吉林市長春汽車經濟開發(fā)區(qū)第六中學2025屆高一數學第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

吉林市長春汽車經濟開發(fā)區(qū)第六中學2025屆高一數學第二學期期末學業(yè)水平測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知數列共有項，滿足，且對任意、，有仍是該數列的某一項，現給出下列個命題：（1）；（2）；（3）數列是等差數列；（4）集合中共有個元素．則其中真命題的個數是（）A． B． C． D．2．將八進制數化成十進制數，其結果為（）A． B． C． D．3．已知等差數列的前項和為，且，則滿足的正整數的最大值為（）A．16 B．17 C．18 D．194．先后拋擲枚均勻的硬幣，至少出現一次反面的概率是（）A． B． C． D．5．已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．6．為了從甲、乙兩組中選一組參加“喜迎國慶共建小康”知識競賽活動.班主任老師將兩組最近的次測試的成績進行統(tǒng)計，得到如圖所示的莖葉圖.若甲、乙兩組的平均成績分別是.則下列說法正確的是（）A．，乙組比甲組成績穩(wěn)定,應選乙組參加比賽B．，甲組比乙組成績穩(wěn)定.應選甲組參加比賽C．，甲組比乙組成績穩(wěn)定.應選甲組參加比賽D．，乙組比甲組成績穩(wěn)定,應選乙組參加比賽7．在中，內角，，的對邊分別為，，，且，，為的面積，則的最大值為（）A．1 B．2 C． D．8．若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則直線的斜率的取值范圍是（）A． B．C． D．9．下面四個命題：①“直線a∥直線b”的充要條件是“a平行于b所在的平面”；②“直線l⊥平面α內所有直線”的充要條件是“l(fā)⊥平面α”；③“直線a、b為異面直線”的必要不充分條件是“直線a、b不相交”；④“平面α∥平面β”的充分不必要條件是“α內存在不共線的三點到β的距離相等”；其中正確命題的序號是()A．①② B．②③ C．③④ D．②④10．已知內角，，所對的邊分別為，，且滿足，則=（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若直線上存在滿足以下條件的點:過點作圓的兩條切線(切點分別為),四邊形的面積等于，則實數的取值范圍是_______12．讀程序，完成下列題目：程序如圖：（1）若執(zhí)行程序時，沒有執(zhí)行語句，則輸入的的范圍是_______；（2）若執(zhí)行結果，輸入的的值可能是___．13．的內角的對邊分別為，，，若的面積為，則角_______.14．函數的最小正周期為.15．已知是等差數列，公差不為零，若，，成等比數列，且，則________16．如圖，直三棱柱中，，，，外接球的球心為О，點E是側棱上的一個動點．有下列判斷：①直線AC與直線是異面直線；②一定不垂直；③三棱錐的體積為定值；④的最小值為⑤平面與平面所成角為其中正確的序號為_______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設．（1）若不等式對一切實數恒成立，求實數的取值范圍；（2）解關于的不等式（R）．18．設數列，滿足：，，，，.（1）寫出數列的前三項；（2）證明：數列為常數列，并用表示；（3）證明：數列是等比數列，并求數列的通項公式.19．已知.（1）化簡;（2）若,且為第一象限角,求的值.20．在中，角的對邊分別為，且角成等差數列.（1）求角的值；（2）若，求邊的長.21．已知數列為等差數列，為前項和，，（1）求的通項公式；（2）設，比較與的大??；（3）設函數，，求，和數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

對任意的、，有仍是該數列的某一項，可得出是該數列中的項，由于，可得，即，以此類推即可判斷出結論.【詳解】對任意、，有仍是該數列的某一項，,當時，則，必有，即，而或.若，則，而、、，舍去；若，此時，，同理可得.可得數列為：、、、、.綜上可得：（1）；（2）；（3）數列是等差數列；（4）集合，該集合中共有個元素.因此，（1）（2）（3）（4）都正確.故選：D.【點睛】本題考查有關數列命題真假的判斷，涉及數列的新定義，考查推理能力與分類討論思想的應用，屬于中等題.2、B【解析】

利用進制數化為十進制數的計算公式，，從而得解．【詳解】由題意，，故選．【點睛】本題主要考查八進制數與十進制數之間的轉化，熟練掌握進制數與十進制數之間的轉化計算公式是解題的關鍵．3、C【解析】

先由，得到，，，公差大于零，再由數列的求和公式，即可得出結果.【詳解】由得，，，，所以公差大于零.又，，，故選C.【點睛】本題主要考查等差數列的應用，熟記等差數列的性質與求和公式即可，屬于常考題型.4、D【解析】

先求得全是正面的概率，用減去這個概率求得至少出現一次反面的概率.【詳解】基本事件的總數為，全是正面的的事件數為，故全是正面的概率為，所以至少出現一次反面的概率為，故選D.【點睛】本小題主要考查古典概型概率計算，考查正難則反的思想，屬于基礎題.5、B【解析】

利用橢圓的性質列出不等式求解即可．【詳解】方程1表示焦點在y軸上的橢圓，可得，解得1＜m．則m的取值范圍為：（1，）．故選B．【點睛】本題考查橢圓的方程及簡單性質的應用，基本知識的考查．6、D【解析】

由莖葉圖數據分別計算兩組的平均數；根據數據分布特點可知乙組成績更穩(wěn)定；由平均數和穩(wěn)定性可知應選乙組參賽.【詳解】；乙組的數據集中在平均數附近乙組成績更穩(wěn)定應選乙組參加比賽本題正確選項：【點睛】本題考查莖葉圖的相關知識，涉及到平均數的計算、數據穩(wěn)定性的估計等知識，屬于基礎題.7、C【解析】

先由正弦定理，將化為，結合余弦定理，求出，再結合正弦定理與三角形面積公式，可得，化簡整理，即可得出結果.【詳解】因為，所以可化為，即，可得，所以.又由正弦定理得，，所以，當且僅當時，取得最大值.故選C【點睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理與余弦定理即可，屬于?？碱}型.8、C【解析】

作出圖形，設圓心到直線的距離為，利用數形結合思想可知，并設直線的方程為，利用點到直線的距離公式可得出關于的不等式，解出即可.【詳解】如下圖所示：設直線的斜率為，則直線的方程可表示為，即，圓心為，半徑為，由于圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，所以，即，即，整理得，解得，因此，直線的斜率的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查直線與圓的綜合問題，解題的關鍵就是確定圓心到直線距離所滿足的不等式，并結合點到直線的距離公式來求解，考查數形結合思想的應用，屬于中等題.9、B【解析】

逐項分析見詳解.【詳解】①“a平行于b所在的平面”不能推出“直線a∥直線b”，如：正方體上底面一條對角線平行于下底面，但上底面的一條對角線卻不平行于下底面非對應位置的另一條對角線，故錯誤；②“直線l⊥平面α內所有直線”是“l(fā)⊥平面α”的定義，故正確；③“直線a、b不相交”不能推出“直線a、b為異面直線”，這里可能平行；“直線a、b為異面直線”可以推出“直線a、b不相交”，所以是必要不充分條件，故正確；④“α內存在不共線的三點到β的距離相等”不能推出“平面α∥平面β”，這里包含了平面相交的情況，“平面α∥平面β”能推出“α內存在不共線的三點到β的距離相等”，所以是必要不充分條件，故錯誤.故選B.【點睛】本題考查空間中平行與垂直關系的判斷，難度一般.對可以利用判定定理和性質定理直接分析的問題，可直接判斷；若無法直接判斷的問題可采用作圖法或者排除法判斷.10、A【解析】

利用正弦定理以及和與差的正弦公式可得答案；【詳解】∵0＜A＜π，∴sinA≠0由atanA＝bcosC+ccosB，根據正弦定理：可得sinA?tanA＝sinBcosC+sinCcosB＝sin（B+C）＝sinA∴?tanA＝1；∴tanA，那么A；故選A．【點睛】本題考查三角形的正弦定理,,內角和定理以及和與差正弦公式的運用，考查運算能力，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

通過畫出圖形，可計算出圓心到直線的最短距離，建立不等式即可得到的取值范圍.【詳解】作出圖形，由題意可知，，此時，四邊形即為,而，故，勾股定理可知，而要是得存在點P滿足該條件，只需O到直線的距離不大于即可，即，所以，故的取值范圍是.【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式，意在考查學生的轉化能力，計算能力，分析能力，難度中等.12、2【解析】

（1）不執(zhí)行語句，說明不滿足條件，，從而得；（2）執(zhí)行程序，有當時，，只有，．【詳解】（1）不執(zhí)行語句，說明不滿足條件，，故有.（2）當時，，只有，．故答案為：（1）（2）；【點睛】本題主要考察程序語言，考查對簡單程序語言的閱讀理解，屬于基礎題．13、【解析】

根據三角形面積公式和余弦定理可得，從而求得；由角的范圍可確定角的取值.【詳解】故答案為：【點睛】本題考查余弦定理和三角形面積公式的應用問題，關鍵是能夠配湊出符合余弦定理的形式，進而得到所求角的三角函數值.14、【解析】試題分析：，所以函數的周期等于考點：1.二倍角降冪公式；2.三角函數的周期.15、【解析】

根據題設條件，得到方程組，求得，即可得到答案.【詳解】由題意，數列是等差數列，滿足，，成等比數列，且，可得，即且，解得，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式，以及等比中項的應用，其中解答中熟練利用等差數列的通項公式和等比中項公式，列出方程組求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.16、①③④⑤【解析】

由異面直線的概念判斷①；利用線面垂直的判定與性質判斷②；找出球心,由棱錐底面積與高為定值判斷③；設,列出關于的函數關系式,結合其幾何意義,求出最小值判斷④；由面面成角的定義判斷⑤【詳解】對于①,因為直線經過平面內的點,而直線在平面內,且不過點,所以直線與直線是異面直線,故①正確；對于②,當點所在的位置滿足時,又,,平面,所以平面,又平面,所以,故②錯誤；對于③,由題意知,直三棱柱的外接球的球心是與的交點,則的面積為定值,由平面,所以點到平面的距離為定值,所以三棱錐的體積為定值,故③正確；對于④,設,則,所以,由其幾何意義,即直角坐標平面內動點與兩定點,距離和的最小值知,其最小值為,故④正確；對于⑤,由直棱柱可知,,,則即為平面與平面所成角,因為,,所以,故⑤正確；綜上,正確的有①③④⑤,故答案為:①③④⑤【點睛】本題考查異面直線的判定,考查面面成角,考查線線垂直的判定,考查轉化思想三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解析】

（1）由不等式對于一切實數恒成立等價于對于一切實數恒成立，利用二次函數的性質，即可求解，得到答案．（2）不等式化為，根據一元二次不等式的解法，分類討論，即可求解．【詳解】（1）由題意，不等式對于一切實數恒成立，等價于對于一切實數恒成立．當時，不等式可化為，不滿足題意；當時，滿足，即，解得．（2）不等式等價于．當時，不等式可化為，所以不等式的解集為；當時，不等式可化為，此時，所以不等式的解集為；當時，不等式可化為，①當時，，不等式的解集為；②當時，，不等式的解集為；③當時，，不等式的解集為．【點睛】本題主要考查了不等式的恒成立問題，以及含參數的一元二次不等式的解法，其中解答中熟記一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的性質是解答的關鍵，著重考查了分類討論思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題．18、（1），，（2）證明見解析,（3）證明見解析,【解析】

（1）利用遞推關系式直接求解即可.（2）由整理化簡得，從而可證出結論.（3）首先由遞推關系式證出，再由對數的運算性質以及等比數列的定義即可證出.利用【詳解】（1），，；（2）證明：，∴為常數列4，即，∴；（3），∴是以為首項，2為公比的等比數列，∴.【點睛】本題考查了由數列的遞推關系式研究數列的性質、等比數列的定義，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）由條件利用誘導公式進行化簡所給的式子,即可求得答案;（2）由題意應用誘導公式,同角三角函數的基本關系求得的值,可得的值,即可求得答案.【詳解】（1）（2）①又②解得:為第一象限角【點睛】本題主要考查了三角函數化簡求值問題,解題關鍵是熟練使用誘導公式和同名三角函數求值的解法,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.20、（1）．（2）【解析】

（1）根據等差數列的性質，與三角形三內角和等于即可解出角C的值.（2）將已知數帶入角C的余弦公式，即可解出邊c.【詳解】解：（1）∵角，，成等差數列，且為三角形的內角，∴，，∴．（2）由余弦定理，得【點睛】本題考