2024屆重慶市高三上學(xué)期第一次學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題及答案

高2024屆學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測(cè)（第一次）數(shù)學(xué)試卷（數(shù)學(xué)試題卷共6頁(yè)，考試時(shí)間120分鐘，滿分150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考號(hào)填寫(xiě)在答題卡指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡指定位置上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．zi)2izzz等于（1.若復(fù)數(shù)滿足，其中i為虛數(shù)單位，則C.1）AiB.iD.15x3Ax2x2BxNx2AB，則的真子集個(gè)數(shù)為（2.已知集合，）A.3B.4C.7D.83.2023年10月31.某校組織高中學(xué)生參加航天知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，設(shè)這組樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為x，眾數(shù)為y，則（）xy90xy85xy90xy85A.C.B.D.4.英國(guó)著名數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒（TaylorBrook）以微積分學(xué)中將函數(shù)展開(kāi)成無(wú)窮級(jí)數(shù)的定理著稱于世泰勒第1頁(yè)/共6頁(yè)提出了適用于所有函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)，泰勒級(jí)數(shù)用無(wú)限連加式來(lái)表示一個(gè)函數(shù)，如：x3x5x7232527，其中n!123n．根據(jù)該展開(kāi)式可知，與2的sinxx3!5!7!7!值最接近的是（A.sin2）B.sin24.6D.cos65.4C.cos24.6，XN5.5,2P(x6)0.25.已知某社區(qū)居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為隨機(jī)變量X從該社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，則至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率為（A.0.642B.0.648C.0.722D.0.748）6.已知定義在R上的函數(shù)時(shí)，的fx0fxf1xf1f20xx2fx2f2x0的解集為（不等式）2,02A.C.B.D.,0,2y24x43y150的兩條切線，切點(diǎn)分別為,BPAB7.過(guò)點(diǎn)P作圓C:x2，若為直角三角形，OA.C.為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍為（）22,2242,42B.D.42,4222,228.2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物組合為“江南憶”，出自白居易的“江南憶，最憶是杭州”，名為“蹤琮”、“蓮蓮”、“宸宸”5名志愿者將這三個(gè)吉祥物安裝在學(xué)校科技廣場(chǎng)，每名志愿者只安裝一個(gè)吉祥物，且每個(gè)吉祥物至少有一名志愿者安裝，若志愿者甲只能安裝吉祥物“宸宸”，則不同的安裝方案種數(shù)為（A.50B.36C.26）D.14二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知3a5b15，則下列結(jié)論正確的是（）abababB.A第2頁(yè)/共6頁(yè)11baab4D.C.2210.已知函數(shù)fxexx32x2axfx，則在有兩個(gè)不同零點(diǎn)的充分不必要條件可以是（）A.e2ae1B.D.e1aeC.eae1e1ae211.已知拋物線C:y4x的焦點(diǎn)為F,Ox軸交于點(diǎn)MM的直線l與拋物2線交于不同兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（Ax,y,Bx,y2）112A5B.存在50C.不存在以AB為直徑且經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F的圓π5πD.當(dāng)△ABF的面積為42時(shí)，直線l的傾斜角為或66ABCDCDAE的中點(diǎn)，M是線段上的一點(diǎn)，則下112.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方體中，E是111111列說(shuō)法正確的是（）A1ACM平面A.當(dāng)M點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線1B.當(dāng)點(diǎn)M移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D到平面ACM的距離為定值5C.當(dāng)M點(diǎn)與E點(diǎn)重合時(shí)，平面ACM與平面CCDD夾角的正弦值為1137AE1ACMABCD所得截面面積為1D.當(dāng)M點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體111三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．第3頁(yè)/共6頁(yè)aba2b513.已知向量a,b滿足，則ab________．3πxfx2asinxcosxbxab014.已知的部分圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，4的最大值為_(kāi)_______．fxx22y22ab0)的直線交橢圓于P,Q15.已知點(diǎn)F為橢圓ab3FPFQFPFQ兩點(diǎn)，，則該橢圓的離心率為_(kāi)_______．的前項(xiàng)和為，且Sn1，記2a，則nnanSn2anna21a22a2316.已知數(shù)列________；n若數(shù)列滿足bT20n3，則nnbbbLb的最小值是________．bn123n四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15//CD,ABBCCD417.在梯形ABCD中，為鈍角，，sinBCD．4cosBDC（1）求；（2）設(shè)點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．的公差為，前項(xiàng)和為，滿足annSnS4SS．218.已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列21（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；ann1（2）令bnπb，求數(shù)列的前項(xiàng)和n．nnnaann119.“雙碳目標(biāo)”“雙碳目標(biāo)”6年產(chǎn)值情況，數(shù)據(jù)如下表所示：年份201820192020202120222023第4頁(yè)/共6頁(yè)編號(hào)x1923456產(chǎn)值y/百萬(wàn)輛1830515980（1）若用模型0.01yaebx擬合y與x的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（精確到（2）為了進(jìn)一步了解車主對(duì)電動(dòng)汽車的看法，從某品牌汽車4S店當(dāng)日5位購(gòu)買電動(dòng)汽車和3位購(gòu)買燃油汽車的車主中隨機(jī)選取4位車主進(jìn)行采訪，記選取的4位車主中購(gòu)買電動(dòng)汽車的車主人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望，66iixu80.58uy．ii參考數(shù)據(jù)：，其中ii1i1參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)x,yi,n)i，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線?bx?的斜率截距的最小二乘估計(jì)?inxynxyii?分別為bi1n,?ybx．i2nx2i120.如圖，四棱錐P中，PA底面ABCD，四邊形ABCD中，ABAP，ABAD,ABAD2,CDA45．PBC（1）若E為PB的中點(diǎn)，求證：平面平面ADE；6（2）若平面PAB與平面所成的角的余弦值為．6（?。┣缶€段AB的長(zhǎng)；（ⅱ）設(shè)G為內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且GBGA，求滿足條件的所有點(diǎn)G組成的軌跡的長(zhǎng)度．B2,0MC于點(diǎn)Q21.已知點(diǎn)M為圓C:(x2)2y24上任意一點(diǎn)，的垂直平分線交直線．第5頁(yè)/共6頁(yè)（1）求Q點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)ClQ的直線與點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限內(nèi)．已知PPA0，請(qǐng)問(wèn)是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．的最小值為，求證：xfxnN,exnefxnn22.（1）已知函數(shù)nn1eei；2i11x,aeax12xx0a恒成立，求的取值范圍．（2）若對(duì)x第6頁(yè)/共6頁(yè)高2024屆學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測(cè)（第一次）數(shù)學(xué)試卷（數(shù)學(xué)試題卷共6頁(yè)，考試時(shí)間120分鐘，滿分150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考號(hào)填寫(xiě)在答題卡指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡指定位置上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．zi)2izzz等于（1.若復(fù)數(shù)滿足，其中i為虛數(shù)單位，則C.1）A.iB.iD.1【答案】C【解析】z【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的意義求解即得.2i(2i)112313zi，zi，則【詳解】依題意，1ii)2222所以zz1.故選：C5x3Ax2x2BxNx2AB，則的真子集個(gè)數(shù)為（2.已知集合，）A.3B.4C.7D.8【答案】C【解析】A、BA個(gè)數(shù).BABAB的真子集1Ax2x25x30x2x25x30xx3【詳解】因?yàn)椋?AB2BxNx2xN2x22，則，第1頁(yè)/共23頁(yè)所以，A故選：C.B的真子集個(gè)數(shù)為2317.3.2023年10月31.某校組織高中學(xué)生參加航天知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，設(shè)這組樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為x，眾數(shù)為y，則（）xy90xy85xy90xy85A.C.B.D.【答案】D【解析】a【分析】首先，再根據(jù)百分位數(shù)和眾數(shù)的計(jì)算方法即可.【詳解】由題意得0.0050.03a0.015101a，解得，因?yàn)?.050.30.35，0.050.30.50.85，則0.350.750.85，則樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)位于80,90，則0.35x800.050.75，解得，x88，8090因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中位于成績(jī)80,90之間最多，則眾數(shù)為y852故選：D.4.英國(guó)著名數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒（TaylorBrook）以微積分學(xué)中將函數(shù)展開(kāi)成無(wú)窮級(jí)數(shù)的定理著稱于世泰勒提出了適用于所有函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)，泰勒級(jí)數(shù)用無(wú)限連加式來(lái)表示一個(gè)函數(shù)，如：x3x5x7232527，其中n!123n．根據(jù)該展開(kāi)式可知，與2的sinxx3!5!7!7!值最接近的是（）A.sin2B.sin24.6第2頁(yè)/共23頁(yè)C.cos24.6【答案】C【解析】D.cos65.4【分析】觀察題目將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，再將弧度制與角度制互化，結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷即可.sin2sin257.3sin9024.624.6【詳解】原式，故選：C.，XN5.5,2P(x6)0.25.已知某社區(qū)居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為隨機(jī)變量X從該社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，則至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率為（）A.0.642B.0.648C.0.722D.0.748【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性結(jié)合概率的乘法公式即可.【詳解】由題意得P(x0.5，則P(5.5x6)0.50.20.3，Px6)0.320.6則，C230.620.4C330.60.648,3則至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率為故選：B.6.已知定義在R上的函數(shù)時(shí)，的fx0fxf1xf1f20xx2fx2f2x0的解集為（不等式）2,02A.C.B.D.,0,2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性則得到不等式，解出即可.tt1tt0，21【詳解】任取，則2fx0ftt1而x0時(shí)，，則0，2，fttt1t1ftt1ftf12221第3頁(yè)/共23頁(yè)所以在R上單調(diào)遞減，fxx,xRfxxfxfx，，121212xx0f(0)0xx，令，21取，則12f0fxfx0得1，1所以為R上的奇函數(shù)，fxf2x2x，解得x0fx2f2x0fx2，則x2，即故選：Ay24x43y150的兩條切線，切點(diǎn)分別為,BPAB7.過(guò)點(diǎn)P作圓C:x2，若為直角三角形，OA.C.為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍為（）22,2242,42B.D.42,4222,22【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)P的軌跡，再利用圓的幾何性質(zhì)求解即得.【詳解】圓C:(x2)2(y23)21的圓心C(2,23)，半徑r1，,PB切圓C,B90,|PA|||AC,BC，連接，由于點(diǎn)，且PAB為直角三角形，得CBP90，即四邊形APBC是正方形，|PC2，則CAP因此點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心，2為半徑的圓上，而|22(23)4，242,42于是|42,|42，所以的取值范圍為.第4頁(yè)/共23頁(yè)故選：D8.2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物組合為“江南憶”，出自白居易的“江南憶，最憶是杭州”，名為“蹤琮”、“蓮蓮”、“宸宸”5名志愿者將這三個(gè)吉祥物安裝在學(xué)校科技廣場(chǎng)，每名志愿者只安裝一個(gè)吉祥物，且每個(gè)吉祥物至少有一名志愿者安裝，若志愿者甲只能安裝吉祥物“宸宸”，則不同的安裝方案種數(shù)為（）A.50B.36C.26D.14【答案】A【解析】【分析】按照2,1和分組討論安排.1）按照2,1分3組安裝，C246①若志愿者甲單獨(dú)安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，C14C23A2224②若志愿者甲和另一個(gè)人合作安裝吉祥物“宸宸”，則共有（2）按照種，分3組安裝，①若志愿者甲單獨(dú)安裝吉祥物“宸宸”，則共有C34A228種，C242A12種，2②若志愿者甲和另兩個(gè)人合作安裝吉祥物“宸宸”，則共有故共有62481250種，故選：A.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知3a5b15，則下列結(jié)論正確的是（）abababab4A.B.D.11baC.22【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)互化與運(yùn)算以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷ABC，利用基本不等式即可判斷D.a1510b1510【詳解】由題意得，，3355第5頁(yè)/共23頁(yè)111103050，則，則ab0，，ababyx上單調(diào)遞增，則ab，故A正確；對(duì)A，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)在11ab3511，則abab對(duì)B，因?yàn)椋?，故B正確；1515abxab1211對(duì)C，因?yàn)閍對(duì)D，因?yàn)閍b0，根據(jù)指數(shù)函數(shù)y在上單調(diào)遞減，則R，故C錯(cuò)誤；2211b0，1，ab11abbabaabab2224，abab當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立，而顯然a1b，則故選：ABD.ab4，故D正確；10.已知函數(shù)fxexx32x2axfx，則在有兩個(gè)不同零點(diǎn)的充分不必要條件可以是（）A.e2ae1B.D.e1aeC.eae1【答案】BCD【解析】e1ae2exexax22x，令g(x)x22x(x0)，利用導(dǎo)數(shù)討論g(x)的單調(diào)性，【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為xxg(x)，由f(x)在有2個(gè)不同零點(diǎn)的充要條件為ae1，從而作出判斷求出.f(x)exx32x2ax(x0)，【詳解】因?yàn)閑xf(x)0ax2x2令令，則，xexg(x)x22x(x0)，xexex2x32x2(ex2x22)(x則g(x)注意到e，x2x，解得，x2x20，令g(x)0x1g(x)0g(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x1時(shí)，，第6頁(yè)/共23頁(yè)g(x)0g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)0x1時(shí)，，g(ge1x，且當(dāng)趨近于或0都趨近于，g(x)時(shí)，則若f(x)在有2個(gè)不同零點(diǎn)的充要條件為函數(shù)yg(x)ya與圖象在第一象限有2個(gè)交點(diǎn)，所以ae1，即f(x)有2個(gè)零點(diǎn)的充要條件為ae1，若符合題意，則對(duì)應(yīng)的取值范圍為e的真子集，結(jié)合選項(xiàng)可知：A錯(cuò)誤，BCD正確；故選：BCD.11.已知拋物線C:y4x的焦點(diǎn)為F,Ox軸交于點(diǎn)MM的直線l與拋物2線交于不同兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（Ax,y,Bx,y2）112A.5B.存在50C.不存在以AB為直徑且經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F的圓π5πD.當(dāng)△ABF的面積為42時(shí)，直線l的傾斜角為或66【答案】AD【解析】x1AB的方程為斷ACD，求解直線與拋物線相切時(shí)的情況即可判斷B.【詳解】對(duì)A，由題意得，準(zhǔn)線方程為x=1，則y0，M1,0F1,0顯然當(dāng)直線AB的斜率為0，即直線AB的方程為，此時(shí)不合題意，x1設(shè)直線AB的方程為，y24x，得y2440，16m160，解得m1或m1，2聯(lián)立拋物線方程yy4myy4214x224xyy161x1616xx2xx1，，則1yy，，，，則，121212122122x,y1,y，，122則OAxxyy145，A正確；1212對(duì)B，當(dāng)直線AB與拋物線相切時(shí)，最大，則16m2160，解得m1，根據(jù)拋物線對(duì)稱性取m1分析：第7頁(yè)/共23頁(yè)yx145，因此不存在50，B錯(cuò)誤；此時(shí)直線方程為，此時(shí)直線斜率為，則1對(duì)C，假設(shè)存在以AB為直徑且經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F的圓，則0，xy,xFAxxyy0y21212，則，112xxxxyy10x211m124m2y22即即，,121212112，即24m240，mm1或m1，2，滿足2xxyy021212即存在以AB為直徑且經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F的圓，C錯(cuò)誤；121y212yy24yy16m21642S，m3，對(duì)D，ABF12122π5π3，則直線l的傾斜角為，故D正確.此時(shí)直線斜率為或366故選：AD.ABCDCDAE的中點(diǎn)，M是線段上的一點(diǎn)，則下112.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方體中，E是111111列說(shuō)法正確的是（）A1ACM平面A.當(dāng)M點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線1B.當(dāng)點(diǎn)M移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D到平面ACM的距離為定值第8頁(yè)/共23頁(yè)5C.當(dāng)M點(diǎn)與E點(diǎn)重合時(shí)，平面ACM與平面CCDD夾角的正弦值為1137AE1ACMABCD所得截面面積為1D.當(dāng)M點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體111【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)平行線確定一個(gè)平面即可判斷，對(duì)BC建立空間坐標(biāo)系進(jìn)行判斷，對(duì)D作出截面圖形，并求出相關(guān)長(zhǎng)度，利用面積公式即可求出.1//CC,1,C,C四點(diǎn)共面，1【詳解】對(duì)A，因?yàn)?，所以點(diǎn)1A1平面ACM，故A正確；當(dāng)M點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線1對(duì)B，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，12A1,0,0C0因?yàn)镋為CD中點(diǎn)，則設(shè)1，tM1t,t,1，，，1AMt,tDA1,0,0AC0則，，，xy0ACm0mx,y,zACM設(shè)平面的方向量為，則，即，txtyz0AMm0y1，則xztt，m，所以令DAm11d，顯然不是定值，故B錯(cuò)誤；則點(diǎn)D到平面ACM的距離m2t1212t22121,0,0，1對(duì)C，當(dāng)M點(diǎn)與E點(diǎn)重合時(shí)，由B知此時(shí)t，m，平面CCDD的法向量112第9頁(yè)/共23頁(yè)mn123cosACMCCDD夾角為mn2設(shè)平面與平面，1，11122122235則sin1，故C正確；3ACACBD1A的方向平移，直至該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，交于點(diǎn)1對(duì)D，連接，并在上底面內(nèi)將直線沿著111111CDN，P，交于點(diǎn)111//CC1CCAACCAC//AC因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以?11111PN//CMPN，因?yàn)椋?/，因?yàn)辄c(diǎn)1ACMABCDAPNC所得的圖形為四邊形，所以平面截正方體1111D不妨以為坐標(biāo)原點(diǎn)，在上底面內(nèi)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，11211,則A1,E,0中點(diǎn)，則AE1M，因?yàn)镸為線段，142PN//Ck1，設(shè)直線PNyxb，代入點(diǎn)M坐標(biāo)得根據(jù)直線，則的方程為，則點(diǎn)P位于線段C111343b，解得byxADA的四分之一等分點(diǎn)處，且靠近點(diǎn)，1，則11244NCD的四分之一等分點(diǎn)處，且靠近點(diǎn)11點(diǎn)位于線段，1231174PN2，2//，則CN12，AC，結(jié)合442324222ACPN2174668APNCAP2則四邊形為等腰梯形，則其高為,2123466733則S梯形APNC22，故D正確.832故選：ACD.第10頁(yè)/共23頁(yè)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題BC選項(xiàng)的關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面的距離公式和面面角的空間向量求法進(jìn)行計(jì)算判斷，對(duì)D選項(xiàng)的關(guān)鍵是作出截面圖形，并求出相關(guān)長(zhǎng)度，得出其截面為等腰梯形，最后計(jì)算面積即可.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．a(chǎn)ba2b513.已知向量a,b滿足，則ab________．4【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得.ab52ab3，【詳解】由，得ab24ab25，而ab則4494b25，所以.4故答案為：43πxfx2asinxcosxbxab014.已知的部分圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，4的最大值為_(kāi)_______．fx第11頁(yè)/共23頁(yè)【答案】3【解析】3π【分析】由圖象求出函數(shù)的解析式，然后利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)在上fxfx4的最大值.【詳解】因?yàn)閒x2asinxcosxbxasinxbxab0，fxAsinxA0,0設(shè)，ππ6122π2π由圖可知，函數(shù)的最小正周期為T4π，則2，fxTπfxfx22fx2sin2x，又因?yàn)锳2，則22π12π6π6f2sin2，可得sin1，因?yàn)棣笑?π所以，Z，則2πk2πkZ，6232π2πfx2sin2x則2π2sin2x，333π2π2π13π0x2x當(dāng)時(shí)，，43362π3故fx22sin3.32故答案為：3.x22y22ab0)的直線交橢圓于P,Q15.已知點(diǎn)F為橢圓ab3FPFQFPFQ兩點(diǎn)，，則該橢圓的離心率為_(kāi)_______．【答案】31##13【解析】△OFPQ【分析】分析得四邊形為矩形，則得到為正三角形，再利用橢圓定義和離心率定義即可.FQ，F(xiàn)c【詳解】令橢圓的左焦點(diǎn)為，半焦距為，分別連接FP，1第12頁(yè)/共23頁(yè)FPFQFPFQQ為矩形，由而，得四邊形πFOP△為正三角形，所以|c，F(xiàn)PcOFP，則，3c2aPF|PF(3ce31，，則橢圓離心率為a故答案為：31.的前項(xiàng)和為，且Sn1，記，則nanSn2anna21a22a23a2n16.已知數(shù)列________；n若數(shù)列滿足bT20n3，則bbbLb的最小值是________．bnnn123n41n【答案】【解析】①.②.3為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通aannanS【分析】由與的關(guān)系推導(dǎo)出數(shù)列nT所有非正數(shù)項(xiàng)，bnbnnbbbLb的最小值.n即可求得123【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，且S2a1，annSnnn當(dāng)n1時(shí)，則aS2a1a1，解得，1111S2a1S可得n12n11，a2a當(dāng)n2時(shí)，由nna2a2a上述兩個(gè)等式作差可得，則，n1nnn1n所以，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則a12n12n1，nana2n14na2n4n14，且a1，21所以，，則2n4n1a第13頁(yè)/共23頁(yè)114n41nn所以，n1222322，143bT20n34n20n4，nn則bn4n120n144n20n43420n，n1當(dāng)n1時(shí)，bb0，即bb，1221當(dāng)n2時(shí)，，則，故數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始單調(diào)遞增，bnbn1n34n200bbnn1b2001b0b，34因?yàn)椋襜bbLbbbb2028048.123所以，的最小值為123n4n1故答案為：；.3四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15//CD,ABBCCD417.在梯形ABCD中，為鈍角，，sinBCD．4cosBDC（1）求；（2）設(shè)點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．7【答案】（1）；834（2）2【解析】1）在△BCD中利用余弦定理求出BD，再利用二倍角的余弦公式計(jì)算即得.（2）利用（1）的結(jié)論，借助向量數(shù)量積求出的長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】ABCD//CD,為鈍角，得BCD在梯形中，由是銳角，1415在△BCD中，sinBCD，則1sinBCD2，BCD41BD22422244，即△BCD為等腰三角形，由余弦定理得4第14頁(yè)/共23頁(yè)78coscos(π2BCD)2BCD12BCD2所以.【小問(wèn)2詳解】12(BABD)，//CDEADBE由，得，由點(diǎn)為的中點(diǎn)，得|BE22121734BABD2BABD2242224所以.282的公差為，前項(xiàng)和為，滿足Sn．a(chǎn)nnS4SS18.已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列212（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；ann1（2）令bnπb，求數(shù)列的前項(xiàng)和n．nnnaann1a2n1n【答案】（1）1111nTnn，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，Tn.（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，2n332n33【解析】na11）根據(jù)等差數(shù)列前和公式即可求出，則得到其通項(xiàng)公式；n（2）分為奇數(shù)和偶數(shù)討論并結(jié)合裂項(xiàng)求和即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得是公差為2的等差數(shù)列，且SSS，an4124a12a2a2，又因?yàn)閍01a3，所以，1即111所以數(shù)列的通項(xiàng)公式aa(nd2n1.n1an【小問(wèn)2詳解】4n12n12n311由（1）知bnπnπ，n2n12n31111113557791111nnT當(dāng)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，，n2n12n32n33111111TTn,(n，nn12n332n132n12n3第15頁(yè)/共23頁(yè)11經(jīng)檢驗(yàn)，n1時(shí)，滿足Tn，2n3311n綜上，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，Tn，2n3311nTn當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.2n3319.“雙碳目標(biāo)”“雙碳目標(biāo)”6年產(chǎn)值情況，數(shù)據(jù)如下表所示：年份編號(hào)x2018201920202021202220231923456產(chǎn)值y/百萬(wàn)輛1830515980（1）若用模型0.01yaebx擬合y與x的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（精確到（2）為了進(jìn)一步了解車主對(duì)電動(dòng)汽車的看法，從某品牌汽車4S店當(dāng)日5位購(gòu)買電動(dòng)汽車和3位購(gòu)買燃油汽車的車主中隨機(jī)選取4位車主進(jìn)行采訪，記選取的4位車主中購(gòu)買電動(dòng)汽車的車主人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望，66iixu80.58uy．ii參考數(shù)據(jù)：，其中ii1i1參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)x,yi,n)i，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線?bx?的斜率截距的最小二乘估計(jì)?inxynxyii?分別為bi1n,?ybx．i2nx2i1y1.980.43x【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】1）令uyaebxa，利用最小二乘法求出，即可得解；XH5,8可得出隨機(jī)變量的分布列，利用超幾何分布的期望公式可（2）分析可知，利用超幾何分布求第16頁(yè)/共23頁(yè)【小問(wèn)1詳解】令uyaebxa12345620.886x3.5，u3.48，66xunxuii80.5863.53.48345663.5?bi10.43，則6122222222i2nx2i1?3.480.433.51.98，所以?，yaebxe1.98e0.43x1.980.43xe所以【小問(wèn)2詳解】X2,3,4由題意得，C1C5483351Px1，，，C7014C25CC23307037Px248C35C1330703Px3C487C45CC0351Px4，487014分布列為：X1234137371P45EX2.5數(shù)學(xué)期望820.如圖，四棱錐P中，PA底面ABCD，四邊形ABCD中，ABAP，ABAD,ABAD2,CDA45．第17頁(yè)/共23頁(yè)P(yáng)BC（1）若E為PB的中點(diǎn)，求證：平面平面ADE；．6（2）若平面PAB與平面所成的角的余弦值為6（?。┣缶€段AB的長(zhǎng)；（ⅱ）設(shè)G為內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且GBGA，求滿足條件的所有點(diǎn)G組成的軌跡的長(zhǎng)度．【答案】20.證明見(jiàn)解析；321.（?。?ⅱ）π.3【解析】1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質(zhì)、判定，再結(jié)合面面垂直的判定推理即得.（2AABtt并確定軌跡求解即得.【小問(wèn)1詳解】PPAABCD，ADABCDPAAD，則，在四棱錐中，底面平面ABAD,ABPA,AB,PAADPAB，又平面PAB，而平面PAB，于是平面ABAPEAEPB,AEAD,AE,AD平面ADE，則ADPB，由，為PB的中點(diǎn)，得因此PB平面ADE，而平面，PBC所以平面【小問(wèn)2詳解】（?。┯桑?）知，直線AB,AD,兩兩垂直，平面ADE.x,y,z以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB,AD,分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，第18頁(yè)/共23頁(yè)過(guò)C作CFAD于F，由CD2,，得CFDF1，令t(0t，PtD6t,Ct,0)(0,6t,tCD(，則，nPD(6t)ytz0yt，得nt,t,6t)，設(shè)平面的法向量n(x,y,z)，則，令nCDxy0由AD平面PAB，得平面PAB的一個(gè)法向量m0)，|mn|t1|cos,nt0t120，而，解得依題意，，整理得t2|m||n|22(6t)26ttt2，所以線段AB的長(zhǎng)為2.（ⅱ）顯然平面PAD，而平面PAD，則，又，BG2AG233233(2AG)2AG222，解得AG，因此點(diǎn)G的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，為半徑的圓的于是1，412333所以點(diǎn)G的軌跡的長(zhǎng)度為ππ.23B2,0MC于點(diǎn)Q21.已知點(diǎn)M為圓C:(x2)2y24上任意一點(diǎn)，的垂直平分線交直線．（1）求Q點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)ClQ的直線與點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限內(nèi)．已知PPA0，請(qǐng)問(wèn)是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．y2【答案】（1）x213（2）2，證明見(jiàn)解析.【解析】第19頁(yè)/共23頁(yè)1）利用雙曲線定義即可得到其方程；（2）先得到特殊情況時(shí)2，再證明其對(duì)一般情況也適用.【小問(wèn)1詳解】連接QB‖||QC‖||QC|CMBC42)，則，Q點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)C，B為焦點(diǎn)的雙曲線