江蘇省無(wú)錫市天一中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

江蘇省無(wú)錫市天一中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知某圓柱的底面周長(zhǎng)為12，高為2，矩形是該圓柱的軸截面，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（）A． B． C．3 D．22．從甲、乙、丙三人中，任選兩名代表，甲被選中的概率為（）A． B． C． D．3．已知變量和滿足關(guān)系，變量與正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是（）A．與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān)B．與正相關(guān)，與正相關(guān)C．與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān)D．與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān)4．若是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．已知兩點(diǎn)，，若點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則△面積的最小值是A． B．6 C．8 D．6．設(shè)全集，集合，則（）A． B． C． D．7．已知正方形的邊長(zhǎng)為，若將正方形沿對(duì)角線折疊為三棱錐，則在折疊過(guò)程中，不能出現(xiàn)（）A． B．平面平面 C． D．8．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，則等于()A．1 B．2 C． D．49．直線在軸上的截距為（）A．2 B．﹣3 C．﹣2 D．310．已知，且，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，且，則______.（寫出兩個(gè)即可）12．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則__13．一湖中有不在同一直線的三個(gè)小島A、B、C，前期為開(kāi)發(fā)旅游資源在A、B、C三島之間已經(jīng)建有索道供游客觀賞，經(jīng)測(cè)量可知AB兩島之間距離為3公里，BC兩島之間距離為5公里，AC兩島之間距離為7公里，現(xiàn)調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，游客對(duì)在同一圓周上三島A、B、C且位于（優(yōu)?。┮黄娘L(fēng)景更加喜歡，但由于環(huán)保、安全等其他原因，沒(méi)辦法盡可能一次游覽更大面積的湖面風(fēng)光，現(xiàn)決定在上選擇一個(gè)點(diǎn)D建立索道供游客游覽，經(jīng)研究論證為使得游覽面積最大，只需使得△ADC面積最大即可.則當(dāng)△ADC面積最大時(shí)建立索道AD的長(zhǎng)為_(kāi)_____公里.（注：索道兩端之間的長(zhǎng)度視為線段）14．設(shè)為，的反函數(shù)，則的值域?yàn)開(kāi)_____.15．把數(shù)列的所有數(shù)按照從大到小的原則寫成如下數(shù)表：第行有個(gè)數(shù)，第行的第個(gè)數(shù)（從左數(shù)起）記為，則________.16．如圖，為測(cè)量山高，選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從點(diǎn)測(cè)得的仰角，點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測(cè)得；已知山高，則山高_(dá)_________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，.（Ⅰ)求的坐標(biāo)及；（Ⅱ)當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，.18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M點(diǎn)為圓心的圓及其上一點(diǎn).（1）設(shè)圓N與y軸相切，與圓M外切，且圓心在直線上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)且，求直線l的方程.19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，數(shù)列滿足：對(duì)于任意，有.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，若在數(shù)列的兩項(xiàng)之間都按照如下規(guī)則插入一些數(shù)后，構(gòu)成新數(shù)列：和兩項(xiàng)之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，求；（3）若不等式成立的自然數(shù)恰有個(gè)，求正整數(shù)的值．20．有同一型號(hào)的汽車100輛，為了解這種汽車每耗油所行路程的情況，現(xiàn)從中隨機(jī)地抽出10輛，在同一條件下進(jìn)行耗油所行路程的試驗(yàn)，得到如下樣本數(shù)據(jù)(單位：km)：13.7，12.7，14.4，13.8，13.3，12.5，13.5，13.6，13.1，13.4，并分組如下：(1)完成上面的頻率分布表；(2)根據(jù)上表，在坐標(biāo)系中畫(huà)出頻率分布直方圖.21．在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，為的中點(diǎn).（1）用和表示；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

由圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，利用勾股定理求解．【詳解】圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖如圖，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，且矩形的長(zhǎng)為12，寬為2，則在此圓柱側(cè)面上從到的最短路徑為線段，.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓柱側(cè)面展開(kāi)圖中的最短距離問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．2、D【解析】

采用列舉法寫出總事件，再結(jié)合古典概型公式求解即可【詳解】被選出的情況具體有：甲乙、甲丙、乙丙，甲被選中有兩種，則故選：D3、A【解析】

因?yàn)樽兞亢蜐M足關(guān)系，一次項(xiàng)系數(shù)為，所以與負(fù)相關(guān)；變量與正相關(guān)，設(shè)，所以，得到，一次項(xiàng)系數(shù)小于零，所以與負(fù)相關(guān)，故選A.4、C【解析】

試題分析：兩個(gè)平面垂直，一個(gè)平面內(nèi)的直線不一定垂直于另一個(gè)平面，所以A不正確；兩個(gè)相交平面內(nèi)的直線也可以平行，所以B不正確；垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面不一定垂直，也可能平行或相交，所以D不正確；根據(jù)面面垂直的判定定理知C正確.考點(diǎn)：空間直線、平面間的位置關(guān)系.【詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?、A【解析】

求得圓的方程和直線方程以及，利用三角換元假設(shè)，利用點(diǎn)到直線距離公式和三角函數(shù)知識(shí)可求得，代入三角形面積公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意知，圓的方程為：，直線方程為：，即設(shè)點(diǎn)到直線的距離：，其中當(dāng)時(shí)，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線距離的最值的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用三角換元的方式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值的求解問(wèn)題.6、B【解析】

先求出，由此能求出．【詳解】∵全集，集合，∴，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合、并集、補(bǔ)集的運(yùn)算等基本知識(shí)，體現(xiàn)運(yùn)算能力、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．7、D【解析】對(duì)于A：取BD中點(diǎn)O，因?yàn)椋珹O所以面AOC，所以，故A對(duì)；對(duì)于B：當(dāng)沿對(duì)角線折疊成直二面角時(shí)，有面平面平面，故B對(duì)；對(duì)于C：當(dāng)折疊所成的二面角時(shí)，頂點(diǎn)A到底面BCD的距離為，此時(shí)，故C對(duì)；對(duì)于D：若，因?yàn)?，面ABC，所以，而，即直角邊長(zhǎng)與斜邊長(zhǎng)相等，顯然不對(duì)；故D錯(cuò)；故選D點(diǎn)睛：本題考查了立體幾何中折疊問(wèn)題，要分析清楚折疊前后的變化量與不變量以及線線與線面的位置關(guān)系，屬于中檔題.8、D【解析】

直接利用正弦定理得到，帶入化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】正弦定理：即：故選D【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9、B【解析】

令,求出值則是截距?！驹斀狻恐本€方程化為斜截式為：，時(shí)，，所以，在軸上的截距為－3?！军c(diǎn)睛】軸上的截距：即令,求出值；同理軸上的截距：即令,求出值10、C【解析】

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角和差的正弦公式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?，．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，，所以．所以．故選：【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的正弦公式，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、或【解析】

利用已知求的公式，即可算出結(jié)果．【詳解】（1）當(dāng)，得，∴，∴．（2）當(dāng)時(shí)，，兩式作差得，，化簡(jiǎn)得，∴或，即（常數(shù)）或，當(dāng)（常數(shù)）時(shí)，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以；當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，﹣1為公比的等比數(shù)列，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用與的關(guān)系公式，即，求的方法應(yīng)用．12、【解析】

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，若為偶數(shù)，則為奇數(shù)）；若為奇數(shù)，則，故是偶數(shù)）．因?yàn)?，，所以，同理可得，，，所以，?yīng)選答案．點(diǎn)睛：本題運(yùn)用演繹推理的思維方法，分別探求出數(shù)列各項(xiàng)的規(guī)律（成等比數(shù)列），再運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，使得問(wèn)題簡(jiǎn)捷、巧妙獲解．13、【解析】

根據(jù)題意畫(huà)出草圖，根據(jù)余弦定理求出的值，設(shè)點(diǎn)到的距離為，可得，分析可知取最大時(shí)，取最大值，然后再對(duì)為中點(diǎn)和不是中點(diǎn)兩種情況分析，可得的最大值為，然后再根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)和正弦定理，即可求出結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意可作出及其外接圓，連接，交于點(diǎn)，連接，如下圖：在中，由余弦定理,由為的內(nèi)角，可知，所以.設(shè)的半徑為，點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，則,故取最大時(shí)，取最大值.①當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，由垂徑定理知，即，此時(shí)，故；②當(dāng)不是中點(diǎn)時(shí)，不與垂直，設(shè)此時(shí)與所成角為，則，故；由垂線段最短知，此時(shí);綜上，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，到的距離最大，最大值為；由圓周角定理可知，,由垂徑定理知，此時(shí)點(diǎn)為優(yōu)弧的中點(diǎn)，故，則，在中，由正弦定理得所以.所以當(dāng)△ADC面積最大時(shí)建立索道AD的長(zhǎng)為公里.故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理、余弦定理在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，屬于中檔題．14、【解析】

求出原函數(shù)的值域可得出其反函數(shù)的定義域，取交集可得出函數(shù)的定義域，再由函數(shù)的單調(diào)性可求出該函數(shù)的值域.【詳解】函數(shù)在上為增函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?，函?shù)的定義域?yàn)?函數(shù)的定義域?yàn)?，由于函?shù)與函數(shù)單調(diào)性相同，可知，函數(shù)在上為增函數(shù).當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值.因此，函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值域的求解，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，明確兩個(gè)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.15、【解析】

第行有個(gè)數(shù)知每行數(shù)的個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，要求，先要求出，就必須求出前行一共出現(xiàn)了多少個(gè)數(shù)，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可求，而由可知，每一行數(shù)的分母成等差數(shù)列，可求出，令，即可求出.【詳解】由第行有個(gè)數(shù)，可知每一行數(shù)的個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，首項(xiàng)是，公比是，所以，前行共有個(gè)數(shù)，所以，第行第一個(gè)數(shù)為，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意數(shù)陣的應(yīng)用，同時(shí)要找出數(shù)陣的規(guī)律，考查推理能力，屬于中等題.16、【解析】在△ABC中，，，在△AMC中，，由正弦定理可得，解得，在Rt△AMN中.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ)，；（Ⅱ)【解析】

（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)，的坐標(biāo)即可求出，從而可求出；（Ⅱ）可以求出，根據(jù)即可得出，解出即可．【詳解】（Ⅰ)∵，，∴∴（Ⅱ)∵，∴.∵∴，∴【點(diǎn)睛】考查根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)的方法，根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度的方法，以及平行向量的坐標(biāo)關(guān)系．18、（1）（2）或.【解析】

（1）根據(jù)由圓心在直線y=6上，可設(shè)，再由圓N與y軸相切，與圓M外切得到圓N的半徑為和得解.（2）由直線l平行于OA，求得直線l的斜率，設(shè)出直線l的方程，求得圓心M到直線l的距離，再根據(jù)垂徑定理確定等量關(guān)系，求直線方程.【詳解】（1）圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心M（7，6），半徑為5,.由圓N圓心在直線y=6上，可設(shè)因?yàn)閳AN與y軸相切，與圓M外切所以，圓N的半徑為從而解得.所以圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)橹本€l平行于OA，所以直線l的斜率為.設(shè)直線l的方程為，即則圓心M到直線l的距離因?yàn)槎越獾没?故直線l的方程為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線方程，圓的方程，直線與直線，直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.19、（1）；，；（3）.【解析】

（1）令求出，然后令，由得出，兩式相減可得出數(shù)列是等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令可計(jì)算出，再令，由可得出，兩式相減求出，求出，再檢驗(yàn)是否滿足的表達(dá)式，由此可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出，由，以及可得出的值；（3）化簡(jiǎn)可得，分類討論，當(dāng)、時(shí)，不等式成立，當(dāng)時(shí)，，利用判斷數(shù)列的單調(diào)性，得出該數(shù)列的最大項(xiàng)，可知滿足不等式，且和不滿足該不等式，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍，進(jìn)而求出正整數(shù)的值.【詳解】（1）對(duì)任意的，.當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，由得出，兩式相減得，化簡(jiǎn)得，即，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，；（2）對(duì)于任意，有.當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，由，可得，上述兩式相減得，.適合上式，因此，.由于和兩項(xiàng)之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的公差為.，且，所以，；（3）由，得.當(dāng)、，該不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，，由，得，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，即，則.所以，數(shù)列的最大項(xiàng)為，又，.由題意可中，滿足不等式，和不滿足不等式.，則，因此正整數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用求數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列定義的應(yīng)用，同時(shí)也考查了數(shù)列不等式的求解，涉及數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題.20、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）通過(guò)所給數(shù)據(jù)算出頻數(shù)和頻率值，并填入表格中；（2）