2024屆湖南省長沙市名校高三上學期8月第一次質(zhì)量檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省長沙市名校2024屆高三上學期8月第一次質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，，則.故選：C.2.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由可得，所以，故選:3.已知，是非零實數(shù)，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因為，都是非零實數(shù)，由可得，所以成立，反之也成立.所以“”是“”的充分必要條件，故選：A.4.某社區(qū)為了豐富退休人員的業(yè)余文化生活，自2018年以來，始終堅持開展“悅讀小屋讀書活動”.下表是對2018年以來近5年該社區(qū)退休人員的年人均借閱量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計：年份20182019202020212022年份代碼12345年人均借閱量（冊）162228（參考數(shù)據(jù)：）通過分析散點圖的特征后，年人均借閱量關于年份代碼的回歸分析模型為，則2023年的年人均借閱量約為（）A.31 B.32 C.33 D.34〖答案〗C〖解析〗因為，，所以，即.所以回歸方程為，當時，.故選：C.5.拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于地物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為，為坐標原點，一束平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上另一點反射后，沿直線射出，則直線與間的距離最小值為（）A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗B〖解析〗由拋物線的光學性質(zhì)可知，直線過拋物線的焦點，設直線的方程為，將直線的方程代入中，得，所以，，直線與間的距離，當時，取最小值4，故選：B.6.某校4名同學參加數(shù)學和物理兩項競賽，每項競賽至少有1名同學參加，每名同學限報其中一項，則兩項競賽參加人數(shù)不相等的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗記“兩項競賽參加人數(shù)不相等”為事件，則，故選：D.7.在矩形中，，，現(xiàn)將沿折起成，折起過程中，當時，四面體體積為（）A.2 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題可知,，又平面，故平面，又平面，所以，即此時為直角三角形，因為，，所以，又，平面，所以平面，所以四面體的體積為.故選：B.8.在三角形中，，，，在上的投影向量為，則（）A.-12 B.-6 C.12 D.18〖答案〗A〖解析〗由題意，，為中點，由在上的投影向量為，即，又，所以，所以.故選：A.二、選擇題9.已知函數(shù)的圖象關于點對稱，則下列結論正確的是（）A.B.的最大值為2C.函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為D.在上單調(diào)遞減〖答案〗BC〖解析〗因為函數(shù)的圖象關于點對稱，則點在函數(shù)的圖象上，所以，解得，故A錯誤；由，得最大值為2，故B正確；因為的最小正周期為，所以函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸的距離為，故C正確；當時，，所以在上是單調(diào)遞增，故D錯誤.故選：BC.10.(多選)已知點，是雙曲線：的左、右焦點，是雙曲線位于第一象限內(nèi)一點，若，，則下列結論正確的是（）A.的面積為B.雙曲線離心率為C.雙曲線的漸近線方程為D.若雙曲線的焦距為，則雙曲線的方程為〖答案〗BD〖解析〗對于選項A：由定義可得，因為，所以，，由已知，所以的面積為，故A錯誤；對于選項B：由勾股定理得，即，所以，故B正確；對于選項C：因為，所以，即，所以雙曲線的漸近線方程為：，故C錯誤；對于選項D：由雙曲線的焦距為得，從而，，所以雙曲線的方程為，故D正確.故選：BD.11.若數(shù)列中任意連續(xù)三項，，，均滿足，則稱數(shù)列為跳躍數(shù)列.則下列結論正確的是（）A.等比數(shù)列：1，，，，，…是跳躍數(shù)列B.數(shù)列的通項公式為，數(shù)列是跳躍數(shù)列C.等差數(shù)列不可能是跳躍數(shù)列D.等比數(shù)列是跳躍數(shù)列的充要條件是該等比數(shù)列的公比〖答案〗ACD〖解析〗對于選項A，由跳躍數(shù)列定義知，等比數(shù)列：1，，，，，…是跳躍數(shù)列，故A正確；對于選項B，數(shù)列的前三項為，，，不符合跳躍數(shù)列的定義，故B錯誤；對于選項C，當?shù)炔顢?shù)列公差時，它是單調(diào)遞增數(shù)列；公差時，它是單調(diào)遞減數(shù)列；公差時，它是常數(shù)列，所以等差數(shù)列不可能是跳躍數(shù)列，故C正確；對于選項D，等比數(shù)列是跳躍數(shù)列，則，整理得，即，若比數(shù)列的公比，則，可得，所以等比數(shù)列是跳躍數(shù)列，故D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)的圖象關于點對稱，且滿足，則下列結論正確的是（）A.函數(shù)是奇函數(shù)B.函數(shù)的圖象關于軸對稱C.函數(shù)是最小正周期為2的周期函數(shù)D若函數(shù)滿足，則〖答案〗ABD〖解析〗因為函數(shù)的圖象關于點對稱，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A正確；因為，所以，又，所以，所以，所以，所以為偶函數(shù).故B正確；因為，所以是最小正周期為4的周期函數(shù)，故C錯誤；因為，所以，那么，所以也是周期為4的函數(shù)，，因為，所以，，所以，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題13.已知，則________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：14.已知圓：，過動點作圓切線（為切點），使得，則動點的軌跡方程為________.〖答案〗〖解析〗設，由得，則，即.故〖答案〗為：15.如圖，圓柱的底面半徑和母線長均為3，是底面直徑，點在圓上且，點在母線上，，點是上底面的一個動點，且，則四面體的外接球的體積為________.〖答案〗〖解析〗因為是上底面的一個動點，且，所以點的軌跡是上底面上以為圓心，為半徑的圓，在中，，，，∴，∴為直角三角形，其外心為與的交點，且，，而，所以，所以為四面體的外接球的球心，球半徑為，所以球的體積故〖答案〗為：16.已知是函數(shù)的兩個不同極值點，若，則實數(shù)的值為________.〖答案〗〖解析〗依題意知，，，是函數(shù)的兩個不同極值點，所以，，即有兩個不同實根，等價于有兩個根，令，則，令，解得，所以時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，所以時，取得最大值，，又趨向于正無窮大時，趨向于0，所以且.若，即，由解得：，或，（舍去），所以.故〖答案〗為：.四、解答題17.在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，已知.（1）求角的值；（2）若的面積為，為的中點，求的最小值.解：（1）由及正弦定理可得：，則，因為，則，所以，，可得，故.（2）由于的面積為，所以，，解得在中，由余弦定理得：，故，當且僅當，即，時，的最小值為.18.在直三棱柱中，，，，延長至，使，連接，，.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.（1）證明：因為三棱柱是直三棱柱，所以平面，又由延長至，使，連接，可知在平面內(nèi)，所以因為，，所以，，又由，所以，所以，即，又，所以平面，因在平面內(nèi)，所以平面平面；（2）解：法一：由（1）可知，取中點，連接、，所以，因為平面，易得，所以，所以為二面角的平面角，因為，所以，，所以，所以，故二面角的余弦值為.法二：由已知可知，，，所以以點為原點，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖所示），由，，則，，，因為平面，所以平面的法向量為，由，，設平面的法向量為，則，，令，得，所以，所以二面角的余弦值為.19.已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，數(shù)列滿足.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）設，數(shù)列的前項和為，證明：.證明：（1）由題設，得，即，所以，又，所以，而，故是首項與公比都為2的等比數(shù)列.（2）由（1），得，當時，，顯然滿足上式，所以，則，所以，故.20.2023年游泳世錦賽于7月14日—30日在日本福岡進行，甲、乙兩名10米跳臺雙人賽的選手，在備戰(zhàn)世錦賽時挑戰(zhàn)某高難度動作，每輪均挑戰(zhàn)3次，每次挑戰(zhàn)的結果只有成功和失敗兩種.（1）甲在每次挑戰(zhàn)中，成功的概率都為.設甲在3次挑戰(zhàn)中成功的次數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（2）乙在第一次挑戰(zhàn)時，成功的概率為0.5，由于教練點撥、自我反思和心理調(diào)控等因素影響下，從第二次開始，每次成功的概率會發(fā)生改變，改變規(guī)律為：若前一次成功，則該次成功的概率比前一次成功的概率增加0.2；若前一次失敗，則該次成功的概率比前一次成功的概率增加0.15.求乙在第三次成功的概率.解：（1）由題意得，則，其中，則的分布列為：0123則.（2）設事件為“乙在第次挑戰(zhàn)成功”，其中.所以；；；；故.即乙在第三次成功的概率為0.85875.21.已知橢圓：的左、右焦點分別為、，是橢圓上一動點，，橢圓的離心率為，直線過點交橢圓于不同的兩點，.（1）求橢圓的方程：（2）若三角形的面積為，求直線的方程.解：（1）設橢圓的半焦距為，由已知有，解得故橢圓的方程為.（2）設，，直線的方程為，，聯(lián)立消去，整理得，則，，且，即或.所以的面積為，令，得，解得或，從而或.故直線的方程為，或，即，或.22.證明下面兩題：（1）證明：當時，；（2）當時，證明函數(shù)有2個不同零點.證明：（1）令，其中，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故當時，.（2）函數(shù)的定義域為，.因為，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有最大值.當時，，，令，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，因此當時，，.因為，所以，于是.又在上單調(diào)遞增，，且，所以在上有唯一零點.，由（1）因，所以，即，所以.由，得，即，得，于是.又，，在上單調(diào)遞減，所以在上有唯一零點.故時，有兩個零點.湖南省長沙市名校2024屆高三上學期8月第一次質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，，則.故選：C.2.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由可得，所以，故選:3.已知，是非零實數(shù)，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因為，都是非零實數(shù)，由可得，所以成立，反之也成立.所以“”是“”的充分必要條件，故選：A.4.某社區(qū)為了豐富退休人員的業(yè)余文化生活，自2018年以來，始終堅持開展“悅讀小屋讀書活動”.下表是對2018年以來近5年該社區(qū)退休人員的年人均借閱量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計：年份20182019202020212022年份代碼12345年人均借閱量（冊）162228（參考數(shù)據(jù)：）通過分析散點圖的特征后，年人均借閱量關于年份代碼的回歸分析模型為，則2023年的年人均借閱量約為（）A.31 B.32 C.33 D.34〖答案〗C〖解析〗因為，，所以，即.所以回歸方程為，當時，.故選：C.5.拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于地物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為，為坐標原點，一束平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上另一點反射后，沿直線射出，則直線與間的距離最小值為（）A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗B〖解析〗由拋物線的光學性質(zhì)可知，直線過拋物線的焦點，設直線的方程為，將直線的方程代入中，得，所以，，直線與間的距離，當時，取最小值4，故選：B.6.某校4名同學參加數(shù)學和物理兩項競賽，每項競賽至少有1名同學參加，每名同學限報其中一項，則兩項競賽參加人數(shù)不相等的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗記“兩項競賽參加人數(shù)不相等”為事件，則，故選：D.7.在矩形中，，，現(xiàn)將沿折起成，折起過程中，當時，四面體體積為（）A.2 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題可知,，又平面，故平面，又平面，所以，即此時為直角三角形，因為，，所以，又，平面，所以平面，所以四面體的體積為.故選：B.8.在三角形中，，，，在上的投影向量為，則（）A.-12 B.-6 C.12 D.18〖答案〗A〖解析〗由題意，，為中點，由在上的投影向量為，即，又，所以，所以.故選：A.二、選擇題9.已知函數(shù)的圖象關于點對稱，則下列結論正確的是（）A.B.的最大值為2C.函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為D.在上單調(diào)遞減〖答案〗BC〖解析〗因為函數(shù)的圖象關于點對稱，則點在函數(shù)的圖象上，所以，解得，故A錯誤；由，得最大值為2，故B正確；因為的最小正周期為，所以函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸的距離為，故C正確；當時，，所以在上是單調(diào)遞增，故D錯誤.故選：BC.10.(多選)已知點，是雙曲線：的左、右焦點，是雙曲線位于第一象限內(nèi)一點，若，，則下列結論正確的是（）A.的面積為B.雙曲線離心率為C.雙曲線的漸近線方程為D.若雙曲線的焦距為，則雙曲線的方程為〖答案〗BD〖解析〗對于選項A：由定義可得，因為，所以，，由已知，所以的面積為，故A錯誤；對于選項B：由勾股定理得，即，所以，故B正確；對于選項C：因為，所以，即，所以雙曲線的漸近線方程為：，故C錯誤；對于選項D：由雙曲線的焦距為得，從而，，所以雙曲線的方程為，故D正確.故選：BD.11.若數(shù)列中任意連續(xù)三項，，，均滿足，則稱數(shù)列為跳躍數(shù)列.則下列結論正確的是（）A.等比數(shù)列：1，，，，，…是跳躍數(shù)列B.數(shù)列的通項公式為，數(shù)列是跳躍數(shù)列C.等差數(shù)列不可能是跳躍數(shù)列D.等比數(shù)列是跳躍數(shù)列的充要條件是該等比數(shù)列的公比〖答案〗ACD〖解析〗對于選項A，由跳躍數(shù)列定義知，等比數(shù)列：1，，，，，…是跳躍數(shù)列，故A正確；對于選項B，數(shù)列的前三項為，，，不符合跳躍數(shù)列的定義，故B錯誤；對于選項C，當?shù)炔顢?shù)列公差時，它是單調(diào)遞增數(shù)列；公差時，它是單調(diào)遞減數(shù)列；公差時，它是常數(shù)列，所以等差數(shù)列不可能是跳躍數(shù)列，故C正確；對于選項D，等比數(shù)列是跳躍數(shù)列，則，整理得，即，若比數(shù)列的公比，則，可得，所以等比數(shù)列是跳躍數(shù)列，故D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)的圖象關于點對稱，且滿足，則下列結論正確的是（）A.函數(shù)是奇函數(shù)B.函數(shù)的圖象關于軸對稱C.函數(shù)是最小正周期為2的周期函數(shù)D若函數(shù)滿足，則〖答案〗ABD〖解析〗因為函數(shù)的圖象關于點對稱，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A正確；因為，所以，又，所以，所以，所以，所以為偶函數(shù).故B正確；因為，所以是最小正周期為4的周期函數(shù)，故C錯誤；因為，所以，那么，所以也是周期為4的函數(shù)，，因為，所以，，所以，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題13.已知，則________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：14.已知圓：，過動點作圓切線（為切點），使得，則動點的軌跡方程為________.〖答案〗〖解析〗設，由得，則，即.故〖答案〗為：15.如圖，圓柱的底面半徑和母線長均為3，是底面直徑，點在圓上且，點在母線上，，點是上底面的一個動點，且，則四面體的外接球的體積為________.〖答案〗〖解析〗因為是上底面的一個動點，且，所以點的軌跡是上底面上以為圓心，為半徑的圓，在中，，，，∴，∴為直角三角形，其外心為與的交點，且，，而，所以，所以為四面體的外接球的球心，球半徑為，所以球的體積故〖答案〗為：16.已知是函數(shù)的兩個不同極值點，若，則實數(shù)的值為________.〖答案〗〖解析〗依題意知，，，是函數(shù)的兩個不同極值點，所以，，即有兩個不同實根，等價于有兩個根，令，則，令，解得，所以時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，所以時，取得最大值，，又趨向于正無窮大時，趨向于0，所以且.若，即，由解得：，或，（舍去），所以.故〖答案〗為：.四、解答題17.在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，已知.（1）求角的值；（2）若的面積為，為的中點，求的最小值.解：（1）由及正弦定理可得：，則，因為，則，所以，，可得，故.（2）由于的面積為，所以，，解得在中，由余弦定理得：，故，當且僅當，即，時，的最小值為.18.在直三棱柱中，，，，延長至，使，連接，，.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.（1）證明：因為三棱柱是直三棱柱，所以平面，又由延長至，使，連接，可知在平面內(nèi)，所以因為，，所以，，又由，所以，所以，即，又，所以平面，因在平面內(nèi)，所以平面平面；（2）解：法一：由（1）可知，取中點，連接、，所以，因為平面，易得，所以，所以為二面角的平面角，因為，所以，，所以，所以，故二面角的余弦值為.法二：由已知可知，，，所以以點為原點，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖所示），由，，則，，，因為平面，所以平面的法向量為，由，，設平面的法向量為，則，，令，得，所以，所以二面角的余弦值為.19.已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，數(shù)列滿足.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）設，數(shù)列的前項和為，證明：.證明：（1）由題設，得，即，所以，又，所以，而，故是首項與公比都為2的等比數(shù)列.（2）由（1），得，當時，，顯然滿足上式，所以，則，所