高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：雙曲線方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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雙曲線方程

1.雙曲線的第一定義：

11rl/西耽

尸Md-1■卡/曬Ktt

pr1H

⑴①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：.一般方程：.

⑵①i.焦點(diǎn)在x軸上：

頂點(diǎn)：焦點(diǎn)：準(zhǔn)線方程漸近線方程：或

ii.焦點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)：.焦點(diǎn)：.準(zhǔn)線方程：.漸近線方程：或，參數(shù)方程：或.

②軸為對(duì)稱軸，實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b,焦距2c.③離心率.④準(zhǔn)線距（兩準(zhǔn)線的距

離）；通徑.⑤參數(shù)關(guān)系.⑥焦點(diǎn)半徑公式：對(duì)于雙曲線方程（分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或分

別為雙曲線的上下焦點(diǎn)）

“長(zhǎng)加短減”原則：

構(gòu)成滿足（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號(hào)計(jì)算，而雙曲線不帶符號(hào)）

⑶等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.

⑷共加雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的

共朝雙曲線.與互為共朝雙曲線，它們具有共同的漸近線：.

⑸共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線方程可

設(shè)為.

例如：若雙曲線?條漸近線為且過，求雙曲線的方程？

解：令雙曲線的方程為：，代入得.

⑹直線與雙曲線的位置關(guān)系：

區(qū)域①：無(wú)切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；

區(qū)域②：即定點(diǎn)在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)3條；

區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)4條；

區(qū)域④：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；

區(qū)域⑤：即過原點(diǎn)，無(wú)切線，無(wú)與漸近線平行的直線.

小結(jié)：過定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、

4條.

(2)若直線與雙曲線一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個(gè)時(shí)，求確定直線的斜率可用代入法與漸近

線求交和兩根之和與兩根之積同號(hào).

⑺若P在雙曲線，則常用結(jié)論1：P到焦點(diǎn)的距離為m=n,則P到兩準(zhǔn)線的距離比

為m：n.

簡(jiǎn)證：=.

常用結(jié)論2：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)到另一條漸近線的距離等于b.

高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：棱錐定義與公式總結(jié)

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棱錐：棱錐是一個(gè)面為多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.

［注］:①一個(gè)棱錐可以四各面都為直角三角形.

②一個(gè)棱柱可以分成等體積的三個(gè)三棱錐;所以.

⑴①正棱錐定義：底面是正多邊形;頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心.

［注］:I.正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形.(不是等邊三角形)

ii.正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正△側(cè)棱與底棱不一定相等

iii.正棱錐定義的推論：若?個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）;

底面為正多邊形.

②正棱錐的側(cè)面積：（底面周長(zhǎng)為，斜高為）

③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：（側(cè)面與底面成的二面角為）

附：以知，，，為二面角.

則①，②，③①②③得

注：S為任意多邊形的血枳（可分別多個(gè)三角形的方法）.

三角函數(shù)公式大全

來(lái)源:三角函數(shù)|作者:三角函數(shù)|本文已影響385617人

三角函數(shù)看似很多，很復(fù)雜，但只要掌握了三角函數(shù)的本質(zhì)及內(nèi)部規(guī)律就會(huì)發(fā)現(xiàn)三角函

數(shù)各個(gè)公式之間有強(qiáng)大的聯(lián)系。而掌握三角函數(shù)的內(nèi)部規(guī)律及本質(zhì)也是學(xué)好三角函數(shù)的關(guān)鍵

所在，下面是學(xué)習(xí)方法網(wǎng)為大家整理的三角函數(shù)公式大全：

銳角三角函數(shù)公式

Sina=Za的對(duì)邊/斜邊

COSa=Za的鄰邊/斜邊

tana=/a的對(duì)邊/za的鄰邊

cota=Za的鄰邊/za的對(duì)邊

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosAA2-SinAA2=1-2SinAA2=2CosAA2-1

tan2A=(2tanA)/(1-tanAA2)

(注：SinAA2是sinA的平方sin2(A))

三倍角公式

sin3a=4sina?sin(冗/3+a)sin(n/3-Q)

C0S3a=4cosQ?COS(n/3+a)COS(n/3-a)

tan3a=tana?tan(n/3+a)?tan(n/3-a)

三倍角公式推導(dǎo)

sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

輔助角公式

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)sin(a+t),其中

sint=B/(AA2+BA2)A(1/2)

cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)

tant=B/A

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)cos(a-t),tant=A/B

降嘉公式

sinA2(a)=(1-cos(2a))/2=versin(2a)/2

cosA2(a)=(1+cos(2a))/2=covers(2a)/2

tanA2(a)=(1-cos(2a))/(1+cos(2a))

推導(dǎo)公式

tana+cota=2/sin2a

tana-cota=-2cot2a

1+COS2a=2cosA2a

1-COS2a=2sinA2a

1+sina=(sina/2+cosa/2)A2

=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina

=3sina-4sin³a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa

=4cos³a-3cosa

sin3a=3sina-4sin³a

=4sina(3/4-sin²a)

=4sina[(V3/2)²-sin²a]

=4sina(sin²60°-sin²a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

=4sinasin(600+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos³a-3cosa

=4cosa(cos²a-3/4)

=4cosa[cos²a-(V3/2)²]

=4cosa(cos²a-cos²30°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos300)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]

)

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(600+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述兩式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

sinA2(a/2)=(1-cos(a))/2

cosA2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

學(xué)習(xí)方法網(wǎng)[www.xuexifariQ]

三角和

sin(a+P+Y)=sina?cosB?cosY+cosa-sinP?cosY+cosa?cosB-sinY-

sina-sinP-sinY

cos(Q+B+Y)=cosa?cosP?cosY-cosa?sinP?sinY-sina?cosP?sinY-si

na-sinP?cosY

tan(a+B+Y)=(tana+tan6+tanY-tana-tanB?tanY)/(1-tana?tanP-tan

B?tanY-tanY-tana)

兩角和差

cos(a+P)=cosa?cosP-sina?sinP

cos(a-0)=cosa?cosP+sina?sinB

sin(a±0)=sina?cosB±cosa?sin3

tan(a+B)=(tana+tanP)/(1-tana?tanP)

tan(a-6)=(tana-tan3)/(1+tana?tanB)

和差化積

sino+sin<b=2sin[(0+*)/2]cos[(o-6)/2]

sin0-sin6=2cos[(。+6)/2]sin[(0-6)/2]

cos0+cos4)=2cos[(0+6)/2]cos[(0-6)/2]

cos0-cos6=-2sin[(0+4>)/2]sin[(0-6)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

積化和差

sinasinP=[cos(a-0)-cos(a+P)]/2

COSaCOSB=[cos(a+p)+COS(a-0)]/2

sinacosP=[sin(a+P)+sin(a-P)]/2

cosasin3=[sin(a+6)-sin(a-3)]/2

誘導(dǎo)公式

sin(-a)=-sina

COS(-a)=COSa

tan(—a)=-tana

sin(n/2-a)=COSa

COS(n/2-a)=sina

sin(H/2+a)=COSa

cos(n/2+a)=-Sina

sin(n-a)=sinQ

COS(n-a)=-COSa

sin(冗+a)=-sina

COS(n4-a)=-cosa

tanA=sinA/cosA

tan(五/2+a)=—cota

tan(n/2—a)=COta

tan(n—a)=-tana

tan(五+a)=tana

誘導(dǎo)公式記背訣竅：奇變偶不變，符號(hào)看象限

萬(wàn)能公式

sina=2tan(a/2)/[1+tan"(a/2)]

cosa=[1-tan"(a/2)]/1+tanA(a/2)]

tana=2tan(a12)1[1-tan'(a/2)]

其它公式

(1)(sina)A2+(cosa)A2=1

(2)1+(tana)A2=(seca)A2

(3)1+(cota)A2=(CSCa)A2

證明下面兩式，只需將一式，左右同除(sina)A2,第二個(gè)除(cos。)八2即可

(4)對(duì)于任意非直角三角形，總有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

證：

A4-B=n-C

tan(A+B)=tan(n-C)

(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan兀-tanC)/(1+tanntanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得證

同樣可以得證，當(dāng)x+y+z=n兀(nwZ)時(shí),該關(guān)系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA)A2+(cosB)A2+(cosC)A2=1-2cosAcosBcosC

(8)(sinA)A2+(sinB)A2+(sinC)A2=2+2cosAcosBcosC

(9)sina+sin(a+2n/n)+sin(a+2n*2/n)+sin(a+2n*3/n)+......+sin[a+2n

(n-1)/n]=0

COSa+cos(a+2n/n)+COS(a+2n*2/n)+COS(a+2n*3/n)+......+COS[a+2n*(

n-1)/n]=0以及

sinA2(a)+sinA2(a-2n/3)+sinA2(a+2n/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

高中數(shù)學(xué)數(shù)列公式及結(jié)論總結(jié)

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一、高中數(shù)列基本公式:

r*加=&

1、一般數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系：an=區(qū)一/*缶23

2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=ai+（n-1）dan=ak+（n-k）d（其中為首項(xiàng)、ak

為已知的第k項(xiàng)）當(dāng)dWO時(shí)，an是關(guān)于n的一次式：當(dāng)d=0時(shí)，an是一個(gè)常數(shù)。

3、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn=2Sn=2

g-D

H--=—■

Sn=°

當(dāng)dWO時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0：當(dāng)d=0時(shí)（a1WO）,Sn=na1是關(guān)于n的

正比例式。

nk

4、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=aiqean=akq-

（其中aI為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)，anW0）

5、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時(shí)，Sn=nai（是關(guān)于n的正比例式）；

力，一y

當(dāng)qW1時(shí)，Sn=1一?Sn=1一,

三、高中數(shù)學(xué)中有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論

1、等差數(shù)列｛an｝的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m,……

仍為等差數(shù)列。

2、等差數(shù)列同中，若m+n=p+q,則

3、等比數(shù)列｛aj中，若m+n=p+q,則

4、等比數(shù)列｛an｝的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m,……

仍為等比數(shù)列。

5、兩個(gè)等差數(shù)列｛an｝與｛bn｝的和差的數(shù)列｛an+bn｝、｛a『bn｝仍為等差數(shù)列。

6、兩個(gè)等比數(shù)列｛an｝與｛bn｝的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列

國(guó)圖

｛a—bn｝、I'J、仍為等比數(shù)列。

7、等差數(shù)列｛an｝的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。

8、等比數(shù)列｛an｝的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。

9、三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法：a-d,a,a+d；四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

10、三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法：a/q,a,aq；

四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：a/q3,a/q,aq,aq3（為什么？）

11、｛a。｝為等差數(shù)列，則（c>0）是等比數(shù)列。

12、｛bn｝（bn>0）是等比數(shù)列,則｛logcbn｝（C>0且C,1）是等差數(shù)列。

13.在等差數(shù)列中：

⑴若項(xiàng)數(shù)為加，貝IJ=1,

工山

（2）若數(shù)為"+T則，/一/=。%",

14.在等比數(shù)列中：

（1）若項(xiàng)數(shù)為X,則S.

（2）若數(shù)為則，S.

高中數(shù)學(xué)數(shù)列公式及結(jié)論總結(jié)

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一、高中數(shù)列基本公式:

r3=4

1、一般數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系：an=區(qū)一喜7（6刃

2,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+（n-1）dan=ak+（n-k）d（其中為首項(xiàng)、ak

為已知的第k項(xiàng)）當(dāng)d#0時(shí)，an是關(guān)于n的一次式；當(dāng)d=0時(shí)，an是一個(gè)常數(shù)。

3、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn=工Sn=2

■%----:—■

Sn=Z

當(dāng)dWO時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0；當(dāng)d=0時(shí)（a】關(guān)0）,Sn=na1是關(guān)于n的

正比例式。

111nk

4、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a!q-an=akq-

（其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)，anWO）

5、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na］（是關(guān)于n的正比例式）；

-力■

當(dāng)qW1時(shí)，Sn=1-0Sn=1一.

三、高中數(shù)學(xué)中有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論

1、等差數(shù)列｛an｝的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m>……

仍為等差數(shù)列。

2,等差數(shù)列⑸中，若m+n=p+q,則，

3、等比數(shù)列｛aj中，若m+n=p+q,則

4、等比數(shù)列｛an｝的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m,……

仍為等比數(shù)列。

5、兩個(gè)等差數(shù)列｛an｝與｛bn｝的和差的數(shù)列｛an+bn｝、｛an-bn）仍為等差數(shù)列。

6、兩個(gè)等比數(shù)列｛a。｝與｛bj的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列

｛a/bj、I.J、氏J仍為等比數(shù)列。

7、等差數(shù)列｛aQ的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。

8、等比數(shù)列｛a。｝的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。

9、三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法：a-d,a,a+d：四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

10、三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法:a/q,a,aq；

四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：a/q3,a/q,aq,aq3（為什么？）

11、｛an｝為等差數(shù)列，則（00）是等比數(shù)歹人

12、｛bn｝（bn>0）是等比數(shù)列，則｛logcbn｝（C>0且c*1）是等差數(shù)列。

13.在等差數(shù)列W中：

/J

⑴若項(xiàng)數(shù)為2■，則$?一&=1s*，

（2）若數(shù)為如+1貝Ij,S."

14.在等比數(shù)列中：

土=.

（1）若項(xiàng)數(shù)為h，則.

S.F,

⑵若數(shù)為則，％

高中數(shù)學(xué)函數(shù)公式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

（1）高中函數(shù)公式的變量：因變量，自變量。

在用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí)，通常用水平方向的數(shù)軸上的點(diǎn)自變量，用豎直方向的

數(shù)軸上的點(diǎn)表示因變量。

（2）一次函數(shù)：①若兩個(gè)變量；.，工間的關(guān)系式可以表示成>=匕+?（土為常數(shù)，-

不等「0）的形式，則稱：?是工的?次函數(shù)。②當(dāng)土=0時(shí)?，稱廠是工的正比例函數(shù)。

（3）高中函數(shù)的一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

①把一個(gè)函數(shù)的自變量工與對(duì)應(yīng)的因變量尸的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在直角坐

標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。

②正比例函數(shù)?：=:工的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線。

③在一次函數(shù)中，當(dāng)t<0,<0,則經(jīng)2、3、4象限；當(dāng)牛<0,上〉0時(shí)，則

經(jīng)1、2、4象限；當(dāng)去>0,i<0時(shí)?，則經(jīng)1、3、4象限；當(dāng)+>0,->0時(shí)，

則經(jīng)1、2、3象限。

④當(dāng)生、0時(shí)，；的值隨叉值的增大而增大，當(dāng)*＜0時(shí)，產(chǎn)的值隨工值的增大而減

少。

（4）高中函數(shù)的二次函數(shù)：

a

y="=o（x+—）4-^（^-K=一■—,

①一般式：&4a（?*0）,對(duì)稱軸是2a

a

rb4oc-*x

頂點(diǎn)是2a4a.

②頂點(diǎn)式：“qx+J+k（30）,對(duì)稱軸是”=F頂點(diǎn)是（F㈤；

③交點(diǎn)式：＞=4］一"（*一項(xiàng)（?*0）,其中（，?°）,（??0）是拋物線與x軸的

交點(diǎn)

（5）高中函數(shù)的二次函數(shù)的性質(zhì)

__2

①函數(shù)辰%（，，助的圖象關(guān)于直線一2?對(duì)稱。

b

②時(shí)，在對(duì)稱軸左側(cè)，主值隨工值的增大而減少；在對(duì)稱軸

bb

---X--------

加）右側(cè)；產(chǎn)的值隨H值的增大而增大。當(dāng)2d時(shí)，了取得最小值

Aac-b2

4a

b

③。＜0時(shí)，在對(duì)稱軸2a）左側(cè)，：.值隨工值的增大而增大；在對(duì)稱軸

b_b_

）右側(cè)；主的值隨h值的增大而減少。當(dāng)"加時(shí)，：一取得最大值

4a

9高中函數(shù)的圖形的對(duì)稱

（1）軸對(duì)稱圖形：①如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那

么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸。②軸對(duì)稱圖形上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)

確定的線段被對(duì)稱軸垂直平分。

（2）中心對(duì)稱圖形：①在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互

相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做他的對(duì)稱中心。②中心對(duì)稱圖形上的

每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連成的線不等式的基本'性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)

1.不等式的定義：a-b>0Qa>b,a-b=0=a=b,a-b<0=a<b。

①其實(shí)質(zhì)是運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算來(lái)定義兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系。它是本章的基礎(chǔ)，也是證明不

等式與解不等式的主要依據(jù)。

②可以結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的證明這個(gè)熟悉的知識(shí)背景，來(lái)認(rèn)識(shí)作差法比大小的理論基礎(chǔ)是

不等式的性質(zhì)。

作差后，為判斷差的符號(hào)，需要分解因式，以便使用實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則。

如證明y=x3為單增函數(shù)，

設(shè)Xi,X2G(-OO)+OO),XI<X2，

33222

f(X1)-f(X2)=X1-X2=(X1-X2)(X1+X1X2+X2)=(X1-X2)[(X1+2)

3

2

+彳X2]

土2

再由(Xi+2尸+4X2?〉。，X「X2<0,可得f(Xj<f(X2),f(x)為單增。

2.不等式的性質(zhì)：

①不等式的性質(zhì)可分為不等式基本性質(zhì)和不等式運(yùn)算性質(zhì)兩部分。

不等式基本性質(zhì)有：

(1)a>b=bva(對(duì)稱性)

(2)a>b,b>c=>a>c(傳遞性)

(3)a>b=a+c>b+c(ceR)

(4)c>(W,a>b<=>ac>be

evO時(shí)，a>b=acvbc。

運(yùn)算性質(zhì)有：

(1)a>b,c>d=>a+c>b+do

(2)a>b>0,c>d>0=>ac>bdo

(3)a>b>O=>an>bn(neN,n>1)o

(4)a>b>0n方>“(nGN,n>1)。

應(yīng)注意，上述性質(zhì)中，條件與結(jié)論的邏輯關(guān)系有兩種：“n”和”即推出關(guān)系

和等價(jià)關(guān)系。一般地，證明不等式就是從條件出發(fā)施行一系列的推出變換。解不等式就是施

行一系列的等價(jià)變換。因此，要正確理解和應(yīng)用不等式性質(zhì)。

②關(guān)于不等式的性質(zhì)的考察,主要有以下三類問題:

(1)根據(jù)給定的不等式條件，利用不等式的性質(zhì)，判斷不等式能否成立。

(2)利用不等式的性質(zhì)及實(shí)數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)性質(zhì)，判斷實(shí)數(shù)值的大小。

(3)利用不等式的性質(zhì)，判斷不等式變換中條件與結(jié)論間的充分或必要關(guān)系。

段都被對(duì)稱中心平分。

球的有關(guān)知識(shí)總結(jié)

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球的有關(guān)知識(shí)

⑴球的截面是一個(gè)圓面

①球的表面積公式：居-3’.

②球的體積公式：1.

⑵球中的緯度、經(jīng)度：

①緯度：地球上?點(diǎn)戶的緯度是指經(jīng)過P點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).

②經(jīng)度：地球上4、兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點(diǎn)的經(jīng)線與地軸所確定的二個(gè)半平面

的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)上的經(jīng)線是本初子午線時(shí)，這個(gè)二面角的度數(shù)就是"點(diǎn)

的經(jīng)度.

附：①圓柱體積：■:(，為半徑，★為高)

(3)內(nèi)切球有關(guān)知識(shí)

①內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時(shí)，設(shè)邊長(zhǎng)為a,>

得434J44144

Vim」,荻“3+%液=S??

注：球內(nèi)切于四面體：33

②外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.

橢圓方程式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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橢圓方程式初返點(diǎn)總結(jié)

1.橢圓方程的第一定義:

E.E=?*蹣51MsM

⑴①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

i.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上：下一――.ii.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在尸軸上:

②-般方程：.③橢圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：7+尸.1的參數(shù)方程為

Q

（一象限.應(yīng)是屬于工）

⑵①頂點(diǎn)：RX3/或但**1*?.②軸：對(duì)稱軸：x軸，了軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)融.③

焦點(diǎn)：PW）或慎YXA?.④焦距：T-5.⑤準(zhǔn)線:A±7?或

±—■-￡（JDY.YD

■.⑥離心率：■.⑦焦點(diǎn)半徑：

、■如

J->-?■=*設(shè)?界】為橢圓4+/產(chǎn)4上的一點(diǎn)，八人為左、

右焦點(diǎn)，則

由橢圓方程的第二定義可以推出.

設(shè)也?加）為橢圓上的一點(diǎn)，,hz為

上、下焦點(diǎn)，則

由橢圓方程的第二定義可以推出.

由橢圓第二定義可知：叫??石?一*3歸結(jié)起來(lái)為

“左加右減”.

注意：橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)：得方程的軌跡為橢圓.

⑧通徑：垂直于x軸且過焦點(diǎn)的弦叫做通經(jīng).坐標(biāo)：/.審?9和y9

⑶共離心率的橢圓系的方程：橢圓』r的離心率是?，方

程Yy是大于0的參數(shù)，?A8A》的離心率也是■我們稱此方程為共離心率的

橢圓系方程.

⑸若P是橢圓：/P上的點(diǎn)為焦點(diǎn)，若則3/z的面積為

■9

***>（用余弦定理與E+E1可得）,若是雙曲線，則面積產(chǎn)f.

平面平行與平面垂直

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平面平行與平面垂直

1.空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行.

2.平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，哪么這兩個(gè)

平面平行.（“線面平行，面面平行”）

推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.

［注］:一平面間的任一直線平行于另一平面.

3.兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平

行.（“面面平行，線線平行”）

4.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直.

兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個(gè)平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于

這個(gè)平面.（“線面垂直，面面垂直”）

注：如果兩個(gè)二面角的平面對(duì)應(yīng)平面互相垂直，則兩個(gè)二面角沒有什么關(guān)系.

A-----------------f5.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂

直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面.

推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.

證明：如圖，找。作OA、0B分別垂直于與A,

因?yàn)镴lfuAiM_LaHfu■aB_LM則（nr_LCU_MfJ_B

6.兩異面直線任意兩點(diǎn)間的距離公式：

S'+J?了（田為銳角取加,■為鈍取減,綜上,都取加則必有?4回）

7.⑴最小角定理：（4為最小角，如圖）

⑵最小角定理的應(yīng)用（NPBN為最小角）

他記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補(bǔ)角一半長(zhǎng)，一定有4條.

成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補(bǔ)角小，一定有2條.

成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.

成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有.

棱錐的性質(zhì)總結(jié)

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棱錐具有的性質(zhì)：

①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它

叫做正棱錐的斜高）.

②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、

側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形.

⑶特殊棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影位置：

①棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.

②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.

③棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.

④棱錐的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.

⑤三棱錐有兩組對(duì)棱垂直，則頂點(diǎn)在底面的射影為三角形垂心.

⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面上的射影為三角形的垂心.

⑦每個(gè)四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點(diǎn)，此點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離等于

球半徑；

⑧每個(gè)四面體都有內(nèi)切球，球心】是四面體各個(gè)二面角的平分面的交點(diǎn)，到各面的距離

等于半徑.

各個(gè)側(cè)面都是等腰三角形，且底面是iE方形的棱錐是正四棱錐.

(X)(各個(gè)側(cè)血的等腰三角形不知是否全等)

ii.若一個(gè)三角錐，兩條對(duì)角線互相垂直，則第三對(duì)角線必然垂直.

=>?-￡-o則

iii.空間四邊形OABC且四邊長(zhǎng)相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊形一定是矩形.

iv.若是四邊長(zhǎng)與對(duì)角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊是一定是正方形.

筒證：取AC中點(diǎn)=，則”

90°易知EFGH為平行四棱錐定義與公式總結(jié)

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棱錐：棱錐是一個(gè)面為多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.

［注］:①一個(gè)棱錐可以四各面都為直角三角形.

②一個(gè)棱柱可以分成等體積的三個(gè)三棱錐；所以V**=4=3V

⑴①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心.

［注］:i.正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）

ii.正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正△側(cè)棱與底棱不一定相等

iii.正棱錐定義的推論：若一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）：底

面為正多邊形.

②正棱錐的側(cè)面積：2（底面周長(zhǎng)為C，斜高為0）

③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：au（側(cè)面與底面成的二面角為「）

附：以知。J_La為二面角—J.

1y$0

&=-a-l=—l-A-Sfil=------

則'2①，,2②，一①②③得eana.

注：S為任意多邊形的面積（可分別多個(gè)三角形的方法）.

邊形nEFGH為長(zhǎng)方形.若對(duì)角線等，則=?*。=>4?為正方形.

雙曲線方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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雙曲線方程

1.雙曲線的第一定義:

pF1H1Tli-'”/內(nèi)內(nèi)safi

11rl

pr1Hl4”|F1rl叫

■X2-一/々”■依“0^J，3.一X12.也“中

⑴①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：/笳/胡.一般方程：

⑵①i.焦點(diǎn)在x軸上：

r

頂點(diǎn)：H,?*SkzEm焦點(diǎn)：MmXE準(zhǔn)線方程Q漸近線方程：—■t—?"0或

4.4-

Q

ii.焦點(diǎn)在了軸上：頂點(diǎn)：O.-4.M焦點(diǎn)：（W再準(zhǔn)線方程：尸±T.漸近

線方程：:北工.。或7"一尸?，參數(shù)方程：&■■?或1J?一?.

②軸K事為對(duì)稱軸，實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b,焦距2c.③離心率④準(zhǔn)線距二"

（兩準(zhǔn)線的距離）；通徑⑤參數(shù)關(guān)系'7叱.?:.⑥焦點(diǎn)半徑公式：對(duì)于雙曲

線方程（分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線的上下焦點(diǎn)）

“長(zhǎng)加短減”原則:

構(gòu)成滿足皿

（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號(hào)計(jì)算，而雙曲線不帶符號(hào)）

pO'il-

l^il-

⑶等軸雙曲線：雙曲線V"稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為7-乜，離心率■■中.

（4）共舸雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共腕

嘉。-*^-a-町?/

丁如果雙曲線的漸近線為,?時(shí).，它的雙曲線方程可設(shè)為「中

例如：若雙曲線一條漸近線為尸^*且過4寸，求雙曲線的方程？

馬廿s嗎代入得^

解：令雙曲線的方程為:

⑹直線與雙曲線的位置關(guān)系：

區(qū)域①：無(wú)切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；

區(qū)域②：即定點(diǎn)在雙曲線匕1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)3條；

區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)4條；

區(qū)域④：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條：

區(qū)域⑤：即過原點(diǎn)，無(wú)切線，無(wú)與漸近線平行的直線.

小結(jié)：過定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4

條.

（2）若直線與雙曲線一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個(gè)時(shí)，求確定直線的斜率可用代入.▲?法與漸

近線求交和兩根之和與兩根之積同號(hào).

⑺若P在雙曲線,則常用結(jié)論1：P到焦點(diǎn)的距離為m=n,則P到兩準(zhǔn)線的

距離比為m：n.

gil

%.■

叫g(shù)』■

簡(jiǎn)證：=?.

常用結(jié)論2：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)到另一條漸近線的距離等于b.

拋物線的方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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拋物線方程

1設(shè)，“，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì):

1

圖形業(yè)X

b

代-----------1——彳本

焦點(diǎn)喉內(nèi)E令

準(zhǔn)線T1■點(diǎn)J■(

范圍nJlyXKE4J"

對(duì)稱軸*：1￥軸

頂點(diǎn)（0，0）

離心率■-1

焦點(diǎn)

1Ml吒E兀

注：①，頂點(diǎn)

②?期則焦點(diǎn)半徑?,則焦點(diǎn)半徑為葉1

③通徑為2p,這是過焦點(diǎn)的所有弦中最短的.

④六曲（或'*）的參數(shù)方程為b.3（或）（才為參數(shù)）.

橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

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橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

橢圓雙曲線拋物線

定義1.到兩定點(diǎn)E,F2的距離1,到兩定點(diǎn)R,F2的距離

之和為定值之差的絕對(duì)值為定值

2a（2a>|FF2|）的點(diǎn)的軌2a（0<2a<|FiF2|）的點(diǎn)

跡的軌跡

2.與定點(diǎn)和直線的距離之2.與定點(diǎn)和直線的距離與定點(diǎn)和直線的距離相等的

比為定值e的點(diǎn)的軌跡.之比為定值e的點(diǎn)的軌點(diǎn)的軌跡.

（0<e<1）跡.（e>1）

圖形

標(biāo)準(zhǔn)方

交￡=i

方程事4r2

ar(a>i>o)y=2px

(a>0,b>0)

參數(shù)方fr=ocoitf（為參數(shù)）

程R=Nt

程度敬購(gòu)惠心角）嘮敬媯離心角）

范圍—a￡x￡a，—b￡y￡b|x|3a.yiRx30

中心原點(diǎn)0（0，0）原點(diǎn)0（0，0）

頂點(diǎn)(a,0),(―a,0),(a,0),(—a,0)(0,0)

(0,b),(0,-b)

對(duì)稱軸x軸,y軸；x軸，y軸；X軸

長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,短軸長(zhǎng)2b實(shí)軸長(zhǎng)2a,虛軸長(zhǎng)2b.

焦點(diǎn)Fi(C,0),F(-C,0)Fi(c,0),F(-C,0)

22飛期

焦距2c葉2c

離心率?=-(0<?<9e=1

aa

準(zhǔn)線x=/x=.a21=--

JL2

cc

漸近線y=±±x

a

焦半徑r=4±m(xù)r=x+—

2

通徑理空

2p

焦參數(shù)二己

ccp

空間直線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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空間直線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1.空間直線位置分三種：相交、平行、異面.相交直線一共面有反且有一個(gè)公共點(diǎn)；平行

直線一共面沒有公共點(diǎn)；異面直線一不同在任一平面內(nèi)

［注］:①兩條異面直線在同?平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.（X）（可能兩條直線平行,

也可能是點(diǎn)和直線等）

②直線在平面外，指的位置關(guān)系：平行或相交

③若仃線a、b異面，a平行于平面口，b與父的關(guān)系是相交、平行、在平面父內(nèi).

④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是?條直線或兩條平行線或兩點(diǎn).

⑤在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線.（X）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）

⑥在同一平面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等，則斜線長(zhǎng)相等.（X）（并非是從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引

的垂線段和斜線段）

⑦“是夾在兩平行平面間的線段，若?！?，則"的位置關(guān)系為相交或平行或異面.

2.異面直線判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異

面直線.（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線）

3.平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

4.等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角

相等（如下圖）.

（二面角的取值范圍,<:行?■））

（直線與直線所成角6W5.1）

（斜線與平面成角

（直線與平面所成角）

（向量與向量所成角0cp皿力

推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）

相等.

5.兩異面直線的距離：公垂線的長(zhǎng)度.

空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.

九勺是異面直線，則過!勺外點(diǎn)P,過點(diǎn)P且與都平行平面有一個(gè)或沒有，但與.馬

距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi).（4或工工在這個(gè)做出的平面內(nèi)不能叫右可修平行的平面）

高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)概要

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復(fù)數(shù)是高中代數(shù)的重要內(nèi)容,在高考試題中約占8%-10%,一般的出一道基礎(chǔ)題和，?

道中檔題，經(jīng)常與三角、解析幾何、方程、不等式等知識(shí)綜合.本章主要內(nèi)容是復(fù)數(shù)的概念,

復(fù)數(shù)的代數(shù)、幾何、三角表示方法以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算.方程、方程組，數(shù)形結(jié)合，分域討論，

等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想與方法在本章中有突出的體現(xiàn).而復(fù)數(shù)是代數(shù)，三角，解析兒何知識(shí),

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