（其次定義）【典例分析】若點P為雙曲線上隨意一點，則P滿意性質：點P到右焦點的距離與它到直線的距離之比為離心率e，若C的右支上存在點Q，使得Q到左焦點的距離等于它到直線的距離的6倍，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．【提分秘籍】基本規(guī)律其次定義與焦半徑（了解）：若點P為雙曲線上隨意一點，則P滿意性質：點P到右焦點的距離與它到直線的距離之比為離心率e，雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：(,當在右支上時，,.當在左支上時，,【變式訓練】1.已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)與橢圓＋＝1的焦點重合，離心率互為倒數，設F1、F2分別為雙曲線C的左、右焦點，P為右支上隨意一點，則的最小值為________．2.已知為雙曲線(，)左支上一點，，為其左右焦點，若的最小值為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3.已知，為雙曲線：（，）的左、右焦點，以為圓心，為半徑的圓與在第一象限的交點為，直線與交于另一點．若的面積為，則的離心率為（

）A．2 B． C． D．【題型六】雙曲線第三定義【典例分析】已知雙曲線與直線交于兩點，點為上一動點，記直線的斜率分別為，曲線的左、右焦點分別為．若，且的焦點到漸近線的距離為，則下列說法正確的是（

）A．B．曲線的離心率為C．若，則的面積為D．若的面積為，則為鈍角三角形【提分秘籍】基本規(guī)律第三定義：AB是雙曲線的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則.中點性質：AB是雙曲線的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。【變式訓練】1.已知雙曲線與不過原點且不平行于坐標軸的直線相交于兩點，線段的中點為，設直線的斜率為，直線的斜率為，則A． B．C．2 D．-22.已知平行四邊形的四個頂點均在雙曲線上，為坐標原點，為線段的中點且的斜率之積為3，則雙曲線的離心率為_________.3.在平面直角坐標系中，為坐標原點，、是雙曲線上的兩個動點，動點滿意，直線與直線斜率之積為2，已知平面內存在兩定點、，使得為定值，則該定值為________【題型七】雙曲線漸近線【典例分析】已知F是雙曲線的右焦點，若直線與雙曲線相交于A，B兩點，且，則k的范圍是（

）A． B．C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律（1）焦點到漸近線的距離為b（2）定點到漸近線的距離為（3）準線與對稱軸的交點到漸近線的距離為（4）雙曲線的焦點在漸近線上的射影對十周兩定點的張是直角（5）雙曲線的定點在漸近線上的射影對兩準線與對稱軸的交點張直角（6）始終線交雙曲線的漸近線于A.B兩點。A,B的中點為M，則.（7）過雙曲線上隨意一點P做切線，分別角兩漸近線于M,N兩點，O為坐標原點則有如下結論：①OM·ON=a2+b2；②；③【變式訓練】已知雙曲線，過軸上點的直線與雙曲線的右支交于，兩點（在第一象限），直線2.如圖，設，是雙曲線的左、右焦點，過點作漸近線的平行線交另外一條漸近線于點，若的面積為，離心率滿意，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．3.已知雙曲線C：，O為坐標原點，F為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M、N.若OMN為直角三角形，則|MN|=A． B．3 C． D．4【題型八】焦點三角形【典例分析】已知?分別為雙曲線的左、右焦點，若點到該雙曲線的漸近線的距離為2，點在雙曲線上，且，則三角形的面積為___________.【提分秘籍】基本規(guī)律雙曲線上一點與兩焦點構成的三角形，稱為雙曲線的焦點三角形，與焦點三角形有關的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的關系．【變式訓練】1.已知的頂點，分別為雙曲線左、右焦點，頂點在雙曲線上，則的值等于__________．2.已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F2，過F2且斜率為的直線與雙曲線在第一象限的交點為A，若，則此雙曲線的標準方程可能為（

）A．x21 B．C． D．3.雙曲線的兩焦點為、，點P在雙曲線上，直線、傾斜角之差為，則面積為（

）A． B． C．32 D．42【題型九】離心率1：焦點直角三角形型【典例分析】已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上．若為直角三角形，且，則雙曲線的離心率為_______________________．【變式訓練】1.如圖，O是坐標原點，P是雙曲線右支上的一點，F是E的右焦點，延長PO，PF分別交E于Q，R兩點，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（

）A． B． C． D．2.已知是雙曲線的左焦點，圓與雙曲線在第一象限的交點為，若的中點在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是（

）A． B．2 C． D．3.已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為、，圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點分別為，，四邊形的周長與面積滿意，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【題型十】離心率2：雙三角形余弦定理型【典例分析】雙曲線的左?右焦點分別為F1，F2，直線l過F1與C的左支和右支分別交于A，B兩點，是等邊三角形，若x軸上存在點Q且滿意，則C的離心率為___________.【變式訓練】1.已知雙曲線的左、右焦點分別為，設過的直線與的右支相交于兩點，且，，則雙曲線的離心率是______.2.已知雙曲線的左右焦點分別為，，過的直線交雙曲線于P，Q兩點，且，，則雙曲線的離心率為________.3..已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與C的右支交于A，B兩點，若，，則C的離心率為______.【題型十一】離心率3：共焦點橢圓與雙曲線【典例分析】橢圓與雙曲線共焦點、，它們的交點對兩公共焦點、的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則A． B．C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律共焦點橢圓與雙曲線橢圓與雙曲線共焦點、，它們的交點對兩公共焦點、的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則．【變式訓練】1.已知是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，線段的垂直平分線過，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（

）A． B．3 C．6 D．2..我們把焦點相同，且離心率互為倒數的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”，已知、是一對相關曲線的焦點，是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當時，這一對相關曲線中雙曲線的離心率是A． B． C． D．23.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，P是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【題型十二】離心率4：焦點弦定比分點【典例分析】已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作直線l垂直于雙曲線的一條漸近線，直線l與雙曲線的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若，且，則雙曲線C的離心率的取值范圍為________．【提分秘籍】基本規(guī)律【變式訓練】1.已知雙曲線的左、右焦點分別是、，是其右支上的兩點，，則該雙曲線的方程是（

）A． B． C． D．2.已知雙曲線的右焦點為F，關于原點對稱的兩點A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，且點C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．23.已知F1、F2是雙曲線E：(a>0，b>0）的左、右焦點，過F1的直線與雙曲線左、右兩支分別交于點P、Q．若，M為PQ的中點，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【題型十三】焦點三角形內心【典例分析】已知雙曲線()的左?右焦點分別為為雙曲線上的一點，為的內心，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律焦點三角形的內切圓與雙曲線實軸切于實軸定點。且圓心在過定點垂直與實軸的直線上?！咀兪接柧殹?.已知F1，F2分別為雙曲線的左焦點和右焦點，過F2的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點，△AF1F2的內切圓半徑為r1，△BF1F2的內切圓半徑為r2，若r1=2r2，則直線l的斜率為（）A．1 B． C．2 D．2.過雙曲線的右焦點F作直線l，且直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足為A，直線l與另一條漸近線交于點B.已知O為坐標原點，若△OAB的內切圓的半徑為，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．或4 D．或23.已知雙曲線：，，分別為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上的第一象限內的點，點為的內心，的面積的取值范圍是__________．【題型十四】計算之小題大做：韋達定理【典例分析】.已知雙曲線，直線l經過C的左焦點F，與C交于A，B兩點，且，其中O為坐標原點．則C離心率的取值范圍是______．【變式訓練】雙曲線，過定點的兩條垂線分別交雙曲線于、兩點，直恒過定點（

）A． B． C． D．【題型十五】計算之小題大做：暴力計算【典例分析】如圖所示，，是雙曲線上的三個點，點，關于原點對稱，線段經過右焦點，若且，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【變式訓練】已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，（為坐標原點）．若直線與的左支有交點，則的離心率的取值范圍為______．分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎過關練1．雙曲線上的點到左焦點的距離為，則到右焦點的距離為（

）A． B． C．或 D．2．在一個平面上，設、是兩個定點，P是一個動點，且滿意P到的距離與P到的距離差為，即，則動點P的軌跡是（

）．A．一條線段 B．一條射線 C．一個橢圓 D．雙曲線的一支3．若圓與軸的兩個交點都在雙曲線上，且A、B兩點恰好將此雙曲線的焦距三等分，則此雙曲線的標準方程為（

）A． B． C． D．4．若動圓與圓和圓都外切，則動圓圓心的軌跡為（

）A．雙曲線的一支 B．圓C．拋物線 D．雙曲線5．如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為，點M與C的焦點不重合，點M關于的對稱點分別為A，B，線段MN的中點Q在C的右支上．若，則C的實軸長為（

）A．6 B．9 C．12 D．156．已知雙曲線兩條漸近線的夾角為，則此雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．7．雙曲線的左右焦點分別是，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線在第一象限交于點A，在其次象限交于點B，若，則雙曲線的離心率為_______________．8．已知雙曲線方程，為雙曲線的右焦點，則的取值范圍是___________.9．過雙曲線的左焦點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，過A，B分別作雙曲線的同一條漸近線的垂線，垂足分別為P，Q.若，則雙曲線的離心率為___________.10．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，以線段為直徑的圓與y軸的正半軸交于點B，連接，，分別交雙曲線的漸近線于點E，F.若四邊形OFBE為平行四邊形，則該雙曲線的離心率為______.培優(yōu)其次階——實力提升練1．如圖，已知雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，|F1F2|＝6，P是雙曲線右支上的一點，F2P與y軸交于點A，△APF1的內切圓在邊PF1上的切點為Q，若|PQ|＝1，則雙曲線的離心率是（）A．3 B．2 C． D．2．已知雙線的左、右焦點分別為，，O為坐標原點，點M在C的右支上運動，的內心為I，若，則C的離心率為（

）A．2 B． C．3 D．3．若雙曲線C：的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則雙曲線C的焦距為（

）A．8 B．10 C．12 D．164．已知雙曲線的漸近線被圓截得的弦長為，則正實數的值為（

）A．8 B．4 C．1 D．5．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．16．已知F為雙曲線C：的左焦點，過F作圓的切線，切點為T，延長FT交C于點P，若M為線段FP的中點，則（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線與圓相切于點，且直線與雙曲線的右支交于點，若，則雙曲線的離心率為________．8．數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微．”事實上，許多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，例如，與相關的代數問題，可以轉化為點與點之間的距離的幾何問題．結合上述觀點，可得方程的解為____________9．已知P1（x1，y1），P2（x2，y