八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊專題09期中-綜合大題必刷(壓軸15考點(diǎn)31題)(原卷版+解析)

專題09期中-綜合大題必刷（壓軸15考點(diǎn)31題）

一．二次根式的性質(zhì)與化簡（共1小題）1．先閱讀下列的解答過程，然后作答：形如的化簡，只要我們找到兩個(gè)數(shù)a、b使a+b＝m，ab＝n，這樣（）2+（）2＝m，?＝，那么便有＝＝±（a＞b）例如：化簡解：首先把化為，這里m＝7，n＝12；由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，?＝，∴＝＝＝2+由上述例題的方法化簡：（1）；（2）；（3）．二．二次根式的混合運(yùn)算（共1小題）2．計(jì)算：（1）++﹣；（2）（×﹣4+3）÷2．三．二次根式的化簡求值（共2小題）3．（1）先化簡，再求值：，其中x＝﹣1；（2）數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．4．閱讀下面計(jì)算過程：＝＝試求：（1）的值為．（2）求+...+的值．（3）若，求a2﹣4a+4的值．四．勾股定理（共3小題）5．已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)且速度為每秒2cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，在BC邊上的運(yùn)動(dòng)速度是每秒3cm，在AC邊上的運(yùn)動(dòng)速度是每秒5cm，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，（1）線段AC＝；（2）當(dāng)t＝1秒時(shí)，求△BPQ的面積；（3）當(dāng)AP＝CP時(shí)，CQ＝；（4）若PQ將△ABC周長分為5：7兩部分，直接寫出t的值．6．如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q分別為AB、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A?B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始B→C方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)；設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．（1）出發(fā)2秒后，求PQ的長；（2）從出發(fā)幾秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形？（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，直線PQ能否把原三角形周長分成相等的兩部分？若能夠，請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能夠，請(qǐng)說明理由．7．如圖1，四邊形ADCO中，∠AOC＝90°，∠ADC＝90°，AD＝7，DC＝24，CO＝15．（1）求線段AO的長度；（2）如圖2所示，OB是∠AOC的平分線，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿射線OB運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)△AOP是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出t的值．五．勾股定理的證明（共1小題）8．著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c2，也可以表示為，由推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a2+b2＝c2．（1）圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請(qǐng)你利用圖②推導(dǎo)勾股定理；（2）如圖③，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A、B，AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，且CH⊥AB．測得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？（3）小明繼續(xù)思考研究，發(fā)現(xiàn)了三角形已知三邊的長，可求高的一種方法．他是這樣思考的，在第（2）問中若AB≠AC時(shí)，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，設(shè)AH＝x，可以求CH的值，請(qǐng)幫小明寫出求CH的過程．六．勾股定理的應(yīng)用（共1小題）9．今年第6號(hào)臺(tái)風(fēng)“煙花”登陸我國沿海地區(qū)，風(fēng)力強(qiáng)，累計(jì)降雨量大，影響范圍大，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，臺(tái)風(fēng)“煙花”中心沿東西方向AB由A向B移動(dòng)，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上的兩點(diǎn)A、B的距離分別為AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，經(jīng)測量，距離臺(tái)風(fēng)中心260km及以內(nèi)的地區(qū)會(huì)受到影響．（1）海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？（2）若臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為28千米/時(shí)，則臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長？七．平行四邊形的判定與性質(zhì)（共1小題）10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點(diǎn)C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD，BE．（1）求證：CE＝AD；（2）當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形BECD的形狀，并說明理由．八．菱形的性質(zhì)（共1小題）11．【問題原型】如圖1，在四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝AC．點(diǎn)E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，連接EF，DE．試說明：DE＝EF．【探究】如圖2，在問題原型的條件下，當(dāng)AC平分∠BAD，∠DEF＝90°時(shí)，求∠BAD的大?。緫?yīng)用】如圖3，在問題原型的條件下，當(dāng)AB＝2，且四邊形CDEF是菱形時(shí)，直接寫出四邊形ABCD的面積．九．菱形的判定與性質(zhì)（共2小題）12．在Rt△BDE中，∠BDE＝90°，C是BE的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作AD∥BE，且AD＝BC，連接AE交CD于F．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若DB＝8，菱形ABCD的面積為40，求DE的長．13．如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長線于F，以EC、CF為鄰邊作?ECFG．（1）證明?ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，連接BD、CG，求∠BDG的度數(shù)；（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中點(diǎn)，求DM的長．一十．矩形的性質(zhì)（共2小題）14．如圖，在長方形OABC中，O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，b）且a、b滿足+|b﹣6|＝0，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿著O﹣C﹣B﹣A﹣O的線路移動(dòng)．（Ⅰ）點(diǎn)B的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)3.5秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（Ⅱ）在移動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離為4個(gè)單位長度時(shí)，求點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間；（Ⅲ）在移動(dòng)過程中，當(dāng)△OBP的面積是10時(shí)，求點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間．15．如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是線段BM，CM的中點(diǎn)．（1）求證：△ABM≌△DCM；（2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論．一十一．矩形的判定與性質(zhì)（共3小題）16．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，點(diǎn)P在AD邊上以每秒1cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在BC邊上，以每秒4cm的速度從點(diǎn)C出發(fā)，在CB之間往返運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止（同時(shí)點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）用含t的式子表示線段的長度：PD＝cm，（2）當(dāng)0＜t＜2.5時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為秒時(shí)，以A、P、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是矩形．（3）當(dāng)5＜t＜10時(shí)，以P、D、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形有沒可能是平行四邊形？若有，請(qǐng)求出t；若沒有，請(qǐng)說明理由．17．在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，點(diǎn)E從A出發(fā)以1cm/s的速度向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，而另一點(diǎn)也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，（1）t取何值時(shí)，四邊形EFCD為矩形？（2）M是BC上一點(diǎn)，且BM＝4，t取何值時(shí)，以A、M、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？18．如圖，在?ABCD中，DC＞AD，四個(gè)角的平分線AE，DE，BF，CF的交點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作DC與AB間的垂線MM'與NN'，在DC與AB上的垂足分別是M，N與M′，N′，連接EF．（1）求證：四邊形EFNM是矩形；（2）已知：AE＝4，DE＝3，DC＝9，求EF的長．一十二．正方形的性質(zhì)（共10小題）19．如圖，已知四邊形ABCD是正方形AB＝，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連CG．（1）求證：DE＝EF；（2）探究CE+CG的值是否為定值，若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由；20．如圖所示，△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線CE于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線CF于點(diǎn)F．（1）求證：EO＝FO；（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論；（3）若要使四邊形AECF是正方形，△ABC應(yīng)該滿足什么條件？（直接寫出具體條件，不需要證明）21．（1）正方形ABCD，E、F分別在邊BC、CD上（不與端點(diǎn)重合），∠EAF＝45°，EF與AC交于點(diǎn)G①如圖（i），若AC平分∠EAF，直接寫出線段EF，BE，DF之間等量關(guān)系；②如圖（ⅱ），若AC不平分∠EAF，①中線段EF，BE，DF之間等量關(guān)系還成立嗎？若成立請(qǐng)證明；若不成立請(qǐng)說明理由（2）如圖（ⅲ），矩形ABCD，AB＝4，AD＝8．點(diǎn)M、N分別在邊CD、BC上，AN＝2，∠MAN＝45°，求AM的長度．22．如圖，正方形ABCD中，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE，交邊BC于點(diǎn)F．（1）求證：EA＝EF；（2）寫出線段FC，DE的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（3）若AB＝4，F(xiàn)E＝FC，求DE的長．23．如圖，在正方形中，P是直線CD上的一點(diǎn)，連接BP，過點(diǎn)D作DE⊥BP，交直線BP于點(diǎn)E，連接CE．（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，如圖①，求證：BE﹣DE＝CE；（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線CD上移動(dòng)時(shí)，位置如圖②、圖③所示，線段BE，DE與CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，選擇一個(gè)證明．24．已知正方形ABCD，點(diǎn)F是射線DC上一動(dòng)點(diǎn)（不與C、D重合），連接AF并延長交直線BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)H，連接CH，過點(diǎn)C作CG⊥HC交AE于點(diǎn)G．（1）若點(diǎn)F在邊CD上，如圖1．①證明：∠DAH＝∠DCH；②猜想線段CG與EF的關(guān)系并說明理由；（2）取DF中點(diǎn)M，連結(jié)MG，若MG＝4，正方形邊長為6，求BE的長．25．在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD所在直線上，連接BE，以BE為邊，在BE的下方作正方形BEFG，并連接AG．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，AG＝；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，DE＝2，求AG的長；（3）若AG＝，請(qǐng)直接寫出此時(shí)DE的長．26．綜合與實(shí)踐問題情境：如圖①，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBE'（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C）．延長AE交CE'于點(diǎn)F，連接DE．猜想證明：（1）試判斷四邊形BE'FE的形狀，并說明理由；（2）如圖②，若AD＝DE，請(qǐng)猜想線段CF與FE'的數(shù)量關(guān)系并加以證明．27．閱讀下面的例題及點(diǎn)撥，并解決問題：如圖①，在等邊△ABC中，M是BC邊上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分線上一點(diǎn)，且AM＝MN．求證：∠AMN＝60°．（1）點(diǎn)撥：如圖②，作∠CBE＝60°，BE與NC的延長線相交于點(diǎn)E，得等邊△BEC，連接EM．易證：△ABM≌△EBM（SAS），請(qǐng)完成剩余證明過程：（2）拓展：如圖③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1邊上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分線上一點(diǎn)，且A1M1＝M1N1．求證：∠A1M1N1＝90°．28．如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45度．則有結(jié)論EF＝BE+FD成立；（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF是∠BAD的一半，那么結(jié)論EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)說明理由．（2）若將（1）中的條件改為：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延長BC到點(diǎn)E，延長CD到點(diǎn)F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，則結(jié)論EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．一十三．正方形的判定（共1小題）29．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分線，過點(diǎn)C作AD的平行線，交△ABC外角∠EAC的角平分線于點(diǎn)F．（1）判斷四邊形ADCF的形狀，并說明理由；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCF是正方形？請(qǐng)說明理由．一十四．正方形的判定與性質(zhì)（共1小題）30．問題解決：如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，DE＝AF，DE⊥AF于點(diǎn)G．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）延長CB到點(diǎn)H，使得BH＝AE，判斷△AHF的形狀，并說明理由．類比遷移：如圖2，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，DE與AF相交于點(diǎn)G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝7，BF＝2，求DE的長．一十五．四邊形綜合題（共1小題）31．在平行四邊ABCD中，AB＝6cm，BC＝acm，P是AC對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（不與A，C重合），速度為每秒1cm，Q是CB延長線上一點(diǎn)，與點(diǎn)P以相同的速度由B向CB延長線方向運(yùn)動(dòng)（不與B重合），連接PQ交AB于E．（1）如圖1，若∠ABC＝60°，BC＝AB，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒后，∠BQE＝30°；（2）如圖2，在（1）的條件下，作PF⊥AB于F，在運(yùn)動(dòng)過程中，線段EF長度是否發(fā)生變化，如果不變，求出EF的長；如果變化，請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，當(dāng)BC≠AB時(shí)，平行四邊形的面積是24cm2，那么在運(yùn)動(dòng)中是否存在某一時(shí)刻，點(diǎn)P，Q關(guān)于點(diǎn)E成中心對(duì)稱，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．專題09期中-綜合大題必刷（壓軸15考點(diǎn)31題）

一．二次根式的性質(zhì)與化簡（共1小題）1．先閱讀下列的解答過程，然后作答：形如的化簡，只要我們找到兩個(gè)數(shù)a、b使a+b＝m，ab＝n，這樣（）2+（）2＝m，?＝，那么便有＝＝±（a＞b）例如：化簡解：首先把化為，這里m＝7，n＝12；由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，?＝，∴＝＝＝2+由上述例題的方法化簡：（1）；（2）；（3）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）＝＝﹣；（2）＝＝＝﹣；（3）＝＝．二．二次根式的混合運(yùn)算（共1小題）2．計(jì)算：（1）++﹣；（2）（×﹣4+3）÷2．【答案】（1）6+；（2）．【解答】解：（1）原式＝4+5+﹣3＝6+；（2）原式＝（3﹣2+6）÷2＝（3+4）÷2＝7÷2＝．三．二次根式的化簡求值（共2小題）3．（1）先化簡，再求值：，其中x＝﹣1；（2）數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．【答案】（1）；（2）2b．【解答】解：（1）原式＝＝＝x+1，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，原式＝x+1＝﹣1+1＝；（2）由數(shù)軸可知，﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，∴a﹣b＜0，b﹣1＞0，a+1＜0，∴原式＝﹣（a﹣b）+（b﹣1）+（a+1）＝﹣a+b+b﹣1+a+1＝2b．4．閱讀下面計(jì)算過程：＝＝試求：（1）的值為﹣．（2）求+...+的值．（3）若，求a2﹣4a+4的值．【答案】（1）﹣；（2）9；（3）5．【解答】解：（1）＝＝﹣，故答案為：﹣；（2）+...+＝﹣1+﹣+…+﹣+﹣＝﹣1＝10﹣1＝9；（3）∵＝+2，∴a2﹣4a+4＝（a﹣2）2＝（+2﹣2）2＝（）2＝5．四．勾股定理（共3小題）5．已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)且速度為每秒2cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，在BC邊上的運(yùn)動(dòng)速度是每秒3cm，在AC邊上的運(yùn)動(dòng)速度是每秒5cm，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，（1）線段AC＝10；（2）當(dāng)t＝1秒時(shí)，求△BPQ的面積；（3）當(dāng)AP＝CP時(shí)，CQ＝；（4）若PQ將△ABC周長分為5：7兩部分，直接寫出t的值．【答案】（1）10；（2）9；（3）；（4）2或．【解答】解：（1）∵∠B＝90°，∴AC＝＝＝10，故答案為：10；（2）∵AP＝2t＝2，BQ＝3t＝3，∴BP＝AB﹣AP＝8﹣2＝6，∴S△BPQ＝＝＝9；（3）設(shè)AP＝CP＝x，在Rt△BCP中，由勾股定理得，CP2﹣BP2＝BC2，∴x2﹣（8﹣x）2＝62，∴x＝，∴t＝＝＞2，∴點(diǎn)Q在AC上，∴CQ＝5×（﹣2）＝，故答案為：；（4）（6+8+10）×＝10，24﹣10＝14，當(dāng)0＜t＜2時(shí)，BP+BQ＝10時(shí)，8﹣2t+3t＝10，∴t＝2（舍去），當(dāng)BP+BQ＝14時(shí)，8﹣2t+3t＝14，∴t＝6（舍去），當(dāng)2≤t＜4時(shí)，當(dāng)AP+AQ＝10時(shí)，2t+10﹣5（t﹣2）＝10，∴t＝，當(dāng)AP+AQ＝14時(shí)，2t+10﹣5（t﹣2）＝14，∴t＝2，綜上所述：t＝2或．6．如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q分別為AB、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A?B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始B→C方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)；設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．（1）出發(fā)2秒后，求PQ的長；（2）從出發(fā)幾秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形？（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，直線PQ能否把原三角形周長分成相等的兩部分？若能夠，請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能夠，請(qǐng)說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）出發(fā)2秒后，AP＝2，BQ＝4，∴BP＝8﹣2＝6，PQ＝＝2；（3分）（2）設(shè)時(shí)間為t，列方程得2t＝8﹣1×t，解得t＝；（6分）（3）假設(shè)直線PQ能把原三角形周長分成相等的兩部分，由AB＝8cm，BC＝6cm，根據(jù)勾股定理可知AC＝10cm，即三角形的周長為8+6+10＝24cm，則有BP+BQ＝×24＝12，設(shè)時(shí)間為t，列方程得：2t+（8﹣1×t）＝12，解得t＝4，當(dāng)t＝4時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程是4×2＝8＞6，所以直線PQ不能夠把原三角形周長分成相等的兩部分．（10分）7．如圖1，四邊形ADCO中，∠AOC＝90°，∠ADC＝90°，AD＝7，DC＝24，CO＝15．（1）求線段AO的長度；（2）如圖2所示，OB是∠AOC的平分線，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿射線OB運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)△AOP是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出t的值．【答案】（1）20；（2）t的值為5或10或10．【解答】解：如圖1，連接AC，∵∠ADC＝90°，AD＝7，DC＝24，∴AC＝＝＝25，∵∠AOC＝90°，CO＝15，∴AO＝＝＝20；（2）如圖2，∵OB是∠AOC的平分線，∴∠AOB＝∠COB＝45°，∵一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿射線OB運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∴OP＝2t，當(dāng)△AOP是等腰三角形時(shí)，分3種情況討論：①當(dāng)AP＝OP時(shí)，∴∠PAO＝∠POA＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，由（1）知：AO＝20，∴OP＝AO＝10，∴2t＝10，∴t＝5；②當(dāng)OA＝OP″時(shí)，∴2t＝20，∴t＝10；③當(dāng)AP′＝AO時(shí)，∴∠AP′O＝∠AOP′＝45°，∴△AOP′是等腰直角三角形，∴OP＝AO＝20，∴2t＝20，∴t＝10，∴t的值為5或10或10．五．勾股定理的證明（共1小題）8．著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c2，也可以表示為，由推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a2+b2＝c2．（1）圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請(qǐng)你利用圖②推導(dǎo)勾股定理；（2）如圖③，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A、B，AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，且CH⊥AB．測得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？（3）小明繼續(xù)思考研究，發(fā)現(xiàn)了三角形已知三邊的長，可求高的一種方法．他是這樣思考的，在第（2）問中若AB≠AC時(shí)，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，設(shè)AH＝x，可以求CH的值，請(qǐng)幫小明寫出求CH的過程．【答案】（1）推導(dǎo)過程見解答；（2）新路CH比原路CA少約0.03千米；（3）8．【解答】解：（1）梯形ABCD的面積為（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，也可以表示為ab+ab+c2，∴ab+ab+c2＝a2+ab+b2，即a2+b2＝c2；（2）設(shè)AB＝AC＝x千米，∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣0.6）千米，在Rt△ACH中，根據(jù)勾股定理得：CA2＝CH2+AH2，∴x2＝0.82+（x﹣0.6）2，解得x≈0.83，即CA≈0.83千米，∴CA﹣CH≈0.83﹣0.8≈0.03（千米），答：新路CH比原路CA少約0.03千米；（3）∵AH＝x，∴BH＝AB﹣AH＝21﹣x，∵CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，根據(jù)勾股定理：在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2，在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2，∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，即102﹣x2＝172﹣（21﹣x）2，解得：x＝6，∴AH＝6，∴CH＝＝＝8．六．勾股定理的應(yīng)用（共1小題）9．今年第6號(hào)臺(tái)風(fēng)“煙花”登陸我國沿海地區(qū)，風(fēng)力強(qiáng)，累計(jì)降雨量大，影響范圍大，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，臺(tái)風(fēng)“煙花”中心沿東西方向AB由A向B移動(dòng)，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上的兩點(diǎn)A、B的距離分別為AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，經(jīng)測量，距離臺(tái)風(fēng)中心260km及以內(nèi)的地區(qū)會(huì)受到影響．（1）海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？（2）若臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為28千米/時(shí)，則臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長？【答案】（1）海港C受臺(tái)風(fēng)影響，理由見解答過程；（2）臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間為小時(shí)．【解答】解：（1）海港C受臺(tái)風(fēng)影響，理由：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍260km以內(nèi)為受影響區(qū)域，∴海港C受臺(tái)風(fēng)影響；（2）當(dāng)EC＝260km，F(xiàn)C＝260km時(shí)，正好影響C港口，∵ED＝（km），∴EF＝2ED＝200km，∵臺(tái)風(fēng)的速度為28千米/小時(shí)，∴200÷28＝（小時(shí)）．答：臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間為小時(shí)．七．平行四邊形的判定與性質(zhì)（共1小題）10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點(diǎn)C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD，BE．（1）求證：CE＝AD；（2）當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形BECD的形狀，并說明理由．【答案】（1）證明過程見解答；（2）四邊形BECD是菱形，理由見解答．【解答】（1）證明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB＝90°，∴AC∥DE，∵M(jìn)N∥AB，∴四邊形ADEC是平行四邊形，∴CE＝AD；（2）四邊形BECD是菱形，理由：∵D為AB中點(diǎn)，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四邊形BECD是平行四邊形，∵∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，∴CD＝BD＝AB，∴四邊形BECD是菱形．八．菱形的性質(zhì)（共1小題）11．【問題原型】如圖1，在四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝AC．點(diǎn)E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，連接EF，DE．試說明：DE＝EF．【探究】如圖2，在問題原型的條件下，當(dāng)AC平分∠BAD，∠DEF＝90°時(shí)，求∠BAD的大?。緫?yīng)用】如圖3，在問題原型的條件下，當(dāng)AB＝2，且四邊形CDEF是菱形時(shí)，直接寫出四邊形ABCD的面積．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：【問題原型】證明：在△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點(diǎn)∴EF∥AB，且EF＝AB在Rt△ACD中，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)∴DE＝AC∵AB＝AC，∴DE＝EF【探究】解：∵AC平分∠BAD，EF∥AB，DE＝AC＝AE＝EC∴∠BAC＝∠DAC，∠CEF＝∠BAC∠DEC＝2∠DAC＝∠BAD∵∠DEF＝90°∴∠CEF+∠DEC＝∠BAC+2∠DAC＝90°∴∠BAC＝∠DAC＝30°，∴∠BAD＝60°【應(yīng)用】四邊形ABCD的面積為：∵四邊形CDEF是菱形，EC＝DE，∴△CDE與△CEF都是等邊三角形，∵AB＝2，∴EF＝DE＝CD＝CF＝1∴S△DCE＝S△DEA＝S△CEF＝，∵EF∥AB，∴，∴S△ABC＝4S△CEF＝∴S四邊形ABCD＝S△DCE+S△DEA+S△ABC＝2×+＝．九．菱形的判定與性質(zhì)（共2小題）12．在Rt△BDE中，∠BDE＝90°，C是BE的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作AD∥BE，且AD＝BC，連接AE交CD于F．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若DB＝8，菱形ABCD的面積為40，求DE的長．【答案】（1）見解析；（2）10．【解答】（1）證明：AD∥BE，且AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵點(diǎn)C是BE邊的中點(diǎn)，∠BDE＝90°，∴BC＝CE＝DC，∴平行四邊形ABCD是菱形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴S△ABD＝SCDB，∵BC＝CE，∴S△BCD＝S△CDE＝S菱形ABCD＝S△BDE，∴×8?DE＝40，∴DE＝10．13．如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長線于F，以EC、CF為鄰邊作?ECFG．（1）證明?ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，連接BD、CG，求∠BDG的度數(shù)；（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中點(diǎn)，求DM的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）證明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四邊形ECFG是平行四邊形，∴四邊形ECFG為菱形；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四邊形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等邊三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等邊三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如圖2中，連接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形，又由（1）可知四邊形ECFG為菱形，∠ECF＝90°，∴四邊形ECFG為正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M(jìn)為EF中點(diǎn)，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，∴DM＝BD＝5．方法二：∵∠ABC＝90°，四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形，又由（1）可知四邊形ECFG為菱形，∠ECF＝90°，∴四邊形ECFG為正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC＝6，過M作MH⊥CF于H，則△MHF是等腰直角三角形，∵△ADF是等腰直角三角形，∴DF＝AD＝8，∵CF＝CE＝2，∴MH＝FH＝1，∴DM＝＝＝5．一十．矩形的性質(zhì)（共2小題）14．如圖，在長方形OABC中，O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，b）且a、b滿足+|b﹣6|＝0，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿著O﹣C﹣B﹣A﹣O的線路移動(dòng)．（Ⅰ）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，6）；當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)3.5秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，6）；（Ⅱ）在移動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離為4個(gè)單位長度時(shí)，求點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間；（Ⅲ）在移動(dòng)過程中，當(dāng)△OBP的面積是10時(shí)，求點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（Ⅰ）∵a、b滿足+|b﹣6|＝0，∴a﹣4＝0，b﹣6＝0，解得a＝4，b＝6，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，6），∵點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿著O﹣C﹣B﹣A﹣O的線路移動(dòng)，∴2×3.5＝7，∵OA＝4，OC＝6，∴當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)4秒時(shí)，在線段CB上，離點(diǎn)C的距離是：7﹣6＝1，即當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)4秒時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在線段CB上，離點(diǎn)C的距離是1個(gè)單位長度，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，6）；故答案為（4，6），（1，6）．（Ⅱ）由題意可得，在移動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離為4個(gè)單位長度時(shí)，存在兩種情況，第一種情況，當(dāng)點(diǎn)P在OC上時(shí)，點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間是：4÷2＝2秒，第二種情況，當(dāng)點(diǎn)P在BA上時(shí)．點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間是：（6+4+2）÷2＝6秒，故在移動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離為4個(gè)單位長度時(shí)，點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間是2秒或6秒．（Ⅲ）如圖1所示：∵△OBP的面積＝10，∴OP?BC＝10，即×4×OP＝10．解得：OP＝5．∴此時(shí)t＝2.5s如圖2所示；∵△OBP的面積＝10，∴PB?OC＝10，即×6×PB＝10．解得：BP＝．∴CP＝．∴此時(shí)t＝s，如圖3所示：∵△OBP的面積＝10，∴BP?BC＝10，即×4×PB＝10．解得：BP＝5．∴此時(shí)t＝s如圖4所示：∵△OBP的面積＝10，∴OP?AB＝10，即×6×OP＝10．解得：OP＝．∴此時(shí)t＝s綜上所述，滿足條件的時(shí)間t的值為2.5s或s或s或s．15．如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是線段BM，CM的中點(diǎn)．（1）求證：△ABM≌△DCM；（2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，∴AM＝DM，在△ABM和△DCM，，∴△ABM≌△DCM（SAS）；（2）四邊形MENF是菱形．證明如下：∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點(diǎn)，∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM，∴NE＝FM，NE∥FM，∴四邊形MENF是平行四邊形，由（1）知△ABM≌△DCM，∴BM＝CM，∵E、F分別是BM、CM的中點(diǎn)，∴ME＝MF，∴平行四邊形MENF是菱形；一十一．矩形的判定與性質(zhì)（共3小題）16．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，點(diǎn)P在AD邊上以每秒1cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在BC邊上，以每秒4cm的速度從點(diǎn)C出發(fā)，在CB之間往返運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止（同時(shí)點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）用含t的式子表示線段的長度：PD＝（10﹣t）cm，（2）當(dāng)0＜t＜2.5時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為2秒時(shí)，以A、P、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是矩形．（3）當(dāng)5＜t＜10時(shí)，以P、D、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形有沒可能是平行四邊形？若有，請(qǐng)求出t；若沒有，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（10﹣t）；（2）2；（3）以P、D、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形有可能是平行四邊形，t的值為或8．【解答】解：（1）∵AD＝10，AP＝t，∴PD＝10﹣t，故答案為：（10﹣t）．（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AP∥BQ，∠A＝90°，∴當(dāng)AP＝BQ時(shí)，四邊形PABQ是矩形，當(dāng)0＜t＜2.5時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，∴t＝10﹣4t，解得t＝2，故答案為：2．（3）以P、D、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形有可能是平行四邊形，∵PD∥BQ，∴當(dāng)PD＝BQ時(shí)，四邊形BPDQ是平行四邊形，當(dāng)5＜t≤7.5時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，由PD＝BQ得10﹣t＝10×3﹣4t，解得t＝；當(dāng)7.5＜t＜10時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，由PD＝BQ得10﹣t＝4t﹣10×3，解得t＝8，綜上所述，t的值為或8．17．在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，點(diǎn)E從A出發(fā)以1cm/s的速度向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，而另一點(diǎn)也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，（1）t取何值時(shí)，四邊形EFCD為矩形？（2）M是BC上一點(diǎn)，且BM＝4，t取何值時(shí)，以A、M、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）當(dāng)DE＝CF時(shí)，四邊形EFCD為矩形，則有6﹣t＝10﹣2t，解得t＝4，答：t＝4s時(shí)，四邊形EFCD為矩形．（2）①當(dāng)點(diǎn)F在線段BM上，AE＝FM時(shí)，以A、M、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則有t＝4﹣2t，解得t＝，②當(dāng)F在線段CM上，AE＝FM時(shí)，以A、M、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則有t＝2t﹣4，解得t＝4，綜上所述，t＝4或s時(shí)，以A、M、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．18．如圖，在?ABCD中，DC＞AD，四個(gè)角的平分線AE，DE，BF，CF的交點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作DC與AB間的垂線MM'與NN'，在DC與AB上的垂足分別是M，N與M′，N′，連接EF．（1）求證：四邊形EFNM是矩形；（2）已知：AE＝4，DE＝3，DC＝9，求EF的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）證明：過點(diǎn)E、F分別作AD、BC的垂線，垂足分別是G、H．∵∠3＝∠4，∠1＝∠2，EG⊥AD，EM⊥CD，EM′⊥AB∴EG＝ME，EG＝EM′∴EG＝ME＝M′E＝MM′同理可證：FH＝NF＝N′F＝NN′∵CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD，∴MM′＝NN′∴ME＝NF＝EG＝FH又∵M(jìn)M′∥NN′，MM′⊥CD∴四邊形EFNM是矩形．（2）∵DC∥AB，∴∠CDA+∠DAB＝180°，∵，∠2＝∠DAB∴∠3+∠2＝90°在Rt△DEA，∵AE＝4，DE＝3，∴AD＝＝5．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠DAB＝∠DCB，又∵∠2＝∠DAB，∠5＝∠DCB，∴∠2＝∠5由（1）知GE＝NF在Rt△GEA和Rt△CNF中∴△GEA≌△CNF∴AG＝CN在Rt△DME和Rt△DGE中∵DE＝DE，ME＝EG∴△DME≌△DGE∴DG＝DM∴DM+CN＝DG+AG＝AD＝5∴MN＝CD﹣DM﹣CN＝9﹣5＝4．∵四邊形EFNM是矩形．∴EF＝MN＝4一十二．正方形的性質(zhì)（共10小題）19．如圖，已知四邊形ABCD是正方形AB＝，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連CG．（1）求證：DE＝EF；（2）探究CE+CG的值是否為定值，若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由；【答案】（1）見解析；（2）4．【解答】（1）證明：如圖，作EM⊥BC，EN⊥CD∴∠MEN＝90°，∵點(diǎn)E是正方形ABCD對(duì)角線上的點(diǎn)，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE．（2）解：CE+CG的值是定值，定值為4．理由：∵EF＝DE．∵四邊形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；∵四邊形ABCD是正方形，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG．∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×2＝4．20．如圖所示，△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線CE于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線CF于點(diǎn)F．（1）求證：EO＝FO；（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論；（3）若要使四邊形AECF是正方形，△ABC應(yīng)該滿足什么條件？（直接寫出具體條件，不需要證明）【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，證明見解析；（3）要使四邊形AECF是正方形，應(yīng)該滿足△ABC是∠ACB＝90°的直角三角形，證明見解析．【解答】（1）證明：∵M(jìn)N∥BC，∴∠3＝∠2，又∵CF平分∠DCO，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴FO＝CO，同理：EO＝CO，∴EO＝FO；（2）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．∵當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，AO＝CO，又∵EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，由（1）可知，F(xiàn)O＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO，∴AO+CO＝EO+FO，即AC＝EF，∴四邊形AECF是矩形；（3）解：要使四邊形AECF是正方形，應(yīng)該滿足△ABC是∠ACB＝90°的直角三角形．∵由（2）知，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，∵M(jìn)N∥BC，∴∠AOE＝∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠AOE＝90°，∴AC⊥EF，∴四邊形AECF是正方形．21．（1）正方形ABCD，E、F分別在邊BC、CD上（不與端點(diǎn)重合），∠EAF＝45°，EF與AC交于點(diǎn)G①如圖（i），若AC平分∠EAF，直接寫出線段EF，BE，DF之間等量關(guān)系；②如圖（ⅱ），若AC不平分∠EAF，①中線段EF，BE，DF之間等量關(guān)系還成立嗎？若成立請(qǐng)證明；若不成立請(qǐng)說明理由（2）如圖（ⅲ），矩形ABCD，AB＝4，AD＝8．點(diǎn)M、N分別在邊CD、BC上，AN＝2，∠MAN＝45°，求AM的長度．【答案】（1）①EF＝BE+DF；②，①中線段EF，BE，DF之間等量關(guān)系還成立：EF＝BE+DF；理由見解答；（2）．【解答】解：（1）①如圖（i），∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠CAD＝45°，∵∠EAF＝45°，AC平分∠EAF，∴∠BAE＝∠EAG＝∠DAF＝∠FAG＝22.5°，∵AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴BE＝DF，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∴AC⊥EF，∴∠AGE＝∠AGF＝90°，∵AE平分∠BAC，∴BE＝EG，DF＝GF，∴EF＝BE+DF；②，①中線段EF，BE，DF之間等量關(guān)系還成立：EF＝BE+DF；如圖（ⅱ），延長CD到點(diǎn)H，截取DH＝BE，連接AH，在△AEB與△AHD中，∵，∴△AEB≌△AHD（SAS），∴AE＝AH，∠BAE＝∠HAD，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠DAF+∠DAH＝45°．即∠EAF＝∠HAF，在△EAF與△HAF中，∵，∴△EAF≌△HAF（SAS），∴EF＝HF＝DF+DH＝BE+DF，（2）解法一：如圖，取AD，BC的中點(diǎn)P，Q，連接QP，PQ交AM于H，連接NH，∵AD＝8，AB＝4，∴AP＝AB＝BQ＝PQ＝4，∠B＝90°，∴四邊形ABQP是正方形，Rt△ABN中，AB＝4，AN＝2，∴BN＝＝2，∴NQ＝4﹣2＝2，∵∠NAH＝45°，由（1）同理得：NH＝BN+PH，設(shè)PH＝x，則NH＝x+2，QH＝4﹣x，Rt△NHQ中，NH2＝QH2+NQ2，∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，x＝，∵P是AD的中點(diǎn)，PH∥DM，∴AH＝HM，∴DM＝2PH＝，由勾股定理得：AM＝＝＝；解法二：如圖（iii），延長AN，DC交于點(diǎn)G，過M作MP⊥AG于點(diǎn)P，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，Rt△ABN中，AB＝4，AN＝2，∴BN＝2，CN＝8﹣2＝6，∵AB∥CG，∴△ABN∽△GCN，∴＝，∴NG＝6，∵∠MAN＝45°，∠APM＝90°，∴AP＝PM，設(shè)AP＝x，則PM＝x，PG＝2x，∵AG＝2+6＝x+2x，x＝，∴AM＝x＝．解法三：如圖，過點(diǎn)N作NK⊥AN，交AM于K，過K作KL⊥BC于L，∴∠ANK＝∠B＝∠KLN＝90°，∴∠ANB＝∠KNL，∵∠MAN＝45°，∴△ANK是等腰直角三角形，∴AN＝NK，∴△ABN≌△NLK（AAS），∴NL＝AB＝4，KL＝BN＝2，設(shè)CM＝x，則DM＝4﹣x，∵S梯形ABCM＝2S△ABN+S△ANK+S梯形KLCM，∴×8（x+4）＝2×+×（2）2+（x+2）×（8﹣2﹣4），∴x＝，∴DM＝，由勾股定理得：AM＝＝＝．22．如圖，正方形ABCD中，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE，交邊BC于點(diǎn)F．（1）求證：EA＝EF；（2）寫出線段FC，DE的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（3）若AB＝4，F(xiàn)E＝FC，求DE的長．【答案】（1）證明見解答過程；（2）CF＝DE，證明見解答過程；（3）DE＝2﹣2．【解答】（1）證明：過點(diǎn)E作MN⊥AD于M，交BC于點(diǎn)N，如圖：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD∥BC，AD＝DC，∠ADB＝45°，∵M(jìn)N⊥AD，∴MN⊥BC，∴四邊形NCDM為矩形，∴MN＝CD，∵∠ADB＝45°，MN⊥AD，∴MD＝ME，∴AM＝EN，∵AE⊥EF，∴∠AEM+∠FEN＝90°．∵∠AEM+∠MAE＝90°，∴∠FEN＝∠MAE，∴△AEM≌△EFN（ASA），∴AE＝EF．（2）解：CF＝DE，理由如下：由（1）知△AEM≌△EFN，∠ADB＝45°，∴ME＝FN＝MD，∵四邊形NCDM為矩形，∴CN＝MD，∴CF＝2MD，∵DE＝MD，∴CF＝DE；（3）解：設(shè)DE＝x．由（1）得：FE2＝AE2＝AM2+ME2＝（4﹣x）2+（x）2，由（2）得CF＝DE，∴CF＝x，∵FE＝FC，∴FE2＝FC2，∴（4﹣x）2+（x）2＝（x）2，解方程得：x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（舍去），∴DE＝2﹣2．23．如圖，在正方形中，P是直線CD上的一點(diǎn)，連接BP，過點(diǎn)D作DE⊥BP，交直線BP于點(diǎn)E，連接CE．（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，如圖①，求證：BE﹣DE＝CE；（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線CD上移動(dòng)時(shí)，位置如圖②、圖③所示，線段BE，DE與CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，選擇一個(gè)證明．【答案】（1）證明見解析；（2）如圖②有結(jié)論BE+DE＝CE；如圖③有結(jié)論DE﹣BE＝CE，證明見解析．【解答】（1）證明：在BE上截取MB＝DE，連接CM，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCP＝90°，∵DE⊥BP，∴∠DEP＝90°，∴∠BCP＝∠DEP，∵∠BPC＝∠DPE，∴∠MBC＝∠EDC，在△BMC和△DEC中，，∴△BMC≌△DEC（SAS），∴CM＝CE，∠MCB＝∠ECD，∵∠MCB+∠MCP＝90°，∴∠ECD+∠MCP＝90°，∴△CME是等腰直角三角形，∴ME＝CE，∵M(jìn)E＝BE﹣BM＝BE﹣DE，∴BE﹣DE＝CE；（2）如圖②有結(jié)論BE+DE＝CE；如圖③有結(jié)論DE﹣BE＝CE，選擇如圖②，BE+DE＝CE進(jìn)行證明證明：延長EB到N使BN＝DE，連接CN，∵DE⊥BE，∴∠PED＝90°，∴∠EDC＝∠P+∠PED＝∠P+90°，∵∠CBN＝∠P+∠BCD＝∠P+90°，∴∠CBN＝∠EDC，∵NB＝DE，BC＝CD，在△CBN和△CDE中，，∴△CBN≌△CDE（SAS），∴CN＝CE，∠BCN＝∠ECD，∵∠ECD+∠BCE＝90°，∴∠BCN+∠BCE＝90°，∴△CNE是等腰直角三角形，∴NE＝CE，∵NE＝BE+BN＝BE+DE，∴BE+DE＝CE．24．已知正方形ABCD，點(diǎn)F是射線DC上一動(dòng)點(diǎn)（不與C、D重合），連接AF并延長交直線BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)H，連接CH，過點(diǎn)C作CG⊥HC交AE于點(diǎn)G．（1）若點(diǎn)F在邊CD上，如圖1．①證明：∠DAH＝∠DCH；②猜想線段CG與EF的關(guān)系并說明理由；（2）取DF中點(diǎn)M，連結(jié)MG，若MG＝4，正方形邊長為6，求BE的長．【答案】（1）①證明見解析部分．②結(jié)論：EF＝2CG，證明見解析部分．（2）6+2或6﹣2．【解答】證明：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝DC，在△ADH和△CDH中，，∴△ADH≌△CDH（SAS），∴∠DAH＝∠DCH；②結(jié)論：EF＝2CG，理由如下：∵△DAH≌△DCH，∴∠DAF＝∠DCH，∵CG⊥HC，∴∠FCG+∠DCH＝90°，∴∠FCG+∠DAF＝90°，∵∠DFA+∠DAF＝90°，∠DFA＝∠CFG，∴∠CFG＝∠FCG，∴GF＝GC，∵∠GCE+∠GCF＝90°，∠CFG+∠E＝90°，∴∠GCE＝∠GCF，∴CG＝GE，∴EF＝2CG；（2）①如圖，當(dāng)點(diǎn)F在線段CD上時(shí)，連接DE．∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，∴EG＝GC＝FG，∵FG＝GE，F(xiàn)M＝MD，∴DE＝2MG＝8，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC+CE＝6+2；②如圖，當(dāng)點(diǎn)F在線段DC的延長線上時(shí)，連接DE．同法可知GM是△DEF的中位線，∴DE＝2GM＝8，在Rt△DCE中，CE＝2，∴BE＝BC﹣CE＝6﹣2綜上所述，BE的長為6+2或6﹣2．25．在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD所在直線上，連接BE，以BE為邊，在BE的下方作正方形BEFG，并連接AG．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，AG＝6；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，DE＝2，求AG的長；（3）若AG＝，請(qǐng)直接寫出此時(shí)DE的長．【答案】（1）AG＝6；（2）AG＝4；（3）DE＝或．【解答】解：（1）如圖1，連接CG，∵四邊形ABCD和四邊形EBGF是正方形，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠ABC＝∠BCD＝∠EBG＝∠BDF＝∠ADC＝90°，BD＝BG，∴∠CBG＝45°，∴∠CBG＝∠CBD，∵BC＝BC＝6，∴△CBD≌△CBG（SAS），∴∠BCD＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝BC＝AD＝6，∴G，C，D三點(diǎn)共線，∴AG＝＝＝6，故答案為：6；（2）如圖2，過點(diǎn)G作GK⊥AB，交AB的延長線于K，∴∠K＝∠C＝90°，∠CBK＝∠CBG+∠GBK＝∠ABC＝90°，∵DE＝2，DC＝6，∴CE＝4，∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG＝90°，∠CBG+∠GBK＝90°，∴∠EBC＝∠GBK，∵BE＝BG，∠K＝∠C＝90°，∴△BCE≌△BKG（AAS），∴CE＝KG＝4，BC＝BK＝6，∴AK＝AB+BK＝6+6＝12，由勾股定理得：AG＝＝＝4；（3）分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)E在CD的延長線上時(shí)，如圖3，同理得：△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝6，CE＝KG，∵AG＝，∠K＝90°，∴由勾股定理得：KG＝＝＝，∴CE＝KG＝，而CE＝＜6，此種情況不成立，應(yīng)舍去；②當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上時(shí)，如圖4，同理得：CE＝KG＝＜6，符合題意，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣＝；③當(dāng)點(diǎn)E在DC的延長線上時(shí)，如圖5，同理得CE＝GK＝，∴DE＝DC+CE＝6+＝綜上所述，DE的長是或．26．綜合與實(shí)踐問題情境：如圖①，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBE'（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C）．延長AE交CE'于點(diǎn)F，連接DE．猜想證明：（1）試判斷四邊形BE'FE的形狀，并說明理由；（2）如圖②，若AD＝DE，請(qǐng)猜想線段CF與FE'的數(shù)量關(guān)系并加以證明．【答案】（1）四邊形BE'FE是正方形，理由見解析；（2）CF＝FE′，證明見解析．【解答】解：（1）結(jié)論：四邊形BE'FE是正方形．理由如下：∵△CBE'是由Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的，∴∠CE'B＝∠AEB＝90°，∠EBE'＝90°，又∵∠BEF+∠AEB＝90°，∴∠BEF＝90°，∴四邊形BE'FE是矩形，由旋轉(zhuǎn)可知：BE＝BE'，∴四邊形BE'FE是正方形；（2）結(jié)論：CF＝FE′．證明：如圖②，過點(diǎn)D作DH⊥AE于點(diǎn)H，則∠AHD＝90°，∠DAH+∠ADH＝90°，∵DA＝DE，∴AH＝EH＝AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠DAB＝90°，∴∠DAH+∠EAB＝90°，∴∠ADH＝∠EAB，在△ADH和△BAE中，，∴△ADH≌△BAE（AAS），∴AH＝BE，由旋轉(zhuǎn)可知：AE＝CE'，由（1）可知：四邊形BE'FE是正方形，∴BE＝E'F，∴E'F＝AH＝AE＝CE'，∴CF＝FE′．27．閱讀下面的例題及點(diǎn)撥，并解決問題：如圖①，在等邊△ABC中，M是BC邊上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分線上一點(diǎn)，且AM＝MN．求證：∠AMN＝60°．（1）點(diǎn)撥：如圖②，作∠CBE＝60°，BE與NC的延長線相交于點(diǎn)E，得等邊△BEC，連接EM．易證：△ABM≌△EBM（SAS），請(qǐng)完成剩余證明過程：（2）拓展：如圖③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1邊上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分線上一點(diǎn)，且A1M1＝M1N1．求證：∠A1M1N1＝90°．【答案】（1）證明過程見解答；（2）證明過程見解答．【解答】證明：（1）點(diǎn)撥：如圖2，作∠CBE＝60°，BE與NC的延長線相交于點(diǎn)E，得等邊△BEC，連接EM，易證△ABM≌△EBM（SAS），∴AM＝EM，∠1＝∠2；∵AM＝MN，∴EM＝MN，∴∠3＝∠4；∵∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，∴∠1＝∠2＝∠5．∵∠2+∠6＝120，∴∠5+∠6＝120°，∴∠AMN＝60°；（2）拓展：延長AB至E，使EB＝AB，連接EMC、EC，如圖所示：則EB＝BC，∠EBM中＝90°＝∠ABM，∴△EBC是等腰直角三角形，∴∠BEC＝∠BCE＝45°，∵N是正方形ABCD的外角∠DCH的平分線上一點(diǎn)，∴∠MCN＝90°+45°＝135°，∴∠BCE+∠MCN＝180°，∴E、C、N，三點(diǎn)共線，在△ABM和△EBM中，，∴△ABM≌△EBM（SAS），∴AM＝EM，∠1＝∠2，∵AM＝MN，∴EM＝MN，∴∠3＝∠4，∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°，∴∠1＝∠2＝∠5，∵∠1+∠6＝90°，∴∠5+∠6＝90°，∴∠AMN＝180°﹣90°＝90°．28．如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45度．則有結(jié)論EF＝BE+FD成立；（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF是∠BAD的一半，那么結(jié)論EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)說明理由．（2）若將（1）中的條件改為：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延長BC到點(diǎn)E，延長CD到點(diǎn)F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，則結(jié)論EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）延長CB到G，使BG＝FD，連接AG，∵∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF，∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAE，∴△AEF≌△A