高中數(shù)學(xué)人教新課標(biāo)B版必修2-《直線與圓的位置關(guān)系》

教學(xué)基本信息

課題直線與圓的位置關(guān)系

是否屬于

否

地方課程或校本課程

學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：第一學(xué)期年級(jí)高二

相關(guān)解析幾何

領(lǐng)域

教材書名：人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)（B）版》必修二

出版社：人民教育出版社出版日期：

教學(xué)設(shè)計(jì)參與人員

指導(dǎo)思想與理論依據(jù)

課程標(biāo)準(zhǔn)提出，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，讓

學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，發(fā)現(xiàn)他們的創(chuàng)新意識(shí)，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)

的主動(dòng)性，應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。人們?cè)趯W(xué)

習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題的過程中，不斷經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象

概括、符號(hào)表示、反思建構(gòu)等思維過程，這些過程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，它們有

助于學(xué)生對(duì)客觀事物中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模式做出思考和判斷，數(shù)學(xué)思維能力在形成理性思維

能力中發(fā)揮著獨(dú)特的作用。數(shù)學(xué)過程中的評(píng)價(jià)要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，關(guān)注他

們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中所表現(xiàn)出來的情感態(tài)度的變化。

建構(gòu)主義理論認(rèn)為，知識(shí)不是通過教師的講授得到的，而是學(xué)習(xí)者在一定環(huán)境下，

借助他人的幫助，利用必要的學(xué)習(xí)資料，通過意義建構(gòu)的方式來獲得的。建構(gòu)主義提倡

在教師指導(dǎo)下以學(xué)生為中心的學(xué)習(xí)，它既強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者的認(rèn)知主體作用，又不忽視教師的

主導(dǎo)作用，教師是意義建構(gòu)的幫助者、促進(jìn)者，而不是知識(shí)的傳授者與灌輸者；學(xué)生是

信息加工的主體，是意義的主動(dòng)建構(gòu)者，而不是外部刺激的被動(dòng)接受者和被灌輸?shù)膶?duì)象。

新課程理念提出，教學(xué)不只是為了掌握知識(shí)的結(jié)論，更重要的是經(jīng)歷知識(shí)的過程。

教學(xué)的目的不只是掌握現(xiàn)存的知識(shí)結(jié)論，而是將習(xí)得的知識(shí)遷移到新情境中去，也就是

要學(xué)生創(chuàng)造性地提出問題和解決問題。培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力是新課程的重要

目標(biāo)之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，就要充分揭示思維過程，這其中就

包括充分揭示概念的形成過程、結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程、問題解決的思路探索過程。

教學(xué)背景分析

1.本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)

2.解析幾何的基本思想方法

“代數(shù)運(yùn)算”

“翻譯”“翻譯”

幾何問題|—?|代數(shù)問題|-------?|代數(shù)問題的解|一》|幾何問題的解

點(diǎn)<--------?坐標(biāo)

曲線<-------->方程

幾何特征<-------?數(shù)式和數(shù)量關(guān)系

解析法，就是坐標(biāo)法，解析幾何就是在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用代數(shù)的方法研究幾何問

題一門學(xué)科。用坐標(biāo)法研究幾何圖形的性質(zhì)，須先將幾何圖形置于坐標(biāo)系下，對(duì)“形”

進(jìn)行翻譯轉(zhuǎn)化：把點(diǎn)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)、把曲線轉(zhuǎn)化為方程，把題目中明顯的或隱含的解題所

需要的一切幾何特征，用數(shù)式和數(shù)量關(guān)系表示出來。把“形”翻譯為“數(shù)”是用坐標(biāo)法

解決幾何問題時(shí)首要工作。

3.教材的地位與作用

《平面解析幾何初步》所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法為：數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、

函數(shù)與方程思想、分類討論思想等。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)原則為：反復(fù)滲透，漸進(jìn)發(fā)展,

學(xué)生反思領(lǐng)悟。

本節(jié)課選自人教（B版）數(shù)學(xué)必修2第二章2.3.3《直線與圓的位置關(guān)系》第1課

時(shí)。它是學(xué)生在已經(jīng)掌握直線方程和圓的方程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)

系。本節(jié)課既是對(duì)直線與圓的方程應(yīng)用的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究圓與圓的位置關(guān)系

的基礎(chǔ)。用解析法研究直線與圓的位置關(guān)系是從初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)的開始和階

梯，也是在為后面研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系打好基礎(chǔ)，因此本節(jié)課起著承前啟后

的作用。

4.教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)主要內(nèi)容：直線與圓的位置關(guān)系的判定。為了突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，落實(shí)本節(jié)

設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)，安排了思考、探究、應(yīng)用新知、拓展新知、自主編題、歸納反思等環(huán)

節(jié)，通過師生共同合作探究，解決以下三個(gè)問題：（1）直線與圓的位置關(guān)系的判定及弦

長(zhǎng)問題；（2）代數(shù)法、幾何法的理解及應(yīng)用；（3）數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)。

5.學(xué)生情況分析

北京四十三中是北京市西城區(qū)的一所普通中學(xué)，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不太好。我所任教

的班級(jí)是我校高二文科3班。本班學(xué)生在我的培養(yǎng)下，對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有很大的興趣，課堂

思維較為活躍，經(jīng)常開展分組學(xué)習(xí)，合作探究的活動(dòng)。

在初中，利用平面幾何知識(shí)來判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法學(xué)生們并不陌生，前

面又學(xué)過直線、圓的方程，直線與直線的位置關(guān)系和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，學(xué)生對(duì)“坐標(biāo)

法”、特殊到一般、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想已初步了解，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了一定

的基礎(chǔ)。

本節(jié)內(nèi)容容量大，對(duì)學(xué)生的建模能力和數(shù)形結(jié)合、歸納推理能力有較高要求。學(xué)生

對(duì)新內(nèi)容的學(xué)習(xí)有一定的興趣和積極性，但在探究能力和合作交流發(fā)展上還不夠均衡，

學(xué)生在靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、方程思想解題的能力還有待加強(qiáng)。

6.教學(xué)方式

教師啟發(fā)引導(dǎo)與學(xué)生自主探究相結(jié)合。從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，運(yùn)用啟發(fā)式、探究

式等引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，積極參與。

7.教學(xué)手段

（1）計(jì)算機(jī)：PPT展示，幾何畫板軟件演示動(dòng)畫。

（2）實(shí)物展臺(tái)：用于學(xué)生交流時(shí)，展示學(xué)生自己的作品。

（3）技術(shù)準(zhǔn)備：學(xué)生用課堂學(xué)案和“自主編題報(bào)告單”。

8.課前準(zhǔn)備工作

（1）為便于管理，采用異質(zhì)分組，每組5人左右，共4組，安排小組長(zhǎng)。組內(nèi)要

求有分工，有合作，有交流，并推選代表發(fā)言。

（2）印發(fā)課堂學(xué)案和“自主編題報(bào)告單”，每名學(xué)生明確學(xué)習(xí)任務(wù)，同時(shí)便于交

流。

9.課堂自主探究、合作探究過程

這節(jié)課的內(nèi)容較多，同時(shí)也是本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，因此采用自主探究后，小組內(nèi)

合作探究、組間交流、質(zhì)疑、點(diǎn)評(píng)。

教師巡視、指導(dǎo)、參與探究，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用坐標(biāo)法去解決幾何問題，用運(yùn)動(dòng)

變化的觀點(diǎn)去看問題。

10.課堂組間交流過程

(1)小組匯報(bào)

小組內(nèi)推選發(fā)言代表，其他同學(xué)自由補(bǔ)充。

(2)組間質(zhì)疑

小組匯報(bào)后，對(duì)不同意見或不清楚的地方，提出質(zhì)疑。

(3)師生點(diǎn)評(píng)

對(duì)匯報(bào)展示與質(zhì)疑的同學(xué)進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，及時(shí)鼓勵(lì)、表?yè)P(yáng)，保持學(xué)生學(xué)習(xí)熱情。通過交

流，學(xué)習(xí)他人的研究成果，充實(shí)自己。

教學(xué)目標(biāo)(內(nèi)容框架)

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：在平面解析幾何初步的教學(xué)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生經(jīng)歷如下的

過程：首先將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語(yǔ)言描述幾何要素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問題

轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；處理代數(shù)問題；分析代數(shù)結(jié)果的幾何意義，最終解決幾何問題。

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中

要注意引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)以形助數(shù)，借數(shù)解形，數(shù)形結(jié)合。根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和我所教

學(xué)生的實(shí)際，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為以下三個(gè)方面：

【知識(shí)與技能】

①能根據(jù)給定直線、圓的方程，掌握判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法：幾何法

和代數(shù)法；

②能綜合應(yīng)用直線與圓的位置關(guān)系解決一些簡(jiǎn)單的問題。

【過程與方法】

①經(jīng)歷理論與實(shí)際的聯(lián)系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合與方

程的思想解決問題的意識(shí)；

②經(jīng)歷探索判斷直線與圓的位置關(guān)系的過程，使學(xué)生參與數(shù)學(xué)實(shí)踐。

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

①讓學(xué)生參與用解析法探求直線與圓的位置關(guān)系的過程，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到解析法解決

平面幾何問題的優(yōu)越性;

②通過學(xué)生自主探究、小組合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神和主動(dòng)學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣。

【教學(xué)重點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系及其判斷方法；

【教學(xué)難點(diǎn)】理解坐標(biāo)法解決幾何問題的數(shù)學(xué)思想。

教學(xué)流程示意

在以上教學(xué)背景分析和教學(xué)目標(biāo)的前提下，我設(shè)計(jì)了如下教學(xué)過程，分為七個(gè)環(huán)節(jié):

創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

__________]r__________

探究發(fā)現(xiàn)，構(gòu)建新知

小結(jié)新知，總結(jié)提升

應(yīng)用新知，增強(qiáng)體驗(yàn)

拓展新知，合作交流

回顧反思，共同進(jìn)步

布置作業(yè)，分層提高

教學(xué)過程(文字描述)

(-)創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

引例：2014年3月8日凌晨，由馬來西亞飛至北京的MH370航班與地面指揮中心失去

聯(lián)系，3月24日凌晨馬來西亞發(fā)言人宣布MH370墜落于印度洋南部海域，飛機(jī)上包括

154名中國(guó)乘客在內(nèi)的239人全部失蹤，引起國(guó)際社會(huì)高度關(guān)注。事后搜尋工作在緊張

進(jìn)行，一艘輪船由馬來西亞港口沿某航線向印度洋南部海域某港口航行執(zhí)行搜尋任務(wù)，

輪船在沿直線航行至印度洋南部海域某港口的途中，接到氣象臺(tái)的颶風(fēng)預(yù)報(bào)：颶風(fēng)中心

位于輪船正西90km處，受影響的范圍是半徑長(zhǎng)為40km的圓形區(qū)域。已知港口位于颶風(fēng)

中心正北45km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會(huì)受到颶風(fēng)的影響？

問題1：你怎么判斷輪船受不受影響？

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)主要是創(chuàng)設(shè)情境，來源于生活的實(shí)際問題能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，

提高學(xué)習(xí)的積極性，在實(shí)際問題中讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化后，

學(xué)生由圖形獲取判斷直線與圓的位置關(guān)系的直觀認(rèn)知，自然引入本節(jié)課要研究的內(nèi)容，

這樣的設(shè)計(jì)符合建構(gòu)主義理論的要求。

問題2：引例中的實(shí)際問題可以轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問題。請(qǐng)問直線與圓的位置

關(guān)系有幾種？在平面幾何中，我們?cè)鯓优袛嘀本€與圓的位置關(guān)系呢？請(qǐng)用表格總結(jié)。

相交相切相離

Q

XLq

圖形

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)210

d與r的關(guān)系d<rd-rd>r

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生回顧義務(wù)教育階段直線與圓的位置關(guān)系的思考過程，并為本節(jié)課

做好知識(shí)方面的準(zhǔn)備，有利于激發(fā)學(xué)生運(yùn)用舊知探求新知的欲望和知識(shí)的遷移。從已有

的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，構(gòu)建學(xué)生學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)，不斷加深對(duì)

問題的理解，為新知的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

（二）探究發(fā)現(xiàn)，構(gòu)建新知

探究：我們?cè)撊绾闻袛鄦栴}情境中的直線與圓的

位置關(guān)系呢？

問題3：我們把問題情境中的實(shí)物圖用幾何畫板

縮放畫出來如下圖，大家觀察下邊的模型圖，你

能判斷出直線與圓。的位置關(guān)系嗎？

問題4：你的結(jié)論可靠嗎？依據(jù)是什么？如果不

可靠那又該如何準(zhǔn)確判斷呢？

預(yù)案：如果學(xué)生說“看出來的?！保▓D形畫的像相切一一很難看出來是相切還是相交或

相離）；問一問其他同學(xué)，都是這樣看出來的嗎？能否量化？（根據(jù)數(shù)量來判斷）

問題5：為什么要建立坐標(biāo)系？如何建立合適的坐標(biāo)系？

【設(shè)計(jì)意圖】通過一系列的問題串，促使學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)得到一次洗禮，說明有時(shí)僅

憑觀察不一定正確，那現(xiàn)在的當(dāng)務(wù)之急就是要引進(jìn)一種新的數(shù)學(xué)思想方法來解決這一問

題，為后續(xù)引出用坐標(biāo)法解決問題作鋪墊。

問題6：如果以颶風(fēng)的中心為原點(diǎn)。，東西方向?yàn)閤軸，建立直角坐標(biāo)系，其中取10km

為單位長(zhǎng)度，你能寫出其中的直線方程與圓的方程嗎？

請(qǐng)同學(xué)們通過計(jì)算來判斷直線與圓。的位置關(guān)系？并闡述自己的解題思路。

1Q

直線的方程：_y-——x+—,即x+2y-9=0_

圓0的方程：x2+y2=16_

【設(shè)計(jì)意圖】該問題具有探究性、啟發(fā)性和開放性，學(xué)生分組，鼓勵(lì)學(xué)生大膽表達(dá)自己

的看法，展示成果.通過學(xué)生的解答，使學(xué)生厘清判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法，真

正把學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)

造的歷程，為學(xué)生形成積極探究的學(xué)習(xí)方式，創(chuàng)造有利條件，并滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想。

（三）小結(jié)新知，總結(jié)提升；

形（幾何上）數(shù)（代數(shù)上）

直線直線的方程：I-.Ax+By+C^

圓的方程：C:(x—a)2+(y—b)2=,

憑借什么來判斷它們的位置關(guān)系？憑借什么來判斷它們的位置關(guān)系？

1.觀察直線與圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的方程組

2.圓心到直線的距離d與圓的半徑r作比較。的解的個(gè)數(shù)問題，借助判別式來判斷。

位置關(guān)系比較法幾何特征（觀察法）方程特征代數(shù)法

相交d<r兩個(gè)公共點(diǎn)兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)解A>0

相切d-r唯一公共點(diǎn)兩個(gè)相等實(shí)數(shù)解A=0

相離d>r無公共點(diǎn)無實(shí)數(shù)解A<0

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生由特殊到一般，對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理，概括出利用直線與圓的方程來判

斷它們位置關(guān)系的兩種方法，在課堂上把所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化，加深理解。讓學(xué)生進(jìn)一步

體驗(yàn)“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的思想方法。

（四）應(yīng)用新知，增強(qiáng)體驗(yàn)

例1.已知直線/：y=-+/〃和圓0：f+y2=i6,當(dāng)“為何值時(shí)，直線/與圓C相

交，相切，相離？

小結(jié)：判斷直線與圓位置關(guān)系的兩種方法

【設(shè)計(jì)意圖】從問題情境中提煉出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，然后對(duì)題目進(jìn)行改編。為了增加思

維的梯度，對(duì)于含有參數(shù)的方程，讓學(xué)生既能從基本方法上解決，又能從參數(shù)的幾何意

義上運(yùn)用變化的觀點(diǎn)看問題。通過直線不動(dòng)圓動(dòng)、圓不動(dòng)直線動(dòng)的兩個(gè)方面的不同變化,

讓學(xué)生體會(huì)這兩種不同變化中包含的問題的本質(zhì)，從而找到解決問題的一般方法。

（五）拓展新知，合作交流

探究活動(dòng)1：請(qǐng)同學(xué)們類比例1的題型設(shè)置和問法，每個(gè)小組試著編寫出其他類型的題

目，然后寫在“自主編題報(bào)告單”上。完成后每個(gè)小組派代表來展示，這些題目就留作

今天每個(gè)小組對(duì)應(yīng)的課后作業(yè)。

要求：1、題型不要重復(fù)；2、條件盡量簡(jiǎn)潔；3、題目中只含一個(gè)參數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】通過自主編題環(huán)節(jié)讓學(xué)生從“運(yùn)動(dòng)”的觀點(diǎn)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)直線與圓的位置關(guān)

系，找到“變”與“不變”的本質(zhì)。進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力和開放性思維能力,

讓學(xué)生從編題者的角度看問題，變被動(dòng)為主動(dòng)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

例2.已知直線/：x+2y-5=0和圓O：x2+y2=16,求出直線/被圓。截得的弦AB的

長(zhǎng)度。

教師簡(jiǎn)要分析后同學(xué)們獨(dú)立解答，并請(qǐng)兩位同學(xué)展示解題過程。

小結(jié)：求圓中弦長(zhǎng)的方法：

方法一：聯(lián)立直線和圓的方程，解出兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求解。

方法二：構(gòu)造直角三角形，先求弦心距，再求弦長(zhǎng)。\AB\^2y/r2-d2

歸納總結(jié)弦長(zhǎng)的兩種求法，觸類旁通，由一題會(huì)一類題。明確本節(jié)課求圓中弦長(zhǎng)問

題時(shí)方法二更簡(jiǎn)便。

【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)例1的進(jìn)一步改編，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，關(guān)注圓中量與量之間的關(guān)

系，從定性判斷到定量計(jì)算，提高學(xué)生一題多解的能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，并借助

本例題對(duì)直線被圓截得的弦長(zhǎng)的方法進(jìn)行小結(jié)歸納，并簡(jiǎn)單總結(jié)每種方法的各自的特

點(diǎn)。

在方程尸-屋中有三個(gè)量,分別是弦長(zhǎng)弦心距。和半徑r,那么我

們只要知道其中的兩個(gè)量就能求出第三個(gè)量，簡(jiǎn)稱“知二求一”。這道例題的本質(zhì)實(shí)際

上是“已知d和r,求弦長(zhǎng)AM

請(qǐng)同學(xué)們類比例2的題型設(shè)置和問法，思考一下還可能會(huì)有哪些其他的題型呢？

題型一：“已知d和r，求弦長(zhǎng)

題型二：“已知_。和求_r_;

題型三：“已知—\AB\^：r_,求_d_。

我們知道4是弦心距，也就是圓心到直線的距離，d的大小由圓心和直線的位置

決定。如果設(shè)圓心。3,份，直線/：y=kx+m,則與叫

“2+]

探究活動(dòng)2：那么在上述題型中求出d值以后，類比前面的方程思想，方程4=駕”型

右邊的四個(gè)量太加,。力中，只要知道其中的三個(gè)量就能求出剩下的第四個(gè)量，那么同學(xué)

們思考一下又會(huì)有哪些可能的題型呢？請(qǐng)寫在“自主編題報(bào)告單”上，完成后每個(gè)小組

派代表來展示，這些題目就留作今天每個(gè)小組對(duì)應(yīng)的課后作業(yè)。

【設(shè)計(jì)意圖】再次挖掘弦長(zhǎng)公式中三個(gè)量之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生再次自主編題，從定性

判斷到定量計(jì)算，發(fā)現(xiàn)弦長(zhǎng)問題的本質(zhì)，達(dá)到觸類旁通，舉一反三的目的。

(六)回顧反思，共同進(jìn)步

1、就這節(jié)課中探究學(xué)習(xí)的某些過程，談?wù)勀愕恼J(rèn)知與體會(huì)。

讓學(xué)生先口述，然后師生共同從知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法、探究途徑三個(gè)方面加以總結(jié)。

知識(shí)上：

(1)直線與圓的位置關(guān)系的判斷：①幾何法；②代數(shù)法。

(2)直線和圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)問題：

①聯(lián)立方程求交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求解；

②利用圓中“兩個(gè)半”直角三角形求解。

數(shù)學(xué)思想方法：

①數(shù)形結(jié)合思想；②化歸與轉(zhuǎn)化思想

探究途徑：

化歸，類比，逆向思維……

【設(shè)計(jì)意圖】適時(shí)地組織和指導(dǎo)學(xué)生歸納本節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn)和思想方法以及探究新知識(shí)

的一般途徑，有助于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)，記憶和應(yīng)用和歸納，學(xué)生對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)有一個(gè)

較為整體、全面認(rèn)識(shí)，希望可以通過教師的示范，幫助學(xué)生養(yǎng)成歸納反思的良好學(xué)習(xí)習(xí)

慣。

2、通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你還想要進(jìn)一步了解直線與圓的什么知識(shí)？你認(rèn)為直線與

圓還有什么值得研究的問題？

【設(shè)計(jì)意圖】通過設(shè)計(jì)開放性問題，實(shí)現(xiàn)由知識(shí)向能力的轉(zhuǎn)化.發(fā)揮知識(shí)系統(tǒng)的整體優(yōu)

勢(shì)，并為后續(xù)的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。授人以魚不如授人以漁，作為教者，給予學(xué)生的應(yīng)是開

啟問題的鑰匙，教會(huì)學(xué)生如何思考才是關(guān)鍵。

(七)布置作業(yè)，分層提高

1.課本P101練習(xí)A1,2,3；練習(xí)Bl；

2.各組成員完成本組自編的題目并解完；

3.(選做題)已知直線/：y=+和圓C：x2+y2=16,

(1)請(qǐng)你具體給出左、人的一組值，使直線/與圓C相切；

(2)當(dāng)直線/與圓C相離時(shí)，k、〃應(yīng)滿足什么關(guān)系；

(3)若b-k=l,試判斷直線/與圓C的位置關(guān)系。

【設(shè)計(jì)意圖】一是鞏固學(xué)生本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)并落實(shí)教學(xué)目標(biāo)，二是為后續(xù)課的學(xué)習(xí)做

好鋪墊。分層次的布置作業(yè)滿足不同層次的學(xué)生，同時(shí)留下選做題，體現(xiàn)了分層教學(xué)，

給學(xué)有余力的同學(xué)留出進(jìn)一步思考的空間。

學(xué)習(xí)效果評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

相對(duì)于結(jié)果，過程更能反映每個(gè)學(xué)生的發(fā)展變化，體現(xiàn)出學(xué)生成長(zhǎng)的歷程。因此，

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)，既要重視結(jié)果，也要重視過程。

教師教學(xué)效果的評(píng)價(jià)：

課堂上教師的教學(xué)效果評(píng)價(jià)，采用定性和定量相結(jié)合的方式，用于教師的自我評(píng)價(jià),

或聽課教師對(duì)主講教師的課上教學(xué)效果評(píng)價(jià)。

學(xué)生課堂學(xué)習(xí)態(tài)度方面：

鼓勵(lì)學(xué)生多表達(dá)、交流想法；教師能做到及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生的回答，強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)知；

教師能做到恰當(dāng)?shù)慕o學(xué)生留出思考空間。

學(xué)生在引入環(huán)節(jié)被吸引，愿意探索和主動(dòng)參與，感受到趣味性，具備學(xué)習(xí)新知識(shí)的

動(dòng)機(jī)。在概念形成和深化、自主編題、歸納總結(jié)環(huán)節(jié)學(xué)生能夠積極思考，合作交流并發(fā)

表看法。課后能夠質(zhì)疑并主動(dòng)分析和解決問題。所有環(huán)節(jié)中，學(xué)生擁有積極的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

態(tài)度、動(dòng)機(jī)和興趣，具備學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。

學(xué)生課堂思維能力方面：

1、觀察教學(xué)中學(xué)生能否在初中利用平面幾何知識(shí)判斷直線與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)上,

提出利用坐標(biāo)法判斷直線與圓的位置關(guān)系的新思路，考查學(xué)生已有的認(rèn)知水平和最近發(fā)

展區(qū)以及教師的導(dǎo)學(xué)能力。

提出新思路時(shí)間30秒以內(nèi)30秒一60秒1秒一2分鐘不能提出

學(xué)習(xí)效果ABCD

2、探究活動(dòng)在自主編題環(huán)節(jié)中，觀察各小組能否自主編出不同類型的題目，考查學(xué)

生數(shù)學(xué)能力以及教師的導(dǎo)學(xué)能力。

自主編題數(shù)目4道以上2—3道1道不能編出

學(xué)習(xí)效果ABCD

3、教學(xué)效果評(píng)價(jià)，通過例題的完成情況評(píng)價(jià)教學(xué)效果。

完成時(shí)間2分鐘以內(nèi)3分鐘4分鐘不能完成

學(xué)習(xí)效果ABCD

4、在歸納反思環(huán)節(jié)，通過學(xué)生口述學(xué)習(xí)收獲，從其作總結(jié)的深刻程度可進(jìn)行教學(xué)

效果評(píng)價(jià)。

學(xué)生總結(jié)收獲能在以上三個(gè)方面有能在知識(shí)、數(shù)學(xué)思想只在知識(shí)層面總結(jié)

深刻認(rèn)識(shí)，總結(jié)全面方法層面總結(jié)

學(xué)習(xí)效果ABC

學(xué)生學(xué)習(xí)效果的評(píng)價(jià):

1、通過課堂例題測(cè)評(píng)

例1.已知直線/：y=-gx+加和圓0：X2+/=16,當(dāng)加為何值時(shí)，直線/與圓C相交,

相切，相離？

通過對(duì)引例的思考探究和方法總結(jié)，學(xué)生對(duì)利用幾何法和代數(shù)法判斷直線與圓的

位置關(guān)系有了一定的認(rèn)識(shí)，在解決例1的過程比較順利，大部分學(xué)生都能很快利用幾何

法列出相應(yīng)的等式和不等式，極少數(shù)學(xué)生使用代數(shù)法聯(lián)立求解。但在后面計(jì)算的環(huán)節(jié)中，

很多學(xué)生都出現(xiàn)了不同程度的錯(cuò)誤。大致有這樣三種：（1）在求圓心到直線的距離時(shí)，

公式d中忘帶絕對(duì)值符號(hào)；（2）部分學(xué)生距離公式?jīng)]有問題，但在解絕對(duì)值不等式時(shí)出

現(xiàn)錯(cuò)誤；（3）用代數(shù)法聯(lián)立求解的五位學(xué)生都沒有算出最后結(jié)果，有三位是聯(lián)立的方程

出現(xiàn)錯(cuò)誤，另外有兩位是在計(jì)算判別式時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

所以在后續(xù)的教學(xué)中，尤其針對(duì)我們學(xué)校的生源實(shí)際情況，不僅要加強(qiáng)知識(shí)方法上

的探究學(xué)習(xí)，同時(shí)也要注重學(xué)生基本計(jì)算能力的訓(xùn)練，“會(huì)做算不對(duì)”這種現(xiàn)象要盡可

能的減少。

2、通過課后作業(yè)反饋評(píng)價(jià)

（1）課堂思維延展

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你還想要進(jìn)一步了解直線與圓的什么知識(shí)？你認(rèn)為直線與圓還

有什么值得研究的問題？教師通過學(xué)生對(duì)上述開放性思維延展問題的回答情況進(jìn)行學(xué)

生學(xué)習(xí)效果評(píng)價(jià)。

（2）課后作業(yè)

①作業(yè)1完成情況統(tǒng)計(jì)分析:

題號(hào)得分率錯(cuò)因分析

A195%計(jì)算圓心到直線的距離公式代入時(shí)計(jì)算錯(cuò)誤

A2第一問100%無

第二問75%（1）聯(lián)立消元出錯(cuò)；（2）不會(huì)用十字相乘法求根

A3第一問75%（1）圓的方程配方出錯(cuò)；（2）計(jì)算d時(shí)出錯(cuò)；（3）半徑r

忘開方

第二問85%（1）圓的方程配方出錯(cuò)；（2）計(jì)算d時(shí)出錯(cuò)；（3）半徑r

忘開方

B180%（1）計(jì)算4時(shí)出錯(cuò)（忘帶絕對(duì)值）；（2）解不等式出錯(cuò)

②作業(yè)2完成情況統(tǒng)計(jì)分析：

四個(gè)小組中，有兩個(gè)小組自主編完了探究2中的三道題，剩下兩個(gè)小組都是自主編

完了探究2中的兩道題，題目設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)都比較好算，同組的成員完成情況大致相同，

結(jié)果都是對(duì)的，看來是經(jīng)過商量以后的結(jié)果。唯一遺憾的是，還有一種題型這四組學(xué)生

都沒有想到。但是通過課后對(duì)學(xué)生的了解，學(xué)生對(duì)這種自主編題然后解題的新模式非常

感興趣，愿意以后有更多機(jī)會(huì)去探索，去嘗試。

③作業(yè)3完成情況統(tǒng)計(jì)分析：

全班20人中，有8人未寫此題。下面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是以12人為基數(shù)。

題號(hào)得分率錯(cuò)因分析

(1)83.3%這兩位學(xué)生都是計(jì)算的錯(cuò)誤（平方），通式寫成了。2=4（二+1）

(2)83.3%還是跟第一問同樣的錯(cuò)誤，寫成了6>4（&2+1）

(3)25%其中7人沒寫（不會(huì)），另外2人通過代數(shù)計(jì)算沒有得出正確答

案。做對(duì)的3人中有2人是用代數(shù)法聯(lián)立得到判別式大于零，

從而得到相交，另1人是從幾何角度思考得出的結(jié)論。

課堂例題和練習(xí)的及時(shí)講評(píng)和交流有助于學(xué)生知識(shí)建構(gòu)時(shí)的螺旋上升，學(xué)生面對(duì)

課后作業(yè)時(shí)對(duì)知識(shí)方法的掌握程度高于面對(duì)課堂練習(xí)時(shí)的程度，即使課后作業(yè)比課堂練

習(xí)復(fù)雜，但是學(xué)生的得分率不降反升，可見注重學(xué)生知識(shí)建構(gòu)時(shí)的螺旋上升是非常有必

要的。

本教學(xué)設(shè)計(jì)與以往或其他教學(xué)設(shè)計(jì)相比的特點(diǎn)（300-500字?jǐn)?shù)）

1.本節(jié)課采用建構(gòu)主義教學(xué)模式，教師創(chuàng)設(shè)情境后由學(xué)生自我探究并形成對(duì)概念

的理解。將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題后，教師并沒有急于引出本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容，

而是將時(shí)間交給學(xué)生讓他們自己去探究解決問題的方法，關(guān)鍵概念和結(jié)論都有學(xué)生給

出，關(guān)鍵思想方法有學(xué)生運(yùn)用和表達(dá)。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論指出，學(xué)生感到可以控制自己

的學(xué)習(xí)活動(dòng)時(shí)，學(xué)習(xí)效果最好。同一個(gè)目標(biāo)，不同的途徑，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用不同的方法去

解決數(shù)學(xué)問題，這邊是教師在本堂課所強(qiáng)調(diào)的：引導(dǎo)學(xué)生用學(xué)過的知識(shí)，通過類比，猜

想，歸納去解決新的問題，這便是數(shù)學(xué)中最基本也是最重要的思想：轉(zhuǎn)化與回歸。因此，

本節(jié)課不僅讓學(xué)生自探究了直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法，更是教會(huì)了學(xué)生思考問題

的方法和最基本的數(shù)學(xué)思想。

2.讓學(xué)生自主編題，嘗試“變式教學(xué)”新模式。教學(xué)不僅僅是為了掌握知識(shí)的結(jié)

論，更重要的是經(jīng)歷知識(shí)的過程，這是新課程的重要理念之一。在數(shù)學(xué)教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)

生的創(chuàng)造性思維，就要充分揭示思維過程，這其中就包括充分揭示概念的形成過程、結(jié)

論的發(fā)現(xiàn)過程、問題解決的思路探索過程。為此，這節(jié)課我作了一個(gè)大膽的嘗試，由引

例的實(shí)際問題到后面的例1和例2都是通過變式得到，通過我對(duì)引例中得到的數(shù)學(xué)題目

進(jìn)一步改編（把引例中直線/的方程改為丁=-3%+機(jī)）得到例1后，不急于讓學(xué)生去做，

而是問學(xué)生“這樣變有什么變化？”“直線是怎么動(dòng)的？還可以怎么動(dòng)？后面的

問題該怎么設(shè)計(jì)？”教師只是改變了題目的條件，讓學(xué)生根據(jù)題目的變化特征去設(shè)計(jì)問

題。讓學(xué)生先從“形”的角度分析直線和圓運(yùn)動(dòng)的多種可能性，然后對(duì)應(yīng)到“數(shù)”的角

度由學(xué)生去自主編題，各個(gè)小組編完的題目由本組的成員當(dāng)作課后作業(yè)自己完成。通過

教師的示范，培養(yǎng)學(xué)生一題多變，點(diǎn)線結(jié)合，體會(huì)從靜止到運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律，主動(dòng)參與

到變式教學(xué)中，變被動(dòng)為主動(dòng)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

教學(xué)反思

《注重思想方法的形成過程，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的合理重組》

本節(jié)課是“直線與圓的位置關(guān)系”的起始課，我在這節(jié)課的很多環(huán)節(jié)都做了很多新

的嘗試，下面結(jié)合本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路談一些自己的想法。

一、巧設(shè)問題，合理引入課題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)熱情

根據(jù)社會(huì)熱點(diǎn)問題和學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，我改編了教材中的一個(gè)引例，通過豐富問題

情境的社會(huì)背景和數(shù)據(jù)的修改，讓引例得到的數(shù)學(xué)模型圖是非常接近相切的，一開始就

讓學(xué)生產(chǎn)生一種錯(cuò)覺，有時(shí)僅憑肉眼觀察得出的結(jié)論不一定準(zhǔn)確。這也應(yīng)正了華羅庚說

過的一句話：“形少數(shù)時(shí)難入微”，讓學(xué)生一開始就體會(huì)數(shù)與形的緊密聯(lián)系，為后面的教

學(xué)埋下伏筆。

二、精心設(shè)計(jì)有效問題鏈，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的合理建構(gòu)

當(dāng)學(xué)生看到引例的數(shù)學(xué)模型圖時(shí)，我設(shè)計(jì)了如下的問題鏈：“你能判斷它們的位置

關(guān)系嗎？”“依據(jù)是什么？