高中數(shù)學(xué)定理證明

高中數(shù)學(xué)定理證明

高中數(shù)學(xué)定理證明數(shù)學(xué)公式

拋物線：y=ax*+bx+c

就是y等于ax的平方加上bx再加上c

a>0時(shí)開口向上

ac=O時(shí)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)

b=0時(shí)拋物線對稱軸為y軸

還有頂點(diǎn)式y(tǒng)=a*+k

就是y等于a乘以的平方+k

-h是頂點(diǎn)坐標(biāo)的x

k是頂點(diǎn)坐標(biāo)的y

一般用于求最大值與最小值

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程：/2=2px

它表示拋物線的焦點(diǎn)在x的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為準(zhǔn)線

方程為x=-p/2

由于拋物線的焦點(diǎn)可在任意半軸，故共有標(biāo)準(zhǔn)方程-2

二2Pxy-2二一2pxx^2=2pyx^2=-2py

圓：體積二4/3

面積二

周長二2r

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2+2=r2注：是圓心坐標(biāo)

圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=O注：D2+E2-4F>0

橢圓周長計(jì)算公式

橢圓周長公式：L=2nb+4

橢圓周長定理：橢圓的周長等于該橢圓短半軸長為半

徑的圓周長加上四倍的該橢圓長半軸長與短半軸長的差。

橢圓面積計(jì)算公式

橢圓面積公式：S=nab

橢圓面積定理：橢圓的面積等于圓周率乘該橢圓長半

軸長與短半軸長的乘積。

以上橢圓周長、面積公式中雖然沒有出現(xiàn)橢圓周率T,

但這兩個(gè)公式都是通過橢圓周率T推導(dǎo)演變而來。常數(shù)為

體，公式為用。

橢圓形物體體積計(jì)算公式橢圓的長半徑*短半徑*PAI*

高

三角函數(shù)：

兩角和公式

sin=sinAcosB+cosAsinBsin=sinAcosB-sinBcosA

cos=cosAcosB-sinAsinBcos=cosAcosB+sinAsinB

tan=/tan=/

cot=/cot=/

倍角公式

tan2A=2tanA/cot2A=/2cota

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a

sina+sin+sin+sin+....+sin[a+2n*/n]=0

cosa+cos+cos+cos+...+cos[a+2n*/n]=0以及

sin"2+sirT2+sirT2=3/2

tanAtanBtan+tanA+tanB-tan=0

?萬能公式：

sina=2tan/[l+tan^2]

cosa=[l-tan2]/[l+tan2]

tana-2tan/[1-tan⑵

半角公式

sin=V/2)sin=-V/2)

cos=V/2)cos=-V/2)

tan=V/)tan=-V/)

cot=V/)cot=-V/)

和差化積

2sinAcosB=sin+sin2cosAsinB=sin-sin

2cosAcosB=cos-sin_2sinAsinB=cos-cos

sinA+sinB=2sin/2)cos/2cosA+cosB=2cos/2)sin/2)

tanA+tanB=sin/cosAcosBtanA-tanB=sin/cosAcosB

cotA+cotBsin/sinAsinB-cotA+cotBsin/sinAsinB

某些數(shù)列前n項(xiàng)和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n/21+3+5+7+9+11+13+15+…

+=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+=nr2+2-2+3-2+，2+5-2+61

2+72+82+,,e+n2=n/6

r3+2~3+313+413+513+613+—廣3=/2-21*2+2

*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n=n/3

正弦定理a/sinA二b/sinB二c/sinC=2R注：其中R表示

三角形的外接圓半徑

余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是邊a和邊c的

夾角

乘法與因式分a2-b2=a3+b3=a3-b3=

三角不等式Ia+bW|a|+1b||a-b|W|a|+|b||a|Wb-b

WaWb

|a-b||a|-1b|-1a|WaW|a|

—*元二次方程的解-b+J/2a-b-V/2a

根與系數(shù)的關(guān)系xl+x2=-b/axl*x2=c/a注：韋達(dá)定理

判別式b2-4a=0注：方程有相等的兩實(shí)根

b2-4ac>0注：方程有兩個(gè)不相等的個(gè)實(shí)根

b2-4ac公式分類公式表達(dá)式

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2+2=r2注：是圓心坐標(biāo)

圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=~2py

直棱柱側(cè)面積S=c*h斜棱柱側(cè)面積S二c'*h

正棱錐側(cè)面積S=l/2c*h'正棱臺側(cè)面積S=l/2h'

圓臺側(cè)面積S=l/21=pil球的表面積S=4pi*r2

圓柱側(cè)面積S=c*h=2pi*h圓錐側(cè)面積S=l/2*c*l=pi

*r*l

弧長公式1二a*ra是圓心角的弧度數(shù)r>0扇形面積公式

s=l/2*l*r

錐體體積公式V=1/3*S*H圓錐體體積公式V=1/

3*pi*r2h

斜棱柱體積V二S'L注：其中,S'是直截面面積，L是側(cè)

棱長

柱體體積公式V=s*h圓柱體V=pi*r2h

圖形周長面積體積公式

長方形的周長=X2

正方形的周長二邊長X4

長方形的面積=長又寬

正方形的面積二邊長X邊長

三角形的面積

已知三角形底a,高h(yuǎn),則S=ah/2

已知三角形三邊a,b,c,半周長p,則S=V[p]/2)

和：**1/4

已知三角形兩邊a,b,這兩邊夾角C,則S二absinC/2

設(shè)三角形三邊分別為a、b、c,內(nèi)切圓半徑為r

則三角形面積二r/2

設(shè)三角形三邊分別為a、b、c,外接圓半徑為r

則三角形面積=abc/4r

已知三角形三邊a、b、c,貝ijS=J{1/4卜2-2-/2廠2]}

Iabl|

$△=1/2*|cdl|

Iefl|

[Iabl|

|cdl|為三階行列式，此三角形ABC在平面直角坐標(biāo)系

內(nèi)A,B,C,這里ABC

|efl|

選區(qū)取最好按逆時(shí)針順序從右上角開始取，因?yàn)檫@樣

取得出的結(jié)果一般都為正值，如果不按這個(gè)規(guī)則取，可能

會得到負(fù)值，但不要緊，只要取絕對值就可以了，不會影

響三角形面積的大??！】

秦九韶三角形中線面積公式：

S=J[***]/3

其中Ma,Mb,Me為三角形的中線長.

平行四邊形的面積二底X高

梯形的面積二X高！2

直徑二半徑X2半徑二直徑92

圓的周長二圓周率X直徑二

圓周率X半徑X2

圓的面積;圓周率X半徑X半徑

長方體的表面積二

X2

長方體的體積二長X寬義高

正方體的表面積=棱長X棱長X6

正方體的體積二棱長X棱長X棱長

圓柱的側(cè)面積二底面圓的周長X高

圓柱的表面積二上下底面面積+側(cè)面積

圓柱的體積;底面積X高

圓錐的體積:底面積X高！3

長方體

的體積二底面積X高

平面圖形

名稱符號周長C和面積S

正方形a一邊長C=4a

S=a2

長方形a和b-邊長C=2

S二ab

三角形a,b,c-三邊長

h-a邊上的高

s-周長的一半

A,B,C-內(nèi)角

其中s=/2S=ah/2

=ab/2?sinC

=[s]1/2

=a2sinBsinC/

1過兩點(diǎn)有且只有一條直線

2兩點(diǎn)之間線段最短

3同角或等角的補(bǔ)角相等

4同角或等角的余角相等

5過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直

6直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段

最短

7平行公理經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條

直線平行

8如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互

相平行

9同位角相等，兩直線平行

10內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

11同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

12兩直線平行，同位角相等

13兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

14兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

15定理三角形兩邊的和大于第三邊

16推論三角形兩邊的差小于第三邊

17三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

18推論1直角三角形的兩個(gè)銳角互余

19推論2三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)

角的和

20推論3三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰

的內(nèi)角

21全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等

22邊角邊公理有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三

角形全等

23角邊角公理有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三

角形全等

24推論有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角

形全等

25邊邊邊公理有三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

26斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的

兩個(gè)直角三角形全等

27定理1在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離

相等

28定理2到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角

的平分線上

29角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合

30等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個(gè)底角相等

31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直

于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上

的高互相重合

33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都

等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相

等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等

35推論1三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角

形

37在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所

對的直角邊等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的

距離相等

40逆定理和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條

線段的垂直平分線上

41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的

所有點(diǎn)的集合

42定理1關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)圖形是全等形

43定理2如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸

是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線44定理3兩個(gè)圖形關(guān)于某直線

對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在對

稱軸上

45逆定理如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂

直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于

斜邊c的平方，即￡2+了2二院2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有

關(guān)系@-2+丁2二/2,那么這個(gè)三角形是直角三角形

48定理四邊形的內(nèi)角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于X180°

51推論任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對角相等

53平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對邊相等

54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對角線互相平

分

56平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形

是平行四邊形

57平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形

是平行四邊形

58平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是

平行四邊形

59平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形

是平行四邊形

60矩形性質(zhì)定理1矩形的四個(gè)角都是直角

61矩形性質(zhì)定理2矩形的對角線相等

62矩形判定定理1有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

63矩形判定定理2對角線相等的平行四邊形是矩形

64菱形性質(zhì)定理1菱形的四條邊都相等

65菱形性質(zhì)定理2菱形的對角線互相垂直，并且每一

條對角線平分一組對角

66菱形面積二對角線乘積的一半，即s=+2

67菱形判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

68菱形判定定理2對角線互相垂直的平行四邊形是菱

形

69正方形性質(zhì)定理1正方形的四個(gè)角都是直角，四條

邊都相等

70正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對角線相等，并且

互相垂直平分，每條對角線平分一組對角

71定理1關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形是全等的

72定理2關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)

過對稱中心，并且被對稱中心平分

73逆定理如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，

并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對稱

74等腰梯形性質(zhì)定理等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相

等

75等腰梯形的兩條對角線相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形

是等腰梯形

77對角線相等的梯形是等腰梯形

78平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上

截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等

79推論1經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平

分另一腰

80推論2經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線,

必平分第三邊

81三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，

并且等于它的一半

82梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等

于兩底和的一半l二+2s=IXh

83比例的基本性質(zhì)如果a:b=c:d，那么ad二be如果

ad二be,那么a:b=c:d

84合比性質(zhì)如果a/b=c/d,那么/b=/d

85等比性質(zhì)如果a/b=c/d=…二m/n,那么/=a/b

86平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線,

所得的對應(yīng)線段成比例

87推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的

對應(yīng)線段成比例

88定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段

成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊

89平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線,

所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例

90定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所

構(gòu)成的三角形與原三角形相似

91相似三角形判定定理1兩角對應(yīng)相等，兩三角形相

似

92直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和

原三角形相似

93判定定理2兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形

相似

94判定定理3三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似

95定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另

一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這

兩個(gè)直角三角形相似

96性質(zhì)定理1相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比

與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比

97性質(zhì)定理2相似三角形周長的比等于相似比

98性質(zhì)定理3相似三角形面積的比等于相似比的平方

99任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳

角的余弦值等

于它的余角的正弦值

100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳

角的余切值等于它的余角的正切值

101圓是定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合

102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的

集合

103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集

合

104同圓或等圓的半徑相等

105到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓

心，定長為半徑的圓

106和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是著

條線段的垂直平分線

107到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角

的平分線

108到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條

平行線平行且距離相等的一條直線

109定理不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。

110垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所

對的兩條弧

111推論1①平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對

的兩條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條

弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平

分弦所對的另一條弧

H2推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等,

所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等

115