新教材蘇教版高中數(shù)學 選擇性必修第一冊 同步試題 4

4.1數(shù)歹lj

一、單選題

1.已知數(shù)列｛樂｝的前"項和S“=-/+2〃+機，且對任意〃eN*,a““-a,,<0,則實數(shù)機的取值范圍是()

A.(-2,+oo)B.

C.(2,+oo)D.(-℃,2)

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)列為遞減數(shù)列，結(jié)合g與S”的關系即可求解.

【詳解】因為〃e-4,<0,所以數(shù)列｛《,｝為遞減數(shù)列，當“22時，

22

an=S“-S?_,=-n+2〃+，〃-[-("-I)+2(〃-l)+，"]=-2〃+3,

故可知當"22時，｛%｝單調(diào)遞減，

故｛叫為遞減數(shù)列，只需滿足的<4，

因為g=-l,〃]=S]=l+m,

所以—1<1+加，解得m>—2,

.故選:A.

2.已知數(shù)列｛““｝的前〃項和2=/+〃,那么它的通項公式?！?()

A.nB.2nC.2n+lD.n+\

【答案】B

fcit=S],〃=1

【分析】根據(jù)I、c即可求凡.

【詳解】/=B=1+1=2,

a?=s?-sn-i=(H2+n)-[(?-l)2+(H-l)]-2n,(n>2),

當〃=1時，2〃=2=Q],

■■an=2n.

故選：B.

，、1

3.已知數(shù)列｛%｝滿足?！?---=1,若。50=2,則4=()

an+l

A.-1B.vC.-D.2

22

【答案】B

【分析】根據(jù)遞推公式逐項求值發(fā)現(xiàn)周期性，結(jié)合周期性求值.

【詳解】由“”+」-=1，牝。=2得

%

%9=1--^-=1-1==1--^-=1-2=-I,」=1--L=1+1=2=/，

a

5G22a49448

所以數(shù)列｛%｝的周期為3,所以q=49=g.

故選：B

a1

4.在數(shù)列｛。"｝中，q=1，n=-----(?>2,?eN+),則。2023=()

a

2n-\

A.yB.1C.-1D.2

【答案】A

【分析】利用數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列｛對｝的前4項，推導出｛4｝為周期數(shù)列，從而得到的。23的值

l

【詳解】。2=1-■-=l-2=-l,a3=1-=1+1=2,4=1-=-^=7>

aAa2%22

可得數(shù)列｛q｝是以3為周期的周期數(shù)列，陽⑼=。3*674+1=4=3，

故選：A

5.已知數(shù)列｛%｝滿足用。一%)=則出=()

I5

A.—1B.—C.2D.—

22

【答案】C

【分析】根據(jù)題意變形為凡M=1一，再轉(zhuǎn)化為%+2與%+1，?！?3與%+2的關系，

推導出數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，即可計算出結(jié)果.

,,1,I1

IQ?>=1----=1-------=-----

【詳解】由題意得。,川=1-一，所以2a向1_±l-a?,

久明

=1__L=1__J_=a

｛｝

所以*+3-an+2~1一一%,所以數(shù)列4是周期為3的周期數(shù)列，

所以%=%=-1,所以出=1---=2.

a\

故選：c

6.已知數(shù)列SJ滿足卬=黑,％”2022r,?eN\則下列結(jié)論成立的是（）

2023

A.a2021V%022<^2020

B?。2022<^2021<a2020

C?〃202l<“2020<“2022D.〃2020<〃2021Va2022

【答案】A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷/＜/＜（＜出，即可猜想數(shù)列｛外｝的奇數(shù)項遞增，偶數(shù)項遞減，且奇數(shù)

項小于偶數(shù)項，再證明即可，從而可得答案.

【詳解】因為卬=翳“2022

,〃￡N，

2023

2022

2022評2022

所以出2023J

2023

2022

因為指數(shù)函數(shù)歹=單調(diào)遞減,

2023

2022

20222022W,

所以<——<1'

20232023

2022

2022(2022.

K2023)

所以(2022202320222022

>

U02320232023

所以〃2>〃3>%，

20222022%2022

所以<<，所以。3＜%＜。2，

202320232023

所以/＜4＜。2，

由此可猜想數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項遞增，偶數(shù)項遞減，且奇數(shù)項小于偶數(shù)項,

20222022

因為。同，當〃N2時，a

2023n2023

2022

所以2023J

一,an.,.、i2022

所以(?>2),

an2023

因為“<。2，所以卜1色<0,所以。3<%，

進而可得。4>的，

>a

以此類推可得%I>%且%I2k+l，

2022%一%

因為當〃23時,

a?l2023j2023

a

?1n+\/、12022

所以In—=(??-a?-2)ln——(?>3),

%2023

由。3>《，得In幺<0,即為<%，

a2

由。3<%，得延<%，

以此類推｛%/單調(diào)遞減，

所以。2022<a2020>

所以“2021<。2022<“2020,

故選:A.

7.已知數(shù)列出｝滿足q=1,4=3,凡=a“T+a“+i("€N",〃22),則“2022=()

A.-2B.1C.4043D.4044

【答案】A

【分析】由遞推式得到a,,,2=-a.T,從而得到4+6=。"，由此再結(jié)合即可求得。2022的值.

【詳解】由%=%+%得％+1=?！??！?2，

兩式相加得/2=.即?！?3=~a?，故%+6=%，

所以。2。22=%=-?3=一(02-%)=-2.

故選：A.

8.已知數(shù)列｛%｝的前"項和S,=-2/+l,則這個數(shù)列的通項公式為()

A.an--4〃+2B.=-3勿+2

八f-1,^=1,[T〃=L

C?4——D?。〃=仁）

[-4n4-2./1>2[3/?+2,?>2

【答案】C

[S.,w=1

【分析】已知和求通項公式：?！?;c、）進行計算.

【詳解】當"=1時，％=S[=-2+1=-1;

2

當〃22時，an=Sn-Sn_t=-2H+l+2（n-l）'-1=-4〃+2;

故選：C

二、多選題

9.已知數(shù)列｛叫的通項公式為絲優(yōu)，則下列正確的是()

為偶數(shù)

A.%=19B.%>%C.S5=22D.Sh>

【答案】BC

【分析】根據(jù)通項公式即可作出判斷.

【詳解】對于A,6是偶數(shù)，則4=2-12=70,A錯誤：

對于B,%=22>6，B正確；

對于C,55=4+(-2)+10+(-6)+16=22,C正確;

對于D,S6=55+a6=12,Sg=56+a7+a8=12+22+(—14)=20,

S6<Ss,D錯誤.

故選：BC.

10.下列數(shù)列｛為｝是單調(diào)遞增數(shù)列的有()

2

A.an=n-3/7+1B.an|

.n

C.a=n+—D.a=In---

nnn〃+1

【答案】BD

【分析】利用a?+i-a?驗證各選項即可.

【詳解】因為"€N,

選項A：。什|-a“=（“+1）。-3（"+l）+l-〃2+3〃-1=2〃-220,所以。2-勾=0，-3"+1不是單調(diào)遞

增數(shù)列；

選項B：a川一％=—（；）〃"+《J=《『〉o,所以*=—（；）”是單調(diào)遞增數(shù)列；

選項c：n〃=〃+i+-^7-〃-2=（"+：）（：J,所以生一4二。，4=〃+2不是單調(diào)遞增數(shù)列：

714-1nn（n+1）n

1

選項D：a?+l-a?=ln-^1-In—=Infx-^1=Inf1+'■,；>l>（,所以?！?In-J是單調(diào)遞增數(shù)列；

a+2w+1I”+2n）Ifl+2nJn+\

故選：BD

11.意大利數(shù)學家列昂納多?斐波那契提出的“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,

在現(xiàn)代生物及化學等領域有著廣泛的應用，它可以表述為數(shù)列｛《,｝滿足4=%=1，4+2=ae+a"（〃eN+）.若

此數(shù)列各項被3除后的余數(shù)構成一個新數(shù)列也｝,記也｝的前〃項和為S“，則以下結(jié)論正確的是（）

A.&9一〃川=°B.S“+IO=S,,+2+9

C.8叱=2D.S2022=2696

【答案】ABC

【分析】根據(jù)數(shù)列｛4｝可得出數(shù)列｛"｝是以8為周期的周期數(shù)列，依次分析即可判斷.

【詳解】:數(shù)列］“｝為列1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233...,

被3除后的余數(shù)構成一個新數(shù)列｛"｝,

???數(shù)列也｝為1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,

觀察可得數(shù)列｛"｝是以8為周期的周期數(shù)列，故4+9-6向=0,A正確；

且4+%+-+%=9,故s“+io=S.+2+2+3+。+4+…+4+10=Sll+2+9,B正確；

%>22=源252+6=°6=2,C正確;

貝M2｝的前2022項和為邑。22=252*9+1+1+2+0+2+2=2276,D錯誤.

故選：ABC

12.已知5.是｛氏｝的前〃項和4=2,〃22,〃eN*,則下列選項錯誤的是()

an-\

A.出021=2B.52021=1012

C.%"%"+臼2=1D.｛4｝是以3為周期的周期數(shù)列

【答案】AC

【分析】推導出a“+3=a“(〃wN*),利用數(shù)列的周期性可判斷各選項的正誤.

【詳解】因為6=2,?！?1--—^>2),則生=1-'=1,=1--=-1,%=1-'=2=《，

%a,2a2a｝

以此類推可知，對任意的“eN”,%+3=%，D選項正確；

?2O2I=?3x673+2=&=:，'選項錯誤；

,31

S，o2i=673(q+4,++q+%=673x—+24-^=101/,B選項正確；

。3”,。3”+「。3”+2==T，C選項錯誤.

故選：AC.

三、填空題

13.如下表定義函數(shù)/'(X)：

X12345

/(X)54312

對于數(shù)列｛4“｝,4=4,%=/(%),n=2,3,4,則面)19的值是.

【答案】5

【分析】先根據(jù)a“=f(a,i)求出前幾項，得出周期，利用周期性求解.

【詳解】根據(jù)題意見=1，。3=5,%=2,雙=4，

所以周期為4,而2019=4x504+3,所以02019="3=5

故答案為：5

2〃+1

14.數(shù)列口｝滿足q=1,—=(/?GN*,/7>2),貝lj%=

2/7-1

2〃+1

【答案】

3

【分析】利用累乘法求得正確答案.

［詳解］an-a\'—■—??…—

_572n+12n+1

f5*2),

_I?"2n-\3

4=1也符合上式,

2〃+1

所以％

3

2/7+1

故答案為:

3

15.已知數(shù)列｛%｝前〃項和S〃滿足lg(S“—1)=〃，則%=.

【答案】

9xlOn->>2

I,〃=1

【分析】先利用對數(shù)運算得到S〃=io〃+1,進而利用%二'&>0求出答案.

-Sn_{,n>2

【詳解】因為lg(S“-l)=〃，所以S“=10"+1,

當”=1時，<?!=5,=10+1=11,

當〃22時，%=S“-S“=10"+1-10"T-1=9X10"T,

因為9xl()i=9H11,

_\\\,n=\

故"j9xl0,,-',n>2

故答案為：［9X10"T,"22

16.已知S〃是數(shù)列｛助｝的前〃項和.若Sn=2%貝lj'=

【答案】2

【分析】根據(jù)5尸452=%+%求解即可?

【詳解】解：：Sn=2n,

■?%=E=2,q+的=$2=4,

a2=2,

故答案為：2.

四、解答題

17.已知S“是數(shù)列｛對｝的前〃項和，5sli=”(〃+4)

(1)求｛?！埃耐椆?

(2)設。=卬,求數(shù)列｛2｝的前10項和，其中國表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]=0,[2.6]=2.

【答案】(1)4=竽

(2)24

【分析】(1)先求為,利用5S“=〃(〃+4)和%=S,「S,i可求通項公式；

(2)先求"=今3,根據(jù)〃的取值逐個求解"，然后求和可得答案.

(1)

:5S1=5,/.4=1；

,/5S“=〃(〃+4),/.5s.i=(”-1)(”+3)(〃*2)

兩式相減可得〃〃=2F522),又6=1,???〃〃=箋2.

(2)

2/7+3

由(1)知:

5

所以當”=1,2,3時，14々乎<2,此時"=1：

當"=4,5時，2<^—<3,此時a=2；

當”=6,7,8時，34出手<4,此時4=3；

當〃=9,10時，4(亭^<5,此時a=4,

所以數(shù)列也,｝的前10項和為1x3+2x2+3x3+4x2=24.

18.已知數(shù)列｛/｝滿足％+2%+3%+…+〃4,=5"，求｛《,｝的通項公式.

【答案】

n

【分析】利用項與前〃項和的關系即得.

【詳解】對任意的q+2a2+34+…+=5〃,

當〃=1時，則4=5,

當〃22時，由4+24+3。3+…=5〃，可得q+2%+…+(〃-I)。,-二5(〃-1),

上述兩個等式作差可得〃牝=5,

5

???勺=一，

n

q=5滿足?=-,

n

因此，對任意的〃eN",.

n

19.寫出下列數(shù)列的前10項，并作出它們的圖象.

(1)當自變量x依次取1,2,3,…時,函數(shù)/(x)=2x+l的值構成的數(shù)歹支叫；

⑵數(shù)列｛叫的通項公式為〃=2"小心

【答案】(1)3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,圖見解析

(2)2,3,2,5,2,7,2,9,2,11,圖見解析

【分析】(1)將自變量依次取值代入函數(shù)解析式可得各項的值，然后描點作圖即可；

(2)分〃是奇數(shù)還是偶數(shù)代入相應通項公式計算可得各項的值，然后描點作圖即可.

(1)

依次將x的值代入函數(shù)/(x)=2x+l,可得數(shù)列的前10項依次為：

3,5,7,9,II,13,15,17,19,21,圖象如下:

25-

21

20.19?

zu17?

15?

15-13?

11?

-0-7”

5?

5-3?

O246810~

(2)

..J2,〃=2左入N+

a

?"[n+1,/2=2A-+1,A:eN+'

，數(shù)列的前10項依次為2,3,2,5,2,7,2,9,2,IL圖象如下:

20.已知數(shù)列｛叫的前〃項和為S“=2"-%M=1.求數(shù)列｛4｝的通項公式.

【答案】勺=2"‘

［分析】根據(jù)a“=S?-Si(〃22)求出n>2時的通項%，由此求數(shù)列｛%｝的通項公式.

【詳解】由S“=2"T得:S〃T=2"T_"(〃22),

相減得。"=2"-’(〃22),

當”=1時，q=1=2一也滿足上式，

??.a—"，

所以數(shù)列｛??｝的通項公式為%=2"L

21.寫出下列數(shù)列的一個通項公式.

小?111

⑴F‘而‘一口病’…：

,^22-l32-l42-l52-l

2，3，4，5，…；

【答案】（1）（一1）”,/[八（答案不唯一）

（2）（〃+1）T（答案不唯一）.

n+1

【分析】（1）（2）根據(jù)數(shù)列前幾項找到規(guī)律，從而得到數(shù)列的符合題意的一個通項公式.

【詳解】（1）解：由一丁工，」，…，可知奇數(shù)項為負數(shù)，偶數(shù)項為正數(shù)，分子均為1，

1x22x33x44x5

且分母為序號與其后一個數(shù)之積，

故該數(shù)列的通項公式可以為（T）''（答案不唯一）.

（2）解：由一，—，趣，出，…，

2345

可得該數(shù)列的一個通項公式為+（答案不唯一）.

n+1

22.函數(shù)/（x）的定義域為。，若與€。，滿足/（%）=%,則稱5為/（x）的不動點.已知函數(shù)

[3-3x,0<x<1

/?=,,”，g（x）=/（/（x））

[log3x,l<x<3

（1）試判斷g（x）不動點的個數(shù)，并給予證明；

（2）若“玉w（）q）,g（X）—I>log3（l+x）+log3（x+%）”是真命題，求實數(shù)人的取值范圍.

【答案】（1）3個，證明見解析；（2）（一|，1）

22

【分析】（1）分04x<]、§4x41、I<x43三種情況，利用g（x）=x構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可得

答案；

（2）解法I：轉(zhuǎn)化為」og3尸>log3（k+x）成立，解不等式組=>+%,再由左>-]可得答

5）1+XJ3

L'A[x+A>0

案；

—x2A1—x

解法2：轉(zhuǎn)化為上仁0,二Jogs->k）g3（左+x）成立，等價于上e0,-,使產(chǎn)〉《成立，構造函數(shù)

_3）l+xL3）1+x

2

y=-——（i+x）,并利用函數(shù)的單調(diào)性，由VM>上可得答案.

1+X

【詳解】（1）g（x）=/（/?）,

2

gO<x<-,貝Ijl<3-3x43,所以g(x)=log3(3-3x),

由g(x)=x得log?(3-3x)=x,即1+log3(l-x)=x,

因為y=-iog3(i-x)在0,|)是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以函數(shù)例x)=x-log3(l-x)-l在o,|)是單調(diào)遞增的，

"(0)=-l(o,〃(；)=g-log3(l=；+log?2-1=logs^^>0>

所以Mx)在0,g)內(nèi)存在唯一零點；

2

若^4x41,則043-3x41,所以g(x)=3-3(3-3x)=9x-6,

由8。)=》得9尤-6=x解得x=：；

若I<x43,則0<log3x41,所以g(x)=3-31og3X,

由8（*）=》得3-31083》=》；因為夕（x）=x+31og3X-3在（1,3］是單調(diào)遞增的,

(414514

p(3)=3>0,^lyI=31og3---=logj64-y<0,

所以夕(x)=x+3log3X-3在。,3]內(nèi)有唯一零點；

綜上所述，g(x)有3個不動點.

(2)由(1)可知，當xe0,1^,g(x)=/(/(X))=log