高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)

0

第一章集合與函數(shù)概念K1.1X集合

1.1.1］集合的含義與表示【）集合的概念1（集合中的

元素具有確定性、互異性和無(wú)序性.）常用數(shù)集及其記法（2

NNZQRN表示有理數(shù)集，表示自然數(shù)集，表示正整數(shù)集,

或表示整數(shù)集，表

示實(shí)數(shù)集.(3)集合與元素間的關(guān)系a與集合MMaM.a,

兩者必居其一，或者的關(guān)系是對(duì)象

(4)集合的表示法

①自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集

合.③描述XXX為集合的代表元素.具有的性質(zhì)｝法：｛,

其中|

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.

(5)集合的分類

①含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.②含有無(wú)限個(gè)元素的集

合叫做無(wú)限集.③不含有(任何元素的集合叫做空集).

[1.1.2]集合間的基本關(guān)系)子集、真子集、集合相等

6(性質(zhì)示意圖記號(hào)名稱意義BA

(1)AA(或A(2)中的任一元素都AA(B)子集BA

B屬于ABABCC,則且⑶若A)B或ABA

BAB,則且若(4)ABA為非空子集)(A)(1

BA中至，且B少有一元素不屬于真子集BAB(或)

AABBCACA,則(2)若且中的任一元素

都A(1)AB集合

A(B)BA中的任B屬于B,相等(2)BAA

一元素都屬于

nnnA1221D（n1）2個(gè)）已知集合（7個(gè)子集，它有

有個(gè)元素，則它有個(gè)真子集，它有

n22.非空子集，它有非空真子集

1集合的基本運(yùn)算［1.1.3

)交集、并集、補(bǔ)集8(性質(zhì)意義記號(hào)名稱示意圖

1

AAA)(1{x|XA,且AAB(2)交集AB

AAB)(3xB}ABBAAA)(1{x|xA,

或AABA(2)B并集AABA)(3xB)

ABB

1(eA)AuXA}且{X|XU,B)A)(?^(AB)

(uuueA補(bǔ)集U(AB)(疹(？B)A)2A(eA)Uuuu

u

【補(bǔ)充知識(shí)】含絕對(duì)值的不等式與一元二次不等式的解法

（1）含絕對(duì)值的不等式的解法

不等式解集

x|a(a0){x|axa}

x|xaa(a0)x|x|a}或

bax

|x|a,把成，化看成一個(gè)整體

|axb|c,|axb|c(c0)

|x|a(a0)型不等式來求解

(2)一元二次不等式的解法判別式

2b4ac000

二次函數(shù)

2axbxc(a0)y

O

的圖象

2b4acb一元二次方程x1222a

xxbc0(a0)axbx無(wú)實(shí)根21

2axx)(其中的根

21

2axbxc0(a0)b{x|xxR}xx{x|x}或21

2a的解集

2axbxc0(a0)}{x|xxx21的解集

K1.23函數(shù)及其表示

2

【1.2.1］函數(shù)的概念

ABAfx中任何一個(gè)數(shù)，對(duì)于集合是兩個(gè)非空的數(shù)集,

①設(shè)、如果按照某種對(duì)應(yīng)法則,

Bf(x)BA和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合在集合

中都有唯一確定的數(shù)以及,

ABABf:AfB的一個(gè)函數(shù)，記作的對(duì)應(yīng)法則到)叫做

集合到.

②函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則.

③只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù).

(2)區(qū)間的概念及表示法

xxbaa,ba

[a,b]b,滿足是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且①設(shè)；記做的集合叫做閉區(qū)

間，的實(shí)數(shù)

xbaxb(a,b)aaxbx的集合叫做開區(qū)間，記

做的實(shí)數(shù)滿足；滿足，或

x[a,b)(a,b]做記,分別半開半閉區(qū)間做

的實(shí)數(shù)的集合叫；滿足，

xbx的集合分別記做數(shù)的實(shí)[a,,b),b],(,ax,

b),(),(a,xa,x.

abxb}(a,b){x|a,而后者必須可以大于或等于,

前者與區(qū)間對(duì)于集合注意：

ba,（前者可以不成立，為空集；而后者必須成立）.（3）

求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：

f（x）是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù).①

f（X）是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù).②

f（X）是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)

的集合.③

④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí),

底數(shù)須大于零且不等

于1.

y

tanxxk（kZ）中，⑤.

2⑥零（負(fù)）指數(shù)幕的底數(shù)不能為零.

f（x）是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，

則其定義域一般是各⑦若

基本初等函數(shù)的定義域的交集.

f(x)[a,b],其復(fù)合函⑧對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，

般步驟是：若已知的定義域?yàn)?/p>

f[g(x)]ag(x)b的定義域應(yīng)由不等式數(shù)解出?

⑨對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需

對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論.

⑩由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符

合問題的實(shí)際意義.

(4)求函數(shù)的值域或最值

3

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事

實(shí)上，如果在函數(shù)的值

?北?一

域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值.因

此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的角度不

同.求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到

值域或最值.

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和,

然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值.

yxf（x）y可以化成一個(gè)系數(shù)含有③判別式法：若函數(shù)的二

次方程的關(guān)于

2c(y)0a(y)xb(y)xx,ya(y)0,則在為實(shí)數(shù)，故

必須有時(shí)，由于

2b(y)4a(y)c(y)0,從而確定函數(shù)的值域或最值.

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.

⑤換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角

代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)

系確定函數(shù)的值域或最值.

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.

⑧函數(shù)的單調(diào)性法.

【1.2.2］函數(shù)的表示法

(5)函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.解

析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.列表法：就

是列出表格來表示兩

個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間

的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

(6)映射的概念

ABAf,對(duì)于集合①設(shè)是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法

則、中任何一個(gè)元素，在

BABAB中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)

應(yīng)（包括集合集合的，到以及

ABf:AfB的映射，記作對(duì)應(yīng)法則）叫做集合到.

ABabBaA,b.如果元素②給定一個(gè)集合到集合

的映射，且對(duì)應(yīng)，那么和元素

bbaa的原象.我們把元素叫做元素叫做元素

的象，元素

K1.33函數(shù)的基本性質(zhì)

1單調(diào)性與最大（?。┲?1.3.1

）函數(shù)的單調(diào)性（1

①定義及判定方法

函數(shù)的圖象判定方法定義

性質(zhì)

4

I內(nèi)（1）利用定義如果對(duì)于屬于定義域

yy=f(X)(2)利用已知函數(shù)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè))f(x

的單調(diào)性<x,當(dāng)x自變量的值X、2112..(3)

利用函數(shù)圖象，X時(shí)，都有f(x)<f(x)

122)f(X.............1(在某個(gè)區(qū)間圖在這個(gè)區(qū)f(X)那

么就說0象上升為增)X21.增函數(shù)間上是X

X...函數(shù)的(4)利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性I內(nèi)(1)

利用定義如果對(duì)于屬于定義域

yy=f(X)(2)利用已知函數(shù)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)

<x自變量的值x、x,當(dāng)?shù)膯握{(diào)性I2i)f(x...(3)

利用函數(shù)圖象，)X時(shí)，都有f(X)>f(X212

,f(x).........(在某個(gè)區(qū)間圖

在這個(gè)區(qū)f(x)那么就說X0象下降為減)XX.減函數(shù)間

上是.

(4)利用復(fù)合函數(shù)...

②在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和

是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增

函數(shù)為減函數(shù).

Vf[g(x)]ug(x)yf(u)ug(x)為增，則，

若③對(duì)于復(fù)合函數(shù)為增，，令

yf[g(x)]yf(u)uf[g(x)]g(x)yyf(u)為增;

若為增；若為減，則為減，

g(x)yf[g(x)]yf(u)ug(x)u為減，為

減；若為增，為增，則為減，則

y

f[g(x)]為減.

()a(0))打“v”函數(shù)(2af的圖象與性質(zhì)vxxX

f(x)(a][)a,,上為增函數(shù),分別在、分別在

[a,0)(0,a]、上為減函數(shù).

(3)最大(小)值定義oxMIf(x)y

滿足：，如果存在實(shí)數(shù)設(shè)函數(shù)①一般地，的定義域?yàn)?/p>

x

Mf(x)

I)對(duì)于任意的(1；,都有

f(x)MMlx)存在，使得(2是.那么，我

們稱00

f(X)Mf(X).函數(shù)的最大值，記作maxim

xf(x)Iy)對(duì)于任意的的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足:

(1,設(shè)函數(shù)②一般地，

f(x)mmIxmf(x)f(x).那么，我們

稱；()存在2,使得的是函數(shù)都有00

f(X)rn.最小值，記作max

5

[1.3.2]奇偶性

(4)函數(shù)的奇偶性①定義及判定方法

函數(shù)的圖象定義判定方法性質(zhì)

(1)利用定義(要定義如果對(duì)于函數(shù)f(x)

,都有X先判斷定義域是否域內(nèi)任意一個(gè)

f(-X)=-f(x),那么函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱).........(2)

利用圖象(圖.f(x)叫做奇函數(shù)

...象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)

函數(shù)的

(1)利用定義(要定義奇偶性如果對(duì)于函數(shù)f(x)

,都有X先判斷定義域是否域內(nèi)任意一個(gè)

f(-x)=f(x)，那么函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱)........(2)利用圖象(圖.偶函數(shù)f(x)叫

做…

象關(guān)于y軸對(duì)稱)

f(x)x0f(0)0.為奇函數(shù)，且在處有定

義，則②若函數(shù)

yy軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增

減性相同，偶函數(shù)在③奇函數(shù)在

相反.

④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是

偶函數(shù)(或奇函數(shù))，

(或商)一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積(或奇函數(shù))的積(或

商)是偶函數(shù)，兩個(gè)偶函數(shù)

是奇函數(shù).K補(bǔ)充知識(shí)X函數(shù)的圖象

)作圖(1

利用描點(diǎn)法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式；；③討論函數(shù)的性

質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性)④畫出函數(shù)的圖象.利用基本函數(shù)圖象

的變換作圖：

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)

數(shù)函數(shù)、基函數(shù)、三角函

數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象.

①平移變換

左移個(gè)單hho,yf(xh)y

yf(X)個(gè)單位位右移|h|ho,

上移個(gè)單k0,kf(x)y

f(x)k

個(gè)單位位下移|k0,k|

②伸縮變換伸i,oyf(x)

f(x)y縮

1,縮OAI,yAf(x)

yf(x)伸A1,③對(duì)稱變換

6

軸軸xyf(x)yyf(x)yf(x)yf(x)y直線

原點(diǎn)X1f(x)yyf(x)f(x)yyf(x)

y軸左邊圖去掉f(x)y

象yf(Ix|)

yf(x)

y軸右邊圖象，并作其關(guān)保留軸對(duì)稱圖象于v(2)識(shí)圖

軸上方圖象保留x|f(X)|y

x軸下方圖象翻折上去將

對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化

趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，

注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.

(3)用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供

了“形”的直觀性，它是

探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題

的思想方法.

)(I第二章基本初等函數(shù)

2指數(shù)函數(shù)K2.1

【2.1.1)指數(shù)與指數(shù)塞的運(yùn)算

)根式的概念(1

n①如果naxaxnNnaRxRn

1,?，且，那么叫做的次方根.當(dāng)是奇

nannanaa是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)表示；當(dāng)次方根用

符號(hào)的數(shù)時(shí)，的正的次方根用符號(hào)n

nnanna次方根是o的表示；次方根用符號(hào)次方

根.沒有o表示，負(fù)的；負(fù)數(shù)

nnanaa②式子為任叫做被開方數(shù).當(dāng)叫做根

式，這里叫做根指數(shù)，為奇數(shù)時(shí)，

naO為偶數(shù)時(shí)，意實(shí)數(shù)；當(dāng).

nnnnanari(a)

a，為式的性質(zhì)：奇數(shù)；當(dāng)③時(shí)根為偶數(shù)時(shí)；當(dāng)，

3L\a|a(aO).nn

O)(aa

(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)黑的概念

m(,0?n1)的正分.且o

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累的意義是：mnnNamnaa

數(shù)指數(shù)累等于0.

1mm1m(a0,m,n)N,a((且:

義指數(shù)累的意是②的正數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù))nnnaa

n1)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義.0.注意口訣：底數(shù)取倒

數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

)分?jǐn)?shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)3(

r①(0?)

(a)aaasra(a0,r,sR)aR

-r

>

r(()0,0,?rrRbababa

【2.1.2］指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(4)指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

x(a0aya1)且函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)定義

a10a1

xxyya

a

yy

圖象

yly1(o,i)

(0,1)OXOX

R定義域

(0,)值域

(0,1)xOy1時(shí)，，即當(dāng).圖象過定點(diǎn)過定點(diǎn)

非奇非偶奇偶性

RR上是減函數(shù)在在上是增函數(shù)單調(diào)性

xxaa11(x0)(x0)

xxaa(x0)11(x0)函數(shù)值的

變化情況

xxaa

1(x0)1(x0)

aaa越大圖象越低.越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，變化對(duì)圖

象的影響在第一象限內(nèi)，

2.2U對(duì)數(shù)函數(shù)K

【2.2.1］對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

(1)對(duì)數(shù)的定義

xNx且a1)xaaN(a0,logNa的對(duì)數(shù),

記作叫做以，則為底①若叫，其中a

N叫做真數(shù).做底數(shù)，

②負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù).

xN(a0,aa1,NxlogNO)③對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互

化：.a

(2)幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式

ba1log0loglalogb,,?aaa

8

(3)常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

logNelogNInNIgN2.71828（其中常

用對(duì)數(shù)：，即，即；自然對(duì)數(shù)：).，e10

aOO,N1,M0,a如果，那么)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(4

logMlogNlog(MN)logMlogNlogM②減

法：①加法：aaaaaa

N

logNnaMrilogMlogaN(nR)③數(shù)乘：④

aa

nlog(0,)log⑤bMMn⑥換底公式：ba

nRab

logNblogNO,且b1)(ba

alogb

【2.2.2］對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(5)對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)名稱

logx(aOya1)且函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)定義a

Oa1a1

1x1x

ylogxylogxyyaa

圖象(1,0)

O(1,0)Xox

(0,)定義域

R值域

(1,0)x1yO時(shí)，，即當(dāng).過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)

非奇非偶奇偶性

(0,)(0,)上是減函數(shù)在在上是增函數(shù)單調(diào)性

logxlogx01)(x1)0(xaa

函數(shù)值的loglogXx1)0(x1)(x0aa變化情況

logxxlogx1)0(0(00x1)aa

aaa越大圖象越靠高.圖象的影響越大圖象越靠低；在第四

象限內(nèi)，變化對(duì)在第一象限內(nèi)，

9

(6)反函數(shù)的概念

ACxf(x)y

f(x)y

中解出，值域?yàn)榈亩x域?yàn)椋瑥氖阶釉O(shè)函數(shù)，得式子

yCxA(y)xx(y)中的任何一個(gè)值，通過式子在.如

果對(duì)于中都有唯一確，在

xyxx(y)(y)叫做函數(shù)定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子的函

數(shù)，函數(shù)表示是

nxf(y)yf(x)y

(x)f,習(xí)慣上改寫成的反函數(shù)，記作.

(7)反函數(shù)的求法

Xif(x)y

中反解出即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式①確定反函數(shù)的定義

域,；(y)f

11yf(y)x

(x)f改寫成③將，并注明反函數(shù)的定義域.

(8)反函數(shù)的性質(zhì)

iy(x)yfXf(x)y

的圖象關(guān)于直線①原函數(shù)與反函數(shù)對(duì)稱.

4y

(x)f(x)y

的值域、定義域.②函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)

'yP(b,a)P(a,b)y

f(x)的圖象上，則③若在反函數(shù)在原函數(shù)

1(x)f的圖象上.

y

f(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).④一般地，函數(shù)

K2.33募函數(shù)

(1)幕函數(shù)的定義

xxy

為自變量，一般地，函數(shù)叫做基函數(shù)，其中是常數(shù).

(2)易函數(shù)的圖象

10

（3）募函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：基函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無(wú)

圖象.幕函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，

y軸對(duì)稱）（圖象關(guān)于；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象

限（圖圖象分布在第一、二象限

；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限）象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱.

)(1,1)(0,.都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)②過定點(diǎn)：所有的基

函數(shù)在

0[0,)0,并且在，則幕函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，上為增函數(shù).如

果如果③單調(diào)性：

xy)(0,軸.軸與上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限

接近則基函數(shù)的圖象在

q當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，塞函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，幕函數(shù)為

奇函數(shù)，當(dāng)④奇偶性：(其

P

qpqppqp,qpxyqZ為

為奇數(shù)是奇函數(shù)，若則)，若中為奇數(shù)時(shí)，互質(zhì)，為奇數(shù)和

qqppqpxxyy是非奇非偶函數(shù).是偶函數(shù),

若為奇數(shù)時(shí)，則為偶數(shù)偶數(shù)時(shí)，則

y(0,)x,xyx011x下⑤圖象特征：，當(dāng)幕函數(shù)時(shí)，若，

其圖象在直線

xxyy1x10x1上上方，當(dāng)，其圖象在直線方，若時(shí)，若,

其圖象在直線

xy1x下方.，其圖象在直線方，若

K補(bǔ)充知識(shí)X二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種

形式

22f(x)a(xh)

c(a0)axk(a0)bxf(x)②頂點(diǎn)式：③兩根式：①一

般式:

x)(xx)(aO)f(x)a(X2o求二次函數(shù)解析式的方法

21

①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式.

②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)

時(shí)，常使用頂點(diǎn)式.

Xf(X)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求更方

③若已知拋物線與

便.

(3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)b2,ax頂點(diǎn)O)bxc(af

(x)x的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為①二次函數(shù)

2a

2b4acb(坐標(biāo)是)，.

2a4ab][b,上遞減，在)a,0(上遞增，當(dāng)②當(dāng)

時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在

2a2a

b2]上遞f4acb0a(,(x)bx時(shí)，時(shí)，拋物線開口向

下，函數(shù)在；當(dāng)min

2a2a4a

11

a

24acbbbx)［，上遞減，當(dāng)增，在.(x)f時(shí)，

max4a2a2a

22O)axxbxc(af(x)b04ac當(dāng)軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，圖象

與③二次函數(shù)

M(x,0),Mx|(x,0),|MM||x.112121221al

20(acaxbx0))一元二次方程(4根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識(shí)在

初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏

重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理(韋達(dá)定理)的運(yùn)

用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程

實(shí)根的分布.

22bxcaxaxf(x)0)bxc0(axxx,x,

設(shè)一元二次方程.令的兩實(shí)根為，且

2211ba①開口方向：③判別式：從以下四個(gè)方面來分析

此類問題：X②對(duì)稱軸位置：

④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào).

2a①k<xWx21

yybxOaf(k)02a

kOO

kxxxx2xx112bf(k)0a0x

2a

②xWx<k2iyy

bf(k)0x0a2a

kOOX2kXxxxx112

Obf(k)a0*

2a

③x<k<xaf(k)<021

12

yy

Oa

Of(k)

koOxxXkXx11x220f(k)Oa

Wx<k<(4)kX2112yba0yx2a)Of(k)

Of(k21

kxx12k2X0x2kxxk01120)f(kb1Of(k)2x0a

2a

)=O)f(k)<kf(k)0,并同時(shí)考慮f(k(或⑤有且僅有一個(gè)根x

X)滿足k<X(或X112211221這兩種情況是否也符合或f(k)=02

yyoa

))Of(kf(kO11

kkx2OxOxiXXkkx1122)f(kO2)Of(ka

02

p<<x<kWp<x⑥k2ni22

此結(jié)論可直接由⑤推出.

2f(x)axc(a0)bx[p,q]上