高中數(shù)學(xué)《向量加法運(yùn)算及其幾何意義》導(dǎo)學(xué)案

第二章平面向量_________________

DIERZHANG2.2平面向量的線性運(yùn)算

2.2.1向量加法運(yùn)算及其幾何意義

卜課前自主預(yù)習(xí)

1.向量的加法

⑴向量加法的定義

E求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法.

(2)向量加法的運(yùn)算法則

已知非零向量Q,人在平面內(nèi)任取一點(diǎn)八，作

7T5=Q.比=力.則向量回衛(wèi)叫做Q與》的

和，記作區(qū).即Q+b=AB+_BC=印八C.

角

這種求向量和的方法.稱為

形

向量加法的四三角形法則.

向法

對(duì)于零向量與任一向量a

里則

的和有Q+0=回()+a=

求辿.

和

的

平B____a

法以同一點(diǎn)。為起點(diǎn)的兩

行

則個(gè)已知向量為鄰邊

四

作口。八C8,則因以O(shè)為

邊

起點(diǎn)的對(duì)角線OC就是。

形

與b的和.我們把這種作向量和的方法叫做

法

向量加法的⑼平行四邊形法則.

2.向量加法的運(yùn)算律

(1)交換律：a+b=b+a；

(2)結(jié)合律：a+方+c=(a+A)+c=a+S+c).

3.向量的三角形不等式

對(duì)任意兩個(gè)向量a,b,均有|a+"螞W|a|十四

當(dāng)a,b同向時(shí)有|a+b|回一=|a|+|Z||；當(dāng)a,b反向時(shí)有|@+田園

三⑷一族|(或同一⑷).

sG自診小測(cè)

1.判一判(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“義”)

(1)兩個(gè)向量相加結(jié)果可能是一個(gè)數(shù)量.()

(2)兩個(gè)向量相加實(shí)際上就是兩個(gè)向量的模相加.()

(3)任意兩個(gè)向量的和向量不可能與這兩個(gè)向量共線.()

答案(1)X(2)X(3)X

2.做一做

—?

(1)對(duì)任意四邊形A3c。，下列式子中不等于3c的是()

-?—>—>—>—?

A.BA+ACB.BD+DA+AC

—?—?—?—?—?-?

CAB+BD+DCD.DC+BA+AD

答案C

—?—?-?

解析A項(xiàng)，BA+AC=fiC；

—?—?—?—?—?-?

B項(xiàng)，BD-\-DA+AC=BA-\-AC=BC；

—?—?—?—?—?-?

C項(xiàng)，A8+8D+QC=AD+QC=AC；

—?―?—?—?—?—?—?—?-?

D項(xiàng)，DC+BA+AD=(BA+AD)+DC=BD+DC=BC.故選C.

—?—?

(2)如圖所示，在正六邊形A3CDE/中，若AB=1,則囚6+收十

—?

C。等于()

A.1B.2

C.^3D.小

答案B

解析'：AB+FE+CD=AB+BC-\-CD=AD,

~?—?—?-?

\AB+FE-\-CD\=\AD\^2.

(3)(教材改編P81例1)如圖所示，已知向量a,b,c不共線，求作

向量a-\-b~\~c.

解a,b,c不共線中隱含著a,b,c均為非零向量，因?yàn)榱阆?/p>

量與任一向量都是共線的.利用三角形法則或平行四邊形法則作圖.

—?—?

解法一(三角形法則)：如圖(1)所示，作BC=b,則AC=

-?—?―?—?-?

a+b,再作CD=c,則AQ=AC+C￡)=(G+5)+C,即AD=a+Z>+c.

B

(1)(2)

解法二(平行四邊形法則)：b,c不共線，如圖(2)所示.

—~"?

在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作0A=a,0B=b,

—?—?

以0A,03為鄰邊作口0AQ3,

-A-A

則對(duì)角線0。=。+瓦再作0C=c,

以O(shè)C,0。為鄰邊作口OCED

則0E=a+8+c.

I課堂互動(dòng)探究、

探究1向量的三角形和平行四邊形法則

例1如下圖中(1)、(2)所示，試作出向量。與方的和.

解如下圖中(1)、(2)所示,

首先作OA=a,然后作則08=。+4

拓展提升

(1)應(yīng)用三角形法則求向量和的基本步驟

①平移向量使之“首尾相接”，即第一個(gè)向量的終點(diǎn)與第二個(gè)向

量的起點(diǎn)重合.

②以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，并以第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的

向量，即為兩個(gè)向量的和.

(2)應(yīng)用平行四邊形法則求向量和的基本步驟

①平移兩個(gè)不共線的向量使之共起點(diǎn).

②以這兩個(gè)已知向量為鄰邊作平行四邊形.

③平行四邊形中，與兩向量共起點(diǎn)的對(duì)角線表示的向量為兩個(gè)向

量的和.

【跟蹤訓(xùn)練1】（1）如圖，已知a,b,求作。+岳

b

ab

①②

⑵如圖所示，已知向量a,b,c,試作出向量a+方+c.

解（1）如圖所示.

Cb

?M——

AB

?AC^a+b?AC=a+b

⑵作法一：如圖1所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作向量。4

=?,接著作向量A8=〃，則得向量08=a+b；然后作向量3C=c,則

向量OC=(a+Z>)+c=a+〃+c即為所求.

c

作法二：如圖2所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作向量0A=

―A-A―A

a,OB=b,OC=c,以0A,03為鄰邊作口OAQB,連接0Q,則OD

—?—?—?

=04+05=。+》.再以O(shè)Q,0C為鄰邊作口OOEC,連接0區(qū)則0E

—?—?

=OD^OC=a+b+c即為所求.

探究2向量的加法運(yùn)算

例2如圖，在△ABC中，。為重心，D,E,尸分別是BC,AC,

A8的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列三式：

A

(1)BC+CE+EA；

—?—?-?

(2)OE+AB+EA；

-A―?-?

(3)AB+FE+DC.

—■?—?—?―?―?—?

解^BC+CE^-EA=BE-^EA=BA.

—?—?—?―?—?—?―?—?-?

(2)OE+AB-]-EA=(OE+EA>)+AB=OA-\-AB=OB.

―?—?—?—?—?—?—?—?—?

^AB+FE+DC=AB+BD+DC=AD+DC=AC.

拓展提升

解決向量加法運(yùn)算時(shí)應(yīng)關(guān)注兩點(diǎn)

(1)可以利用向量的幾何表示，畫(huà)出圖形進(jìn)行化簡(jiǎn)或計(jì)算.

(2)要靈活應(yīng)用向量加法運(yùn)算律，注意各向量的起、終點(diǎn)及向量起、

終點(diǎn)字母的排列順序，特別注意勿將。寫(xiě)成0.

【跟蹤訓(xùn)練2】化簡(jiǎn)或計(jì)算:

—?—?-?

(DCQ+BC+A&

-?-?—>—?—>

(2)AB+￡)F+CD+BC+FA.

解(1)CD+BC+AB=(?1B+BC)+CD=AC+CD=AD.

―?—?―?—?—?—?—?—?—?―?—?

(2)AB+DF+CD+5C+M=(AB+SC)+(CD+DF)+M=AC+

-?―?—?-?

CF+M=AF+M=O.

探究3利用向量加法證明幾何問(wèn)題

-?

例3已知四邊形A3CQ的對(duì)角線AC與BZ)相交于點(diǎn)。，且A0

—?—?-?

=0C,DO=OB.

求證：四邊形ABC。是平行四邊形.

證明AB=AO+OB,DC=DO+OC,

y.'：AO=OC,OB=DO,：.AB=DC,

.-.AB=DCS.AB//DC,

二.四邊形ABCD為平行四邊形.

拓展提升

怎樣用向量方法證明幾何問(wèn)題

用向量方法證明幾何問(wèn)題，首先要把幾何問(wèn)題中的邊轉(zhuǎn)化成相應(yīng)

的向量，通過(guò)向量的運(yùn)算及其幾何意義得到向量間的關(guān)系，然后再還

原成幾何問(wèn)題.

【跟蹤訓(xùn)練31如圖所示，在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD

的反向延長(zhǎng)線及延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,R使BE=DF,求證：四邊形AECr

是平行四邊形.

證明'：AE=AB-\-BE,FC=FD-\-DC,

-A-A-A-?

又AB=DC,FD=BE,

—?—?

：.AE=FC,即AE與FC平行且相等.

，四邊形AEC廠是平行四邊形.

探究4向量加法的實(shí)際應(yīng)用

例4在水流速度為向東10km/h的河中，如果要使船實(shí)際航行

的速度的大小為1味km/h,方向垂直于對(duì)岸渡河，求船行駛速度的

大小與方向.

船怎么跑偏了

大人，要想船垂直疝

舜怎么才能?

江，只需要船速度的

垂直渡江？,方向垂直河岸即可,

解如圖所示，QA表示水速，03表示船實(shí)際航行的速度，0C表

示船速，由QB=0C+0A易知|BC|=|OA|=10,又NO8C=90。，所以

|OC|=20,所以N3OC=30。，所以NAOC=120。，即船行駛速度為20

km/h,方向與水流方向的夾角為120°.

拓展提升

應(yīng)用向量解決平面幾何和物理學(xué)問(wèn)題的基本步驟

【跟蹤訓(xùn)練4】在某地抗震救災(zāi)中，一救護(hù)車從A地按北偏東

35。的方向行駛800km到達(dá)B地接到受傷人員，然后又從B地按南

偏東55。的方向行駛800km送往C地醫(yī)院，求這輛救護(hù)車行駛的路

程及兩次位移的和.

—?—?

解如圖所示，設(shè)A3,3c分別表示救護(hù)車從A地按北偏東35。

方向行駛800km,從3地按南偏東55。的方向行駛800km.

則救護(hù)車行駛的路程指的是|A3|+|3C|；兩次行駛的位移的和指

-A-A-?

的是A8+3C=AC

—?—?

依題意，有HB|+|8q=800+800=1600(km).

-?

又a=35。，4=55。，/48。=35。+55。=90°.所以|4。|=

A/lW+m2=^80°2+80()2=80M(km).

其中NBAC=45。，所以方向?yàn)楸逼珫|35°+45°=80°.

從而救護(hù)車行駛的路程是1600km,兩次行駛的位移和的大小為

80OJ2km,方向?yàn)楸逼珫|80。.

f---------------------------1舜f提知------------------

1.準(zhǔn)確理解向量加法的三角形法則和平行四邊形法則

(1)兩個(gè)法則的使用條件不同

三角形法則適用于任意兩個(gè)非零向量求和，平行四邊形法

則只適用于兩個(gè)不共線的向量求和.

(2)當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，兩個(gè)法則是一致的.

DC

AB

—?—?-A-?

如圖所示：AC=AB+AD(平行四邊形法則)，又因?yàn)?C=

—?

AD,

―?―?-?

所以AC=A8+3C(三角形法則).

(3)在使用三角形法則時(shí)一，應(yīng)注意“首尾連接”，這個(gè)方法

可推廣到多個(gè)向量相加的情形；在使用平行四邊形法則時(shí)，應(yīng)

注意范圍的限制及和向量與兩向量起點(diǎn)相同.

2.向量與非零向量心方的模及方向的關(guān)系

(1)當(dāng)a與8不共線時(shí)，a+b的方向與a,方都不相同，且|a

+b\<\a\+\b\.

(2)當(dāng)a與方同向時(shí),a+b,a,b的方向相同，且|a+b|=|a|

十瓦

(3)當(dāng)a與力反向時(shí)，若|a|2|)|,則a+8與a的方向相同，

且|a+"=|a|一步|.

若⑷〈網(wǎng)，則a+力與力的方向相同,且|a+8|=|加一⑷.

卜課堂達(dá)標(biāo)自測(cè)

1.下列等式錯(cuò)誤的是（）

A.a+O=O+?=a

—?―?—?

B.AB+5C+AC=0

—?—?

C.A8+3A=0

—?—?—?—?-?

X）.CA^AC=MN+NP+PM

答案B

解析對(duì)于A,根據(jù)0加任何向量都等于原向量，且向量加法滿

足交換律，所以A正確；對(duì)于B,根據(jù)向量的三角形加法運(yùn)算可得A3

—?—?—?—?-?

+BC=AC,故原式等于2ACW0.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,可知A3與BA共

―?—■?—?

線且方向相反，所以A8+84=0,所以C正確；對(duì)于D,可知"N+

—?—?—?―?—?-?

NP+PM=MP+PM=O,又CA+AC=O,可知D正確.故選B.

―?―?-?

2.設(shè)尸是△4BC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且BC+BA=28P,則（）

—?—?—?—?-?

A.B4+PB+PC=0B.B4+尸3=0

―?—?—?―?

C.PC+必=0D.P3+PC=0

答案c

―?―?-?

解析因?yàn)槭恰鰽3C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BC+BA=2BP,所以

尸是4c的中點(diǎn)，所以尸C+用=0.

3.若a等于“向東走8km”,力等于"向北走8km”,則|a+

b\=,a+b的方向是.

答案8啦km北偏東45°

解析如圖所示，設(shè)BC=b,

則AC=a+b,且△ABC為等腰直角三角形.則14cl=8啦，ZBAC

=45°.

—>—?—?

4.在菱形A8CQ中，ZDAB=60°,\AB\=1,則|8C+C@=

答案1

—?—?-?

解析由題意知△ABD為等邊三角形，...|BC+8|=|BD|=1.

5.如圖，。為正六邊形ABCQE尸的中心，根據(jù)圖示計(jì)算：

(1)OA+OC；

—?—?

(2)BC+FE；

-A-A

(3)0A+FE.

解(1)因?yàn)樗倪呅?ABe是以04,0c為鄰邊的平行四邊形，

—?—?-?

03為其對(duì)角線，所以。4+0C=0R

—>—>—?-?

(2)因?yàn)榕cEE方向相同且長(zhǎng)度相等，所以8C與EE是相等向量,

―?—?—?—?—?-?

故8。+房與8C方向相同，長(zhǎng)度為3c長(zhǎng)度的2倍，因此8C+EE可用

~?—?—?-?

D4表示.所以8C+bE=-￡U.

—?—?—?-?

(3)因?yàn)?A與FE長(zhǎng)度相等且方向相反，所以O(shè)A+/^=0.

卜課后課時(shí)精練

A級(jí)：基礎(chǔ)鞏固練

一'選擇題

1.在平行四邊形ABCQ中，下列式子：

—?—?—?—?—?—?—?—?—?—?-?

?AD=AB+BD；?AD=AC+CD；@AD+AB^AC；?AB+BC

―?—?—?—?—?—?—?-?

=AC；(5)AD=AB+BC+CD；?AD=DC+CA.

其中不正確的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.4D.6

答案A

―?—?-?

解析OC+CA=D4,故⑥不正確；其他都正確.

-?—?―?—?

2.設(shè)a=(AB+CO)+(3C+D4),b是任一非零向量，則在下列

結(jié)論中，正確的是()

①a〃岳②a+Z>=a；③"+)=8；④|a+b|<|a|+網(wǎng)；

⑤|a+Z>|=|a|+步

A.①②B.①③

C.①③⑤D.②④⑤

答案C

—??-

解析a=(AB-\-CD)+(BC-\-DA)=AB+BC+CD+DA=0,易知

①③⑤正確.故選C.

3.已知Q,E,尸分別是△ABC的邊AbBC,CA的中點(diǎn)，則下

列等式中不正確的是()

\.FD+DA=FA

B.F￡）+DE+EF=O

-A-A-A

C.DE+DA=EC

—?―?―?

D.DA+DE=FD

答案D

-A-A-A-A

解析由向量加法的平行四邊形法則可知，DA+DE=DF^FD.

4.已知四邊形A3CD是菱形，則下列等式中成立的是（）

―?―?—?—?—?-?

\AB+BC=CAB.AB+AC=BC

―?—?—?—?—>—?

C.AC+BA=ADD.AC+AD=DC

答案C

-A—>—>—>—>

解析由四邊形4BCD是菱形知CD=8A,則AC+3A=AC

+CQ=4Q.故選C.

5.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足B4+

PB=PC,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.尸在3c的內(nèi)部

B.P在3c的邊A3上

C.尸在AB邊所在的直線上

D.P在△ABC的外部

答案D

解析由以+尸3=尸?？傻盟倪呅蜳BC4為平行四邊形，所以點(diǎn)

P在△ABC的外部.

p4

BC

二、填空題

6.根據(jù)圖示填空.

(1)AB+OA=

(2*0+0Q+Q0=

(3)AO+BO+2OQ=

答案(1)03(2*0(3)AD+5D

解析由三角形法則知

(1)AB+OA=OA+AB=OB.

(2)BO+OD+DO=BD+DO=BO.

(3)40+30+20力=(A0+0D)+(80+0Q)=AQ+BD

7.已知AB=a,BC=b,CD=c,DE=d,AE=e,則a+b+c+

d=

答案e

解析a^b+c+d=AB+BC+CD+DE=AE=e.

—?—?-?

8.若P為△A3C的外心，且出+P8=PC,則NACB=,

答案120°

―?-?-A

解析'：PA-\-PB=PC,則四邊形AP3C是平行四邊形.

—?—?-?

又尸為△ABC的