4.2指數(shù)函數(shù)（課件）高一數(shù)學(xué)（2020）【01】

學(xué)習(xí)任務(wù)123理解指數(shù)函數(shù)的概念，了解對底數(shù)的限制條件.掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).學(xué)會利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)求函數(shù)的定義域、值域.能借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小會解簡單的指數(shù)方程、不等式.了解指數(shù)增長型和指數(shù)衰減型在實際問題中的應(yīng)用.1新課導(dǎo)入

研究這樣一個問題：一張紙對折一次，由1層變?yōu)?層，再對折一次由2層變?yōu)?層，……對折x次后，層數(shù)y與折疊次數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為y=2x.將冪的底數(shù)a固定，指數(shù)用變量x代替，研究冪ax隨x變化而變化的規(guī)律，即用y=ax來描述y與x之間的關(guān)系，就得到指數(shù)函數(shù).2知識梳理指數(shù)函數(shù)的定義當(dāng)?shù)讛?shù)a固定，且a＞0，a≠1時，函數(shù)

叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是

.y＝axR思考為什么底數(shù)應(yīng)滿足a>0且a≠1?答案①當(dāng)a≤0時，ax可能無意義；②當(dāng)a>0時，x可以取任何實數(shù)；③當(dāng)a＝1時，ax＝1(x∈R)，無研究價值.因此規(guī)定y＝ax中a>0，且a≠1.指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質(zhì)如下表：指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)指數(shù)模型1.y＝kax(k>0)，當(dāng)

時為指數(shù)增長型函數(shù)模型.2.y＝kax(k>0)，當(dāng)

時為指數(shù)衰減型函數(shù)模型.a>10<a<13題型總結(jié)題型一

指數(shù)函數(shù)的概念例1

(1)解析:根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義進行判斷得①⑥⑧為指數(shù)函數(shù).②中自變量不在指數(shù)上;③是-1與指數(shù)函數(shù)4x的乘積;④中底數(shù)-4<0;⑤中定義域不是R;⑦中指數(shù)不是x,而是x2,故②③④⑤⑦都不是指數(shù)函數(shù).①⑥⑧題型一

指數(shù)函數(shù)的概念例1

(2)函數(shù)y=(2a2-3a+2)ax是指數(shù)函數(shù),則a的取值是(

)題型二

指數(shù)函數(shù)的解析式例2

若指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(2,9),求f(x)及f(-1).題型三

指數(shù)函數(shù)的定義域、值域例3

求下列函數(shù)的定義域和值域:題型三

指數(shù)函數(shù)的定義域、值域例3

求下列函數(shù)的定義域和值域:題型三

指數(shù)函數(shù)的定義域、值域例3

求下列函數(shù)的定義域和值域:(4)y=4x+2x+1+3.

解:(4)定義域為R.由題意,得y=4x+2x+1+3=(2x+1)2+2,由于2x>0,所以(2x+1)2>1,所以y=4x+2x+1+3的值域是(3,+∞).題型四

指數(shù)函數(shù)的圖像例4（1）指出下列函數(shù)的圖象是由y=f(x)的圖象通過怎樣的變化得到的.(1)y=2x+1;(2)y=2x-1;(3)y=2x+1;(4)y=2-x;(5)y=2|x|.解:(1)y=2x+1的圖象是由y=2x的圖象向左平移1個單位得到的.(2)y=2x-1的圖象是由y=2x的圖象向右平移1個單位得到的.(3)y=2x+1的圖象是由y=2x的圖象向上平移1個單位得到的.(4)因為y=2-x與y=2x的圖象關(guān)于y軸對稱,所以作y=2x的圖象關(guān)于y軸的對稱圖形便可得到y(tǒng)=2-x的圖象.(5)因為y=2|x|圖象關(guān)于y軸對稱,故先作出當(dāng)x≥0時,y=2x的圖象,再作關(guān)于y軸的對稱圖形,即可得到y(tǒng)=2|x|的圖象.題型四

指數(shù)函數(shù)的圖像例4（2）已知函數(shù)f(x)=a2x-2+3(a>0且a≠1)的圖象恒過定點P,則點P的坐標(biāo)是(

)(A)(0,3) (B)(1,3) (C)(0,4) (D)(1,4)解析:當(dāng)2x-2=0時,x=1,即f(1)=a2-2+3=1+3=4,故P(1,4).故選D.題型四

指數(shù)函數(shù)的圖像例4（3）若函數(shù)y=ax-(b+1)(a>0,且a≠1)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限,則必有(

)(A)0<a<1,b>0 (B)0<a<1,b<0(C)a>1,b<0 (D)a>1,b>0法一由指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)圖象的性質(zhì)知函數(shù)y=ax(a>1)的圖象過第一、二象限,且恒過點(0,1),而函數(shù)y=ax-(b+1)的圖象是由y=ax的圖象向下平移(b+1)個單位長度得到的,如圖,若函數(shù)y=ax-(b+1)的圖象過第一、三、四象限,則a>1且b+1>1,從而a>1且b>0.故選D.法二由函數(shù)是增函數(shù)知a>1,又x=0時,f(0)<0知b>0.選D.題型五

比大小例5

比較下列各組數(shù)的大小:和;和;解可看作函數(shù)x的兩個函數(shù)值,由于底數(shù)1.5>1,所以函數(shù)x在R上是嚴(yán)格增,因為2.5<3.2,所以.可看作函數(shù)x的兩個函數(shù)值,因為函數(shù)x在R上嚴(yán)格遞減,且-1.2>-1.5,所以.題型五

比大小例5

和;(4)a與a(a>0且a≠1).解:(3)由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得00=1,所以.(4)當(dāng)a>1時,y=ax在R上嚴(yán)格遞增,故a>a;當(dāng)0<a<1時,y=ax在R上嚴(yán)格遞減,故a<a.總結(jié)

比較冪的大小一般地，比較冪大小的方法有(1)對于同底數(shù)不同指數(shù)的兩個冪的大小，利用指數(shù)函數(shù)的

來判斷；(2)對于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個冪的大小，利用冪函數(shù)的單調(diào)性來判斷；(3)對于底數(shù)不同指數(shù)也不同的兩個冪的大小，則通過

來判斷.單調(diào)性中間值題型六

解不等式例6

解指數(shù)方程、不等式簡單指數(shù)不等式的解法(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的

求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可將b化為以a為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助y＝ax的_____

求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助兩函數(shù)y＝ax，y＝bx的圖象求解.單調(diào)性單調(diào)性題型七

指數(shù)函數(shù)的模型應(yīng)用例7甲、乙兩城市現(xiàn)有人口總數(shù)都為100萬人，甲城市人口的年自然增長率為1.2%，乙城市每年增長人口萬.試解答下面的問題：(1)寫出兩城市的人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；解1年后甲城市人口總數(shù)為

y甲＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2年后甲城市人口總數(shù)為y甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；3年后甲城市人口總數(shù)為

y甲＝100×(1＋1.2%)3；…；x年后甲城市人口總數(shù)為y甲＝100×(1＋1.2%)x.x年后乙城市人口總數(shù)為y乙＝100＋x.題型七

指數(shù)函數(shù)的模型應(yīng)用(2)計算10年、20年、30年后兩城市的人口總數(shù)(精確到萬人)；解10年、20年、30年后，甲、乙兩城市人口總數(shù)(單位：萬人)如表所示.

10年后20年后30年后甲112.7126.9143.0乙1131261394課堂練習(xí)1.下列函數(shù)：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.其中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是A.0√2.若函數(shù)y＝(m2－m－1)·mx是指數(shù)函數(shù)，則m等于A.－1或2 B.－1 C.2

D.√3.某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，…，現(xiàn)有2個這樣的細胞，分裂x次后得到細胞的個數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系式是A.y＝2x

B.y＝2x－1 C.y＝2x

D.y＝2x＋1√解析分裂一次后由2個變成2×2＝22(個)，分裂兩次后變成4×2＝23(個)，…，分裂x次后變成y＝2x＋1(個).4.f(x)為指數(shù)函數(shù)，若f(x)過點(－2,4)，則f(f(－1))＝________.解析設(shè)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，5.函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A.a>1，b<0B.a>1，b>0C.0<a<1，b>0D.0<a<1，b<0√解析從曲線的變化趨勢，可以得到函數(shù)f(x)遞減，從而有0<a<1；從曲線位置看，是由函數(shù)y＝ax(0<a<1)的圖象向左平移|－b|個單位長度得到的，所以－b>0，即b<0.6.函數(shù)y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的圖象過定點______.(3,4)解析因為指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(0,1)，所以在函數(shù)y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此時y＝1＋3＝4，即函數(shù)y＝ax－3＋3的圖象過定點(3,4).7.如圖是指數(shù)函數(shù)①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的圖象,則a,b,c,d與1的大小關(guān)系是(

)(A)a<b<1<c<d(B)b<a<1<d<c(C)1<a<b<c<d(D)a<b<1<d<cB(A)(-∞,0) (B)(-∞,0](C)[0,+∞) (D)(0,+∞)C解析:由2x-1≥0得2x≥1,即x≥0,所以函數(shù)的定義域為[0,+∞),選C.10.函數(shù)y=4x+1的值域是

.

解析:由4x>0知1+4x>1.故y>1.(1,+∞)11.下列判斷正確的是(

)D解析:因為x嚴(yán)格遞減,且0.5>0.3,所以.AA13.已知指數(shù)函數(shù)f(x)=(a-2)x,且f(2020)<f(2019),則實數(shù)a的取值范圍是(

)(A)(2,3) (B)(0,1) (C)(1,+∞) (D)(3,+∞)解析:由f(2020)<f(2019)知函數(shù)f(x)是R上嚴(yán)格遞減.故0<a-2<1,則2<a<3.選A.14.函數(shù)f(x)=2x+1在[-1,2]上的最大值與最小值的差為

.

解析:因為f(x)=2x+1在[-1,2]上嚴(yán)格遞增,所以f(x)的最大值為f(2),最小值為f(-1).故f(2)