高中數(shù)學(xué)講義微69 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

微專題69直線與圓錐曲線位置關(guān)系

一、基礎(chǔ)知識(shí)：

（-）直線與橢圓位置關(guān)系

1、直線與橢圓位置關(guān)系：相交（兩個(gè)公共點(diǎn)），相切（一個(gè)公共點(diǎn)），相離（無公共點(diǎn)）

2、直線與橢圓位置關(guān)系的判定步驟：通過方程根的個(gè)數(shù)進(jìn)行判定，

22

下面以直線丁=履+加和橢圓：++2=l（a>8>0）為例

y=kx+m

（1）聯(lián)立直線與橢圓方程：，，,,,,

b2x^+a2y2=a2b2

（2）確定主變量x（或y）并通過直線方程消去另一變量y（或x）,代入橢圓方程得到關(guān)

于主變量的一元二次方程：b2x2+a2（kx+m^a2b2,整理可得：

（a1/+/?2）x2+2a2kxm+erm1-a2b2=0

（3）通過計(jì)算判別式A的符號(hào)判斷方程根的個(gè)數(shù)，從而判定直線與橢圓的位置關(guān)系

①A>0=方程有兩個(gè)不同實(shí)根=直線與橢圓相交

②A=0=方程有兩個(gè)相同實(shí)根=直線與橢圓相切

③A<0=方程沒有實(shí)根=直線與橢圓相離

3、若直線上的某點(diǎn)位于橢圓內(nèi)部，則該直線一定與橢圓相交

（-）直線與雙曲線位置關(guān)系

1、直線與雙曲線位置關(guān)系，相交，相切，相離

2、直線與雙曲線位置關(guān)系的判定：與橢圓相同，可通過方程根的個(gè)數(shù)進(jìn)行判定

22

以直線y=丘+加和橢圓：3■-二=1（。>人>0）為例：

ab~

y=kx+m

（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程：1,,,,,,,消元代入后可得：

"―a2y2=/〃

{b1-erIc^x1-lerkxm-+a2b2）=0

（2）與橢圓不同，在橢圓中，因?yàn)?%2+6>0,所以消元后的方程一定是二次方程，但雙

曲線中，消元后的方程二次項(xiàng)系數(shù)為6-。2/，有可能為零。所以要分情況進(jìn)行討論

當(dāng)。2—"公二0二攵二土幺且加時(shí)，方程變?yōu)橐淮畏匠?，有一個(gè)根。此時(shí)直線與雙曲線

a

相交，只有一個(gè)公共點(diǎn)

當(dāng)"一/公〉。0—時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為一(a2M+a2b2)<0,所以△>()恒成立，此

時(shí)直線與雙曲線相交

當(dāng)后一〃左2<0=%>2或％<一2時(shí)，直線與雙曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)需要用△判斷：

aa

①A>0=方程有兩個(gè)不同實(shí)根n直線與雙曲線相交

②△=()=方程有兩個(gè)相同實(shí)根=直線與雙曲線相切

③A<0=方程沒有實(shí)根=直線與雙曲線相離

注：對(duì)于直線與雙曲線的位置關(guān)系，不能簡單的憑公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判定位置。尤其是直線與

雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，如果是通過一次方程解出，則為相交；如果是通過二次方程解出相

同的根，則為相切

(3)直線與雙曲線交點(diǎn)的位置判定：因?yàn)殡p曲線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍為(-8,-司U[a,+8)，

所以通過橫坐標(biāo)的符號(hào)即可判斷交點(diǎn)位于哪一支上：當(dāng)xNa時(shí)，點(diǎn)位于雙曲線的右支；當(dāng)

xWa時(shí)，點(diǎn)位于雙曲線的左支。對(duì)于方程：

僅2-〃2%2卜2^2a1kxm-(a1nr+crb1)=0,設(shè)兩個(gè)根為不，馬

①當(dāng)/一/公>0=>—2<%<2時(shí)，則中2=>7+”<0，所以王,々異號(hào)，即交

aab-ak

點(diǎn)分別位于雙曲線的左，右支

②當(dāng)/-a2k2<0=>左>2或％<―,且A>0時(shí)，xx=？+,?>0,所以西,々

aa[2-b-crk-

同號(hào)，即交點(diǎn)位于同一支上

(4)直線與雙曲線位置關(guān)系的幾何解釋：通過(2)可發(fā)現(xiàn)直線與雙曲線的位置關(guān)系與直線

b

的斜率相關(guān)，其分界點(diǎn)土一剛好與雙曲線的漸近線斜率相同。所以可通過數(shù)形結(jié)合得到位置關(guān)

a

系的判定

b

①％=±—且加工0時(shí)，此時(shí)直線與漸近線平行，可視為漸近線進(jìn)行平移，則在平移過程中

a

與雙曲線的一支相交的同時(shí)，也在遠(yuǎn)離雙曲線的另一支，所以只有一個(gè)交點(diǎn)

bh

②--<%<—時(shí)，直線的斜率介于兩條漸近線斜率之中，通過圖像可得無論如何平移直線，

aa

直線均與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)分別位于雙曲線的左，右支上。

③6一"公<0=左〉2或女<—2時(shí)，此時(shí)直線比漸近線“更陡”，通過平移觀察可得：

aa

直線不一定與雙曲線有公共點(diǎn)（與△的符號(hào)對(duì)應(yīng)），可能相離，相切，相交，如果相交則交點(diǎn)

位于雙曲線同一支上。

（三）直線與拋物線位置關(guān)系：相交，相切，相離

1、位置關(guān)系的判定：以直線丁=履+機(jī)和拋物線：y2=2px（p>o）為例

y=kx+m,、2

聯(lián)立方程：=>（kx+my=2px,整理后可得：

?=2px

lcx+（2km—2p^x+rrr=0

（1）當(dāng)％=0時(shí)，此時(shí)方程為關(guān)于x的一次方程，所以有一個(gè)實(shí)根。此時(shí)直線為水平線，與

拋物線相交

（2）當(dāng)上。0時(shí)，則方程為關(guān)于x的二次方程，可通過判別式進(jìn)行判定

①A>0=方程有兩個(gè)不同實(shí)根=直線與拋物線相交

②A=0=方程有兩個(gè)相同實(shí)根=直線與拋物線相切

③A<0=方程沒有實(shí)根n直線與拋物線相離

2、焦點(diǎn)弦問題：設(shè)拋物線方程：y2=2px,

過焦點(diǎn)的直線=—（斜率存在且攵。0）,對(duì)應(yīng)傾斜角為。，與拋物線交于

A(XQI),3(孫必)

y2=2Px2

聯(lián)立方程：(公X-R=2整理可得:

V2/

j22

k2x2-(k2P+2/?卜+_j=0

P2

(1)X,*x2=—M%=_p

k2p+2p2k?p+2P_(11

⑵\AB\=x^x+p=―-—+〃=——-——=2/?1+—

]2KKyKJ

⑶山。8=，“網(wǎng)=；.（|0小叫.|4叫=；.勺

（四）圓錐曲線問題的解決思路與常用公式：

1、直線與圓錐曲線問題的特點(diǎn)：

（1）題目貫穿一至兩個(gè)核心變量（其余變量均為配角，早晚利用條件消掉），

（2）條件與直線和曲線的交點(diǎn)相關(guān)，所以可設(shè)至于A3坐標(biāo)是否需要

解出，則看題目中的條件，以及坐標(biāo)的形式是否復(fù)雜

（3）通過聯(lián)立方程消元，可得到關(guān)于x（或y）的二次方程，如果所求的問題與兩根的和或

乘積有關(guān)，則可利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體代入，從而不需求出玉（所謂“設(shè)而不求”）

（4）有些題目會(huì)涉及到幾何條件向解析語言的轉(zhuǎn)換，注重?cái)?shù)形幾何，注重整體代入?則可簡

化運(yùn)算的過程

這幾點(diǎn)歸納起來就是“以一個(gè)（或兩個(gè)）核心變量為中心，以交點(diǎn)為

兩個(gè)基本點(diǎn)，堅(jiān)持韋達(dá)定理四個(gè)基本公式（%+々，尤1%，乂+%，乂%，堅(jiān)持?jǐn)?shù)形結(jié)合，堅(jiān)持

整體代入。直至解決解析幾何問題“

2、韋達(dá)定理：是用二次方程的系數(shù)運(yùn)算來表示兩個(gè)根的和與乘積，在解析幾何中得到廣泛使

用的原因主要有兩個(gè)：一是聯(lián)立方程消元后的二次方程通常含有參數(shù)，進(jìn)而導(dǎo)致直接利用求

根公式計(jì)算出來的實(shí)根形式非常復(fù)雜，難以參與后面的運(yùn)算；二是解析幾何的一些問題或是

步驟經(jīng)常與兩個(gè)根的和與差產(chǎn)生聯(lián)系。進(jìn)而在思路上就想利用韋達(dá)定理，繞開繁雜的求根結(jié)

果，通過整體代入的方式得到答案。所以說，解析幾何中韋達(dá)定理的應(yīng)用本質(zhì)上是整體代入

的思想，并不是每一道解析題必備的良方。如果二次方程的根易于表示（優(yōu)先求點(diǎn)，以應(yīng)對(duì)

更復(fù)雜的運(yùn)算），或者所求的問題與兩根和，乘積無關(guān)，則韋達(dá)定理毫無用武之地。

3、直線方程的形式：直線的方程可設(shè)為兩種形式：

（1）斜截式：y=kx+m,此直線不能表示豎直線。聯(lián)立方程如果消去y則此形式比較好用，

且斜率在直線方程中能夠體現(xiàn)，在用斜截式解決問題時(shí)要注意檢驗(yàn)斜率不存在的直線是否符

合條件

（2）x^my+b,此直線不能表示水平線，但可以表示斜率不存在的直線。經(jīng)常在聯(lián)立方程

后消去X時(shí)使用，多用于拋物線＞2=2px（消元后的二次方程形式簡單）。此直線不能直接體

現(xiàn)斜率，當(dāng)加。0時(shí)，斜率&=-!-

m

4、弦長公式：（已知直線上的兩點(diǎn)距離）設(shè)直線/:丁=依+機(jī)，/上兩點(diǎn)4（不凹）,6（々,%），

所以=淳上一百或

V=IcX+"2

（1）證明：因?yàn)?（%,%）,5（9,必）在直線/上，所以＜_]+

??.M=ja—々）2+（%一%）2，代入卜"=1+”可得：

[y2=kx2+m

\AB\=J（X[-%2）-+[（依I+加）一（仇+加）丁=J（X|-工2）一+-%2）丁

——yJi+k~J（X]-“2I——Jl+%一-X-,|

同理可證得網(wǎng)=i+臼僅「%|

（2）弦長公式的適用范圍為直線上的任意兩點(diǎn)，但如果A8為直線與曲線的交點(diǎn)（即A8為

曲線上的弦），則國―々I（或|y—必|）可進(jìn)行變形：

|xt-々|=加|-々）2=]（丁+々）2-4中2，從而可用方程的韋達(dá)定理進(jìn)行整體代入。

5、點(diǎn)差法：這是處理圓錐曲線問題的一種特殊方法，適用于所有圓錐曲線。不妨以橢圓方程

22

土r+；=l（a＞b＞0）為例，設(shè)直線y=履+/〃與橢圓交于4（石,乂）,8（冷%）兩點(diǎn)，則該

兩點(diǎn)滿足橢圓方程，有：

靛十瓦」

*

22

工2*%_]

序+*1

考慮兩個(gè)方程左右分別作差，并利用平方差公式進(jìn)行分解，則可得到兩個(gè)量之間的聯(lián)系：

*（X；—/）+"（才-及）=。①

=＞《（％—/）（藥+/）+，（y-%）（y+%）=。

由等式可知：其中直線AB的斜率女=2二2，A3中點(diǎn)的坐標(biāo)為（土土上,入土

再-々I22）

這些要素均在②式中有所體現(xiàn)。所以通過“點(diǎn)差法”可得到關(guān)于直線AB的斜率與A3中點(diǎn)的

聯(lián)系，從而能夠處理涉及到弦與中點(diǎn)問題時(shí)。同時(shí)由①可得在涉及A8坐標(biāo)的平方差問題中

也可使用點(diǎn)差法。

二、典型例題

22

例1:不論上為何值，直線丁=履+1與橢圓土+上~=1有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是

7m

（）

A.（0,1）B.[1,4W）C.[1,7）U（7,4W）D.（0,7）

思路一：可通過聯(lián)立方程，消去變量（如消去y）,得到關(guān)于x的二次方程，因?yàn)橹本€與橢圓

有公共點(diǎn)，所以A20在xeR恒成立，從而將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，解出〃？即可

解：廣，，=肛2+7（區(qū)+1）-=7/〃，整理可得：

mx~+7y-=Im

（〃2+7爐）%24-14^x+7-7m=0

△=（14Z『一4（m+7^）（7-7m）>0

即一1+，〃+Ik1>0=>/77>-Ik2+1

.-./n>（-7^2+l）=1

\/max

.：m手]mG[1,7）U（7,-HX））

思路二：從所給含參直線）=日+1入手可知直線過定點(diǎn)（0,1）,所以若過定點(diǎn)的直線均與橢

r*丫2

圓有公共點(diǎn)，則該點(diǎn)位于橢圓的內(nèi)部或橢圓上，所以代入（0,1）后一+L41,即

<1=>zn>1,因?yàn)槭菣E圓，所以相07,故加的取值范圍是[1,7）U（7,+8）

m~

答案：C

小煉有話說：（1）比較兩種思路，第一種思路比較傳統(tǒng)，通過根的個(gè)數(shù)來確定直線與橢圓位

置關(guān)系，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題求解；第二種思路是抓住點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系的

特點(diǎn)，即若點(diǎn)在封閉曲線內(nèi)，則過該點(diǎn)的直線必與橢圓相交，從而以定點(diǎn)為突破口巧妙解決

問題。在思路二中，從含參直線能發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)是關(guān)鍵

（2）本題還要注意細(xì)節(jié)，橢圓方程中爐,>2的系數(shù)不同，所以加

22

例2：已知雙曲線二-2-=1的右焦點(diǎn)為口，若過點(diǎn)尸的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)

124

交點(diǎn)，則此直線斜率的取值范圍是（）

A.,烏且]B.（-V3,V3）C.卜烏當(dāng)D.[-73,73]

（33J_33_

思路：由'-一匕=1可得漸近線方程為：y=+—x,若過右焦點(diǎn)的直線與右支只有一個(gè)交

1243

點(diǎn)，則直線的斜率的絕對(duì)值小于或等于漸近線斜率的絕對(duì)值，即閡<—=>----<k<—

11333

答案：C

小煉有話說：本題是利用“基礎(chǔ)知識(shí)”的結(jié)論直接得到的答案，代數(shù)的推理如下：

22

由^—5-=1可知網(wǎng)4,0）,設(shè)直線/:y=Mx—4）,聯(lián)立方程可得：

X2-3/=1222,、2

,、=>/_3%2目_4）~=12,整理后可得：

=4）（）

（1-3〃）J+24左2》一（48公+12）=0

當(dāng)1—3攵2=0=>上=±正時(shí)，8X-28=0=X=N,即位于雙曲線右支，符合題意

32

當(dāng)1—3代70時(shí)，△=（24/丫一4（1一3/）.[—（486+12）]=48（Z?+1）>0

直線與雙曲線必有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)為（*1,凹）,（々,必）

因?yàn)橹本€與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)

八“48二+12八

x.x<0,即----------<0

13-1-3^2

3/一1<0=-3<%<3

33

綜上所述：

33

例3：已知拋物線。的方程為V=萬戶過點(diǎn)A（O,—1）和點(diǎn)3?,3）的直線與拋物線。沒有公

共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)f的取值范圍是（

A.(-oo,-l)U(t+℃)

—oo,-2V24-oo—oo,—>/2jU(V2,+oo

思路：由A,8兩點(diǎn)可確定直線AB的方程（含r）,再通過與拋物線方程聯(lián)立，利用△＜（）即

可得到關(guān)于/的不等式，從而解得，的范圍

解：若，=0,則直線AB:x=0與拋物線有公共點(diǎn)，不符題意

44

若，。0,則心8=7AB:y=-x-l,與橢圓聯(lián)立方程:

2tx2-4x+t=0?.?直線與拋物線無公共點(diǎn)

.?.△=16-8/＜0=，〉&或，＜-垃

答案：D

例4：過雙曲線21=1的右焦點(diǎn)廠作直線/交雙曲線于4,8兩點(diǎn)，若實(shí)數(shù)2使得

2

的直線恰有3條，則;1=

思路：由雙曲線方程可知產(chǎn)（8,0）,當(dāng)/斜率不存在時(shí)，可知|AB|為通徑，計(jì)算可得：

\AB\=4,當(dāng)/斜率存在時(shí)，設(shè)直線/:y=A（x—6）,與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式可得

I,4（1+42）4（1+%2）2Z-4

―/為關(guān)于左的表達(dá)式，即—__7^=2,可解得：公=------或

11|2—巧R—巧2+4

左2=2"+4"若2^_）=0或2/+4=0,即％=±2時(shí)，可得攵=0,僅有一解，不符題

2-42+42-4

22-422+4

意。若------#0且-------#0,則每個(gè)方程只能無解或兩解。所以可知當(dāng)；1=4時(shí)，方程

2+42-4

有兩解，再結(jié)合斜率不存在的情況，共有3解。符合題意，所以；1=4

2

解：由雙曲線/一y=1可得。=1/=夜,C=6.-.F（V3,0）,

2/?2

當(dāng)A8斜率不存在時(shí)，/的方程為x=6.?.AB為通徑，即|4卻=——=4

若直線/斜率存在，不妨設(shè)為Z

則設(shè)/：y=—4（芯,必）,3（為2，%）

2尤2一丁=2

=2,整理可得:

聯(lián)立直線與橢圓方程:消去y可得:

y—%卜-百）

（2—公+2辰x—（3公+2）=0

A=（2叔2）2+4（2-二）"2+2）=16公+16

64（1+燈

二|A3|="+公民-x|=Jl+%2

2叼“一丁

22-4,22+4

可得:式」或公①

e2+42-4

22-4

當(dāng)‘一=0時(shí)，即2=2,則方程①的解為女=0,只有一解，不符題意

2+4

同理，當(dāng)歸心=0,即％=—2,則方程①的解為攵=0,只有一解，不符題意

2-4

當(dāng)工2!2」-4#0且22+4時(shí)，則每個(gè)方程的解為0個(gè)或兩個(gè)，總和無法達(dá)到3個(gè)，不符題

2+42-4

意

所以若|4同=4的直線恰有3條，只能2=4,方程①解得：k=±q

：.滿足條件的直線A8的方程為：x=3,y=m（x-J5）,y=-^-（x-V3）

答案：2=4

22

例5：已知橢圓亍+《=1,則當(dāng)在此橢圓上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線y=4x+/〃對(duì)稱，則加

的取值范圍是（）

A.-叵晅B.."m巫

13131313

c.-------<m<------

13131313

2玉）=2+*2..

思路：設(shè)橢圓上兩點(diǎn)4（項(xiàng)，%）,6（々,%），中點(diǎn)坐標(biāo)為（玉），%），則有,c，由中

2%=月+%

；：：2l：n3（x；7；）+4（y”￡）=。，變形可得:

點(diǎn)問題想到點(diǎn)差法，則有，

DX2十'y^2—1乙

3（石一工2）（%1+%2）+4（'一%）（乂+M）=0①由對(duì)稱關(guān)系和對(duì)稱軸方程可得，直線AB

的斜率&=——=—~,所以方程①轉(zhuǎn)化為：6%+8%?On%=3玉），由對(duì)稱

4x}-x2

x=-m

性可知中點(diǎn)（%,%）在對(duì)稱軸上，所以有y（）=4玉）+加，所以解得：-n,依題

y0=一3機(jī)

意可得：點(diǎn)（%，%）必在橢圓內(nèi)，所以有3x；+4y：<12,代入可得：

2V132V13

3（-W）2+4（-3W）2<12,解得:--------<m<-------

1313

答案：D

例6：過點(diǎn)M（—2,0）的直線加與橢圓萬+y2=i交于匕鳥兩點(diǎn)，線段［6的中點(diǎn)為P,設(shè)

直線m的斜率為4（女產(chǎn)0），直線OP的斜率為k2,則堆2的值為（）

1

A.2B.-2C.一D

2-4

思路一：已知，〃與橢圓交于4，鳥兩個(gè)基本點(diǎn)，從而設(shè)6（x，x）,上（工2，%），可知

X+%2X+>2

P,即k,=」+,從結(jié)構(gòu)上可聯(lián)想到韋達(dá)定理，設(shè)m：y=4（x+2）,

22玉+W

9

廠?2_]

+5

聯(lián)立橢圓方程：~2-=>（26+1卜2+86m+8公_2=0,可得：

y=K（x+2）

8左24k1

+“一寺’所以,+%=6+%）+他=「'則八一需‘即

思路二：線段68為橢圓的弦，且問題圍繞著弦中點(diǎn)P展開，在圓錐曲線中處理弦中點(diǎn)問題

可用“點(diǎn)差法”，設(shè)1（2,凹）,￡（々，必），則有1、,兩式作差，可得：

5卜；一只）+（必2—￡）=0=>萬（王一》2）（2+%）+（M一%）（必+乂）=°，發(fā)現(xiàn)等式中

出現(xiàn)與中點(diǎn)和耳月斜率相關(guān)的要素，其中尸（土衛(wèi)，X+y?],所以k,=X+%,且

I22）+x2

仁二%一%,所以等式化為=0即工+攵潑2=0，所以左他=_，

x,-x22（為一％2）（玉+々）22

答案：D

小煉有話說：兩類問題適用于點(diǎn)差法，都是圍繞著點(diǎn)差后式子出現(xiàn)平方差的特點(diǎn)。

（1）涉及弦中點(diǎn)的問題，此時(shí)點(diǎn)差之后利用平方差進(jìn)行因式分解可得到中點(diǎn)坐標(biāo)與直線斜率

的聯(lián)系

（2）涉及到運(yùn)用兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)平方差的條件，也可使用點(diǎn)差法

例7：己知點(diǎn)A（l,2）在拋物線C:：/=4x上，過點(diǎn)A作兩條直線分別交拋物線于點(diǎn)力,E,

直線AZ>,AE的斜率分別為心小心E，若直線OE過點(diǎn)P（—1,—2）,則須"MAE=（）

A.4B.3C.2D.1

思路：設(shè)。（X2J,E（9,必），進(jìn)而所求號(hào)。.須￡=X_—■■+）?+4,所以可從直線

*1*2-（%+工2）+1

DE入手，設(shè)直線。E:y+2=Z（x+l）,與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可化簡

“AO-KE=2

解：設(shè)。（x，yj,后5,為）

._y_2卜-必一2

??7VA?！猧，^AE—.

X,-1x2-1

―y)，2-2(y+)，2)+4

k.k"T)一

AD

''E%]—1X2~\XyX2-(X]+X2)+1

設(shè)尸(一1,—2),則O￡:y+2=Z:(x+l)

y2=4x

聯(lián)立方程:消去X可得:

y+2=Z(x+l)

ky1-4y+4后_8=0

44%—8

???M+%=7，X%=-；—

kk

_X+%+4—2%_4+4k—2%2_(MM)?_k2-4k+4

X'+"2=一=一P一出=一=一口—

代入①可得：

4Z—8,4，

----------2,—F4

k■k=--------------------------------=2

ArD)AEF-―飄+44+44一2公

-----------1------+1

k'k'

答案：C

例8：已知拋物線。：丁=4%的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)尸的直線/交拋物線于M,N兩點(diǎn)，且

\MF\=2|/VF|,則直線/的斜率為（）

A.七6B.±272C.±—D.+—

24

思路一：從點(diǎn)的坐標(biāo)出發(fā)，因?yàn)镸,￡N三點(diǎn)共線，從而|M/|=2|N日可轉(zhuǎn)化為

MF^-2NF,考慮將向量坐標(biāo)化，F(xiàn)（1,O）,設(shè)加（％,*）,刈孫力）,有

A/F=（l—Xp-yJ,NF=（l——^2），所以X二一2%，設(shè)直線/：x=J2+1,寐立拋物線

、fVi+y=4m

方程消元后可得：＞2-4/2一4=0,利用韋達(dá)定理可得：一7，再結(jié)合％=-2%,

J%=-4

消去認(rèn)，必即可得〃?=土學(xué)，直線/：x=±￥），+l,即可得到斜率為±2亞

思路二：從所給線段關(guān)系|MF|=2|N^恰好為焦半徑出發(fā)，聯(lián)系拋物線的定義，可考慮M,N

向準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為P,Q,便可得到直角梯形PA/NQ,由拋物線定義可知：

\MP\=\MF\,\NQ\=\NF\,將所求斜率轉(zhuǎn)化為直線的傾斜角，即為NPMF。不妨設(shè)M在第

一象限?？紤]將角放入直角三角形，從而可過N作NTLMP于T,K'ltanNMT=,

\?\

因?yàn)閨MF|=2|NR|而17Ml=|加|一]叼=儼用一|?？蓔=眼可一|人回=|即|,且

|AW|=|MF|+|NF|=3|A^F|,利用勾股定理可得：177Vl=一阿丁『=2后加耳,

從而tanNMT=2"=2>/^,即攵=20,當(dāng)M在第四象限時(shí)，同理，可得女=-20

阿

綜上所述：&=±2&

答案：B

2

Y

例9：如圖，在平面直角坐標(biāo)系宜力中，橢圓萬+丁=1的左、右焦點(diǎn)分別為片，居，設(shè)A,B

是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線AK與直線B8平行，

AK與8耳交于點(diǎn)P，M用=忸閭+手，則直線AE的斜

率是（）

A.73B.41亙I).1

c2

思路：先設(shè)出直線A[:x=my-l,B6：x=/ny+l,只需一個(gè)等量條件即可求出m,進(jìn)而

求出斜率。考慮與橢圓聯(lián)立方程，分別解出A,3的縱坐標(biāo)，然后利用弦長公式即可用加表示

V2（7/Z2+1）+m\Jm2+1,,V2（+1）—m\]m2+1

前“：叱l'+2—陽=/+2—，可將已知等

式轉(zhuǎn)化為關(guān)于”的方程，從而解出〃2=1,所以斜率為-L=l

m

解：由橢圓方程可得：耳（—1,0），6（1,0）

設(shè)A耳：彳=陽一1,8鳥：x=/〃y+l,4（*],兇）,6（*2，%），依圖可知：yi>0,y2>0

聯(lián)立與橢圓方程可得:

X+2y=^(my-l)2+2y2^1,整理可得:

x=my-1

(m2+2)y之-2my-1=0

2m±2.(加2+1)m±J2(/+1)

,“-2(m2+2)-m1+2

m+{2(.2+1)

'X=T~^

m+2

..1----7|I1----7，,72(m2+1)+mVm2+1

=瓦一yj=&+"W=--------------------

&(/〃2+1)-nr+\

同理可得：.------!------------

121nr+2

2GV2(//z2+1)+m-^iTT+1V2(m2+1)—mylm2+12百

二|狗-1阿=亍n總2----------------------=丁

即空5=逑，解得：w=1

加2+23

直線AF；的斜率Z='=1

m

答案：D

小煉有話說：（D在運(yùn)用弦長公式計(jì)算恒6|,|叫|時(shí)，抓住焦點(diǎn)的縱坐標(biāo)為o的特點(diǎn)，使用

縱坐標(biāo)計(jì)算線段長度更為簡便，因此在直線的選擇上，本題采用》=旭）+/?的形式以便于消

去x得到關(guān)于y的方