高中數(shù)學(xué)關(guān)于切線的八種題型歸納

高中數(shù)學(xué)關(guān)于切線的八種題型

題型一：已知點為切點的切線

1.如圖，函數(shù)y=/（x）的圖象在點P處的切線方程是y=-x+8,則/（5）+,/（5）=

【答案】2

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義以及圖象得/（5）,/'（5）,即得結(jié)果.

【解析】

由圖像的信息可知〃5）+/'（5）=（-5+8）+（-1）=2.

2.設(shè)函數(shù)/（x）=alnx+歷（《a＞。力＞o）,若函數(shù)/（%）的圖象在％處的切線與直線x+y—2e=0垂直，則

-+-的最小值為（）

ah

A.1B.yC.3-2V2D.3+2a

【答案】D

【分析】

求得〃x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件，可得人的關(guān)系式，再由基本不等式可得所求最小值.

【解析】

解：函數(shù)/（幻=4濃+加的導(dǎo)數(shù)為r（x）=g+2bx,

X

可得函數(shù)〃X）的圖象在x=l處的切線斜率為a+2b,

由切線與直線x+y—2e=0垂直，可得a+2Z?=l,（。＞0力＞0）,

則4+』=（“+2與（1+』）=1+2+0+絲..3+2、陌憶3+2夜，

ababba\ba

1

當(dāng)且僅當(dāng)￡=——即a=?=正-1時，取得等號，

ba

則L+，的最小值為3+2夜，

ab

故選：D.

3.已知函數(shù)/(x)是定義域為K的偶函數(shù)，且當(dāng)xNO時，〃x)=M,則曲線y=在點(一1,7(一1))處的

切線方程為()

A.y—2ex-eB.y--2ex—eC.y=2ex+eD.y--2ex+e

【答案】B

【分析】

方法一：根據(jù)切點處導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得0,7(1))處的切線方程的斜率，進而寫出切線方程，結(jié)合偶函數(shù)的對

稱性即可得(-處的切線方程：方法二：由偶函數(shù)結(jié)合已知區(qū)間的解析式求x<0時/(x)解析式，應(yīng)用切

點處導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得(-1,7(-1))處的切線方程的斜率，寫出切線方程即可.

【解析】

法一：

當(dāng)X。。時,f(x)=(x+l)ex,則/'(l)=2e,/(l)=e,

所以曲線y=在點處的切線方程為y-e=2e(x—l),即y=2ex—e,

根據(jù)對稱性.可得曲線y=/(x)在點(T,/(—1))處的切線方程為y=-2ex-e.

法二：

當(dāng)x<0時，T>0,所以/(一x)=—xe：又/(x)是偶函數(shù)，

所以〃x)=—疝-，=一三，所以r(x)=?,

所以/'(—l)=—2e,又=

所以曲線y=/(%)在點(-1,/(-1))處的切線方程為y-e=—2e(x+l)，即y=-2ex-e.

故選：B.

【求切線方程分析】

1、方法一：首先求己知區(qū)間內(nèi)對稱點的切線方程，根據(jù)偶函數(shù)對稱性求目標(biāo)點處的切線方程.

2、方法二：首先求目標(biāo)點所在區(qū)間的函數(shù)解析式，再求目標(biāo)點處的切線方程.

4.已知定義在(0,+8)上的單調(diào)函數(shù)f(x),對任意的xe(0,+8),都有/[/(%)—地2月=3,則函數(shù)八幻的圖

象在x=一二處的切線的傾斜角為.

In2

【答案】45°

【分析】

設(shè)f=/(x)-log2X,則/⑺=3,求得f的值，進而得到的解析式，然后利用對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的

運算法則計算求解.

第2頁，總41頁

【解析】

設(shè)，=/(幻一1(唱2》，則/(f)=3.

因為/(X)為單調(diào)函數(shù)，故f不隨X的變化而變化即，是常數(shù).

又/(x)=log2x+r,,log2t+t=3,f=2,

/(x)=log2x+2,/(x)=［二，切線斜率為1,

xln21ln2J

所以傾斜角為45°.

答案為：45°.

5.曲線y=*—Inx在x=l處的切線與直線(l—0)x—y+2=0平行，則4"+2”的最小值為.

【答案】4

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在x=l處的切線的斜率，兩直線平行則斜率相等列出等式，再對4"+2〃利用均值不

等式即可得解.

【解析】

曲線的導(dǎo)數(shù)為y=2ax—,，

X

則曲線在X=1處的切線的斜率k=y|v=i=2a-\.

兩直線平行則2a—1=1—b=2a+匕=2,

所以4"+2”=22。+2,22百萬=2j聲了=4，當(dāng)且僅當(dāng)2。=人=1時取等號.

故答案為：4

X

6.已知曲線丁二丁在處的切線為4，曲線丫=1!1%在》=工,處的切線為且4_L/,,則々一%的取值范圍

e

是()

A.B.(—co,—QC.(-?,0)D,,°°，一)

【答案】B

【分析】

先求出兩條切線各自的斜率，再根據(jù)它們垂直得到和與的關(guān)系，將無2一%表示為王的函數(shù)后利用導(dǎo)數(shù)可求々一%的

取值范圍.

【解析】令"x)=2，g(x)=lnx,

3

則/‘(x)=L^，，a)二L所以(二工^，k?=一,

exe}工2

]—X]Y_1

因為1，/2，故一三'一=一1,所以々=.,

ex?ei

因為9>0,故%>1.

x—\

又工2一%令〃(X)=

貝|Jl(x)=——1

當(dāng)xe(l,+oo)時，y=2-x-e*為減函數(shù)，故2—x-e*<2—1一/<0，

所以〃'(x)<0在(1,物)上恒成立，

故〃(x)在。,m)上為減函數(shù)，所以〃(x)<力⑴=-1,

X-1X—1(]八1

又當(dāng)X>1時，---X<-----x=一一1\x一一,

eeyeJe

所以〃(x)的取值范圍為(-8,-1),

故選：B.

題型二：已知點不是切點的切線

在處理切線問題時要注意審清所給已知點是否為切點.“在某點處的切線”意味著該點即為切點，而“過某點的切線”

則意味著該點有可能是切點，有可能不是切點.如果該點恰好在曲線上那就需要進行分類討論了.曲線的切線與曲線

的交點個數(shù)不一定只有一個，這和研究直線與二次.曲線相切時有差別.

過曲線外的點尸(XI,山)求曲線的切線方程的步驟

⑴設(shè)切點為Q(xo,yo).

(2)求出函數(shù)尸人用在點xo處的導(dǎo)數(shù)尸(xo).

(3)利用。在曲線上，點尸(?,口)在切線上和

f'(xo)=kpQ,解出Xo,yo及尸(xo).

(4)根據(jù)直線的點斜式方程，得切線方程為y-f(x0)=f'(x0)-(x-x0)

1.已知函數(shù)/'(力=寸+%-16.

(1)求/'(x);

(2)求曲線y=/(x)過點(2,-14)的切線的方程.

【分析】

第4頁，總41頁

（1）利用函數(shù)的求導(dǎo)法則可求得r（x）；

（2）設(shè)所求切點的坐標(biāo)為（而，"+X°-16）,利用導(dǎo)數(shù)求出所求切線的方程，將點（2,-14）的坐標(biāo)代入切線方程,

求出毛的值，可得出切點的坐標(biāo)，進而可求得所求切線的方程.

【解析】

（1）,/（%）=+x-16,piij/f（x）=3x2+1；

（2）設(shè)切點為（%0鵬+%0-16）,

,f（x）=3x2+l,所以，切線的斜率為％=3x；+l,

所求切線方程為y-（其+/T6）=（3片+l）（x—拓）.

將x=2,丁=一14代入切線方程，得一14一（年+/—16）=（3片+1）（2-蒞）-

整理得片小—3）=0,解得%=0或3.

當(dāng)/=0時，k=\,切線方程為y一（一14）=x—2,化簡得y=x-16；

當(dāng)飛=3時，k=28,切線方程為y—（―14）=28（x—2）,化簡得），=28x—70.

綜上所述，曲線y=/（x）過點（2,-14）的切線的方程為y=x—16或y=28^-70.

2.過原點作曲線y=lnx的切線，則切點為.

【答案】（e,l）

【分析】

先求導(dǎo)數(shù)，代入切點可得切線斜率，結(jié)合切線所過點可得切點坐標(biāo).

【解析】

11,、1,

設(shè)切點（%,為），＞=一，所以切線方程為y-yo=—（x-/）=—x-i,

xqxo

1,,

即y=一光-1+lnXo.

%

因為切線經(jīng)過原點，所以lnx0-1=0，即Xo=e，代入可得%=1,故切點為（e,l）.

題型三、已知切線求參數(shù)

1.已知直線y=x+l是曲線/（x）=ln（x+a）的切線，貝.

【答案】2

【分析】

5

設(shè)出切點坐標(biāo)（用,為），根據(jù)切點的縱坐標(biāo)等于曲線/（x）在x=x0處的函數(shù)值以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解出X。的值,

從而。的值可求.

【解析】

設(shè)切點為（小，％），則為=$+1，%=In（%+。），

由/(%)=—'—=1得/+a=1,

xQ+a

所以玉）+l=ln（y+a）=lnl=O,解得/=-1,所以a=l-x（）=2,

故答案為：2.

【分析】已知曲線y=/（x）的切線方程求解參數(shù)值的步驟：

（1）設(shè)出切點坐標(biāo)（小,%）,根據(jù)切點的縱坐標(biāo)打的值等于曲線在x=/處的函數(shù)值了（%），得到第一個方程;

（2）再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即有切線斜率％=/'（%），得到第二個方程；

（3）兩個方程聯(lián)立求解出其中參數(shù)的值.

2.已知曲線卜=產(chǎn)+6（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的一條切線為），=a（x+D,則。=（）

1Ina

A.a\naB?a~0\naC.—D.-----

aa

【答案】A

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，利用切點在切線與曲線上即可列方程求解.

【解析】

設(shè)切點為（入0，＞0）,

y'=ex,

:.k=e*=a?

又%=e"+b=a（xQ+\）,

b

??Ag—,

a

又升=Ina,

:.b—a\na

故選：A

3.已知直線丁=依-2與曲線y=xlnx相切，則實數(shù)k的值為（）

第6頁，總41頁

A.In2B.1c.l-ln2D.l+ln2

【答案】D

【解析】

/\=紜-2

由y=xlnx得y'=lnx+l,設(shè)切點為(毛,%),則2=111玉)+1,<,/.-2=x0Inx0,

%=%Inx0

2

.?.左=山/+一，對比％=lnx0+l,；.Xo=2,.?.左=ln2+l,故選D.

冗0

4.已知函數(shù)〃x)=a"-3x+l的圖象在點(0,/(O))處的切線方程為y=x+6，貝！Ja=b=

【答案】45

【分析】

由條件可得/'(0)=1,f(O)=a+l=b,解出即可.

【解析】

因為函數(shù)"X)=a"-3x+l的圖象在點(0,/(0))處的切線方程為y=x+b,f'(x)^aex-3

所以/'(O)=a-3=l,解得a=4

因為/(0)=a+l=b，所以方=5

故答案為：4,5

題型四、切線的條數(shù)

曲線切線條數(shù)的確定通常轉(zhuǎn)化為切點個數(shù)的確定，設(shè)出切點由已知條件整理出關(guān)于t的方程，可把

問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程的實根個數(shù)問題.

1.若函數(shù)/(x)=lnx+￡(。為常數(shù))存在兩條均過原點的切線，則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】(0,1

【分析】

/、

首先設(shè)切點坐標(biāo)x0,lnx0+—,利用兩點連線斜率公式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線的斜率，從而可得

2a=x0-x0\nx0,將問題轉(zhuǎn)化為y=2a與y=x-xlnx存在兩個不同的交點，通過導(dǎo)數(shù)研究g(x)的圖象，從而

得到。的取值范圍.

【解析】

7

由題意得了(x)的定義域為(0，+8),且r(x)=L—g,設(shè)切點坐標(biāo)為x0,\nx0+—,x0>0,則過原點的切線

XXIXQ

a

IynH—

斜率，x1a，整理得2a=Xo-Xolnx(),；存在兩條過原點的切線，，存在兩個

K=--------0-=--------

2

*0%)*0

不同的解?設(shè)g(x)=x—Xlnx,則問題等價于丁=2。于)'=8(》)存在兩個不同的交點，又

g'(x)=l-lnx-l=Tnx,.，/xe(O,l)l^,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(l,+oo)時，g'(x)<0,g(x)

單調(diào)遞減，；.g(x)1ra*=g(l)=l.又當(dāng)x-0時，g(x)->0；當(dāng)xf+oo時，g(x)f-8,若y=2a于y=g(x)

存在兩個不同的交點，則0<2a<1.解得ae.

故答案為：［。，萬］

【分析】一般涉及方程根的個數(shù)，或零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，可通過一些方法求解：

1.直接法，直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；

2.分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決，利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參

數(shù)的方程或不等式求解；

3.數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解，此時需要根據(jù)零點

個數(shù)合理尋求找“臨界”情況，特別注意邊界值的取舍；

2.過點4。,0)作曲線C:y=x?e*的切線有且僅有兩條，則實數(shù)a可能的值是()

A.0B.V2C.-Ine5D.e

【答案】BCD

【分析】

設(shè)切點坐標(biāo)為(*""),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，代入點A(a,O)后，轉(zhuǎn)化為關(guān)于方的一元二次方程，由

條件可知方程有兩個不等實數(shù)根，求。的取值范圍.

【解析】

設(shè)切點坐標(biāo)為(與/。*),因為y'=(x+l)e”,所以川4?=(%+l)e~,

所以切線方程為y-Xo*=(苞+1)*(工一面)，將點A(a,O)代入可得一/泮=(%+1)1(。一項))，化簡得

片一以?！猘=0,過點A(a,O)作曲線。的切線有且僅有兩條，即方程x；-妙。一〃=0有兩個不同的解，則

△=/+4。>0,解得：。>0或a<-4,故實數(shù)”的取值范圍是(-oo,T)U(0，+8)-

第8頁，總41頁

—Ine5=一5Ine=-5，所以由選項判斷可知88正確.

故選：BCD

3.已知函數(shù)/(x)=d-3x,過點A(l,㈤(小片一2)可作曲線的三條切線，則加的取值范圍是()

A.(-1,1)B.(-2,3)C.(-2,1)D.(-3,-2)

【答案】D

【分析】

先設(shè)切點坐標(biāo)，用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，再用斜率公式求出切線斜率，兩者相等，得到含m的方程，因為過點

A(l,根)("2豐-2)可作曲線y=/(x)的三條切線,所以前面所求方程有3解,再借助導(dǎo)數(shù)判斷何時方程有3解即可.

【解析】

解；設(shè)切點坐標(biāo)-3x0),

V=-3x,：.=3x2-3

曲線/(x)在(/4-3x0)處的切線斜率為3/2-3

又：切線過點A(1,M，

切線斜率為.二次一加,

3W

.-7■>-Y=3V-3

即2/3-3/2+m+3=0①

???過點A(l,m)(mw-2)可作曲線y=/(x)的三條切線，

???方程①有3解.

令//(/)=2/3—3/2+m+3,

則〃(毛)圖象與X軸有3個交點，

???〃(5)的極大值與極小值異號

6Ao2—6%,令1($)=0,得％0=°或1,

AA(0)A(l)<0,即(機+3)(m+2)<0

解得一3V"iV-2

故選：D.

9

【分析】1.準(zhǔn)確求切線的方程是本題求解的關(guān)鍵；第(2)題將切線的條數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的

零點個數(shù)，進而運用導(dǎo)數(shù)研究，體現(xiàn)了函數(shù)思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

2.當(dāng)曲線y=y(x)在點尸(xo,#xo))處的切線切點坐標(biāo)不知道時，應(yīng)首先設(shè)出切點坐標(biāo)，再求解.

題型五、公切線

涉及到多個函數(shù)公切線的問題時，這條切線是鏈接多個函數(shù)的橋梁.所以可以考慮先從常系數(shù)的函數(shù)入手,將切線

求出來，再考慮切線與其他函數(shù)的關(guān)系.

1.已知直線,分別與函數(shù)y=L和y=［的圖象都相切，且切點的橫坐標(biāo)分別為*,尤,，則2內(nèi)一馬=(

)

X-e

2

A.eB.一C.1D.2

【答案】C

【分析】、

設(shè)/與y=’的切點為王,一1,與y=e的切點為(當(dāng)，5)，利用斜率相等即可建立方程求出.

x\XJe

【解析】

與y==的切點為(X2，一?

設(shè)/與丁=上1的切點為％,一

X%?

1_J_

公切線的斜率：%1eb%,可得：

X；e*

x2—x.

1、

所以一(工2一%)=e,勺］一%，2芭一々=1.

X\>

故選：C.

已知函數(shù)/(x)=2sin(s+e)同<］的部分圖像如圖所示，其中，4(1,0),8(5,0),若

2.

加：/+&-。)2=/&>0)與該部分圖像在》=2時有公切線，則。=()

「6■兀

D.迪+血

A.V2B.2L?----------

471

【答案】D

【分析】

第10頁，總41頁

"71

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)/（X）=2sin一X---,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線的斜率，結(jié)合直線垂直的斜

44

率關(guān)系，即可得出答案.

【解析】

2萬TC

由題意得出A3=4,即T=2x4=8,所以（y=——=-

84

由對稱性可知。（3,2）,將其代入/（x）=2sin?x+°）中

.[3])37r7i7t

整理得sin—+夕=1,則---1-69=——F2k冗、kGZ,即°=----1-2k7i,keZ

I4)424

因為M|<],所以夕=-?,即/(x)=2sin]：x-?

/(2)=2sinf|-^=^,-.P(2,V2)

又：M（O,a）,kMP=

解得a=0+逑

由于MP與切線垂直,

71

故選D

3.若存在過點（1,0）的直線與曲線y=V和丫=以2+2]_9（4。0）都相切，貝"的值為（）

B.T或3D.一】■或7

44

【答案】A

【分析】

設(shè)切點坐標(biāo)為利用導(dǎo)數(shù)求出曲線y=V在點1,P）處的切線方程，將點（1,0）的坐標(biāo)代入切線方程，求出f

的方程，可得出切線方程，再將切線方程與二次函數(shù)丁=辦2+1犬-9的解析式聯(lián)立，由△=（）可求得實數(shù)。的值.

【解析】

對于函數(shù)y=d,V=3》2,則曲線y=V在點的切線斜率為4=3/，

所以，曲線y=V在點卜,尸）處的切線方程為丁一尸=3產(chǎn)（X-。，即y=3/x_2/，

由于直線y=3/x-2/過點（1,0）,可得3產(chǎn)—2/=0,解得，=1或f=0.

11

當(dāng)，=0時，切線為X軸，對于函數(shù)y=℃2+竺X—9,則A(15、225

+36a=0>解得a=——

-4164

2727

y=——x----

32727-44,99

當(dāng)f時，切線方程為丁=彳％—7-,聯(lián)立<，整理得ax~—3x—=0,

215c4

y=ax'4---x-9

4

?.由題意可得A2=9+9。=0,解得a=-l.

綜上所述，。=一1或。=----.

64

故選：A.

4.若曲線G：y=V與曲線C,：y=±(a>0)存在公切線，則實數(shù)”的取值范圍()

a

(2~]r2

(0,1)1,——,2

A.B.I4JC.L4JD.

【答案】D

【分析】

分別求出兩個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由兩函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)相等，并由斜率公式，得到由此得到機=2〃-2,則

4n-4=-en有解.再利用導(dǎo)數(shù)進一步求得a的取值范圍.

a

【解析】

y=x2在點的切線斜率為2m,

y=〉0)在點的切線斜率為，

acia

如果兩個曲線存在公共切線，那么：2m='e".

a

———

又由斜率公式得到，°a,由此得到加=2〃一2,

2m=--------

m—n

則4〃—4=^e〃有解，

a

由y=4x—4,y=L中的圖象有公共點即可.

a

當(dāng)直線y=4x—4與曲線y,相切時，設(shè)切點為(sj),則

a

—es=4,且，=4s-4=—爐，可得，=4,s=2

aa

22

即有切點(2,4),a=J故。的取值范圍是：a.J

44

第12頁，總41頁

故選：D.

5.直線，：y=Ax+6是曲線,f(x)=ln(x+l)和曲線g(x)=lnd，的公切線，則。=()

A.2B.-C.In/D.ln(2e)

【答案】C

【分析】

由f\x)=k可求得直線/與曲線外力=ln(x+l)的切點的坐標(biāo)，由g'(x)=k可求得直線/與曲線

g(x)=ln(e2x)的切點坐標(biāo)，再將兩個切點坐標(biāo)代入直線/的方程，可得出關(guān)于左、匕的方程組，進而可求得實數(shù)b

的值.

【解析】

設(shè)直線/與曲線/(x)=ln(x+l)相切于點A(/y),直線/與曲線g(x)=ln(e2”相切于點，

/(x)=ln(x+l),則/=由/'(xj='=k,可得

則X=/(玉)=ln(x(+1)=—InR，即點4(彳4,一111，，

\-k

將點A的坐標(biāo)代入直線/的方程可得一In女=%——+力，可得〃=Z—Ink—1,①

k

^(%)=ln(e2x)=2+lnx,則g<x)=L由8'(々)=’=%,可得

xx2k

%=g(W)=2TnZ,即點3(，,2-5左)，

將點3的坐標(biāo)代入直線/的方程可得2-lnA=H^+匕=。+1,.?2=1—ink,②

k

聯(lián)立①②可得左=2,/?=l-ln2=ln-.

2

故選：C.

6.若直線)，=代+力是曲線y=lnx的切線，也是曲線y=￡7的切線，貝1」々=.

【答案】1或！

e

【分析】

分別設(shè)出直線與兩曲線的切點坐標(biāo)，求出導(dǎo)數(shù)值，得到兩切線方程，由兩切線重合得斜率和截距相等，從而求得切

線方程的答案.

【解析】

13

設(shè)y=H+b與y=心兀和y=e*-2的切點分別為（西,6』-2）,（々,也々），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得上=’，曲線

*2

x22x2r2

在y=eg在點（%,e'-）處的切線方程為y-*以=e^（x一司），即y=e'-x+（l-x,）e'-,曲線y=Inx在點

（々,lnx2）處的切線方程為yTn/=-（x-尤2），即y=-x+lnx2-l,則彳x2，解得々=1,

x2

士（l-xt）e'~=lnx2-l

或x,=e,所以％=1或1.

e

7.若f（x）=lnx與g（x）=x2+ax兩個函數(shù)的圖象有一條與直線y=x平行的公共切線，則2=（）

A.1B.2C.3D.3或—1

【答案】D

【分析】

先根據(jù)和曲線/（x）=lnx相切得到切線方程，再根據(jù)和二次函數(shù)相切得到參數(shù)值.

【解析】

設(shè)在函數(shù)/（x）=lnx處的切點設(shè)為（x,y），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到％=：=1nx=l,故切點為（1,0）,可求

出切線方程為y=x-l,直線和=也相切，故%2+以=%-1,

化簡得到川+（.—1）%+1=0,只需要滿足△=（4—i）2—4=0na=—1或3.

故答案為D.

【分析】求切線方程的方法：

①求曲線在點尸處的切線，則表明P點是切點，只需求出函數(shù)在點尸處的導(dǎo)數(shù)，然后利用點斜式寫出切線方程；

②求曲線過點尸的切線，則P點不一定是切點，應(yīng)先設(shè)出切點坐標(biāo)，然后列出切點坐標(biāo)的方程解出切點坐標(biāo)，進而

寫出切線方程.

8.設(shè)函數(shù)/（6=5*2-2以3〉0）與8（力=。2秋+匕有公共點，且在公共點處的切線方程相同，則實數(shù)人的最

大值為（）

11213

A.—I-B.-CC.-D.------T-

2e22e2e2

【答案】A

【解析】

2

設(shè)公共點坐標(biāo)為（為,以），則/。）=3%-2。,g'（%）=幺,

x

2

所以有/'（x（））=g'（Xo）,即3毛-24=幺，解出尤0=。（x0=-3a舍去），

第14頁，總41頁

3

又%=/（x（,）=g（%）,所以有5只-2叫=/9111入0+匕，

31

故人=/焉一2”一"in%，所以有bn-]/一/ma,

對力求導(dǎo)有。'=-2a（l+lna），故b關(guān)于。的函數(shù)在（0」）為增函數(shù)，在（士+⑼為減函數(shù),所以當(dāng)時）

有最大值萬方，選A.

9.已知曲線G：y="+'",C2：y=J,若恰好存在兩條直線直線4、4與G、G都相切，則實數(shù)，"的取值

范圍是（）

A.（2In2—2,+oo）B.（21n2,-t-oo）c.（^?,21n2—2）D.（-oo,21n2）

【答案】C

【分析】

設(shè)直線4：y=%iX+4，小丁二修彳+打，設(shè)4與G、。2的切點坐標(biāo)分別為（%,y）、（孫必），根據(jù)題目條件列

匕="*=2無2（勺〉0）

出方程組心內(nèi)+4,解得加=ln4--L-1,同理可得機=lnZ,----1,然后將問題轉(zhuǎn)化為

,,244

kyX2+4=x2

機=lnZ—區(qū)一1（左〉o）有兩解.然后構(gòu)造函數(shù)〃Z）=ln攵—^—1，利用導(dǎo)數(shù)討論/（攵）的單調(diào)性及最值，得出加

的范圍.

【解析】

設(shè)直線4：y=^x+a,l2:y^k2x+b2,設(shè)4與G、C2的切點坐標(biāo)分別為（玉，y）、（馬,必），

x+m

k}=e'=2X2>0)

則有<3+4=e*'+M

k[X2+b]=x；

2

故—InZ]+mJ=-^—K，整理得：7/z—Ink]—j-1,

44

同理可得，當(dāng)直線/2：y=&X+a與G、。2都相切時有：m=ln22-與—1，

k

綜上所述，只需加=lnZ—1（%〉0）有兩解，

k][4—k

令〃Z）=lnk—則/任）=2一1=口一,

4KQ

故當(dāng)/'（左）＞0時，0（左＜4,

當(dāng)了'⑻＜0時,左＞4,

15

所以/(女)在(0,4)上遞增，在(4,儕)遞減，

4

故舞x(%)=/(4)=ln4—公一1=2此2-2,

所以只需滿足加<21n2—2即可.

故選：C.

10.若函數(shù)/(x)=lnx+G：與函數(shù)g(x)=r的圖象存在公切線，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(-oo,-l]B.(-00,0JC.(-℃,1]D.(-00⑵

【答案】C

【分析】

設(shè)公切線與函數(shù)“X),g(x)分別切于點A(XQJ,網(wǎng)看,為)，則過A，3的切線分別為：

(1A

y=-+ax+1叫—1、y=2x2x-x^,兩切線重合，可得e1-i一2%=-。，構(gòu)造函數(shù)方(力=e—2x,只

需一aih(x)m”，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，求出〃(為最小值，即可得結(jié)果.

【解析】

設(shè)公切線與函數(shù)“X),g(x)分別切于點A(X1,y),3(%，%)，則過A,8的切線分別為：

(1、1

y=-Hax+lnX]—1、y=,兩切線重合，則有：kiX]—1=—xj=%=e「*2代入Fa=2x2得：

\xi7西

e迎2T—2w=-a，構(gòu)造函數(shù):〃(x)=e*T-2x,h'(x)=2xe^i-2,/z'(l)=0.x>l,)'(尤)>2-2=0,

/.()?x<l,/z'(x)<2-2=0,x<(),/z'(x)<0,：.x<l,〃(x)..欲合題意，只須

—6Z>/z(l)=-1=>?<1,

11.已知函數(shù)/(x)=2x+3,g(x)=x+lnx,若f(%)=g(r)，則々一玉的最小值為()

2「

A.1B.2C.-D.V2

【答案】B

【分析】

求導(dǎo)得到g(x)=l+J取g'(x)=l+/=2得到x=l,計算切線得到答案.

【解析】

g(x)=x+lnx》iJg(x)=l+Lwg'(x)=l+，=2^x=l,g(l)=1,切點為(1,1),故切線方程為y=2x-l,

取y=2x+3=l,解得％=-1,

第16頁，總41頁

故馬一玉的最小值1一(一1)=2.

12.已知曲線/(x)=aM，(a>0)與曲線g(x)=d-3加(相>0)有公共點，且在該點處的切線相同，當(dāng)m變化

時，則實數(shù)a的取值范圍為()

【答案】B

【分析】

求出兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到兩函數(shù)在公共點(S/)處的導(dǎo)數(shù)值，由切點既在曲線上，可得m與S及。與S的關(guān)系，由

〃2>0求得5的范圍,構(gòu)造函數(shù)/?(S)則實數(shù)。的取值范圍可求.

【解析】

由/(x)=ae"(a>0),g(x)=x3->0),得=2ae2x,g'(x)=3x2,

設(shè)f(x)=ae2x(a>0)與曲線g(x)=d-3m(m>0)的公共點為(s,t),

則/'(s)=2ae2s,g")=3s2,

m二s

，整理得<c

2

—a=

13

3

由①且m>0,得s>一,

2

2s23

由②得，—a=「=(§>一).

32

17

令"($)=三(S>|),則/(s)=2s：：s)<0,函數(shù)Z/G)在g,+o0)上為單調(diào)減函數(shù),

又當(dāng)S—+?時,A(5)—>0,

9

241

O<<

3-/

,實數(shù)。的取值范圍是

故選：B.

13.已知函數(shù)=+gx+a(x<0),g(x)=lnx(x〉O),其中aeR.若/(x)的圖象在點處

的切線與g(X)的圖象在點B(W，g(W))處的切線重合，則。的取值范圍為()

A.(—1+In2,+oo)B.(-1-In2,+oo)

3

C.------,+00D.(In2-In3,+oo)

4

【答案】A

【分析】

先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出函數(shù)〃x)在點A與函數(shù)g(x)在B處的切線方程，再利用兩直線重合的充要條件列出

I￥11I

關(guān)系式，從而得出。=--In--1,令，=一,則0<f〈一，最后利用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性和最值，即

1%2)x,“2

可得出a的取值范圍.

【解析】

：/(尤)=+g<0),g(x)=Inx(x>0)

???r(x)=gx+g(x<0),g<x)=g(x>0),

函數(shù)/(x)在點A(X|J(xj)處的切線方程為：y—+；)(xrj，

函數(shù)g(x)在點8(W,/(々))處的切線方程為：y-lnw=-(x-x2),

1111,

兩直線重合的充要條件是5%+廣三①+"叱一1②,

c11

由①及X[<0<%2得0<丁<5,

第18頁，總41頁

+In—1二—-In--1

、入2

11

令，=一，則0<f<一,且

%22

\2

設(shè)〃(f)=—InZ—1>

7

W.i.L竺士I」"-。

當(dāng)o<r<g時，〃'（r）<o恒成立，即單調(diào)遞減,

〃（f）〉〃（；）=-l+ln2,%70時，〃⑴一欣,

即。的取值范圍為（T+In2,+8）,故選A.

題型六、解析幾何中的切線問題

在解析兒何中也學(xué)習(xí)了求切線的方法，即先設(shè)出切線方程，再與二次方程聯(lián)立利用△=（）求出參數(shù)值進而解出切

線方程.解析幾何中的曲線與函數(shù)同在坐標(biāo)系下，所以兩個.方法可以互通.若某函數(shù)的圖像為圓錐曲線,二次曲線的一

部分,則在求切線時可用解析的方法求解，例如：y=（圖像為圓的一部分）在一,X一處的切線方程，則可

122J

考慮利用圓的切線的求法進行解決.若圓錐曲線可用函數(shù)解析式表示，像焦點在y軸的拋物線,可看作y關(guān)于x的函

數(shù)，則在求切線時可利用導(dǎo)數(shù)進行快速求解（此方法也為解析幾何中處理焦點在y軸的拋物線切線問題的重要方法）

2

1.已知雙曲線C：「=1a>0,b>0）的左焦點/（-4,0）,拋物線丫2=》與雙曲線C交于點尸（尸在第

a'

一象限），若拋物線/=》在點尸處的切線過點八則