人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)過關(guān)斬將第一章空間向量與立體幾何本章達(dá)標(biāo)檢測(cè)（含答案解析）

人教A版(2019)選擇性必修第一冊(cè)過關(guān)斬將第一章空間向

量與立體幾何本章達(dá)標(biāo)檢測(cè)

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(-2,1,4)關(guān)于工軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(-2,1,-4)B.(2,1,-4)

C.(-2,-1,-4)D.(2,-1,4)

2.已知日=(1,2,—y),6=(x,l,2),且①+25)//(2萬(wàn)一B),則

A.x=-,y=lB.x=—,y=-4C.x=2,y=——D.x=l,y=-l

324

3.在下列條件中，使〃與A,B,。一定共面的是()

A.OM=OA-bB-OCB.OM=-OA+^-OB+-OC

532

C.MA+MB+MC=0D.OM+OA+OB-^OC=0

4.如圖所示，在平行六面體488-ABC。中，AB=a，AD=b^麗M是4。

的中點(diǎn)，點(diǎn)N是CR上的點(diǎn)，且CN：NA=1:4.用￡石區(qū)表示向量麗的結(jié)果是()

1-尸一c1一1尸4一

A.—a+b+cB.-a+-b+—c

2555

1_31_r4一34_

C.—abr——cD.一。+—br——c

51055105

5.向量a=(2,1㈤)=(2,y,—l),若同=右，且則x+y的值為()

A.B.1C.-4D.4

6.在長(zhǎng)方體ABC。—AgGR中,AB=BC=1,A4,=>/3,則異面直線A￡>|與。g

所成角的余弦值為

]_D,也

A.c.f

52

7.在棱長(zhǎng)為2的正四面體A8CO中，點(diǎn)M滿足祝=x旃+y/—(x+y—l)而，點(diǎn)N

滿足麗=彳麗+(1-2)而，當(dāng)AM、BN最短時(shí)，AM.MN=()

A.--B.-C.--D.-

3333

二、多選題

8.(多選)下列命題是真命題的有().

A.直線/的方向向量為乙=(1,-1,2),直線機(jī)的方向向量為5貝I"與"垂直

B.直線/的方向向量為］=(0,1,-1),平面a的法向量為元=(1,-1,-1),則/JL。

C.平面a,4的法向量分別為1=(0,1,3),0=(1,0,2),則a%

D.平面a經(jīng)過三點(diǎn)A(l,0,-l),5(0,1,0),C(-l,2,0),向量萬(wàn)=(1,〃,。是平面a的法向量，

則u+t=\

9.給出下列命題，其中正確命題有()

A.空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為一個(gè)基底

B.己知向量1〃5,則萬(wàn)萬(wàn)與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底

C.是空間四點(diǎn)，若麗，的，而不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么共

面

D.已知向量{￡￡￡}組是空間的一個(gè)基底，若沅=*,貝I{￡,5,網(wǎng)也是空間的一個(gè)基

底

10.設(shè)是棱長(zhǎng)為。的正方體，以下結(jié)論為正確的有()

11

A.ABC^A=-aB.AB-A^Ci=42a

2

C.BC-AyD=aD.AB-C}Ay=cr

11.正方形ABC。沿對(duì)角線80折成直二面角，下列結(jié)論正確的有()

A.AO與BC所成的角為30P

B.AC與8。所成的角為90。

C.BC與面AC。所成角的正弦值為且

3

D.平面ABC與平面BC。的夾角的正切值是正

12.正方體ABCD-A由iCiDi的棱長(zhǎng)為1,E,尸,G分別為BC,CG,的中點(diǎn).則()

試卷第2頁(yè)，總6頁(yè)

A.直線。。與直線AF垂直B.直線AiG與平面AEF平行

9

C.平面AEF截正方體所得的截面面積為gD.點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等

O

三、雙空題

13.已知平行六面體A88-ABCR中，底面A8C￡＞是邊長(zhǎng)為1的正方形，4Al=2,

ZAtAB=ZAtAD=60°,貝lj9?比=

四、填空題

14.如圖，在正四棱錐P-48C。中，必=43,點(diǎn)M為孫的中點(diǎn)，BD=ABN.若

MN1AD,則實(shí)數(shù)2=

15.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P在正方體的對(duì)角線AB上，點(diǎn)Q在正方體的棱

C。上，若P為動(dòng)點(diǎn)，。為動(dòng)點(diǎn)，則P。的最小值為.

16.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面4BCD是底邊為1的菱形，乙BAD=60°,PB=2,

PA=PD,當(dāng)直線PB與底面4BCD所成角為30。時(shí)，二面角P-CD-4的正弦值為.

p

五、解答題

17.如圖，矩形ABC。，PAJ_平面ABC。，M、N、R分別是A3、PC、CO的中點(diǎn).

(1)求證：直線4?//平面PMC；

(2)求證：直線AW，直線AB.

18.在①NR48=60°;②PALM;③/PAB=120°這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下

面問題中，若問題中的2存在，求出2的值；若人不存在，請(qǐng)說明理由.

已知等腰三角形必8和正方形A8CD,,AB=1,平面平面ABC。，是

否存在點(diǎn)E,滿足而=/1.無(wú)，使直線OE與平面PBC所成角為60。？

19.如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC/所截面而得到的，其

試卷第4頁(yè)，總6頁(yè)

中AB=4,BC=2,CG=3,8￡=1

(1)求BF的長(zhǎng);

(2)求點(diǎn)C到平面AEC尸的距離.

20.如圖，在三棱錐中，AB=BC=2&，PA=PB=PC=AC=4,。為AC的

(1)證明：PO_L平面ABC；

(2)若點(diǎn)M在棱8c上，且二面角"-Rl-C為3伊，求尸C與平面所成角的正弦

值.

21.如圖，在四棱錐P—A3C。中，底面ABCD為梯形，AB//CD,AB±AD,

⑴當(dāng)PB長(zhǎng)為多少時(shí)，平面平面ABCD?并說明理由;

(2)若二面角P-AD-B大小為150°,求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.

22.如圖，在四棱錐S-4JCD中，四邊形ABCD是矩形，AS4D是等邊三角形，平面S4),

平面ABC。，AB=\,E為棱SA上一點(diǎn)，尸為AO的中點(diǎn)，四棱錐S-ABC”的體積為亞.

3

(1)若E為棱SA的中點(diǎn)，尸是S3的中點(diǎn)，求證：平面PE尸〃平面SCO：

(2)是否存在點(diǎn)E,使得平面PE8與平面所成的銳二面角的余弦值為畫？若存

10

在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

試卷第6頁(yè)，總6頁(yè)

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參考答案

1.C

【分析】

先根據(jù)空間直角坐標(biāo)系對(duì)稱點(diǎn)的特征，點(diǎn)(X,y,z)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為只須將橫

坐標(biāo)、豎坐標(biāo)變成原來(lái)的相反數(shù)即可，即可得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】

???在空間直角坐標(biāo)系中，

點(diǎn)(x,y,z)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：(x,-y,-z),

.,.點(diǎn)(-2,1,4)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：

(-2,-1,-4).

故選C.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查空間直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求

解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題

2.B

【解析】

本題考查空間向量坐標(biāo)的運(yùn)算，空間向量共線.

因?yàn)閆=(1,2,-y),5=(x,l,2),:.a+2b=(l+2x,4,-y+4),2a-b=(2-x,3,-2y-2);因?yàn)?/p>

1+2.x-A(2—x)

4i

(a+2h)//(2a-b),所以｛4=4x3,解得4=§,x=/,y=_4.故選B

—y+4=A(—2y—2)

3.C

【分析】

根據(jù)四點(diǎn)共面的條件對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】

例與A,B,C一定共面的充要條件是麗=點(diǎn)5+丫而+z元,x+》+z=l,

對(duì)于A選項(xiàng)，由于=所以不能得出”,ABC共面.

對(duì)于B選項(xiàng)，由于(+；+L所以不能得出共面.

對(duì)于C選項(xiàng)，由于碗=-麗豆-碇，則碗，麗，祈？為共面向量，所以共面.

答案第1頁(yè)，總23頁(yè)

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對(duì)于D選項(xiàng)，由兩+礪+而+反=0得前=-礪一而一反，而一1一1一1=一341,所以

不能得出M,A,8,C共面.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查四點(diǎn)共面的條件，屬于基礎(chǔ)題.

4.D

【分析】

根據(jù)向量加法的平行四邊形，向量減法的三角形法則可得.

【詳解】

如圖所示：

因?yàn)辂?麗_擊=AC+aQ-AA^-AiM

=AC+-CA^-AA^-^Ab

=AC+^AA,-AC)-A\-AD

44—1—

=-AC——AA——AD

55-2

4——4—I—

=-(AB+AD)--AA,--AD

4—34—

=-AB+—AD——AA.

5105-

43-4

=-a-\----b——c.

5105

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量加法的平行四邊形，向量減法的三角形法,屬于基礎(chǔ)題.

5.C

答案第2頁(yè)，總23頁(yè)

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【分析】

根據(jù),=石求出X的值，再根據(jù)得出a6=o,列方程求出y的值，即可計(jì)算x+y的值.

【詳解】

解：向量Z=(2,l,x),若,=不，

則，于+廣+-=&，解得x=0；

又向量5=(2,y,-l),且d_L,,

貝!|a石=4+y+0=0,解得y=-4;

所以x+y=-4.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)公式計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題.

6.C

【詳解】

分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾

角與線線角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果.

詳解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DDi為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

2X0,0,0),A(l,0,0),g),A(0,0,6),所以函=(-1,0,6),函=(1,1,6)，

因?yàn)閏os(碣,DBt)=篇周==y,所以異面直線AD,與DB｝所成角的余弦值為

正，選C.

點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破"建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g

直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出

平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.

7.A

【分析】

利用共面向量定理和共線向量定理得到Mw平面8C。，NE直線AC,再根據(jù)若AM、BN

最短時(shí)，則平面3CO,BN1AC,得到M為△BCD的中心，N為AC的中點(diǎn)，然后

答案第3頁(yè)，總23頁(yè)

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利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到麗=!(旗+庇)，再利用數(shù)量積運(yùn)算求解.

2

【詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)M滿足AM=xAB+yAC一(x+y-1)A￡),

所以Me平面8co

因?yàn)辄c(diǎn)N滿足麗=/l麗+(1-彳)反

所以Ne直線AC,

若AW、8N最短時(shí)，則AM_L平面BCD,BN工AC,

所以M為△BCD的中心，N為AC的中點(diǎn)，

此時(shí)|限上2叵，

AM_L平面BCD,MCu平面BCD,

?.?I次|=J|恁J砒F，22-(竿)=半?

又麗=!(雨+雨)，

2

赤.麗=；(病.祝+前.硒=_；|標(biāo)『=一：

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間向量數(shù)量積的計(jì)算，共面向量和共線向量定理的應(yīng)用，還考查了空間想象

和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

8.AD

【分析】

根據(jù)空間向量數(shù)量積的值即可判斷A；根據(jù)空間向量數(shù)量積的值即可判斷B；根據(jù)兩平面法

向量之間的關(guān)系可判斷C；=(-1,1,1),配=(-1,1,0),利用法向量與上面兩向量的數(shù)量積

可判斷D.

【詳解】

Va=(1,-1,2),5=(2,1,一￡|,

答案第4頁(yè)，總23頁(yè)

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晨5=1x2-lx1+2x(一g)=0,則日,

，直線/與陽(yáng)垂直，故A正確；

5=(0,1,-1),?=IJIlJ?-n=0xl+lx(-l)+(-l)x(-l)=0,

則MJ_"，，〃/a或/ua,故8錯(cuò)誤；

一一?uUU

Vn｝=(0,1,3),%=(1,0,2),，/與%不共線，

，a//￡不成立，故C錯(cuò)誤；

?.?點(diǎn)A(l,0,-l),8((),1,0),C(-l,2,0),

/.AB=(-1,1,1),BC=(-1,1,0).

?向量萬(wàn)=(l，"，r)是平面a的法向量，,竺一°,

?BC=0

1+〃+/=0

即｛,解得“+f=l,故。正確.

[-1+M=0

故選：AD

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.ABCD

【分析】

選項(xiàng)A,8中，根據(jù)空間基底的概念，所以A8正確；選項(xiàng)C中，可得麗，麗"，就共面，又

由麗，加，前過相同點(diǎn)8,可得A,8,M,N四點(diǎn)共面，所以C正確；選項(xiàng)。中：基向量1,5

與向量坑=1+1一定不共面，所以可以構(gòu)成空間另一個(gè)基底，所以。正確.

【詳解】

選項(xiàng)A中，根據(jù)空間基底的概念，可得任意三個(gè)不共面的向量都可以作為一個(gè)空間基底，所

以A正確；

選項(xiàng)8中，根據(jù)空間基底的概念，可得8正確：

選項(xiàng)C中，由BA,BM,BN不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，可得BA,BM,BN共面,又由麗，麗，前

過相同點(diǎn)B,可得四點(diǎn)共面，所以C正確；

選項(xiàng)。中：由｛a,B,c｝是空間的一個(gè)基底，則基向量1,B與向量玩=萬(wàn)+不一定不共面，所以

答案第5頁(yè)，總23頁(yè)

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可以構(gòu)成空間另一個(gè)基底，所以。正確.

故選：ABCD.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間向量基底的概念，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.

10.AC

【分析】

利用向量數(shù)量積的幾何意義，對(duì)照選項(xiàng)一一驗(yàn)證，即可得答案；

【詳解】

如圖所示，在正方體中，

對(duì)A,彳在岫方向上的投影為一。，..?通?不=-4,故A正確；

對(duì)B,小仁在痂方向上的投影為。，；?麗?福=〃，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,4方在反方向上的投影為。，.??覺?麗=片，故C正確；

對(duì)D,C4在府方向上的投影為一a,??.通?/*=-/,故D錯(cuò)誤；

故選：AC.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量數(shù)量積的幾何意義的應(yīng)用，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力.

11.BD

【分析】

以。為原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，0。所在直線為y軸，OA所在直線為z軸，建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，求出各選項(xiàng)中的直線的方向向量、平面的法向量后可得向量的夾角

的余弦值，從而得到相應(yīng)的空間角的三角函數(shù)值.

答案第6頁(yè)，總23頁(yè)

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【詳解】

取8。的中點(diǎn)0,連接A。,。。，則

,/正方形A8CD沿對(duì)角線8。折成直二面角，故平面A8￡>_L平面BCD,

而平面AB￡)c平面BC￡)=3r),AOu平面4BD,故AO_L平面3CO.

；.以。為原點(diǎn)，0C所在直線為x軸，0。所在直線為)，軸，OA所在直線為z軸，建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)OC=1,則A(0,0,1),8(0,-1,0),C(1,0,0),0(0,1,0),函=((),1,1),/ID=(0,1,-1),

宓=(1,1,0),AC=(1,(),-1),=(0,2,0).

ADBC11

；cos(而，畫=

\AD\\BC\~y/2xy/2~2

..rr.■7/

因?yàn)椤碅D,8Qe[0,句，故為。,BC〉=、,

.??異面直線AO與BC所成的角為60。，故A錯(cuò)誤;

VACBD=0,AACVBD,故B正確；

設(shè)平面ACZ)的法向量為7=(x,y,z),

t-AC=x-z-0,?

則一取z=l得X=1,y=1,

t-AD=y-z=O,

A7=(1,U)，

設(shè)8c與面AC。所成角為。,

\BC-7\2V6

則sin0=|cos(BCj)|=故錯(cuò)誤;

\BC\-\t\~42x^3~~C

答案第7頁(yè)，總23頁(yè)

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易知平面BCO的一個(gè)法向量為7=((),0,1),

設(shè)平面ABC的法向量為m=(x',y',z'),

fn-BA—y'+z'-0,

__取x'=l

m-BC=x'+y'=0,

得y'=-l,z'=l,.?.詬=設(shè)兩個(gè)平面的夾角為a(a為銳角)，則

cosa=lcos</n,7z)|=WJ=,故sina=邁，故tana=V^.

11\m\-\n\33

平面ABC與平面3c。的夾角的正切值是0,故D正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間角的計(jì)算，一般根據(jù)幾何體的特征合理建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向

向量、平面的法向量的夾角來(lái)計(jì)算空間角的大小，本題屬于中檔題.

12.BC

【分析】

對(duì)于選項(xiàng)AD可以利用反證法分析得解；對(duì)于選項(xiàng)B可以證明；對(duì)于選項(xiàng)C,可以先找到截

面再計(jì)算得解.

【詳解】

根據(jù)題意，假設(shè)直線。I。與直線4尸垂直，又0A■14￡,4￡口4尸=人，4￡,4尸<=平面/^凡

所以。。_L平面所以。,又DDJICC,，所以CC,±EF，與NEFC=f矛盾，所以

直線。點(diǎn)與直線4尸不垂直，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

因?yàn)?G〃9F,AiGC平面AEFDi,RFu平面AE尸。i,所以4G〃平面AEF9,故選項(xiàng)B

正確.

平面AEF截正方體所得截面為等腰梯形AEFDy,由題得該等腰梯形的上底EF=也,下底

2

4。=夜，腰長(zhǎng)為且，所以梯形面積為苫，故選項(xiàng)C正確；

28

假設(shè)。與G到平面A"的距離相等，即平面AEF將CG平分，則平面A所必過CG的中點(diǎn)，

連接CG交收于，，而H不是CG中點(diǎn)，則假設(shè)不成立，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：BC.

答案第8頁(yè)，總23頁(yè)

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【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：對(duì)于空間幾何線面位置關(guān)系命題的判斷，常用的方法有：（1）舉反例；（2）直接

證明；（3）反證法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法解答.

13.3V10

【分析】

選定麗=7亞=瓦麗=5為基向量，利用向量數(shù)量積和模長(zhǎng)的計(jì)算法則，求解即可.

AB=a,AD=b,=c,則由題意得:151=1,|^|=l,|c|=2

ab=O,a-c=\,bc=\f

2

ADtAC=(b+c)-(b+a)=b+bc+b-a+a-c=\+]+0+\=3

222

\ACt\=\a+b+c\=\]a+b+c+2a-c+2b-c+2c-c=Jl+1+4+2+2+0=M

故答案為：3；VTo.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間向量數(shù)量積的運(yùn)算以及模長(zhǎng)的求解，選定合適的基向量是解決問題的關(guān)鍵.

14.4

答案第9頁(yè)，總23頁(yè)

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【分析】

連結(jié)AC,交BD于0,以。為原點(diǎn)，0A為x軸，08為y軸，0P為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，利用向量法能求出實(shí)數(shù)尢

【詳解】

解：連結(jié)AC,交BD于0,以。為原點(diǎn)，0A為x軸，0B為），軸，。尸為z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，

6F）

設(shè)PA=AB^2,則4（五，0,0）,D（0,-夜，0）,尸（0,0,72），M（―,0,—）,

22

B（0,72，0）,

BD=（0,-2夜，0）,設(shè)N（0,b,0）,貝|麗=（0,b-母,0）,

:而，麗，；.-2垃=旭一碼，:"=回-2版,

A

?—2,\/2八、——>J2\p2A,—2,\/2>/2、--/r-r—x

??N（0,--------,0）,MN—（f----，---------，----），A.D—（—\/2,一J2，0n）,

A.2

______22—4

MNLAD,：.MN?AD=1------=0,

A

解得實(shí)數(shù)九=4.

故答案為4.

【點(diǎn)睛】

本題考查實(shí)數(shù)值的求法,考查空間向量、正四棱錐的結(jié)構(gòu)牲等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,

是中檔題.

15.近

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用AB,尸三點(diǎn)共線設(shè)出點(diǎn)PQ,九2-2）,0<z<2,以及。（0,2,"）,

答案第10頁(yè)，總23頁(yè)

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0%W2,根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，以及配方法，即可求解.

【詳解】

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P。，2,2-2),

(2(0,2,〃)(0W在2且0口區(qū)2),

可得PQ—J+(C—2)~+(2—2—〃)~=^2(zt-l)~+(2—A—//)"+2，

V2(A-D2>0,(2-2-/z)2>0,.*.2(2-1)2+(2-A-/z)2+2>2,

當(dāng)且僅當(dāng)4-1=2-2-〃=0時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)7=〃=1,

,當(dāng)且僅當(dāng)P、Q分別為A8、CQ的中點(diǎn)時(shí)，

P。的最小值為

故答案為:啦.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間向量法求兩點(diǎn)間的距離,將動(dòng)點(diǎn)用坐標(biāo)表示是解題的關(guān)鍵,考查配方法求最值,

屬于中檔題.

16.1

【分析】

取4。中點(diǎn)E,過P作PF1BE于尸點(diǎn)；由等腰三角形三線合一和線面垂直的判定定理可證得

4D_L平面PBE,從而得到4DLPF；再根據(jù)線面垂直判定定理得到PFUSABCD,由線面角

定義可知4PBF=30。，通過勾股定理可求得EF=BE,由此可知F在直線CD上，從而得到

面面垂直關(guān)系，可知二面角為90。，從而得到正弦值.

【詳解】

取40中點(diǎn)E,連接BE并延長(zhǎng)，過P作PFJ.BE于F點(diǎn)

答案第11頁(yè)，總23頁(yè)

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VPA=PD,E為AD中點(diǎn)PE1AD

???四邊形4BCD為菱形，NB/W=60°二ZMBO為等邊三角形BE1AD

???PE,BEu平面P8E,PEdBE=E???4。_L平面PBE

...pFu平面PBEAD1PF

又PFLBF,u平面48CD,BFOAD=E：.PFl^ABCD

???直線PB與底面4BCO所成角為4PB尸???PF=PB-sinzPBF=2xsin30°=1

在/PBE中，由余弦定理得：PE2=PB2+BE2-2PB-BEcos乙PBE=4+--4x—X—=

422

亞

2

EF=>JPE2-PF2=—.又BE=—?在CO延長(zhǎng)線上

22

PFu平面PCO平面PCFJL平面48co

.??二面角P-CD-4的大小為90。，正弦值為1

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題考查立體幾何中二面角的求解問題，涉及到線面垂直的判定與性質(zhì)、面面垂直的判定定

理、直線與平面所成角、勾股定理等知識(shí)的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠通過線面垂直關(guān)系確定直線與

平面所成角的位置.

答案第12頁(yè)，總23頁(yè)

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17.(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】

(1)由已知中四邊形ABC。為矩形，M、R分別是AB、CQ的中點(diǎn).易得AR〃CM,結(jié)合

線面平行的判定定理，可得到直線AR〃平面PMC；

(2)由已知條件可得平面物￡>,即ABJ_PD,從而得到ABJ_平面MNR,進(jìn)而得到直

線MNJ_直線A8.

【詳解】

(1):四邊形ABC。為矩形，M,R分別是A8、8的中點(diǎn).

J.AR//CM

又平面PMC,CMu平面PMC

，直線AR〃平面PMC-,

(2)連接RMMR

平面ABCD^AB±PA

又AB_LA。，PA(yAD=A,平面PAE>=AB_LP￡>

,:R、N分別是C。、PC的中點(diǎn)=/?'〃「￡>,ABJ./W,

又；48_LMR=MRCRN=R,A8_L平面MNR且MNu平面MNR,

二ABLMN.

【點(diǎn)睛】

本題的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判斷與直線與平面垂直的性質(zhì)，其中熟練掌握空間直線與

平面關(guān)系的判定定理、性質(zhì)定理、定義是解答本題的關(guān)鍵.

18.答案見解析

【分析】

若選①，則三角形RIB為等邊三角形，取AB的中點(diǎn)。，連接P。，再根據(jù)平面平面

答案第13頁(yè)，總23頁(yè)

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ABCD,利用面面垂直的性質(zhì)定理得到PO_L平面ABC。，然后以。為原點(diǎn)，直線48為工

軸，直線0P為z軸，建立的空間直角坐標(biāo)系，求得平面PBC的一個(gè)法向量￡=（冷加zj和

由星=4前表示向量詼的坐標(biāo)，由|cos〈詼,￡〉|=乎求解.

【詳解】

若選①，則三角形以8為等邊三角形，取AB的中點(diǎn)。,

連接尸。，則PO_LA8,又平面必B_L平面ABC。，

平面卓Be平面ABC￡>=M,所以PO_L平面ABC。,

以。為原點(diǎn)，直線48為》軸，直線0P為z軸，

建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

?,?麗=（卜用，方=椒用前=

■'-DE=DP+PE=DP+APC

設(shè)4=（占,加4）是平面PBC的一個(gè)法向量,

麗?a=；%一冬|=0,

則

PC-a=^xl+yt-^-zl=0,

令Z1=1,得XI=%=0,

2=（6,0,1）是平面PBC的一個(gè)法向量,

由直線OE與平面P8C所成角為60°,

得|cos〈萬(wàn)瓦￡〉|=g,

即=手,

2以/2F-3/1+22

答案第14頁(yè)，總23頁(yè)

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2矛-3/1+1=0，

解得八g或/1=1，

存在點(diǎn)E與C重合，即彳=1時(shí)滿足條件,

或點(diǎn)E為PC中點(diǎn)，即2=；時(shí)滿足條件.

若選②，則三角形以8為等腰直角三角形,

取AB的中點(diǎn)。，連接PO,則POLA8,

又平面P4B_L平面A8CD,平面BWc平面=

所以尸OJL平面ABC。,

以。為原點(diǎn)，直線AB為x軸，直線OP為z軸,

建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則8G，0,0),c1,L0)，d-；J0),p[0,0,g

...而=6,O，T斥=d),而=(/1

2'22'3

?'-DE=DP+PE=DP+APC

1-11+A?b4

2'’2

fl11?111J

(2222J

設(shè)B=(%,%，Z2)是平面PBC的一個(gè)法向量,

PBb=-x2--z2=0,

2-22

則

------11

PCh='^X2^y2~^Z2=0,

令Z?=1,得/=I%二°，

答案第15頁(yè)，總23頁(yè)

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/.b=(1,0,1)是平面PBC的一個(gè)法向量,

由直線與平面PBC所成角為60。,

得|cos(詼，揚(yáng)|=等，

1_V3

二9萬(wàn)一124+5=0,

VA=144-180<0,方程無(wú)解，

即不存在2,滿足西=2前，使直線OE與平面P8C所成角為60。.

又平面PAB_L平面A8C。，平面PA8c平面ABCD=A8,

所以PO_L平面A8C3,

以。為原點(diǎn)，直線48為》軸，直線OP為z軸，

建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則嗚0,0),唱，1,0),唯1,0Joo9

9<U,U,?

...麗=仔0,用瓦=j|,l,用，而=禺,.1,日

>9-DE=DP+PE=DP+APC

答案第16頁(yè)，總23頁(yè)

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設(shè)〃=(x,y,z)是平面尸8c的一個(gè)法向量,

~nn-3「

PBn--x----z=0,

22

則

PC?萬(wàn)=Tx+y---z=0,

令x=1,得z=y/3,y=0,

.?=(1,0,6)是平面PBC的一個(gè)法向量,

由直線OE與平面P8C所成角為60。,

得|cos(DE,n)|=,

即

274A2-52+22'

12萬(wàn)-152+5=0,

?.?△=225-240<0,.?.方程無(wú)解，

即不存在2,滿足兩=2前，使直線OE與平面P8C所成角為60。.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用空間向量法求線面角問題，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中

檔題.

19.(1)2m；(2)^3

11

【分析】

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4、DC、DF為&y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。一肛z,

(1)由4EC/為平行四邊形，運(yùn)用向量的模的計(jì)算方法，可得8尸的長(zhǎng)度;

(2)運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算點(diǎn)到平面的距離.

【詳解】

答案第17頁(yè)，總23頁(yè)

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(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),

E(2,4,1),Ci(0,4,3).

設(shè)F(0,0,z).

?.?AECiF為平行四邊形，.?.由AECF為平行四邊形，

*,?由4產(chǎn)EC［得，(-2，0，z)=(-2,0,2),

???z=2????F(0,0,2).???j=(-2,-4,2,于是|j|=2擊，即BF的長(zhǎng)為2也；

(2)設(shè);為平面AECiF的法向量，顯然;不垂直于平面ADF,故可設(shè)；=(x,y,1).

T?：=Or=1

(0xx+4xy+l=0?4y+1=0(~1

?=0=|-2xx+0xy+2=0,即|-2x+2=0，，?)￥=--

nrAFI,

又cq=(。，0,3),設(shè)s與n的夾角為a,則cosaq一;.jg十黯丁旭,

CCLnxV

AC到平面AEC,F的距離為d=lc)cosa=3x祭粵.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查空間中的線面關(guān)系、點(diǎn)到面的距離等基本知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推

理、運(yùn)算能力.

20.(1)證明見解析；(2)且.

4

答案第18頁(yè)，總23頁(yè)

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【分析】

(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得P。垂直AC,再通過計(jì)算，根據(jù)勾股定理得P。垂直0B,最

后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論；

(2)根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)方程組解出平面PAM一個(gè)法向量，

利用向量數(shù)量積求出兩個(gè)法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解

得M坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面以M法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向

量夾角互余得結(jié)果.

【詳解】

(1)因?yàn)锳P=CP=AC=4,。為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)PJ.AC,且。尸=26.

連結(jié)0B.

因?yàn)锳B=8C=也AC,

2

所以AABC為等腰直角三角形，

且08_LAC,O8=1AC=2

2

由OP：+OB2=PB-知PO1.OB.

由OP_LOB,OP±AC知PO_L平面ABC.

(2)如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，礪的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-WZ.

由已知得0(0,0,0),8(2,0,0),4(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2百),AP=(0,2,2揚(yáng)

UL1U

取平面R4C的法向量03=(2,0,0).

UUUL

設(shè)M320)(0<a<2)f則AM=3,4-a,0).

答案第19頁(yè)，總23頁(yè)

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設(shè)平面R4M的法向量為為=(x,y,z).

,—---\2y+2>/3z=0

由AP?元=(),4W?萬(wàn)=0得〈

⑷+(4-〃)y=0

可取2元=(>/3(a-4),\/3a,-a)

.由已知得cos〈O月?萬(wàn))=日

所以8歷為“言二2

25/3|a-4|G4

所以行.解得a=T(舍去)，a=-

2j3(a-4f+3/+/，3

又定=(0,2,-26)，所以cos〈定㈤=正.

4

所以PC與平面R4M所成角的正弦值為且.

4

【點(diǎn)睛】

利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破"建系關(guān)''，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐

標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)“，求出平面的

法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)

21.(1)當(dāng)P8=2/時(shí)，平面出O_L平面438,詳見解析(2)萼?

【分析】

(1)根據(jù)平面和平面垂直可得線面垂直，從而可得利用直角三角形知識(shí)可得心的長(zhǎng);

(2)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解直線AB與平面PBC所成角的正弦值.

【詳解】

解：(1)當(dāng)PB=2夜時(shí)，平面?平面A8CZ),

證明如下：在中，因?yàn)锳8=PA=2,P8=25/5,所以4?_1以，

又AB_LA￡>,ADr>PA=A,所以AB_L平面PAD，

又A8i平面ABC。，所以平面F4Q_L平面A8CO；

(2)分別取線段A。,8c的中點(diǎn)。,￡,連接PO,OE,因?yàn)锳4Z)尸為等邊三角形，。為AD

的中點(diǎn)，所以。,后為4),8。的中點(diǎn)，所以QE//AB,

又所以O(shè)E_LA￡),故/POE為二面角P-AD—8的平面角，所以NPOE=15CT,

答案第2