高中數(shù)學(xué)第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題 (24)(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題（24）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，共40.0分）

1.在三棱錐P-4BC中，AB=BC=5,AC=6,「在底面ABC內(nèi)的射影。位于直線AC上，且

AD=2CD,PD=4.設(shè)三棱錐P-4BC的每個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球Q的半徑為（）

ABQ5■口5任

*8686

2.如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABC力中，^DAB=60°,現(xiàn)將△BCD沿8。折疊到△8PD的位置，若

三棱錐P-48。的外接球的表面積為^凡則三棱錐P-ABD的體積為

A更B.2C.迥D.立

2226

3.已知正方體的棱長(zhǎng)為1,平面a過(guò)正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，且與正方體每條棱所在直線所成的角相等,

則該正方體在平面a內(nèi)的正投影面積是（）

學(xué)

A.B.V3C.V2D.乎

4.圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體是（）

A.五面體

B.六面體

C.八面體

D.十面體

5.棱錐被平行于底面的平面所截，若截面面積與底面面積之比為1：2,則此棱錐的高被分成的兩

段之比為（）

A.1：2B.1：4C.1：（V2+1）D.1：（V2-1）

6.己知四棱錐P-4BC。,底面ABC。為矩形，側(cè)面PC。_L平面4BCQ，BC=26,CD=PC=PD=

2V6.若點(diǎn)〃為PC的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）

（1）PC1平面ADM（2）四棱錐M-4BCD的體積為12

（3）B.W//平面PAD（4）四棱錐M-4BCD外接球的表面積為36兀

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

7.在半徑為R的球內(nèi)放入大小相等的4個(gè)小球，則小球半徑r的最大值為

A.（V2-1）/?B.（V6-2）/?C.（3-V2）RD.（V3-V2）/?

8.如圖，已知正三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，球心。到平面

ABC的距離為1,點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作球。的截面，則截面面

積的最小值是（）

7

A.-7T

4

B.27r

9

C.-It

4

D.3兀

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共6小題，共24.0分）

9.在棱長(zhǎng)為1的正方體4BCD—ABiGDi中，已知點(diǎn)P為側(cè)面BCGB】上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正

確的是（）

A.若點(diǎn)P總保持P41BD,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條線段；

B.若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為獨(dú)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一段圓弧；

3

C.若尸到直線AQ與直線CC1的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是一段拋物線；

D.若P到直線BC與直線GO1的距離比為1:2,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一段雙曲線.

10.如圖，在正方體ABCD-AiBiGDi中，點(diǎn)P在線段BQ上運(yùn)動(dòng)，則

下列判斷中正確的是（）

A.平面PBi。_L平面AC。1

B.&P||平面AC%

C.異面直線公尸與所成角的取值范圍是（0孝

D.三棱錐久-APC的體積不變

11.如圖，在矩形ABC。中，M為BC的中點(diǎn)，將m4MB沿直線4M翻折成

SAB.M,連接當(dāng)。，N為占。的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，下列說(shuō)法正確

的是（）

A.存在某個(gè)位置，使得CN_L48i

B.CN的長(zhǎng)是定值

C.若AB=BM,則AM1BXD

D.若4B=BM=1,當(dāng)三棱錐4-AMD的體積最大時(shí)，三棱錐電-AMO的外接球的表面積是

47r

12.我國(guó)古代仇章算術(shù)少中將上、下兩個(gè)面為平行矩形的六面體成為芻童.如圖芻童ABCD-

EFGH有外接球，且4B=5,AD=上，EF=4,EH=2,平面A8CZ）與平面EFGH的距離為

I,則下列說(shuō)法中正確的有（）

AB

A.該芻童外接球的體積為36兀

B.該芻童為棱臺(tái)

C.該芻童中AC、EG在一個(gè)平面內(nèi)

D.該芻童中二面角B——H的余弦值為?

13..如圖，矩形ABC。中，M為BC的中點(diǎn)，將Z1ABM沿直線4M翻折成太

AABrM,連結(jié)N為BiD的中點(diǎn),則在翻折過(guò)程中，下列說(shuō)法中/|\/?

所有正確的是（）.A/Y1

A.存在某個(gè)位置，使得CNJ.4B1A-WC

B.翻折過(guò)程中，CN的長(zhǎng)是定值

C.若AB=BM,則AM1BAD

D.若AB=BM=1,當(dāng)三棱錐&-AMO的體積最大時(shí)，三棱錐當(dāng)-AMD的外接球的表面積是

47r

14.如圖，在矩形ABC。中，M為3c的中點(diǎn)，將AAMB沿直線AM翻折

成AABiM,連接Bm,N為的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，下列說(shuō)法

正確的是（）

A.存在某個(gè)位置，使得CN_L4Bi

B.CN的長(zhǎng)是定值

C.若AB=BM,則AM1BXD

D.若4B=BM=L當(dāng)三棱錐當(dāng)-4M0的體積最大時(shí)，三棱錐當(dāng)一4M。的外接球的表面積是

4TT

三、填空題（本大題共16小題，共80.0分）

15.在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD-&B1GD1中，M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是面OCG5所在的平面內(nèi)的

動(dòng)點(diǎn)，且滿足乙4PZ）=NMPC,則獸=，三棱錐P-BCD的體積最大值是

16.已知四邊形A8CZ）是邊長(zhǎng)為5的菱形，對(duì)角線BD=8（如圖①）,

現(xiàn)以AC為折痕將44BC折起，使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)P的位置，棱AC,

P。的中點(diǎn)分別為E,F,且四面體P4C。的外接球球心在四面

體內(nèi)部（如圖②），則線段E尸長(zhǎng)度的取值范圍為

17.在平面四邊形ABCC中，AB=CD=1,BC=V2,AD=2,AABC=90s,將A/IBC沿AC折

成三棱錐，當(dāng)三棱錐B-ACD的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的體積為.

18.在菱形A8C￡?中，^DAB=60°,將這個(gè)菱形沿對(duì)角線折起，使得平面。AB1平面BCC,若

此時(shí)三棱錐力-BCD的外接球的表面積為5兀，則AB的長(zhǎng)為.

19.如圖正方體4cl中，M為AB中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)，尸為線段CQ上一動(dòng)點(diǎn)（不含C）,過(guò)M,N,P與

正方體的截面為a,則下列說(shuō)法正確的是.

①當(dāng)言行時(shí)，a為五邊形②截面a為四邊形時(shí)，a為等腰梯形③截面a過(guò)。1時(shí)，言=：④a為

六邊形時(shí)在底面投影面積品,a為五邊形時(shí)在底面投影面積52，則Si>52

20.已知點(diǎn)尸是正方體力BCD-4/1601的底面ABC。上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|PA|=2|PB|,設(shè)PD1與平

面A8C。所成的角為仇貝嶺的最大值為.

21.如圖，已知點(diǎn)M,N分別為平行六面體4BCD-&B1C1D1的棱當(dāng)好的中點(diǎn)，設(shè)ZkAMN的

面積為S「平面AMN截平行六面體4BC。-所得截面面積為S,五棱錐力-BMNQC的

體積為匕，平行六面體4BC。一久8也也的體積為匕則?=,.

D.

22.如圖，已知點(diǎn)仞，N分別為平行六面體48。。一公a6。1的棱8為，B1G的中點(diǎn)，設(shè)A4MN的面

積為品，平面AMN截平行六面體ABCO-&當(dāng)65所得截面面積為S,五棱錐4-BM/V/C的

體積為匕，平行六面體48。。-4避1口。1的體積為匕則/=,*=.

23.如圖，已知點(diǎn)M,N分別為平行六面體ABCD-a/iGDi的棱&G的中點(diǎn)，設(shè)44MN的面

積為Si，平面AMN截平行六面體力BCD-所得截面面積為S,五棱錐A-BMNqC的

體積為匕，平行六面體ABCD-4B1C也的體積為匕則/=,*=.

24.平行六面體力BCD-48傳1。1中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為1的正方形，=yfl,^AD=

441AB=120°,則對(duì)角線BO】的長(zhǎng)度為

25.如下圖，正四面體4一BC。的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E、尸分別是棱B。、8c的中

點(diǎn)，則該正四面體的內(nèi)切球半徑為；平面AEF截該內(nèi)切球所得

截面的面積為.

26.已知圓錐的母線與圓錐的底面所成的角為60。，該圓錐內(nèi)有兩個(gè)不同的球，半徑較小的球靠近該

圓錐的頂點(diǎn)，且與該圓錐的側(cè)面以及大球相切，半徑較大的球與該圓錐的底面和側(cè)面均相切.若

該圓錐的母線長(zhǎng)為4g,則這兩個(gè)球的體積之和為.

27.已知球。與棱長(zhǎng)為4的正四面體的各棱相切，則球O的體積為,表面積為.

28.如圖，在三棱錐P-4BC中，側(cè)面PAB垂直于底面ABC,AABC與APAB上一

都是邊長(zhǎng)為2國(guó)的正三角形，則該三棱錐的外接球的表面積為3c

29.已知正方體4BC。-4/165的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)E,凡G分別為棱AB,AAt,6名的中點(diǎn).下列

結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是.

①當(dāng)。1〃平面EFG-.

②BO】平面力CBi；

③異面直線E尸與BA所成角的正切值為產(chǎn)；

④四面體力CBiA的體積等于：。3；

⑤過(guò)E,F,G三點(diǎn)作正方體的截面，所得截面為正六邊形.

30.半徑為2的球O內(nèi)內(nèi)置一圓錐,則此圓錐的體積最大值為

【答案與解析】

1.答案：A

解析：

本題考查三棱錐的外接球的結(jié)構(gòu)特征，以及線面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

解：???AB=BC,

4BC外接圓的圓心M在B。上，設(shè)此圓的半徑為r,

vBO—4,

A(4-r)2+32=r2,解得r=

8

■.■OD=OC-CD=3-2=1,

DM=Vl2+(4-r)2=竿，

設(shè)QM=a,易知QM1ABC,貝i]QM〃PD,

vQP=QB,

.??1(PD-a)2+DM?=>ja24-r2,即(4-Q)2+詈=a2+詈，

解得a=l，

???球Q的半徑R=QB=yja24-r2=遐

8

故選A.

2.答案：A

解析：

本題考查空間中的翻折問(wèn)題、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征和三棱錐的外接球的性質(zhì)，屬較難題.

要求出三棱錐P-48。的體積，需要求點(diǎn)尸到平面A3。的距離，及△AB。的面積，需要認(rèn)清三棱錐

P-ABC的結(jié)構(gòu)特征，先依據(jù)已知條件可求出球的半徑，進(jìn)一步探究球心位置，認(rèn)識(shí)三棱錐的特征，

可求出“E4可得點(diǎn)P到直線4E的距離，即三棱錐P-ABD的高，從而問(wèn)題得解.

解：取BQ的中點(diǎn)E,連接AC,PE,菱形ABC。中，ADAB=60°,

則4。8。和4ABD是全等的正三角形，

??三棱錐P-48。的外接球的表面積為可，

???外接球的半徑R=叵.

3

設(shè)球心為O,△PBC初△ABD的夕卜心分另IJ為M、N,

則依據(jù)球的性質(zhì)有

OM±平面PBDON±平面4BD,ME=NE=：PE=^-,0B=R=華?

又BM=苧，［OM=0N=1,OE=誓,/MEN=2/OEM=120°.于是“EC=60°.

.??點(diǎn)P到直線AE的距離等于PEsin/PEC=V3xsin60°=|,

即三棱錐P—ABD的高為I，

則三棱錐P-4BD的體積為工x-xix^x4=-.

32222

故選A.

P

解析：

本題考查了平面投影的形狀與面積的計(jì)算問(wèn)題，是中檔題.

正方體4BC0-4816歷三個(gè)面在平面a內(nèi)的正投影是三個(gè)全等的菱形，

可以看成兩個(gè)邊長(zhǎng)為企的等邊三角形，由此求出正方體在平面a內(nèi)的正投影面積.

解：棱長(zhǎng)為1正方體4BCD-48iGDi的三個(gè)面

在平面a內(nèi)的正投影是三個(gè)全等的菱形（如圖所示）

可以看成兩個(gè)邊長(zhǎng)為魚(yú)的等邊三角形，

所以正方體2BCD在平面a內(nèi)的正投影面積是

S=2x之xV2xV2x1=V3.

故選8.

e

4.答案:C

解析：

本題考查三視圖，屬于基礎(chǔ)題.關(guān)鍵是將三視圖還原出原幾何體.

解：由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)正方體挖掉四個(gè)三棱錐,所以面共有6+2=8（個(gè)）.

故該幾何體為八面體.

故選C.

同

5.答案：D

解析:

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的幾何特征，其中根據(jù)相似的性質(zhì)，及截面面積與底面面積之比得到相似

比是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

由截面與底面為相似多邊形，可得小棱錐側(cè)棱與大棱錐側(cè)棱之比為1:夜，由此可得原棱錐的側(cè)棱

被分成的兩部分之比.

解：???截面與底面為相似多邊形，且截面面積與底面面積之比為1：2,

二小棱錐側(cè)棱與大棱錐側(cè)棱之比為1:e，

.??原棱錐的側(cè)棱被分成的兩部分之比為1:企-1.

故選D.

6.答案：C

解析：

本題主要考查線面垂直的判定定理的應(yīng)用，線面平行的判斷，四棱錐的體積求法，以及四棱錐的外

接球的體積求法，意在考查學(xué)生的直觀想象能力，邏輯推理能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

作出圖象，根據(jù)相關(guān)知識(shí)即可判斷各命題的真假.

解：作出圖象，如圖所示：

對(duì)于(1),因?yàn)閭?cè)面尸CD1平面力BCZ),而底面/BC力為矩形,

所以平面PCO，即有

而⑦:/^:二2/^點(diǎn)加為產(chǎn)0的中點(diǎn)，所以。MlPC.

因?yàn)锳DCtDM=D.AD.DMu平面ADM，

所以PCI平面力(1)正確；

對(duì)于(2),因?yàn)閭?cè)面PCD1平面48c。，CD=PC=PD=276-

所以點(diǎn)P到平面48CD的距離為2nsin60"=3及.

而點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)P到平面ABCD的距離為迪，

2

故四棱錐材一/BCD的體積為1XH1X2#X2百=12,(2)正確；

32

對(duì)于(3),取尸。中點(diǎn)N，連接MN,所似MN//DC，且MN=，￡)C,

2

而。C=48,故MN//AB,且MN=TAB,

因此四邊形為梯形，所以8M與4N■的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，

故直線6〃與平面P4O相交，所以(3)不正確；

對(duì)于(4),根據(jù)四棱錐〃-/BCD的側(cè)面COM為直角三角形，底面13CD為矩形，結(jié)合球的幾何

特征可知，四棱錐M-43CO的外接球的球心在過(guò)底面的外心O且與底面垂直的直線上,

同樣，四棱錐必-/BCD的外接球的球心在過(guò)側(cè)面QW的外心(CO的中點(diǎn))且與側(cè)面SW垂直

的直線上，

所以四棱錐〃一/BCD的外接球的球心即是底面48C。的外心O，

外接球半徑為。/=；J(2@+(2可=3,

故四棱錐必-/BC。外接球的表面積為36%，(4)正確.

故選C.

7.答案：B

解析：

本題考查點(diǎn)、線、面距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，確定四個(gè)小球兩兩相切并且四個(gè)

小球都與大球相切時(shí)，這些小球的半徑最大是關(guān)鍵.由題意，四個(gè)小球兩兩相切并且四個(gè)小球都與

大球相切時(shí)，這些小球的半徑最大，以四個(gè)小球球心為頂點(diǎn)的正四面體棱長(zhǎng)為2r,該正四面體的中

心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面體的外接球半徑，即可求得結(jié)論.

解：由題意，四個(gè)小球兩兩相切并且四個(gè)小球都與大球相切時(shí)，這些小球的半徑最大.

以四個(gè)小球球心為頂點(diǎn)的正四面體棱長(zhǎng)為2r,該正四面體的中心（外接球球心）就是大球的球心

該正四面體的高為J4r2_（第y=竽，

22

設(shè)正四面體的外接球半徑為X,則然=（竽_x）+（竽），

2

y/6r

nFr,

R=--2----

r=（V6-V2）/?.

故選民

8.答案：C

解析：

本題已知球的內(nèi)接正三角形與球心的距離，求經(jīng)過(guò)正三角形中點(diǎn)的最小截面圓的面積.著重考查了

勾股定理、球的截面圓性質(zhì)與正三角形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題.

設(shè)正△ABC的中心為。】，連結(jié)OiA根據(jù)球的截面圓性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)與勾股定理，可求出AE,

而經(jīng)過(guò)點(diǎn)E的球。的截面，當(dāng)截面與0E垂直時(shí)截面圓的半徑最小，相應(yīng)地截面圓的面積有最小值，

由此算出截面圓半徑的最小值，從而可得截面面積的最小值.

解：設(shè)正△ABC的中心為?？谶B結(jié)0送

「。1是正AABC的中心，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，

3。1平面ABC,

??,球的半徑R=2,球心0到平面ABC的距離為1,得。1。=1,

Rt△。必中，=yJOA2-OOl=V3.

又為AB的中點(diǎn)，△ABC是等邊三角形，

:.AE=力O]Cos30°=三

2,

???過(guò)E作球。的截面，當(dāng)截面與0E垂直時(shí)，截面圓的半徑最小，

???當(dāng)截面與0E垂直時(shí)，截面圓的面積有最小值.

此時(shí)截面圓的半徑r=2,

2

可得截面面積為S=nr2=空.

4

故選C.

9.答案：ABD

解析：

本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了圓錐曲線的定義和方程，考查了學(xué)生的空間想象能力和

思維能力，是中檔題.

由8。1上面力BiC,可得「在面4B1C和面BCGBi的交線上判斷4正確；由平面截球面軌跡是圓判斷B

正確；建立空間坐標(biāo)系，由|PF|=|PG|列式求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡說(shuō)明C錯(cuò)誤；由雙曲線定義說(shuō)明。正

確.

解：對(duì)于A,BDrLAC,BDy1ABX,且ACnAB1=A,

所以BO】_L平面ZBiC,平面ABiCCl平面BCC/i=BiC,故動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為線段/C,所以A正確；

對(duì)于8,點(diǎn)P的軌跡為以A為球心、半徑為平的球面與面BCGB1的交線，叩為一段圓弧，所以8

正確；

對(duì)于C,作PE1BC,EF1.AD,連接PF；作PQ1CCX.

由|PF|=|PQ|,在面BCG/內(nèi)，以C為原點(diǎn)、以直線CB、CD、Cg為x,y,z軸建立平面直角坐

標(biāo)系，如下圖所示：

設(shè)P(x,O,z),則無(wú)不N=I尤I，化簡(jiǎn)得/-z2=l,則P點(diǎn)軌跡所在曲線是一段雙曲線，所以C錯(cuò)

誤.

對(duì)于D,由題意可知點(diǎn)P到點(diǎn)Cl的距離與點(diǎn)P到直線BC的距離之比為2:1,

結(jié)合c中所建立空間直角坐標(biāo)系，可得靠=所以翳=:,代入可得立妥空=+化簡(jiǎn)可得綽__

9

—=1,故點(diǎn)尸的軌跡為雙曲線，所以。正確.

3

綜上可知，正確的為ABD.

故選ABD.

10.答案：ABD

解析：

本題主要考查命題真假的判斷，解題時(shí)要注意三棱錐體積求法中的等體積法、線面平行、垂直的判

定，要注意使用轉(zhuǎn)化的思想.利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解.

連結(jié)DB,容易證明，平面ACDi,從而可以證明面面垂直；連接4B,力傳】容易證明平面B&C"/

平面ZCDi，從而由線面平行的定義可得；分析出4P與ZD1所成角的范圍，從而可以判斷真假

；VD1_APC=VP_AD1C,P到平面的距離不變，且三角形4D1C的面積不變，從而可以判斷真假.

解：對(duì)于A,連結(jié)。B,因?yàn)檎襟w中，_L平面ABC。，AC在平面ABC。內(nèi)，所以8當(dāng)_1_4。，

又因?yàn)镈B1AC,DB,BBi為平面DBBi內(nèi)兩條相交直線，所以AC_L平面CBB1，因?yàn)?。在平?/p>

內(nèi)，所以4C,同理可得DB114D1，AD1、4c為平面ZCDi內(nèi)兩條相交直線，可得Da1平面

ACDltOB1在平面PBi。內(nèi)，從而平面PBi。_L平面AC。1，A正確；

對(duì)于3,連接&G，A^Z/AC,&G不在平面AC%內(nèi)，AC在平面ACDi內(nèi)，所以&G〃平面

ACDr,同理BC]〃平面又4iQ、BCi為平面B&Ci內(nèi)兩條相交直線，所以平面〃平面AC2,

4P在平面84G內(nèi)，所以&P〃平面AC。1，故B正確；

對(duì)于C,4P與A%所成角即為4P與BG的所成角，&B=BG=4iCi，當(dāng)P與線段BC1的兩端點(diǎn)重

合時(shí)，&P與所成角取最小值熱當(dāng)P與線段BQ的中點(diǎn)重合時(shí)，&P與A%所成角取最大值看故

A】P與4D1所成角的范圍是槨，5,故C不正確；

對(duì)于。，由選項(xiàng)B得BC]〃平面4￡>iC,故BCi上任意一點(diǎn)到平面的距離均相等，所以以P為

頂點(diǎn)，平面ADiC為底面，則三棱錐「一4。傳為的體積不變，又力「/Pc=%c，所以三棱錐以一

4PC的體積不變，故。正確.

故選ABD.

11.答案：BD

解析：

本題考查幾何體的翻折問(wèn)題，考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，球的表面積計(jì)算，考查空間想象

能力，屬于中檔題，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷其正確性即可.

解：對(duì)于4,取4。的中點(diǎn)為E,連接CE交MD于點(diǎn)凡如圖1,

則NE〃A8i，NF//MB1

如果CNIAB],則ENJ.CN,

由于4%"1"當(dāng)，則EN1NF,

由于三線NE,NF,NC共面且共點(diǎn)，

故這是不可能的，故不正確；

對(duì)于B,如圖1,由NNEC=4MABI，

S.NE=^ABltAM=EC,

.?.在△CEN中，由余弦定理得:

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值，故正確；

圖2

取AM中點(diǎn)為O,=即4B[=則4M1/0,

若AM1B】D,由于當(dāng)0nBi。=B],

且u平面0DB「

AM_L平面ODu平面OOBi，

ODLAM,則AD=MD,

由于AD和M。大小關(guān)系未知，故4MJ.B1D不成立，故不正確;

對(duì)于D，根據(jù)題意知，只有當(dāng)平面BiAM，平面AMQ時(shí)，

三棱錐&-AM。的體積最大，取AO的中點(diǎn)為E,

連接OE,B】E,ME,如圖2,

???4B=BM=1,則佃==1,

且ABilBiM,平面BiAMCl平面AMD=4M,

當(dāng)。1AM,Bi。u平面

Bi。_L平面AMD,OEu平面AMD,

B]01OE,

則4M=&,BIO="M=*，

OE=-DM=-AM=—，

222

從而颯=J囹+囹=],

易知EA=ED=EM=1,

.?.4。的中點(diǎn)E就是三棱錐&-AMO的外接球的球心，球的半徑為1,表面積是4”，故￡＞正確;

故答案為：BD.

12.答案：AD

解析：

本題考查幾何體的外接球體積的求法、二面角、棱臺(tái)的性質(zhì)、面面平行的性質(zhì)定理，考查空間想象

能力，找到球心是關(guān)鍵，屬于較難題.

對(duì)于4,假設(shè)。為芻童外接球的球心，連接HF，EG交于點(diǎn)?！高B接AC,OB交于點(diǎn)。2，由球的幾

何性質(zhì)可知。,01，。2在同一條直線上,。。1ABCD,0011平面EFGH,OXO2=1,設(shè)。。2=r,

利用勾股定理和球的半徑相等的條件列式，求出r的值，進(jìn)而求出外接球的半徑，即可求出體積；

對(duì)于B,由棱臺(tái)的性質(zhì)可得結(jié)論；對(duì)于C,利用反證法，由等角定理與實(shí)際結(jié)論矛盾可判定；對(duì)于Q,

直接構(gòu)建二面角的平面角/QP02計(jì)算可得結(jié)論.

解：對(duì)于4假設(shè)。為芻童外接球的球心，連接"F,EG交于點(diǎn)。1，連接AC,交于點(diǎn)。2，

由球的幾何性質(zhì)可知0,。「。2在同一條直線上，

由題意可知，。。1ABCD,。/JL平面EFGH,0v02=1,

設(shè)。。2=r,

在RtAOGOi中，0G2=0。/+O】G2,

在矩形EFGH中，EG=y/EF2+FG2=V16T4=2而，。道=中=V5,

A0G2=0。/+0忑2=(r+1產(chǎn)+5，

在RtZXOSO?中，OB2=。外？+OzB?，

22

在矩形ABCD中，。8=ylAD+AB=存不7=4VL02B=^-=2近,

2222

OB=002+02B=r+8,

設(shè)外接球的半徑0G=OB=R,(r++5=/+8,解得r=1,

則R=OB=Vl24-8=3,則該芻童外接球的體積P==36TT,故A正確；

對(duì)于3,因?yàn)槠?%M=g所以由察工警可得，該芻童不是棱臺(tái)，故8錯(cuò)誤；

AD77AB5ADAB

對(duì)于C,由題意、面ABCD“而EFGH,旦面ABCDC面ABFE=AB,面EFGHC面ABFE=EF,所以

AB//EF,若AC,EG在同一個(gè)平面內(nèi)，同理可得4C〃EG,

由同角定理可得/C4B=4GEF或/CAB+NGEF",

又因?yàn)镽tACRA中，tan/C4B=V=&RSGFE中，tanzGEF=啜=；,這與兩角相等或互補(bǔ)

AB5EF2

矛盾，所以AC,EG不在同一個(gè)平面內(nèi)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于￡?,過(guò)為作OiQlEH且相交于點(diǎn)。，過(guò)。2作。2「工AD且相交于點(diǎn)P，連接P。，易得/QP02即

為二面角8-4D—H的平面角，在直角梯形QPO2O1中，（?。1=拶=2,P02=^-=|.。1。2=1，

PO2-QO11V5

所以C0S“P02=

PQ=痣=三，

故。正確.

故選AD.

13.答案：BD

解析:

本題考查幾何體的翻折問(wèn)題，考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，球的表面積計(jì)算，考查空間想象

能力，屬于中檔題，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷其正確性即可.

解：對(duì)于A,取AO的中點(diǎn)為E,連接CE交于點(diǎn)F,如圖1,

圖1

則NE〃AB「NF//MBr

如果CN14B1，則ENJLCN,

由于ABilMBi，則EN1NF,

由于三線NE,NF,NC共面且共點(diǎn)，

故這是不可能的，故不正確；

對(duì)于8,如圖1,由NNEC=ZJVL4Bi，

S.NE=^ABltAM=EC,

.?.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值，故正確；

對(duì)于C,如圖2

圖2

取AM中點(diǎn)為O,TAB=BM,即貝ijAM_LB1。

若ZMJLBi。，由于Bi。Cl8山=Bi，

且u平面。

???AM_L平面00B「ODu平面OOBi，

???ODVAM,則AD=MD,

由于/WKMD,故不成立，故不正確：

對(duì)于D根據(jù)題意知，只有當(dāng)平面/AM，平面AM。時(shí)，

三棱錐當(dāng)-4M。的體積最大，取A。的中點(diǎn)為E,

連接。E,BiE,ME,如圖2

???AB=BM=1,則AB】=fijM=1,

月SB11BW，平面CI平面AMD=AM

：.BQ1AM,B10u平面B遇M

/.Bi。_L平面AMD,OEu平面AMD

Bi。J_OE,

則=BIO="M=4，

從而岫=J囹+囹=1，

易知￡;4=ED=EM=1,

.?.4D的中點(diǎn)E就是三棱錐旦-4如）的外接球的球心，球的半徑為1,表面積是4”，故。正確;

故答案為：BD.

14.答案：BD

解析:

本題考查幾何體的翻折問(wèn)題，考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，球的表面積計(jì)算，考查空間想象

能力，屬于中檔題。

對(duì)選項(xiàng)逐一判斷其正確性即可.

解：對(duì)于A,取A。的中點(diǎn)為E,連接CE交于點(diǎn)凡如圖1,

圖1

則NE〃4B「NF"MB\

如果CNIABi，則ENJLCN,

由于4/1MB1，則EN1NF,

由于三線NE,NF,NC共面且共點(diǎn),

故這是不可能的，故不正確；

對(duì)于8,如圖1,由/NEC=4M481，

且NE=^ABltAM=EC,

.?.在△CEN中，由余弦定理得:

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值，故正確；

圖2

取AM中點(diǎn)為O,=即4B[=則4M1/0,

若AM1B】D,由于當(dāng)0nBi。=B],

且u平面0DB「

AM_L平面ODu平面OOBi，

ODLAM,則AD=MD,

由于AD和M。大小關(guān)系未知，故4MJ.B1D不成立，故不正確;

對(duì)于D，根據(jù)題意知，只有當(dāng)平面BiAM，平面AMQ時(shí)，

三棱錐&-AM。的體積最大，取AO的中點(diǎn)為E,

連接OE,B】E,ME,如圖2,

???4B=BM=1,則佃==1,

且ABilBiM,平面BiAMCl平面AMD=4M,

當(dāng)。1AM,Bi。u平面

Bi。_L平面AMD,OEu平面AMD,

B]01OE,

則4M=&,BIO="M=*，

OE=-DM=-AM=—，

222

從而颯=J囹+囹=],

易知EA=ED=EM=1,

.?.4。的中點(diǎn)E就是三棱錐&-AMO的外接球的球心，球的半徑為1,表面積是4”，故￡＞正確;

故答案為：BD.

15.答案：2；24

解析:

本題考查了空間幾何體中的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是列出式子，轉(zhuǎn)化為距離問(wèn)題，借助函數(shù)求解即可.

解：???在棱長(zhǎng)為6的正方體48。0-41/6。1中，M是8C的中點(diǎn)，點(diǎn)P是面。CC15所在的平面內(nèi)的

動(dòng)點(diǎn)，且滿足乙4PD=NMPC,

4npn

SAPDfRgMPC,,?.黑=會(huì)=2,

MCPC

即PD=2PC,過(guò)戶作POJ_DC于。，設(shè)。。=X，P0=h,

???V%2+h2=2,(6-%)2+九2,

化簡(jiǎn)得：3F=-3x2+48x—144,,

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷：x=8時(shí)，3層最大值為48,

%大=4,

???在正方體中P。J■面BCD,

三棱錐P-BCO的體積最大值：ix|x6x6x4=24,

故答案為2；24.

16.答案：（學(xué),4）

解析：

本題考查空間中點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，屬

難題.

由題意可知△4PC的外心。］在中線PE上，設(shè)過(guò)點(diǎn)3的直線％1平面APC,△4DC的外心。2在中線

DE上,設(shè)過(guò)點(diǎn)G的直線％，平面AOC,由對(duì)稱性知直線L，%的交點(diǎn)O在直線或7上，則點(diǎn)。為四

面體APC。的外接球的球心.由題意得E4=3,PE=4,由勾股定理及。送+0透=/^=4求得

0rE=（令乙PEF=6,得EF=PEcosd=4cos9<4,再由c。令=.=舞,得。E-EF=0rE?PE=3

結(jié)合0E<EF,求得EF>巫,從而得到線段EF長(zhǎng)度的取值范圍.

2

解：如圖，由題意可知AAPC的外心。1在中線PE上，

設(shè)過(guò)點(diǎn)。1的直線。1平面APC,可知ku平面PED,

同理A40C的外心。2在中線OE上，設(shè)過(guò)點(diǎn)。2的直線4平面AQC,

則％u平面PED,由對(duì)稱性知直線L，%的交點(diǎn)O在直線后尸上.

根據(jù)外接球的性質(zhì)，點(diǎn)。為四面體APCD的外接球的球心.

由題意得E4=3,PE=4,而。1屁=0送2+EA2,0IA+0IE=PE=4,

??.0iE=7

令乙PEF=e,顯然0<。<去:EF=PEcosd=4cos8<4.

vcosd=竺=竺，0E?EF=OiE-PE

PEOE12

又0E<EF,「.EF?*即EF>且.

22

綜上所述，且<EF<4.

2

???線段EF長(zhǎng)度的取值范圍為（當(dāng),4）.

故答案為：（”,4）.

解析：

本題考查了簡(jiǎn)單組合體及其結(jié)構(gòu)特征，球的表面積和體積，余弦定理，線面垂直的性質(zhì)和面面垂直

的性質(zhì)，屬于較難題.

利用簡(jiǎn)單組合體及其結(jié)構(gòu)特征得當(dāng)三棱錐8-4C。的體積最大時(shí)，平面4BC1平面ACD,在平面ABC

內(nèi)過(guò)B作BH1AC,交AC于H,利用面面垂直的性質(zhì)得1平面4CZ),取4。的中點(diǎn)01，利用平

面幾何知識(shí)得。1是△4CD的外接圓圓心，且半徑為r=l,過(guò)0i作直線/垂直于平面AC。，利用簡(jiǎn)單

組合體及其結(jié)構(gòu)特征得三棱錐B-AC。的外接球球心。在直線/上，連接HO1，利用線面垂直的性質(zhì)

得4H1HOI和。0i1HO1，再利用余弦定理得H因=[,設(shè)0。1=x(x>0),三棱錐B—4CD的外接

球半徑為R,解三角形得R=l,最后利用球的體積公式，計(jì)算得結(jié)論.

解：如圖(1)：

在平面四邊形ABC。中，AB=CD=1,BC=V2,AD=2,/.ABC=90s,

則AC=A/3，

因此在△ACD中，/.CAD",Z.ACD).

將△ABC沿AC折成三棱錐B-ACD,如圖(2)：

B

當(dāng)三棱錐B-ACO的體積最大時(shí)，平面4BC1平面ACD

在平面ABC內(nèi)過(guò)B作BH_L4C,交AC于H,

而平面ABCn平面力CD=AC,因此BH，平面ACD.

取的中點(diǎn)0「則01是△4CD的外接圓圓心，且半徑為r=1,

過(guò)01作直線/垂直于平面ACQ,

則三棱錐B-4CD的外接球球心。在直線/上.

連接〃。1，因?yàn)椤啊?<=平面ACD,

而B(niǎo)HJ?平面A8,/垂直于平面AC￡),

所以4H1H0r,。。11H0「

設(shè)。0i=x(x>0),三棱錐B-ACC的外接球半徑為R.

在RtZk/13「中，8"=處空=學(xué)=漁，

ACy/33

2

AUAB1V3

i4CV33

2

在^AH01中，HOl=AH+AOl-2AH-AO^osZ.HAOy

1「rW八、W1

=—+1—2x—x1x—=一?

3323

因此R2=ool+。1。2=(BH±。。1)2+H01.

由00/+。102=(BH±001)2++1=(當(dāng)士X)+?

HO2^X2

解得x=0,因此R2=1,即R=1,

-lyr

因此三棱錐B-4C0的外接球的體積為；.

故答案為.

18.答案：V3

解析:

本題考查了棱錐的外球的半徑，屬于中檔題.

取8。的中點(diǎn)M,連接AA/，CM,由題意知△ABD,△BCD都是等邊三角形，確定棱錐外接球半徑,

利用外接球的表面積求a.

解：

①②

如圖①所示，取8。的中點(diǎn)M,連接AM,CM,由題意知△ZBD,△BCD都是等邊三角形，設(shè)邊長(zhǎng)

為a.

如圖②，由題意知A4MC為等腰直角三角形，在RtAAMC中，P,Q分別是CM,AM上靠近M的

三等分點(diǎn)，

0C即為三棱錐A-BCD外接球的半徑.在Rt△OPE，,ax1)2+弓。x—=工.解得a=V3.

故答案為

19.答案：②③

解析：

本題考查了面面平行的性質(zhì)定理，考查了截面問(wèn)題，考查了空間想象能力，屬于較難題.本題的難點(diǎn)

在于求各個(gè)情況的截面形狀.逐項(xiàng)分析得解.

解：作CD，GDi，4iBi的中點(diǎn)RS,T,則平面AfRST〃平面BCQ%,

設(shè)a與SR交點(diǎn)為Q,

連接MN,NP,PQ,MQ,由面面平行性質(zhì)可知，PN//MQ,

作PC=PC

由三角形的中位線定理可得PN〃BC'//MQ,則BMQC'共面，

又面ZBBMi〃面DCG5，所以BM〃QC

即MBC'Q是平行四邊形，MQ=BC,

所以PN=：MQ,PC=^QR,

CPCP1

當(dāng)P。的延長(zhǎng)線過(guò)時(shí)，貝IJCP+DC1=2QR=4CP,所以萬(wàn)方=/=5，③正確；

當(dāng)CP=PG時(shí)，即此時(shí)S,Q重合，截面如圖所示，此時(shí)截面為六邊形，在底面投影如圖,

當(dāng)截面為五邊形時(shí)，在底面投影如圖，則S1<S2,故①、④不正確；

當(dāng)尸與G重合時(shí)，a為平面MNQ&,因?yàn)镸N7A4C〃./。，

不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2a,

則舟=C[N，所以a為等腰梯形，則②正確.

故答案為：②③.

20.答案：￡

4

解析：

本題考查求直線與平面所成角的最大值問(wèn)題，考查空間想象能力，屬于較難題.

以點(diǎn)A為原點(diǎn)，A3為x軸，AO為y軸，建立直角坐標(biāo)系，利用|P4|=2|PB|,得到P點(diǎn)的軌跡方程,

即可得到答案.

解：不妨記正方體ABC。-AiBiGDi的棱長(zhǎng)為2,

在平面A8CD內(nèi)，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB為x軸，AQ為y軸，建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)PG,y),由|PA|=2|PB|,4(0,0),B(2,0),

所以5久2+y2=2,(%-2)2+y2,

EP(x-|)Z+y2=^

延長(zhǎng)AB到。使得BQ=|,

即點(diǎn)P在平面ABC。內(nèi)的軌跡是以Q為圓心，g為半徑的圓在正方形A8CO內(nèi)的圓弧，

若要PDi與平面A8C。所成角最大，

當(dāng)點(diǎn)P為。。與圓弧的交點(diǎn)時(shí)，。尸最小，即PDi與平面ABC。所成的角。最大，

陷嬴=］令+22-；2,

所以在RtAROP中，tanJ=^,

所以。的最大值為8=

故答案為李

21?答案：勒

解析：

本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查幾何體的體積求法，屬中檔題.

依題意，求出五邊形BMNCiC的面積與平行四邊形BCGB1的面積的關(guān)系，根據(jù)平行六面體ZBCD-

48傳也與五棱錐4-BMNCiC等高，即可求得票，延長(zhǎng)DiN/M交于。，則M,N為AQ,2Q的中

點(diǎn)，AMNQsdADiQ,即可求得費(fèi).

解：點(diǎn)、M,N分別為棱SB】，B1G的中點(diǎn)，得五邊形BMNGC的面積為平行四邊形BCC/i的面積的

O

設(shè)A到面BCCSi的距離為d,則匕；；'"x'"'"BM.VCC7(

*dS國(guó)彩Bec加24

如圖：平面AMV截平行六面體48CD-力道￡。1所得截面為四邊形MN，4,

其中MN〃D】A,且延長(zhǎng)DIN,4M交于。，

則M,N為AQ,DiQ的中點(diǎn)，4MNQs4AQD1，得四邊形”2。源的面積S=354財(cái)政，

又AM=MQ,所以SI=S4MNQ,所以W'

O*5

故答案為~>~-

243

22.答案:盤弓

解析：

本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查幾何體的體積求法，屬中檔題.

依題意，求出五邊形BMNGC的面積與平行四邊形BCGBi的面積的關(guān)系，根據(jù)平行六面體ABCD-

ABIGA與五棱錐4-BMNGC等高，即可求得?，延長(zhǎng)AN,4M交于Q,則M,N為AQ,5Q的中

點(diǎn)，AMNQ-AADrQ,即可求得?.

解：點(diǎn)M,N分別為棱BB],BiG的中點(diǎn)，得五邊形BMNGC的面積為平行四邊形BCQBi的面積的:，

設(shè)4到面BCC$i的距離為d,則J「八、個(gè)產(chǎn)"317,

I'dS四功杉ucc向24

如圖：平面AMV截平行六面體48CD-力道￡。1所得截面為四邊形MN，4,

其中MN〃D】A,且延長(zhǎng)DIN,4M交于。，

則