豐城中學樟樹中學宜春二中聯(lián)考高二數(shù)學上學期期末試卷 文（含解析）-人教版高二數(shù)學試題

-學年江西省高安中學、豐城中學、樟樹中學、宜春二中聯(lián)考高二（上）期末數(shù)學試卷（文科）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．下列有關(guān)命題的說法正確的是（） A．命題“?x∈R，均有x2﹣x+1＞0的否定是：“?x∈R，均有x2﹣x+1＜0”． B．命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題為真命題． C．線性回歸方對應(yīng)的直線一定經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn）中的一個點． D．“直線與雙曲線有唯一的公共點”是“直線與雙曲線相切”充要條件．2．在等比數(shù)列{an}中，若a4，a8是方程x2﹣3x+2=0的兩根，則a6的值是（） A． B． C． D．±23．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)如表：則y與x的線性相關(guān)系數(shù)r是（）x 0 1 3 5y 5 4 2 0 A．1 B．﹣1 C．0.5 D．0.84．某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：廣告費用x（萬元） 4 2 3 5銷售額y（萬元） 49 26 39 54根據(jù)上表可得回歸方程=x+中的為9.4，據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為（） A．63.6萬元 B．67.7萬元 C．65.5萬元 D．72.0萬元5．已知函數(shù)f（x）=x2+bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線斜率為3，數(shù)列的前n項和為Sn，則S的值為（） A． B． C． D．6．橢圓+=1（a＞b＞0）離心率為，則雙曲﹣=1漸近線方程（） A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．x±4y=0 D．x±2y=07．已知函數(shù)y=xf′（x）的圖象如圖所示，下面四個圖象中y=f（x）的圖象大致是（） A． B． C． D．8．已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），且滿足關(guān)系式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，則f′（2）的值等于（） A．2 B．﹣2 C． D．9．平面內(nèi)有一長度為2的線段AB和一動點P，若滿足|PA|+|PB|=8，則|PA|的取值范圍是（） A． B． C． D．10．已知f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處的極值為10，則a+b=（） A．0或﹣7 B．﹣7 C．0 D．711．設(shè)圓錐曲線C的兩個焦點分別為F1、F2，若曲線C上存在點P滿足|PF1|：|F1F2|：|PF2 A．或 B．或2 C．或2 D．或12．已知函數(shù)y=f（x）對于任意的滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)），則下列不等式不成立的是（） A． B． C． D．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．在約束條件下，目標函數(shù)z=x+y的最大值為．14．在100件產(chǎn)品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件．已知第1次抽出的是次品，則第2次抽出正品的概率是．15．意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一組數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…其中從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于他前面兩個數(shù)的和．該數(shù)列是一個非常美麗、和諧的數(shù)列，有很多奇妙的屬性，比如：隨著數(shù)列項數(shù)的增加，前一項與后一項之比越逼近黃金分割0.6180339887．人們稱該數(shù)列為{an}“斐波那契數(shù)列”，若把該數(shù)列{an}的每一項除以4所得的余數(shù)按相對應(yīng)的順序組成新數(shù)列{bn}，在數(shù)列{bn}中第項的值是．16．已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的離心率為，AB為左、右頂點，點P為雙曲線C在第一象限的任意一點，點O為坐標原點，若直線PA，PB，PO的斜率分別為k1，k2，k3，記m=k1k2k3，則m的取值范圍為．三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)在相應(yīng)的答題框內(nèi)寫出文字明、證明過程或演算步驟.17．求函數(shù)f（x）=x3﹣x2﹣8x+1（﹣6≤x≤6）的單調(diào)區(qū)間、極值．18．三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊a，b，c成公比小于1的等比數(shù)列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．（1）求內(nèi)角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面積．19．已知等差數(shù)列{an}的首項為a，公差為d，且不等式ax2﹣3x+2＜0的解集為（1，d）．（1）求數(shù)列{an}的通項公式an；（2）若bn=an（），數(shù)列{bn}前n項和Tn，證明≤Tn．20．如圖所示，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點，A、B為兩個頂點，該橢圓的離心率為，△ABO的面積為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）作與AB平行的直線l交橢圓于P、Q兩點，|PQ|=，求直線l的方程．21．已知拋物線的頂點在坐標原點O，焦點F在x軸上，拋物線上的點A到F的距離為2，且A的橫坐標為l．直線l：y=kx+b與拋物線交于B，C兩點．（1）求拋物線的方程；（2）當直線OB，OC的傾斜角之和為45°時，證明直線l過定點．22．已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax+1．（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線l與直線4x+3y﹣3=0垂直，求實數(shù)a的值；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）證明：ln（n+1）＞++…+（n∈N*）．

-學年江西省高安中學、豐城中學、樟樹中學、宜春二中聯(lián)考高二（上）期末數(shù)學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．下列有關(guān)命題的說法正確的是（） A．命題“?x∈R，均有x2﹣x+1＞0的否定是：“?x∈R，均有x2﹣x+1＜0”． B．命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題為真命題． C．線性回歸方對應(yīng)的直線一定經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn）中的一個點． D．“直線與雙曲線有唯一的公共點”是“直線與雙曲線相切”充要條件．考點： 命題的真假判斷與應(yīng)用．專題： 綜合題；簡易邏輯．分析： A寫出該命題否定形式即可判斷正誤；B根據(jù)命題與它的逆否命題真假性相同，判斷原命題的真假性即可；C線性回歸方程對應(yīng)的直線過樣本數(shù)據(jù)點的中心點（，），不一定過樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）中的一個點；D直線與雙曲線有唯一的公共點時，直線與雙曲線相切或與漸近線平行．解答： 解：對于A，命題“?x∈R，均有x2﹣x+1＞0的否定是：“?x∈R，x2﹣x+1≤0”，∴A錯誤；對于B，命題“若x=y，則sinx=siny”是真命題，∴它的逆否命題也是真命題，∴B正確；對于C，線性回歸方程對應(yīng)的直線一定過樣本數(shù)據(jù)點的中心點（，），但不一定過樣本數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn）中的一個點，∴C錯誤；對于D，“直線與雙曲線有唯一的公共點”時，“直線與雙曲線相切或與漸近線平行”，充分性不成立；“當直線與雙曲線相切時，或直線與漸近線平行”時，“直線與雙曲線有唯一的公共點”，必要性不成立；∴D不正確．故選：B．點評： 本題考查了命題的否定以及四種命題之間的關(guān)系，線性回歸方程的應(yīng)用問題，直線與雙曲線的交點的關(guān)系，是基礎(chǔ)題目．2．在等比數(shù)列{an}中，若a4，a8是方程x2﹣3x+2=0的兩根，則a6的值是（） A． B． C． D．±2考點： 等比數(shù)列的通項公式；函數(shù)的零點．專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析： 利用根與系數(shù)的關(guān)系可得a4a8解答： 解：∵a4，a8是方程x2﹣3x+2=0的兩根，∴a4a8=2，a4+a8∴a4＞0，a8＞0．由等比數(shù)列{an}，，∴．由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：a4，a6，a8同號．∴．點評： 本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)如表：則y與x的線性相關(guān)系數(shù)r是（）x 0 1 3 5y 5 4 2 0 A．1 B．﹣1 C．0.5 D．0.8考點： 相關(guān)系數(shù)．專題： 概率與統(tǒng)計．分析： 求出x和y的平均數(shù)，代入相關(guān)系數(shù)公式r=，可求出變量x與y之間的相關(guān)系數(shù)．解答： 解：據(jù)此表知=，=，∴r====﹣1，故選：B點評： 本題考查的知識點是相關(guān)系數(shù)與相關(guān)關(guān)系，是一個基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是利用公式求出相關(guān)系數(shù)，注意解題的運算過程不要出錯4．某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：廣告費用x（萬元） 4 2 3 5銷售額y（萬元） 49 26 39 54根據(jù)上表可得回歸方程=x+中的為9.4，據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為（） A．63.6萬元 B．67.7萬元 C．65.5萬元 D．72.0萬元考點： 線性回歸方程．專題： 概率與統(tǒng)計．分析： 根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)，廣告費用x與銷售額y（萬元）的平均數(shù)，得到樣本中心點，代入樣本中心點求出的值，寫出線性回歸方程．將x=6代入回歸直線方程，得y，可以預報廣告費用為6萬元時銷售額．解答： 解：由表中數(shù)據(jù)得：=3.5，==42，又回歸方程=x+中的為9.4，故=42﹣9.4×3.5=9.1，∴=9.4x+9.1．將x=6代入回歸直線方程，得y=9.4×6+9.1=65.5（萬元）．∴此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為65.5（萬元）．故選：C．點評： 本題考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用最小二乘法求出線性回歸方程的系數(shù)的運算，是一個中檔題目．5．已知函數(shù)f（x）=x2+bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線斜率為3，數(shù)列的前n項和為Sn，則S的值為（） A． B． C． D．考點： 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；數(shù)列的求和．專題： 計算題；導數(shù)的概念及應(yīng)用．分析： 可得f′（1）=2+b=3，解得b=1，進而可得f（x），然后由裂項相消法求和可得．解答： 解：函數(shù)的導數(shù)f′（x）=2x+b，∵點A（1，f（1））處的切線的斜率為3，∴f′（1）=2+b=3，解得b=1．∴f（x）=x2+x=x（x+1），∴==，∴S=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣=故選C點評： 本題考查數(shù)列的求和，涉及導數(shù)和曲線某點切線的斜率以及裂項相消法求和，屬中檔題．6．橢圓+=1（a＞b＞0）離心率為，則雙曲﹣=1漸近線方程（） A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．x±4y=0 D．x±2y=0考點： 雙曲線的簡單性質(zhì)．專題： 計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析： 由題意，=，可得=，即可求出雙曲線﹣=1漸近線方程．解答： 解：由題意，=，∴=，∴雙曲線﹣=1漸近線方程是y=±2x，故選：B．點評： 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學生的計算能力，比較基礎(chǔ)．7．已知函數(shù)y=xf′（x）的圖象如圖所示，下面四個圖象中y=f（x）的圖象大致是（） A． B． C． D．考點： 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題： 導數(shù)的概念及應(yīng)用．分析： 根據(jù)函數(shù)y=xf′（x）的圖象，依次判斷f（x）在區(qū)間（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的單調(diào)性即可解答： 解：由函數(shù)y=xf′（x）的圖象可知：當x＜﹣1時，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此時f（x）增當﹣1＜x＜0時，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此時f（x）減當0＜x＜1時，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此時f（x）減當x＞1時，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此時f（x）增．故選C．點評： 本題間接利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的圖象問題．本題有一定的代表性，是一道好題．8．已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），且滿足關(guān)系式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，則f′（2）的值等于（） A．2 B．﹣2 C． D．考點： 導數(shù)的加法與減法法則．專題： 導數(shù)的概念及應(yīng)用．分析： 對等式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，求導數(shù)，然后令x=2，即可求出f′（2）的值．解答： 解：∵f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，∴f′（x）=2x+3f′（2）+，令x=2，則f′（2）=4+3f′（2）+，即2f′（2）=﹣，∴f′（2）=﹣．故選：D．點評： 本題主要考查導數(shù)的計算，要注意f′（2）是個常數(shù)，通過求導構(gòu)造關(guān)于f′（2）的方程是解決本題的關(guān)鍵．9．平面內(nèi)有一長度為2的線段AB和一動點P，若滿足|PA|+|PB|=8，則|PA|的取值范圍是（） A． B． C． D．考點： 橢圓的定義；橢圓的簡單性質(zhì)．專題： 計算題．分析： 根據(jù)|PA|+|PB|=8，利用橢圓的定義，可知動點P的軌跡是以A，B為左，右焦點，定長2a=8的橢圓，利用P為橢圓長軸端點時，|PA|分別取最大，最小值，即可求出|PA|的最大值和最小值．解答： 解：動點P的軌跡是以A，B為左，右焦點，定長2a=8的橢圓∵2c=2，∴c=1，∴2a=8，∴a=4∵P為橢圓長軸端點時，|PA|分別取最大，最小值∴|PA|≥a﹣c=4﹣1=3，|PA|≤a+c=4+1=5∴|PA|的取值范圍是：3≤|PA|≤5故選C．點評： 本題的考點是橢圓的定義，考查橢圓定義的運用，解題的關(guān)鍵是理解橢圓的定義．10．已知f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處的極值為10，則a+b=（） A．0或﹣7 B．﹣7 C．0 D．7考點： 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．專題： 導數(shù)的概念及應(yīng)用．分析： 先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，根據(jù)f′（1）=0，f（1）=10，聯(lián)立方程組解出即可．解答： 解：f′（x）=3x2+2ax+b，∴f′（1）=3+2a+b=0，①，f（1）=1+a+b+a2=10，②，由①②得：或，∴a+b=0或﹣7，故選：A．點評： 本題考查了導數(shù)的應(yīng)用，考查解方程組問題，是一道基礎(chǔ)題．11．設(shè)圓錐曲線C的兩個焦點分別為F1、F2，若曲線C上存在點P滿足|PF1|：|F1F2|：|PF2 A．或 B．或2 C．或2 D．或考點： 雙曲線的簡單性質(zhì)；橢圓的簡單性質(zhì)．專題： 計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析： 根據(jù)|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨設(shè)|PF1|=4m，|F1F2|=3m，|PF2|=解答： 解：根據(jù)|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨設(shè)|PF1|=4m，|F1F2|=3m，|PF2|=∴|PF1|+|PF2|=6m＞|F1F2|=3m，此時曲線為橢圓，且曲線r的離心率等于=；|PF1|﹣|PF2|=2m＜|F1F2|=3m，此時曲線為雙曲線，且曲線r的離心率等于=，故選：D．點評： 本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．關(guān)鍵是利用圓錐曲線的定義來解決．12．已知函數(shù)y=f（x）對于任意的滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)），則下列不等式不成立的是（） A． B． C． D．考點： 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導數(shù)的運算．專題： 導數(shù)的概念及應(yīng)用．分析： 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論解答： 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=，則g′（x）==，∵對任意的x∈（﹣，）滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，∴g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在x∈（﹣，）單調(diào)遞增，則②g（﹣）＜g（﹣），即＜，∴＜，即f（﹣））＜f（﹣），故B正確；③g（0）＜g（），即＜，∴f（0）＜f（），故③正確；④g（0）＜g（），即＜，∴f（0）＜2f（），故④正確；由排除法，故選：A點評： 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用條件構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，有一點的難度．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．在約束條件下，目標函數(shù)z=x+y的最大值為．．考點： 簡單線性規(guī)劃．專題： 不等式的解法及應(yīng)用．分析： 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合確定z的最大值．解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）．由z=x+y得y=﹣2x+2z，平移直線y=﹣2x+2z，由圖象可知當直線y=﹣2x+2z經(jīng)過點B時，直線y=﹣2x+2z的截距最大，此時z最大．由，解得，即B（，）代入目標函數(shù)z=x+y，得z=+×=．故答案為：．點評： 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法．14．在100件產(chǎn)品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件．已知第1次抽出的是次品，則第2次抽出正品的概率是．考點： 條件概率與獨立事件．專題： 計算題；概率與統(tǒng)計．分析： 根據(jù)題意，易得在第一次抽到次品后，有4件次品，95件正品，由概率計算公式，計算可得答案．解答： 解：根據(jù)題意，在第一次抽到次品后，有4件次品，95件正品；則第二次抽到正品的概率為P=．故答案為：．點評： 本題考查概率的計算，解題時注意題干“在第一次抽到次品條件下”的限制．15．意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一組數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…其中從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于他前面兩個數(shù)的和．該數(shù)列是一個非常美麗、和諧的數(shù)列，有很多奇妙的屬性，比如：隨著數(shù)列項數(shù)的增加，前一項與后一項之比越逼近黃金分割0.6180339887．人們稱該數(shù)列為{an}“斐波那契數(shù)列”，若把該數(shù)列{an}的每一項除以4所得的余數(shù)按相對應(yīng)的順序組成新數(shù)列{bn}，在數(shù)列{bn}中第項的值是1．考點： 黃金分割法—0.618法．專題： 計算題；推理和證明．分析： 根據(jù)數(shù)列，得到余數(shù)構(gòu)成是數(shù)列是周期數(shù)列，即可得到結(jié)論．解答： 解：1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余數(shù)分別為1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…，即新數(shù)列{bn}是周期為6的周期數(shù)列，所以b=b235×6+5=b5=1，故答案為：1．點評： 本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，利用條件推導數(shù)列為周期數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．16．已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的離心率為，AB為左、右頂點，點P為雙曲線C在第一象限的任意一點，點O為坐標原點，若直線PA，PB，PO的斜率分別為k1，k2，k3，記m=k1k2k3，則m的取值范圍為（0，2）．考點： 雙曲線的簡單性質(zhì)．專題： 計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析： 由已知條件推導出b=a，k1k2==2，0＜k3＜，由此能求出m=k1k2k3的取值范圍．解答： 解：∵雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的離心率為，∴e==，∴b=a，設(shè)P（x，y），∵點P為雙曲線C在第一象限的任意一點，∴﹣=1，∵A，B為雙曲線C的左右頂點，點O為坐標原點，PA，PB，PO的斜率為k1，k2，k3，∴k1k2==2，又∵雙曲線漸近線為y=x，∴0＜k3＜，∴0＜m=k1k2k3＜2，故答案為：（0，2）．點評： 本題考查斜率乘積的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，要熟練掌握雙曲線的簡單性質(zhì)．三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)在相應(yīng)的答題框內(nèi)寫出文字明、證明過程或演算步驟.17．求函數(shù)f（x）=x3﹣x2﹣8x+1（﹣6≤x≤6）的單調(diào)區(qū)間、極值．考點： 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題： 導數(shù)的概念及應(yīng)用．分析： 先求出函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值．解答： 解：∵f（x）=x3﹣x2﹣8x+1，∴f′（x）=x2﹣2x﹣8，令f′（x）=0，得x=﹣2或x=4．當x∈（﹣6，﹣2）時，f′（x）＞0；當x∈（﹣2，4）時，f′（x）＜0；當x∈（4，6）時，f′（x）＞0．∴f（x）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．當x=﹣2時，f（x）取得極大值f（﹣2）=；當x=4時，f（x）取得極小值f（4）=﹣．點評： 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．18．三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊a，b，c成公比小于1的等比數(shù)列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．（1）求內(nèi)角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面積．考點： 正弦定理；余弦定理．專題： 解三角形．分析： （Ⅰ）三角形ABC中，由條件化簡可得C=90°，故有a=2c．再由b2=ac利用正弦定理可得，sin2B=sinAsinC，化簡求得cosB的值．（Ⅱ）根據(jù)b=，求得ac=b2的值，求得sinB=的值，再根據(jù)△ABC的面積S=ac?sinB，計算求得結(jié)果．解答： 解：（Ⅰ）三角形ABC中，∵sinB+sin（A﹣C）=2sin2C，∴sin（A+C）+sin（A﹣C）=4sinCcosC，∴sinA=2sinC，或cosC=0．∴a=2c，或C=90°（不滿足a，b，c成公比小于1的等比數(shù)列，故舍去）．由邊a，b，c成公比小于1的等比數(shù)列，可得b2=ac，∴b=c，∴cosB===．（Ⅱ）∵b=，cosB=，∴ac=b2=3，sinB=，∴△ABC的面積S=ac?sinB=．點評： 本題主要考查兩角和差的三角公式、正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．19．已知等差數(shù)列{an}的首項為a，公差為d，且不等式ax2﹣3x+2＜0的解集為（1，d）．（1）求數(shù)列{an}的通項公式an；（2）若bn=an（），數(shù)列{bn}前n項和Tn，證明≤Tn．考點： 數(shù)列與不等式的綜合．專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析： （1）顯然x=1為方程ax2﹣3x+2=0的一個解，進而可知a=1、d=2，從而可得結(jié)論；（2）通過an=2n﹣1可知bn=，利用錯位相減法可知Tn=﹣?，進而可得結(jié)論．解答： （1）解：∵不等式ax2﹣3x+2＜0的解集為（1，d），∴a﹣3+2=0，即a=1，∴x2﹣3x+2＜0的解集為（1，2），即d=2，∴數(shù)列{an}的通項an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）證明：∵an=2n﹣1，∴bn=an（）=，∴Tn=1?+3?+5?+…+（2n﹣1）?，?Tn=1?+3?+…+（2n﹣3）?+（2n﹣1）?，兩式相減得：?Tn=+2?（++…+）﹣（2n﹣1）?=+2?﹣（2n﹣1）?=﹣﹣（2n﹣1）?=﹣?，∴Tn==﹣?，∵對任意的正整數(shù)n?＞0恒成立，∴Tn，又∵Tn≥T1=b1=，∴≤Tn．點評： 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．20．如圖所示，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點，A、B為兩個頂點，該橢圓的離心率為，△ABO的面積為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）作與AB平行的直線l交橢圓于P、Q兩點，|PQ|=，求直線l的方程．考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題．專題： 計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析： （Ⅰ）由題意可得，從而解得；（Ⅱ）由題意設(shè)直線PQ的方程為y=x+m，與橢圓C的方程+=1聯(lián)立化簡可得8x2+4bx+5m2﹣20=0，從而由韋達定理及距離公式可得（10﹣m2）=，從而解出m即可．解答： 解：（Ⅰ）由題意得，，解得，a=，b=2，c=1；故橢圓C的方程為+=1；（Ⅱ）直線PQ的斜率k=，故設(shè)直線PQ的方程為y=x+m，與橢圓C的方程+=1聯(lián)立化簡可得，8x2+4bx+5m2﹣20=0，故x1+x2=﹣m，x1x2=（5m2﹣20），故（1+（）2）（（﹣m）2﹣4×（5m2﹣20））=（）2，即（10﹣m2）=，即10﹣m2=9，故m2=1，故m=±；故直線l的方程為y=x+±；即2x﹣5y±2=0．點評： 本題考查了橢圓的標準方程的應(yīng)用及韋達定理與兩點間距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．21．已知拋物線的頂點在坐標原點O，焦點F在x軸上，拋物線上的點A到F的距離為2，且A的橫坐標為l．直線l：y=kx+b與拋物線交于B，C兩點．（1）求拋物線的方程；（2）當直線OB，OC的傾斜角之和為45°時，證明直線l過定點．考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題．專題： 綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析： （1）設(shè)拋物線方程為y2=2px，由拋物線上的點A到F的距離為2，且A的橫坐標為l，利用拋物線的定義，求出p，即可得到拋物線的方程；（2）直線l：y=kx+b與拋物線聯(lián)立，設(shè)直線OB，OC的傾斜角分別為α，β，斜率分別為k1，k2，則α+β=45°，利用tan（α+β）==tan45°=1，代入斜率，可得直線l的方程為y=kx+4k+4，即可得出直線l過定點