高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)第四章　三角函數(shù)與解三角形講義及試題

【標(biāo)題】第四章三角函數(shù)與解三角形第一節(jié)任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)1.了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化.2.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義.1.角的概念的推廣（1）定義：角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形；（2）分類：按旋轉(zhuǎn)方向不同分為（3）終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}.提醒相等的角終邊一定相同，但終邊相同的角不一定相等.終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們之間相差360°的整數(shù)倍.2.弧度制的定義和公式（1）定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示；（2）公式角α的弧度數(shù)公式｜α｜＝lr（弧長用l表示角度與弧度的換算1°＝π180rad；1rad＝180弧長公式l＝｜α｜r扇形面積公式S＝12lr＝12｜α｜提醒有關(guān)角度與弧度的兩個(gè)注意點(diǎn)①角度與弧度換算的關(guān)鍵是π＝180°，在同一個(gè)式子中，采用的度量必須一致，不可混用；②利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.3.任意角的三角函數(shù)（1）設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P（x，y），則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝y(tǒng)x（x≠0（2）任意角的三角函數(shù)的定義（推廣）：設(shè)P（x，y）是角α終邊上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，其到原點(diǎn)O的距離為r，則sinα＝y(tǒng)r，cosα＝xr，tanα＝y(tǒng)x（x（3）三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）小于90°的角是銳角. （）（2）銳角是第一象限角，第一象限的角也都是銳角. （）（3）角α的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān). （）（4）不相等的角的終邊一定不相同. （）（5）終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等. （）答案：（1）×（2）×（3）√（4）×（5）√2.下列與9π4的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是（A.2kπ＋45°（k∈Z）B.k·360°＋9π4（k∈ZC.k·360°－315°（k∈Z） D.kπ＋5π4（k∈Z解析：C由定義知終邊相同的角的表達(dá)式中不能同時(shí)出現(xiàn)角度和弧度，應(yīng)為π4＋2kπ或k·360°－315°（k∈Z3.已知角α的終邊上有一點(diǎn)P（1，－2），則sinα－cosα＝（）A.55 B.－C.355 D解析：Dsinα＝-21+4＝－255，cosα＝11+4＝55，所以sinα－cosα＝－4.－135°＝rad，它是第象限角.

解析：－135°＝－135×π180rad＝－3π4rad，∵－135°＝225°－360°，且225°角為第三象限角，故－135°答案：－3π45.一條弦長等于半徑，則此弦所對圓心角的弧度數(shù)為.

解析：因?yàn)橄议L等于半徑，所以弦和與弦兩端點(diǎn)相交的兩半徑構(gòu)成等邊三角形，所以弦所對圓心角為60°，即為π3rad答案：π1.象限角與軸線角（1）象限角（2）軸線角2.若α，β，γ，θ分別為第一、二、三、四象限角，則α2，β2，γ21.終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合是.（用角度表示）

解析：由結(jié)論1可知，終邊落在x軸上的角的集合為A＝{α｜α＝k·180°，k∈Z}，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，可得落在第一、三象限角平分線上的角的集合為{α｜α＝45°＋k·180°，k∈Z}.答案：{α｜α＝45°＋k·180°，k∈Z}2.若角α的終邊落在第三象限，則α2的終邊落在第象限.解析：由結(jié)論2可知，α2的終邊落在第二或第四象限答案：二或四象限角與終邊相同的角1.集合{α︱kπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z}中的角所表示的范圍（陰影部分）是 （解析：C當(dāng)k＝2n（n∈Z）時(shí)，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此時(shí)α表示的范圍與π4≤α≤π2表示的范圍一樣；當(dāng)k＝2n＋1（n∈Z）時(shí)，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此時(shí)α表示的范圍與π＋π4≤α≤π2.把－114π表示成θ＋2kπ（k∈Z）的形式，使｜θ｜最小的θ值是 （A.－3π4 B.－C.π4 D.解析：A∵－11π4＝－2π－3π4，∴－11π4與－3π4是終邊相同的角，且此時(shí)-3.（多選）下列命題正確的是 （）A.終邊落在x軸的非負(fù)半軸的角的集合為{α｜α＝2kπ，k∈Z}B.終邊落在y軸上的角的集合為{α｜α＝90°＋kπ，k∈Z}C.第三象限角的集合為{α︱π＋2kπ≤α≤3π2＋2kπ，k∈ZD.在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°角終邊相同的角為－675°和－315°解析：AD選項(xiàng)A顯然正確.B項(xiàng)，終邊落在y軸上的角的集合為{α︱α＝π2＋kπ，k∈Z}，角度與弧度不能混用，故錯(cuò)誤；C項(xiàng)，第三象限角的集合為{α︱π＋2kπ＜α＜3π2＋2kπ，k∈Z}，故錯(cuò)誤；D項(xiàng)，所有與45°角終邊相同的角可表示為β＝45°＋k·360°（k∈Z），令－720°≤45°＋k·360°≤0°（k∈Z），解得－178≤k≤－18（k∈Z），從而當(dāng)k＝－2時(shí)，β＝－675°；當(dāng)k＝－1時(shí)，β＝－4.終邊在直線y＝3x上，且在[－2π，2π）內(nèi)的角α的集合為.

解析：如圖，在坐標(biāo)系中畫出直線y＝3x，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是π3，在[0，2π）內(nèi)，終邊在直線y＝3x上的角有兩個(gè)：π3，4π3；在[－2π，0）內(nèi)滿足條件的角有兩個(gè)：－2π3，－5π3，故滿足條件的角α構(gòu)成的集合為{－5π3，－2π答案：{－5π3，－2π3，π3｜練后悟通｜1.象限角的2種判斷方法（1）圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角；（2）轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α（0°≤α＜360°，k∈Z）的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角.2.求θn或nθ（n∈N*）（1）將θ的范圍用不等式（含有k，且k∈Z）表示；（2）兩邊同除以n或乘以n；（3）對k進(jìn)行討論，得到θn或nθ（n∈N*）所在的象限扇形的弧長及面積公式【例1】（1）如圖，曲線段AB是一段半徑為R的圓弧，若圓弧的長度為2πR3，則A，B兩點(diǎn)間的距離為（A.R B.2RC.3R D.2R（2）已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l.若α＝π3，R＝10cm，則扇形的面積為cm2.解析（1）設(shè)AB所對的圓心角為α.則由題意，得αR＝2π3R.所以α＝2π3，所以AB＝2Rsinα2＝2Rsinπ3＝2R×32＝3（2）由已知得α＝π3，R＝10cm，所以S扇形＝12αR2＝12×π3×102＝50π答案（1）C（2）50π｜解題技法｜弧長、扇形面積問題的解題策略（1）明確弧度制下弧長公式是l＝｜α｜r，扇形的面積公式是S＝12lr＝12｜α｜r2（其中l(wèi)是扇形的弧長，α（2）求扇形面積的關(guān)鍵是求扇形的圓心角、半徑、弧長三個(gè)量中的任意兩個(gè)量.提醒運(yùn)用弧度制下有關(guān)弧長、扇形面積公式的前提是角的度量單位為弧度制.1.（2022·全國甲卷）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會圓術(shù)”.如圖，AB是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在AB上，CD⊥AB.“會圓術(shù)”給出AB的弧長的近似值s的計(jì)算公式：s＝AB＋CD2OA.當(dāng)OA＝2，∠AOB＝60°時(shí)，sA.11-332C.9-332解析：B由題意知，△OAB是等邊三角形，所以AB＝OA＝2.連接OC（圖略），因?yàn)镃是AB的中點(diǎn)，所以O(shè)C⊥AB，OC＝OA2-AC2＝3，又CD⊥AB，所以O(shè)，C，D三點(diǎn)共線，所以CD＝OD－OC＝2－3，所以s＝AB＋CD2OA＝2.已知一扇形的弧長為2π9，面積為2π9，則其半徑r＝，圓心角θ＝解析：因?yàn)樯刃蔚幕￠L為2π9，面積為2π9，所以2π9＝12×2π9×r，解得r＝2.由扇形的弧長為2π9，得2π9＝rθ＝2答案：2π三角函數(shù)的定義及應(yīng)用考向1三角函數(shù)的定義【例2】已知角α的終邊上一點(diǎn)P（－3，m）（m≠0），且sinα＝2m4，則cosα＝，tanα＝解析設(shè)P（x，y），由題設(shè)知x＝－3，y＝m，所以r2＝｜OP｜2＝（－3）2＋m2（O為原點(diǎn)），即r＝3+m2，所以sinα＝mr＝2m4＝m22，所以r＝3+m2＝22，即3＋m2＝8，解得m＝±5.當(dāng)m＝5時(shí)，r＝22，x＝－3，y＝5，所以cosα＝-322＝－64，tanα＝－153；當(dāng)m＝－5時(shí)，r＝22，x＝－3，y＝－5，所以答案－64±｜解題技法｜利用三角函數(shù)的定義解決問題的策略（1）已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可求角α的三角函數(shù)值.先求點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，再用三角函數(shù)的定義求解；（2）已知角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個(gè)量列方程求參數(shù)值；（3）已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo).考向2三角函數(shù)值符號的判定【例3】若sinα·tanα＜0，且cosαtanα＜0，則角αA.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析由sinα·tanα＜0可知sinα，tanα異號，則α為第二象限角或第三象限角.由cosαtanα＜0可知cosα，tanα異號，則α為第三象限角或第四象限角.綜上可知，α為第三象限角，答案C｜解題技法｜三角函數(shù)值符號的判斷方法要判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定函數(shù)值的符號.如果角不能確定所在象限，那就要進(jìn)行分類討論求解.1.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)（3，－4），則sinα＋1cosα＝ （A.－15B.C.3720 D.解析：D因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)（3，－4），所以sinα＝－45，cosα＝35，所以sinα＋1cosα＝－45＋532.若sinx＜0，且sin（cosx）＞0，則角x是 （）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析：D由－1≤cosx≤1，且sin（cosx）＞0知0＜cosx≤1，又sinx＜0，∴角x是第四象限角，故選D.3.已知角α的終邊在直線y＝－x上，且cosα＜0，則tanα＝.

解析：如圖，由題意知，角α的終邊在第二象限，在其上任取一點(diǎn)P（x，y），則y＝－x，由三角函數(shù)的定義得tanα＝y(tǒng)x＝-xx答案：－11.時(shí)鐘的分針在8點(diǎn)到10點(diǎn)20分這段時(shí)間里轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為 （）A.143πB.－14C.718π D.－7解析：B分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，則分針在8點(diǎn)到10點(diǎn)20分這段時(shí)間里轉(zhuǎn)過度數(shù)為－6°×（2×60＋20）＝－840°，－840°＝－840×π180＝－143π，故選2.已知扇形的周長是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是 （）A.1 B.4C.1或4 D.2或4解析：C設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則2r+l=6,12rl=2,解得r=1,l=4或r=2,l3.下列各選項(xiàng)中正確的是 （）A.sin300°＞0 B.cos（－305°）＜0C.tan-22π3＞0 D.sin10解析：D300°＝360°－60°，則300°是第四象限角，故sin300°＜0；－305°＝－360°＋55°，則－305°是第一象限角，故cos（－305°）＞0；－22π3＝－8π＋2π3，則－22π3是第二象限角，故tan-22π3＜0；3π＜10＜7π2，則10是第三象限角，故sin104.已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A（1，m），B（m，4），則cosα＝ （）A.±55 B.C.±255 D解析：B記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，由題意可知O（0，0），A（1，m），B（m，4）三點(diǎn)共線，則m≠0，所以m1＝4m，解得m＝±2，又A，B兩點(diǎn)在同一象限，所以m＝2，則A（1，2），所以cosα＝112+22＝5.設(shè)θ是第三象限角，且︱cosθ2︱＝－cosθ2，則θ2是 A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析：B由θ是第三象限角知，θ2為第二或第四象限角，又︱cosθ2︱＝－cosθ2，所以cosθ2＜0，綜上6.sin2·cos3·tan4的值 （）A.小于0 B.大于0C.等于0 D.不存在解析：A∵π2＜2＜3＜π＜4＜3π2，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，∴sin2·cos3·tan4＜7.已知點(diǎn)P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，且α∈[0，2π），則角α的取值范圍是 （）A.π2,3π4∪π,5πC.π2,3π4∪5π4,解析：B因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，所以sinα-cosα>0,tanα>0,即sinα>cosα,tanα>0.由tanα＞0可知角α為第一或第三象限角，畫出單位圓如圖.又sinα＞cos8.（多選）下列條件中，能使α和β的終邊關(guān)于y軸對稱的是 （）A.α＋β＝540° B.α＋β＝360°C.α＋β＝180° D.α＋β＝90°解析：AC假設(shè)α，β為0°～180°內(nèi)的角，如圖所示，由α和β的終邊關(guān)于y軸對稱，所以α＋β＝180°，又根據(jù)終邊相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝（2k＋1）180°，k∈Z，所以滿足條件的為A、C.故選A、C.9.（多選）下列說法正確的是 （）A.若α是第一象限角，則－α是第四象限角B.若α，β是第一象限角，且α＜β，則sinα＜sinβC.若圓心角為π3的扇形的弧長為π，則該扇形的面積為D.若扇形的圓心角為2π3，圓心角所對的弦長為43，則該扇形的弧長為解析：AD對于A，若α為第一象限角，則α∈2kπ,π2+2kπ，k∈Z，所以－α∈-π2-2kπ,-2kπ，k∈Z，是第四象限角，故A正確；對于B，若α＝π3，β＝13π6，滿足α，β是第一象限角，且α＜β，但sinα＞sinβ，故B錯(cuò)誤；對于C，設(shè)扇形所在圓的半徑為r，則π3r＝π，解得r＝3，所以該扇形的面積S＝12×π3×32＝3π2，故C錯(cuò)誤；對于D，若圓心角為2π3，圓心角所對的弦長為43，10.（多選）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（1，m）（m＜0），則下列各式的值恒大于0的是（）A.sinαtanα B.cosαC.sinαcosα D.sinα＋cosα解析：AB由題意知sinα＜0，cosα＞0，tanα＜0，則sinαtanα＞0，故A正確；cosα－sinα＞0，故B正確；sinαcosα＜0，故C錯(cuò)誤；sinα＋cosα的符號不確定，故D錯(cuò)誤，故選A11.已知角α的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)（不包括邊界），則角α用集合可表示為.

解析：∵在[0，2π）內(nèi)，終邊落在陰影部分角的集合為π4,5π6，∴所求角的集合為{α︱2kπ＋π4＜α＜2kπ＋5π6答案：{α︱2kπ＋π4＜α＜2kπ＋5π6，k∈12.如圖所示，角α的終邊與單位圓（圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓）交于第二象限的點(diǎn)Acosα,35，則cosα－sinα解析：由題意得cos2α＋352＝1，cos2α＝1625.又cosα＜0，所以cosα＝－45，又sinα＝35，所以cosα－sin答案：－713.若角α的終邊落在直線y＝3x上，角β的終邊與單位圓交于點(diǎn)12,m，且sinα·cosβ＜0，則cosα·sinβ＝解析：由角β的終邊與單位圓交于點(diǎn)12,m，得cosβ＝12，又由sinα·cosβ＜0知，sinα＜0，因?yàn)榻铅恋慕K邊落在直線y＝3x上，所以角α只能是第三象限角.記P為角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)，設(shè)P（x，y）（x＜0，y＜0），則｜OP｜＝1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），即x2＋y2＝1，又由y＝3x得x＝－12，y＝－32，所以cosα＝x＝－12，因?yàn)辄c(diǎn)12,m在單位圓上，所以122＋m2＝1，解得m＝±32，所以sinβ＝±答案：±314.如圖，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓弧交OP于點(diǎn)A.若圓弧AB等分△POB的面積，且∠AOB＝α，則αtanα＝解析：設(shè)扇形的半徑為r，則扇形的面積為12αr2，在Rt△POB中，PB＝rtanα，則△POB的面積為12r·rtanα，由題意得12r·rtanα＝2×12αr2，∴tanα＝2α，∴答案：115.鑄于明嘉靖十二年的泰山岱廟鐵塔，造型質(zhì)樸雄偉，原有十三級，抗日戰(zhàn)爭中被日軍飛機(jī)炸毀，現(xiàn)僅存三級，它的底座是近似圓形的，如圖①.我國古代工匠已經(jīng)知道，將長方體磚塊以某個(gè)固定的角度相接就可砌出近似圓形的建筑，現(xiàn)存鐵塔的底座是用10塊一樣的長方體磚塊砌成的近似圓形的墻面，每塊長方體磚塊底面較長的邊長為1個(gè)單位，相鄰兩塊磚之間的夾角固定為36°，如圖②，則此近似圓形墻面內(nèi)部所能容納最大圓的半徑是 （）A.2tan18° BC.5π D.解析：B如圖，設(shè)O為內(nèi)切圓的圓心，r為內(nèi)切圓的半徑.由∠AOB＝36°，AB＝1，tan∠AOB2＝AB2r，得tan18°＝12r，解得r16.（多選）如圖，A，B是單位圓上的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），∠BOA＝60°，質(zhì)點(diǎn)A以1rad/s的角速度按逆時(shí)針方向在單位圓上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)B以2rad/s的角速度按順時(shí)針方向在單位圓上運(yùn)動(dòng)，則 （）A.經(jīng)過1s后，∠BOA的弧度數(shù)為π3＋B.經(jīng)過π12s后，扇形AOB的弧長為C.經(jīng)過π6s后，扇形AOB的面積為D.經(jīng)過5π9s后，A，B解析：ABD經(jīng)過1s后，質(zhì)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)1rad，質(zhì)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)2rad，此時(shí)∠BOA的弧度數(shù)為π3＋3，故A正確；經(jīng)過π12s后，∠AOB＝π12＋π3＋2×π12＝7π12，故扇形AOB的弧長為7π12×1＝7π12，故B正確；經(jīng)過π6s后，∠AOB＝π6＋π3＋2×π6＝5π6，故扇形AOB的面積為S＝12×5π6×12＝5π12，故C不正確；設(shè)經(jīng)過ts后，A，B在單位圓上第一次相遇，則t（1＋217.已知1|sinα|＝－1sinα（1）試判斷角α所在的象限；（2）若角α的終邊上一點(diǎn)M35,m，且OM＝1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m及解：（1）由1|sinα|＝－1sinα，得sinα＜0，由lg（cosα）有意義，可知cosα＞（2）因?yàn)镺M＝1，所以352＋m2＝1，解得m＝±45.又α為第四象限角，故m＜0，所以m＝－45，sinα＝y(tǒng)r18.在一塊頂角為120°、腰長為2的等腰三角形鋼板廢料OAB中用電焊切割成扇形，現(xiàn)有如圖所示兩種方案，既要充分利用廢料，又要切割時(shí)間最短，試說明哪種方案最優(yōu).解：因?yàn)椤鰽OB是頂角為120°即為23π、腰長為2的等腰三角形，所以A＝B＝π6，AM＝BN＝1，AD＝所以方案一中扇形的弧長為2×π6＝π方案二中扇形的弧長為1×2π3＝2π方案一中扇形的面積為12×2×2×π6＝方案二中扇形的面積為12×1×1×2π3＝由此可見：兩種方案中利用廢料割成的扇形面積相等，方案一中切割時(shí)間短，因此方案一最優(yōu).第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝2.借助單位圓的對稱性，利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式π21.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1（α∈R）；（2）商數(shù)關(guān)系：tanα＝sinα提醒平方關(guān)系對任意角都成立，而商數(shù)關(guān)系中α≠kπ＋π2（k∈Z2.誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α（k∈Z）π＋α－απ－απ2－π2＋正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα提醒誘導(dǎo)公式可簡記為：奇變偶不變，符號看象限.“奇”“偶”指的是“k·π2＋α（k∈Z）”中的k是奇數(shù)還是偶數(shù).“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化.“符號看象限”指的是在“k·π2＋α（k∈Z）”中，將α看成銳角時(shí)，“k·π2＋α（k∈Z1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1. （）（2）sin（π＋α）＝－sinα成立的條件是α為銳角. （）（3）若α∈R，則tanα＝sinαcosα恒成立. （4）若sin（kπ－α）＝13（k∈Z），則sinα＝13. （答案：（1）×（2）×（3）×（4）×2.若α為第二象限角，且sinα＝13，則tanα＝ （A.22B.－22C.24 D.－解析：D因?yàn)閟inα＝13，所以結(jié)合sin2α＋cos2α＝1可得cosα＝±223，又α為第二象限角，所以cosα＝－223，所以tanα＝sinα3.已知sinπ2-α＋cos3π2+α＝－25，則A.2425 B.C.－2325 D.－解析：C因?yàn)閟inπ2-α＝cosα，cos3π2+α＝sinα，所以cosα＋sinα＝－25，兩邊同時(shí)平方得1＋2sinαcosα＝225，所以sin2α＝2sinαcos4.sin2490°＝，cos-52π3＝解析：sin2490°＝sin（7×360°－30°）＝－sin30°＝－12.cos-52π3＝cos52π3＝cos16π+π+π3＝cosπ+π答案：－12－5.已知sinα-2cosα3sinα+5cosα＝－解析：由sinα-2cosα3sinα+5cosα＝－5，知cosα≠0，等式左邊分子、分母同時(shí)除以cosα，可得tanα-答案：－231.同角三角函數(shù)關(guān)系式的常見變形（1）sin2α＝1－cos2α＝（1＋cosα）（1－cosα）；（2）cos2α＝1－sin2α＝（1＋sinα）（1－sinα）；（3）（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα；（4）sinα＝tanαcosαα≠2.（1）sin（kπ＋α）＝（－1）ksinα（k∈Z）；（2）cos（kπ＋α）＝（－1）kcosα（k∈Z）.1.已知sinα，cosα是方程3x2－2x＋a＝0的兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)a的值為 （）A.56 B.－C.43 D.解析：B由題可得，sinα＋cosα＝23，sinαcosα＝a3.由結(jié)論1可得，49＝1＋2×a3，解得2.已知A＝sin(kπ+α)sinα＋cos(kπ+解析：由結(jié)論2得A＝(-1)ksinαsinα＋(-1)kcosαcosα，①當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；②當(dāng)答案：{－2，2}同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用考向1“知一求二”問題【例1】已知α是三角形的內(nèi)角，且tanα＝－13，則sinα＋cosα＝.解析由tanα＝－13，得sinα＝－13cosα，將其代入sin2α＋cos2α＝1，得109cos2α＝1，所以cos2α＝910，易知cosα＜0，所以cosα＝－31010，sinα＝1010，故sinα答案－10｜解題技法｜利用同角基本關(guān)系式“知一求二”的方法考向2sinα，cosα的齊次式問題【例2】已知sinα+3cosα3cosα-sinα＝5，則cos2α＋A.35 B.－C.－3 D.3解析因?yàn)閟inα+3cosα3cosα-sinα＝5，所以tanα+33-tanα＝5.解得tanα＝2，故cos2α＋1答案A｜解題技法｜利用“齊次化切”求齊次式值的方法（1）若齊次式為分式，可將分子與分母同除以cosα的n次冪，將分式的分子與分母化為關(guān)于tanα的式子，代入tanα的值即可求解；（2）若齊次式為二次整式，可將其視為分母為1的分式，然后將分母1用sin2α＋cos2α替換，再將分子與分母同除以cos2α，化為只含有tanα的式子，代入tanα的值即可求解.考向3“sinα±cosα，sinαcosα”之間關(guān)系的應(yīng)用【例3】已知α∈（0，π），且sinα＋cosα＝22，則sinα－cosα＝ （A.－2 B.－6C.2 D.6解析∵sinα＋cosα＝22，∴（sinα＋cosα）2＝1＋2sinαcosα＝12，∴2sinαcosα＝－12＜0.∵α∈（0，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0.又（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝32，∴sinα－cos答案D｜解題技法｜“sinα±cosα，sinα·cosα”之間關(guān)系的應(yīng)用sinα±cosα與sinα·cosα通過平方關(guān)系聯(lián)系到一起，即（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα，sinαcosα＝(sinα+cosα)2-12，sinαcosα1.若角α的終邊在第三象限，則cosα1-sin2αA.3 B.－3C.1 D.－1解析：B由角α的終邊在第三象限，得sinα＜0，cosα＜0，故原式＝cosα|cosα|＋2sinα|sinα|＝cosα-2.（2022·浙江高考·節(jié)選）若3sinα－sinβ＝10，α＋β＝π2，則sinα＝.解析：因?yàn)棣粒拢溅?，所以β＝π2－α，所以3sinα－sinβ＝3sinα－sinπ2-α＝3sinα－cosα＝10sin（α－φ）＝10，其中sinφ＝1010，cosφ＝31010.所以α－φ＝π2＋2kπ，k∈Z，所以α＝π2＋φ＋2kπ，k∈Z，所以sinα＝sinπ2答案：33.已知tanα＝cosα，則cos2α＋cos4α＝，11-sinα－1解析：由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，知tanα＝sinαcosα＝cosα，所以sinα＝cos2α，所以sin2α＝cos4α，所以cos2α＋cos4α＝cos2α＋sin2α＝1.11-sinα－1sinα＝11-cos2α答案：11誘導(dǎo)公式的應(yīng)用【例4】（1）（2023·貴陽四校聯(lián)考）化簡：sin-α-（2）已知cosπ6-θ＝a，則cos5π6+θ＋解析（1）原式＝cosα(-cos（2）cos5π6+θ＝cosπ-π6-θ＝－cosπ6-θ＝－a，sin2π3-θ＝sinπ2+π6-答案（1）－1sinα（2｜解題技法｜1.利用誘導(dǎo)公式解題的一般思路（1）化絕對值大的角為銳角；（2）角中含有加減π2的整數(shù)倍時(shí)，用公式去掉π22.常見的互余和互補(bǔ)的角（1）互余的角：π3－α與π6＋α；π3＋α與π6－α；π4＋α與（2）互補(bǔ)的角：π3＋θ與2π3－θ；π4＋θ與3π41.化簡cos(π+α)·cosA.－1 B.1C.tanα D.－tanα解析：C由誘導(dǎo)公式得，原式＝-cosα·(-sinα)·cos3π2-2.sin（－1200°）cos1290°＝.

解析：原式＝－sin1200°cos1290°＝－sin（3×360°＋120°）cos（3×360°＋210°）＝－sin120°cos210°＝－sin（180°－60°）cos（180°＋30°）＝sin60°cos30°＝32×32＝答案：33.已知π＜α＜2π，cos（α－7π）＝－35，求sin（3π＋α）·tanα解：∵cos（α－7π）＝cos（7π－α）＝cos（π－α）＝－cosα＝－35，∴cosα＝3∴sin（3π＋α）·tanα＝sin（π＋α）·-＝sinα·tanπ2-α＝sin＝sinα·cosαsinα＝cosα同角關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用【例5】（2023·蘇州八校聯(lián)考）已知f（α）＝sin(（1）化簡f（α）；（2）若α＝－31π3，求f（α（3）若cos-α-π2＝15，α∈π解（1）f（α）＝-sinα×cosα×（2）若α＝－31π3，則f（α）＝－cos-31π3＝－cosπ（3）由cos-α-π2＝15，可得sinα＝－15，因?yàn)棣痢师?3π2，所以cosα＝－265，｜解題技法｜利用誘導(dǎo)公式與同角關(guān)系求解問題的思路和要求（1）思路：①分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)墓?；②利用公式化成單角三角函?shù)；③整理得最簡形式.（2）要求：①化簡過程是恒等變換；②結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡單，能求值的要求出值.已知角θ的終邊與單位圓x2＋y2＝1在第四象限交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為12（1）求tanθ的值；（2）求cosπ解：（1）由θ為第四象限角，終邊與單位圓交于點(diǎn)P12,y，得122＋y2＝1解得y＝－32，所以tanθ＝-32（2）因?yàn)閠anθ＝－3，所以cosπ2-θ+cos(θ-2π)sin1.若sinα＝13，α∈π2,π，則sinα-A.－13B.－C.13 D.解析：B因?yàn)棣痢师?,π，所以cosα＝－1-sin2α＝－223，所以sinα-3π2＝sinα2.已知3sin（π＋θ）＝cos（2π－θ），｜θ｜＜π2，則θ＝ （A.－π6 B.－C.π6 D.解析：A∵3sin（π＋θ）＝cos（2π－θ），∴－3sinθ＝cosθ，∴tanθ＝－33，∵｜θ｜＜π2，∴θ＝－3.已知α為銳角，且2tan（π－α）－3cosπ2+β＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin（π＋β）－1＝0，則sinα＝ A.355 BC.31010 D解析：C由已知得3sinβ-2tanα+5=0,tanα-6sinβ-1=0,消去sinβ，得tanα＝3，∴sinα＝3cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，化簡得sin24.在△ABC中，sinA·cosA＝－18，則cosA－sinA＝（A.－32 B.－C.52 D.±解析：B∵在△ABC中，sinA·cosA＝－18，∴A為鈍角，∴cosA－sinA＜0，∴cosA－sinA＝－(cosA-sinA)5.（多選）在△ABC中，下列結(jié)論正確的是 （）A.sin（A＋B）＝sinCB.sinB+C2C.tan（A＋B）＝－tanCCD.cos（A＋B）＝cosC解析：ABC在△ABC中，有A＋B＋C＝π，則sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC，A正確；sinB+C2＝sinπ2-A2＝cosA2，B正確；tan（A＋B）＝tan（π－C）＝－tanCC≠π2，C正確；cos（A＋B）＝cos（6.（多選）已知α∈（0，π），且sinα＋cosα＝15，則（A.π2＜α＜π B.sinαcosα＝－C.cosα－sinα＝75 D.cosα－sinα＝－解析：ABD∵sinα＋cosα＝15，等式兩邊平方得（sinα＋cosα）2＝1＋2sinαcosα＝125，得sinαcosα＝－1225，故B正確；∵α∈（0，π），sinαcosα＝－1225＜0，∴α∈π2,π，故A正確；cosα－sinα＜0，且（cosα－sinα）2＝1－2sinαcosα＝1－2×-1225＝4925，解得cosα－7.sin（－570°）＋cos（－2640°）＋tan1665°＝.

解析：原式＝sin（－570°＋720°）＋cos（－2640°＋2880°）＋tan（1665°－1620°）＝sin150°＋cos240°＋tan45°＝sin30°－cos60°＋1＝12－12＋1＝答案：18.已知函數(shù)f（x）＝sin2x.若存在非零實(shí)數(shù)a，b，使得f（x＋a）＝bf（x）對x∈R都成立，則滿足條件的一組值可以是a＝，b＝.

解析：當(dāng)a＝π2時(shí)，fx+π2＝sin（2x＋π）＝－sin2x，即b＝－1，故當(dāng)a＝π2，b＝－1時(shí)，f（x＋a）＝bf（x）對答案：π2－19.已知α∈-π2,π2，且sinα＋cosα＝55，則解析：法一：由sinα＋cosα＝55，平方得1＋2sinαcosα＝15，所以sinαcosα＝－25，則sinαcosαsin2α+cos2α＝－25，所以tanαtan2α+1＝－25，即2tan2α＋5tanα＋2＝0，解得tanα＝－12或tanα＝－2.因?yàn)棣痢?π2,π2，且0＜sinα＋cosα＝法二：由sinα＋cosα＝55，①.平方得1＋2sinαcosα＝15，2sinαcosα＝－45，則（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝95.因?yàn)棣痢?π2,π2，且0＜sinα＋cosα＝55＜1，所以cosα＞－sinα＞0，sinα－cosα＝－355，②.聯(lián)立答案：－110.已知π2＜α＜π，tanα－1tanα（1）求tanα的值；（2）求cos3π解：（1）令tanα＝x，則x－1x＝－32，整理得2x2＋3x－2＝0，解得x＝12或x因?yàn)棣?＜α＜π所以tanα＜0，故tanα＝－2.（2）cos3π2＝tanα＋1＝－2＋1＝－1.11.在△ABC中，3sinπ2-A＝3sin（π－A），cosA＝－3cos（π－B），則△ABC為 A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形解析：B由3sinπ2-A＝3sin（π－A）可得3cosA＝3sinA，即tanA＝33，又0＜A＜π，所以A＝π6，再由cosA＝－3cos（π－B）可得cosA＝3cosB，所以cosB＝12，又0＜B＜π，所以B＝π3，所以C＝π2，12.已知α，β均為銳角，且α＋β－π2＞sinβ－cosα，則下列結(jié)論中正確的是 （A.sinα＞sinβ B.cosα＞cosβC.cosα＞sinβ D.sinα＞cosβ解析：D由α＋β－π2＞sinβ－cosα，變形得β－sinβ＞π2-α－sinπ2-α.構(gòu)造函數(shù)f（x）＝x－sinx，x∈0,π2，則f'（x）＝1－cosx＞0，則f（x）在x∈0,π2上單調(diào)遞增，則β＞π2－α，∴cosβ＜cosπ2-α，sinβ＞sinπ2-α，即cosβ＜sinα，sinβ＞cosα，故C錯(cuò)誤，D正確.當(dāng)π2＞β＞π2－α＞0時(shí)，若0＜α＜π4，則β＞π4，∴π2＞β＞α＞0，此時(shí)sinβ＞sinα，cosβ＜cosα，若0＜β＜π4，則α＞π4，∴π2＞α＞β＞13.如圖是由4個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若直角三角形中較小的內(nèi)角為θ，大正方形的面積是1，小正方形的面積是125，則sin2θ－cos2θ的值是.解析：由題意可知，拼圖中的每個(gè)直角三角形的長直角邊為cosθ，短直角邊為sinθ，小正方形的邊長為cosθ－sinθ，∵小正方形的面積是125，∴（cosθ－sinθ）2＝125，∵θ為直角三角形中較小的銳角，∴cosθ＞sinθ，∴cosθ－sinθ＝15，又∵（cosθ－sinθ）2＝1－2sinθcosθ＝125，∴2sinθcosθ＝2425，∴1＋2sinθcosθ＝4925，即（cosθ＋sinθ）2＝4925，∴cosθ＋sinθ＝75，∴sin2θ－cos2θ＝（cosθ＋sinθ）（sin答案：－714.已知α是第三象限角，且f（α）＝sin(（1）若cosα-3π2＝35，求（2）若α＝－32π3，求f（α解：f（α）＝sinα·cosα·（1）∵cosα-3π2＝－sinα，∴sinα＝－35.∵α是第三象限角，∴cosα＝－1--352＝－45.∴（2）f（α）＝－cos-32π3＝－cos-2π15.已知sin5π2-θcos7π2+θ＝1225（1）求tanθ的值；（2）求cos3π2+θ+sinθ-π2·[sin（3π解：（1）∵sin5π2-θcos7π2+θ＝cosθ∴1225＝sinθcos∴12tan2θ－25tanθ＋12＝0，即（3tanθ－4）（4tanθ－3）＝0.∵0＜θ＜π4，∴0＜tanθ＜1，∴tanθ＝3（2）cos3π2+θ+sinθ-π2·[sin（3π－θ）－2cos（π＋θ）]＝（sinθ－cosθ）（sinθ＋2cosθ第三節(jié)三角恒等變換1.經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差余弦公式的過程，了解兩角差余弦公式的意義.2.能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.3.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換（包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶）.1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式（1）cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ（C（α－β））；

（2）cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ（C（α＋β））；

（3）sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ（S（α－β））；

（4）sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ（S（α＋β））；

（5）tan（α－β）＝tanα-tanβ1+tanαtanβ（6）tan（α＋β）＝tanα+tanβ1-tanαtan2.二倍角公式（1）基本公式①sin2α＝2sinαcosα；

②cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；③tan2α＝2tanα（2）公式變形①升冪公式：1－cosα＝2sin2α2；1＋cosα＝2cos2α2；tanα＝2tanα21-ta②降冪公式：sin2α＝1-cos2α2；cos2α＝1+cos2α2；提醒（1）二倍角公式就是兩角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情況；（2）二倍角是相對的，如：α2是α4的2倍，3α是3α21.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角.（）（2）存在實(shí)數(shù)α，β，使等式sin（α＋β）＝sinα＋sinβ成立. （）（3）公式tan（α＋β）＝tanα+tanβ1-tanαtanβ可以變形為tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ（4）32sinα＋12cosα＝sinα+π3答案：（1）√（2）√（3）×（4）×2.已知cosα＝－45，α∈π,3π2，則sinA.－210B.C.－7210 D解析：C∵α∈π,3π2，且cosα＝－45，∴sinα＝－35，∴sinα+π4＝－353.化簡1+cos4＝ （）A.sin2 B.－cos2C.2cos2 D.－2cos2解析：D因?yàn)?+cos4＝2cos22，又cos2＜0，所以可得選項(xiàng)4.（2021·全國乙卷）cos2π12－cos25π12＝ （A.12 B.C.22 D.解析：D法一（通解）：因?yàn)閏os5π12＝sinπ2-5π12＝sinπ12，所以cos2π12－cos25π12＝cos2π12－sin2π12＝cos法二（優(yōu)解）：因?yàn)閏osπ12＝6+24，cos5π12＝6-24，所以cos2π12－cos25π125.已知α是第二象限角，tan（π＋2α）＝－43，則tanα.解析：由tan（π＋2α）＝－43，得tan2α＝－43，又tan2α＝2tanα1-tan2α＝－43，解得tanα＝－12或tanα＝2，答案：－11.公式的常用變式：若α＋β＝π4，則（1＋tanα）（1＋tanβ）＝2；tanα±tanβ＝tan（α±β）（1?tanαtanβ）；tanα·tanβ＝1－tanα+tanβtan2.常用拆角、拼角技巧：2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；β＝α+β2－α-β2＝（α＋2β）－（α＋β）；α－β＝（α－γ）＋（γ－β）；π43.輔助角公式：asinα＋bcosα＝a2+b2sin（α＋1.（1＋tan1°）（1＋tan2°）（1＋tan3°）…（1＋tan44°）＝（）A.222B.223C.211D.212解析：A由結(jié)論1知（1＋tan1°）（1＋tan2°）·（1＋tan3°）…（1＋tan44°）＝222.故選A.2.（2023·煙臺一模）已知tan（α＋β）＝12，tan（α－β）＝13，則tan（π－2α）＝解析：因?yàn)閠an（π－2α）＝－tan2α，由結(jié)論2可知tan2α＝tan(α+β)+tan(α-β)1-tan(答案：－1第一課時(shí)兩角和、差及倍角公式公式的直接應(yīng)用1.已知角α的終邊過點(diǎn)A（1，3），則cosα+π6＝ A.－12B.C.12 D.解析：B∵角α的終邊過點(diǎn)A（1，3），∴sinα＝31+3＝32，cosα＝11+3＝12，則cosα+π6＝32cosα－12sinα＝32×12.已知tanα-π3＝33，則tan2α＝ A.－43B.－32C.43D.解析：A由tanα-π3＝tanα-tanπ31+tanαtanπ3＝33，求得tanα＝－33.（2021·全國甲卷）若α∈0,π2，tan2α＝cosα2-sinαA.1515 B.C.53 D.解析：A因?yàn)棣痢?,π2，所以tan2α＝2sinαcosα2cos2α-1＝cosα2-sinα?2sinα2cos2α-1＝12-sinα?2cos2α－1＝4sinα－2sin4.若sinπ4-θ＝13，則cos2解析：因?yàn)閟inπ4-θ＝13，所以sinπ4cosθ－cosπ4sinθ＝13，即cosθ－sinθ＝23，又cos2θsinθ+cosθ＝cos2θ答案：2｜練后悟通｜三角函數(shù)公式的應(yīng)用策略（1）使用兩角和、差及倍角公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號變化規(guī)律.例如兩角差的余弦公式可簡記為：“同名相乘，符號反”；（2）使用公式求值，應(yīng)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用.公式的逆用及變形用【例1】（1）（2022·新高考Ⅱ卷）若sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝22cosα+π4sinβA.tan（α－β）＝1 B.tan（α＋β）＝1C.tan（α－β）＝－1 D.tan（α＋β）＝－1（2）在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝233，則tanAtanB＝ （A.14 B.C.12 D.解析（1）由題意得sinαcosβ＋sinβcosα＋cosαcosβ－sinαsinβ＝22×22（cosα－sinα）sinβ，整理，得sinαcosβ－sinβcosα＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即sin（α－β）＋cos（α－β）＝0，所以tan（α－β）＝－1，故選C（2）∵C＝120°，∴tanC＝－3.∵A＋B＝180°－C，∴tan（A＋B）＝－tanC.∴tan（A＋B）＝3，tanA＋tanB＝3（1－tanAtanB），又∵tanA＋tanB＝233，∴tanAtanB＝答案（1）C（2）B｜解題技法｜三角函數(shù)公式的活用技巧（1）逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式；（2）tanαtanβ，tanα＋tanβ（或tanα－tanβ），tan（α＋β）（或tan（α－β））三者中可以知二求一，應(yīng)注重公式的逆用和變形使用.提醒（1）公式逆用時(shí)一定要注意公式成立的條件和角之間的關(guān)系；（2）注意可借助常數(shù)的拼湊法，將分子、分母轉(zhuǎn)化為相同的代數(shù)式，從而達(dá)到約分的目的.1.tan87°－tan27°－3tan27°tan87°＝ （）A.2 B.3C.－2 D.－5解析：Btan87°－tan27°－3tan27°tan87°＝tan（87°－27°）（1＋tan27°tan87°）－3tan27°tan87°＝3（1＋tan27°tan87°）－3tan27°tan87°＝3.2.已知α，β，γ∈0,π2，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，則β－α＝解析：由題意知，sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ，將兩式分別平方后相加，得1＝（sinβ－sinα）2＋（cosα－cosβ）2＝2－2（sinβsinα＋cosβcosα），∴cos（β－α）＝12，∵γ∈0,π2，∴sinγ＝sinβ－sinα＞0，又α，β∈0,π2，∴β＞α，∴0＜β－α＜π答案：π變換求值考向1角的變換【例2】已知α，β∈3π4,π，sin（α＋β）＝－35，sinβ-π4＝24解析由題意知，α＋β∈3π2,2π，sin（α＋β）＝－35＜0，所以cos（α＋β）＝45，因?yàn)棣拢?∈π2,3π4，所以cosβ-π4＝－725，cosα+π4＝cos(α+答案－4｜解題技法｜三角公式求值中變角的解題思路（1）當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；（2）當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.考向2名的變換【例3】若cosθ+π6＝45，則sin2θA.－725B.2425C.725解析法一：sin2θ-π6＝－cosπ2+2θ-π6＝－cos2θ+法二：cos2θ+π6＝1+cos2θ+π32＝1625，解得cos2θ+π3＝725，答案A｜解題技法｜三角函數(shù)名的變換技巧明確各個(gè)三角函數(shù)名稱之間的聯(lián)系，常常用到同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式，把正弦、余弦化為正切，或者把正切化為正弦、余弦.1.已知sinπ5-α＝14，則cos2αA.－78 B.C.－158 D.解析：A由sinπ5-α＝14，得cos2π5-2α＝1－2sin2π5-α＝78，cos22.已知0＜α＜π2＜β＜π，tanα＝43，cos（β－α）＝210，則sinα＝，cosβ＝解析：因?yàn)?＜α＜π2，且tanα＝43，所以sinα＝45，cosα＝35，由0＜α＜π2＜β＜π，則0＜β－α＜π，又因?yàn)閏os（β－α）＝210，則sin（β－α）＝7210，所以cosβ＝cos[（β－α）＋α]＝cos（β－α）cosα－sin（β－α）sinα＝210答案：45－1.已知cosθ＝13，則sin2θ+π2A.－79B.C.23 D.－解析：A根據(jù)誘導(dǎo)公式與二倍角公式，得sin2θ+π2＝cos2θ＝2cos2θ－1＝－72.若sinθ＝5cos（2π－θ），則tan2θ＝ （）A.－53 B.C.－52 D.解析：C因?yàn)閟inθ＝5cos（2π－θ）＝5cosθ，所以tanθ＝5，所以tan2θ＝2tanθ1-tan3.已知sinα＝35，α∈π2,π，則tanA.－7 B.－1C.17 D.解析：D因?yàn)閟inα＝35，α∈π2,π，所以cosα＝－1-352＝－45，tanα＝sinαcosα＝－34.已知cosβ－3sinα＝2，sinβ＋3cosα＝32，則sin（β－α）＝ （A.－524 B.C.－58 D.解析：C由cosβ－3sinα＝2得，（cosβ－3sinα）2＝cos2β－6cosβsinα＋9sin2α＝4，①.由sinβ＋3cosα＝32得，（sinβ＋3cosα）2＝sin2β＋6sinβcosα＋9cos2α＝94，②.①＋②得10＋6（sinβcosα－cosβsinα）＝10＋6sin（β－α）＝254，∴sin（β－α5.已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，終邊過點(diǎn)M-12,-32，則cos2α＋A.－12 B.C.1 D.3解析：A由題意知sinα＝－32，cosα＝－12，所以cos2α＋sinα-π3＝2cos2α－1＋12sinα－32cosα＝2×-122－1＋126.（多選）下列各式中，值為12的是 （A.tan22.5°1-tan222C.33cos2π12－33sin2π12解析：ACD∵tan22.5°1-tan222.5°＝12tan45°＝12，tan15°cos215°＝sin15°cos15°＝12sin30°＝14，33cos2π12－33sin2π12＝337.（2022·北京高考）若函數(shù)f（x）＝Asinx－3cosx的一個(gè)零點(diǎn)為π3，則A＝；fπ12＝解析：依題意得fπ3＝A×32－3×12＝0，解得A＝1，所以f（x）＝sinx－3cosx＝2sinx-π3，所以fπ答案：1－28.化簡：sin10°1-3解析：sin10°1-3tan10°＝sin10°答案：19.滿足等式（1－tanα）（1－tanβ）＝2的數(shù)組（α，β）有無窮多個(gè)，試寫出一個(gè)這樣的數(shù)組.

解析：由（1－tanα）（1－tanβ）＝2，得1－（tanα＋tanβ）＋tanαtanβ＝2，所以tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1，所以tan（α＋β）＝tanα+tanβ1-tanαtanβ＝tanαtanβ-11-tanαtanβ＝－1，所以α＋β＝3π4＋kπ答案：0,10.已知cosα＝－34，sinβ＝23，α是第三象限角，β∈（1）sin2α的值；（2）cos（2α＋β）的值.解：（1）因?yàn)棣潦堑谌笙藿牵琧osα＝－34則sinα＝－1-cos所以sin2α＝2sinαcosα＝2×-74×-3（2）因?yàn)棣隆师?,π，sinβ則cosβ＝－1-sin又cos2α＝2cos2α－1＝2×916－1＝1所以cos（2α＋β）＝cos2αcosβ－sin2αsinβ＝18×-53－37811.設(shè)a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°，b＝22（sin56°－cos56°），c＝1-tan239°1+tan239A.a＞b＞c B.b＞a＞cC.c＞a＞b D.a＞c＞b解析：D由兩角和與差的正、余弦公式及誘導(dǎo)公式，可得a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°＝cos50°cos127°＋sin50°sin127°＝cos（50°－127°）＝cos（－77°）＝cos77°＝sin13°，b＝22（sin56°－cos56°）＝22sin56°－22cos56°＝sin（56°－45°）＝sin11°，c＝1-tan239°1+tan239°＝1-sin239°cos239°1+sin239°cos239°＝cos239°－sin239°＝cos78°＝sin12°.因?yàn)楹瘮?shù)12.（多選）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有一個(gè)“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何？”其意思為今有水池1丈見方（即CD＝10尺），蘆葦生長在水的中央，長出水面的部分為1尺.將蘆葦向池岸牽引，恰巧與水岸齊接（如圖所示）.試問水深、蘆葦?shù)拈L度各是多少？假設(shè)θ＝∠BAC，現(xiàn)有下述四個(gè)結(jié)論，其中正確的是 （）A.水深為12尺 B.蘆葦長為15尺C.tanθ2＝23 D.tanθ解析：ACD設(shè)BC＝x，則AC＝x＋1，∵AB＝5，∴52＋x2＝（x＋1）2，∴x＝12，即水深為12尺，A正確；蘆葦長為13尺，B錯(cuò)誤；tanθ＝125，由tanθ＝2tanθ21-tan2θ2，解得tanθ2＝23（負(fù)值已舍去），C正確；∵tanθ＝125，∴tanθ+13.設(shè)α是第一象限角，滿足sinα-π4－cosα+π4＝6-解析：∵sinα-π4－cosα+π4＝22sinα－22cosα－22cosα＋22sinα＝2（sinα－cosα）＝6-22，∴sinα－cosα＝3-12.∵α是第一象限角，∴sinα＞0，cosα＞0，由sinα-cosα=3-答案：314.已知α，β均為銳角，且sinα＝35，tan（α－β）＝－1（1）求sin（α－β）的值；（2）求cosβ的值.解：（1）∵α，β∈0,π2，∴－π2＜α－又∵tan（α－β）＝－13＜0∴－π2＜α－β＜0∴sin（α－β）＝－1010（2）由（1）可得，cos（α－β）＝310∵α為銳角，且sinα＝35，∴cosα＝4∴cosβ＝cos[α－（α－β）]＝cosαcos（α－β）＋sinαsin（α－β）＝45×31010＋35×15.已知α，β為銳角，tanα＝43，cos（α＋β）＝－5（1）求cos2α的值；（2）求tan（α－β）的值.解：（1）因?yàn)閠anα＝43＝sin所以sinα＝43cosα因?yàn)閟in2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925所以cos2α＝2cos2α－1＝－725（2）因?yàn)棣?，β為銳角，所以α＋β∈（0，π）.又因?yàn)閏os（α＋β）＝－55所以α＋β∈π2所以sin（α＋β）＝1-cos所以tan（α＋β）＝－2.因?yàn)閠anα＝43，所以tan2α＝2tanα1所以tan（α－β）＝tan[2α－（α＋β）]＝tan2α-tan第二課時(shí)簡單的三角恒等變換三角函數(shù)式的化簡【例1】化簡：（1）2sin(（2）sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2α·cos2β解（1）2sin(π＝2sinα(1+cosα)（2）法一：原式＝1-cos2α2·1-cos2β2＋1+cos2α2·1+cos2＝1-cos2β-cos2α+cos2αcos2β4＋＝12＋12cos2αcos2β－12cos2αcos2β法二：原式＝（1－cos2α）（1－cos2β）＋cos2αcos2β－12（2cos2α－1）（2cos2β－1＝1－cos2β－cos2α＋cos2αcos2β＋cos2αcos2β－12（4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1＝1－cos2β－cos2α＋2cos2αcos2β－2cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－12＝1法三：原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12（cos2α－sin2α）·（cos2β－sin2β＝12（2sin2αsin2β＋2cos2αcos2β－cos2αcos2β＋cos2αsin2β＋sin2αcos2β－sin2αsin2β＝12[sin2α（sin2β＋cos2β）＋cos2α（sin2β＋cos2β）＝12（sin2α＋cos2α）＝1｜解題技法｜三角函數(shù)式的化簡要遵循“3看”原則1.sin(180°+2α)1+cos2A.－sinαB.－cosαC.sinα D.cosα解析：D原式＝-＝-2sinαcosα·2.化簡：2tanπ解：原式＝2tan＝2＝2sin＝sinπ2-2θ三角函數(shù)式求值考向1給角求值【例2】計(jì)算2cos10°-sin20°cos20°A.1B.2C.3 D.2解析2cos10°-sin20°cos20°＝2cos(30°-20°)-答案C｜解題技法｜給角求值問題的基本思路觀察所給角與特殊角之間的關(guān)系，利用和、差、倍角公式等將非特殊角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為：（1）特殊角的三角函數(shù)值；（2）正、負(fù)相消的項(xiàng)和特殊角的三角函數(shù)值；（3）可約分的項(xiàng)和特殊角的三角函數(shù)值等.考向2給值求值【例3】已知tanα+π4＝12，且－π2＜α＜0，則2siA.－255B.－3510C.－3解析因?yàn)閠anα+π4＝tanα+11-tanα＝12，所以tanα＝－13，因?yàn)閠anα＝sinαcosα＝－13，sin2α＋cos2α＝1，α∈-π2,0，所以sinα＝－1010.所以2sin答案A｜解題技法｜給值求值問題的解題策略（1）此類問題的解法規(guī)律是將所給的一個(gè)或幾個(gè)三角函數(shù)式根據(jù)問題的需要進(jìn)行恒等變換，使其轉(zhuǎn)化為所求函數(shù)式能夠使用的條件，然后用代入法求出三角函數(shù)式的值，也可以將所求的函數(shù)式經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃危倮脳l件求值；（2）已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值的解題關(guān)鍵：把“所求角”用“已知角”表示.考向3給值求角【例4】已知角α∈0,π2，tanπ12＝sinα-解析tanπ12＝sinπ12cosπ12＝sinα-sinπ12cosα+cosπ12，整理得sinπ12cosα+cosπ12＝cosπ12sinα-sinπ12答案π｜解題技法｜“給值求角”實(shí)質(zhì)上可轉(zhuǎn)化為“給值求值”，即通過求角的某個(gè)三角函數(shù)值來求角（注意角的范圍），在選取函數(shù)時(shí)，遵循以下原則：（1）已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；（2）已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù).若角的范圍是0,π2，選正、余弦函數(shù)皆可；若角的范圍是（0，π），選余弦函數(shù)；若角的范圍為-1.cos40°cos25°1-sin40A.1 B.3C.2 D.2解析：C原式＝cos220°-sin22.已知cosθ+π4＝1010，θ∈0,π2解析：由題意可得cos2θ+π4＝1+cos2θ+π22＝110，cos2θ+π2＝－sin2θ＝－45，即sin2θ＝45.因?yàn)閏osθ+π4＝1010＞0，θ∈0,π2，所以0＜θ＜π4，2θ∈0,π2，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得cos2θ＝35，由兩角差的正弦公式，答案：43.已知sinα＝55，sin（α－β）＝－1010，α，β均為銳角，則β＝解析：因?yàn)棣粒戮鶠殇J角，所以－π2＜α－β＜π2.又sin（α－β）＝－1010，所以－π2＜α－β＜0，所以cos（α－β）＝31010.又sinα＝55，所以cosα＝255，所以sinβ＝sin[α－（α－β）]＝sinαcos（α－β）－cosαsin（α－β）＝55×31010答案：π三角恒等變換的綜合應(yīng)用【例5】已知函數(shù)f（x）＝4cosxcosx+π6（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若α∈0,π2，且f（α）＝65解（1）f（x）＝4cosxcosx+π＝4cosx32cos＝23cos2x－2sinxcosx－3＝3（1＋cos2x）－sin2x－3＝3cos2x－sin2x＝2cos2x令2kπ－π≤2x＋π6≤2kπ（k∈Z），解得kπ－7π12≤x≤kπ－π12（k所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-7π12,（2）由α∈0,π2，且f（α）＝65，得f（α）＝2cos所以cos2α+π因?yàn)?≤α≤π2，所以π6≤2α＋π6≤7π6，則π6≤2α所以sin2α+π6＝45，則cos2α＝cos2α+π6-π6＝cos2α+π6cosπ6｜解題技法｜三角恒等變換綜合問題的求解策略（1）進(jìn)行三角恒等變換要抓住變角、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系，注意公式的逆用和變形使用；（2）形如y＝asinx＋bcosx化為y＝a2+b2sin（x＋φ），可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期性、已知向量a＝cosx2+sinx2,2sinx2，（1）求函數(shù)f（x）的最大值，并指出f（x）取最大值時(shí)x的取值集合；（2）若α，β為銳角，cos（α＋β）＝1213，f（β）＝65，求f解：（1）f（x）＝cos2x2－sin2x2＋23sinx2cosx2＝cosx＋3sinx當(dāng)x＋π6＝π2＋2kπ，k∈Z，即x＝π3＋2kπ，k∈f（x）有最大值為2，此時(shí)x的取值集合為{x︱x＝π3＋2kπ，k∈Z}（2）由α，β為銳角，cos（α＋β）＝1213，得sin（α＋β）＝5由f（β）＝65得，sinβ+π∵0＜β＜π2，∴π6＜β＋π6又sinβ+π6∴π6＜β＋π6＜π4，∴cosβ∴cosα-π6＝cos（α＋β）cosβ+π6＋sin（α＋β）sinβ∴fα+π6＝2sinα+π3＝2sinπ1.已知α∈（0，π），2sin2α＝cos2α－1，則cosα＝（）A.55B.－55C.255解析：B∵2sin2α＝cos2α－1，∴4sinαcosα＝－2sin2α.∵α∈（0，π），∴sinα＞0，2cosα＝－sinα，∴cosα＜0，結(jié)合sin2α＋cos2α＝1，得cosα＝－552.若cos（30°－α）－sinα＝13，則sin（30°－2α）＝ （A.13 B.－13 C.79 解析：D由cos（30°－α）－sinα＝13，得32cosα－12sinα＝13，即cos（30°＋α）＝13，所以sin（30°－2α）＝cos（60°＋2α）＝2cos2（30°＋α）－1＝2×13.已知銳角α，β滿足sinα＝55，cosβ＝31010，則α＋βA.3π4 B.π4C.π4 D.2kπ＋π4（k∈解析：C由sinα＝55，cosβ＝31010，且α，β為銳角，可知cosα＝255，sinβ＝1010，故cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255×31010－55×1010＝22，又0＜4.已知α∈（0，π），sin2α＋cos2α＝cosα－1，則sin2α＝（）A.34 B.－C.－34或0 D.解析：C∵sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝2cos2α－1，∴2sinαcosα＋2cos2α＝cosα，當(dāng)cosα＝0時(shí)，等式成立，此時(shí)sin2α＝0；當(dāng)cosα≠0時(shí)，sinα＋cosα＝12，兩邊平方得sin2α＝－34，故選5.已知λcos50°－tan40°＝3，則λ的值為 （）A.2 B.23 C.4 D.33解析：C由已知，λsin40°－sin40°cos40°＝3，則λsin40°cos40°-sin40°cos40°＝3，從而λsin40°cos40°－sin40°＝3cos40°，λ2sin80°＝3cos40°＋sin40°＝232cos40°+12sin40°＝2sin（606.（多選）已知sinα＝－45，180°＜α＜270°，則下列選項(xiàng)正確的是 （A.sin2α＝－2425 B.sinα2C.cosα2＝－55 D.tanα解析：BCD因?yàn)閟inα＝－45，180°＜α＜270°，所以cosα＝－35，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×-45×-35＝2425，故A錯(cuò)誤.因?yàn)?0°＜α2＜135°，所以sinα2＝1-cosα2＝1--352＝255，cosα2＝－7.化簡：3cos10°－1sin170°解析：原式＝3sin10°-cos10°cos10答案：－48.寫出一個(gè)使等式sinαsinα+π6＋cosαcos解析：由sinαsinα+π6sinαcosα+π6+cosαsinα+π6sinα+π6cosα+π6＝2，所以sin2α+π6＝sin2α+π答案：π89.已知cosα+π6－sinα＝435，則sin解析：由cosα+π6－sinα＝32cosα－12sinα－sinα＝32cosα－32sinα＝312cosα-32sinα＝3cosα+π3＝3sinπ6答案：－410.化簡：（1）3tan12（2）cos解：（1）原式＝3＝3＝2＝43sin(12（2）法一：原式＝cos2αcosα＝sinα2cosα2cosα＝12sinαcosα＝14sin法二：原式＝cos2αtanα2＝12cos2α·tanα＝12cosαsinα＝14sin11.已知x，y∈0,