2024八年級數(shù)學(xué)上冊專題突破第07講等腰三角形中的分類討論含解析新版浙教版

Page1第7講等腰三角形中的分類探討【學(xué)問點睛】在等腰三角形中，沒有明確指明邊是腰還是底時，要進(jìn)行分類探討，且求出未知邊的長后，確定要看這三邊能否組成三角形；沒有明確指明角是頂角或底角時，也要進(jìn)行分類探討設(shè)等腰三角形中有一個角為α?xí)r對應(yīng)結(jié)論當(dāng)α為頂角時底角=當(dāng)α為直角或鈍角時不須要分類探討，該角必為頂角當(dāng)α為銳角時α可以為頂角；也可以為底角當(dāng)?shù)妊切蔚囊粋€外角為α?xí)r對應(yīng)結(jié)論若α為銳角、直角α必為頂角的外角若α為鈍角α可以是頂角的外角，也可以是底角的外角動態(tài)環(huán)境下的等腰三角形存在性問題【類題訓(xùn)練】1．△ABC中，AB＝AC，一腰上的中線BD把三角形的周長分為9cm和12cm兩部分，則此三角形的腰長是8cm或6cm．【分析】等腰三角形一腰上的中線將它的周長分為12厘米和18厘米兩部分，但已知沒有明確等腰三角形被中線分成的兩部分的長，哪個是9cm，哪個是12cm，因此，有兩種狀況，須要分類探討．【解答】解：依據(jù)題意畫出圖形，如圖，設(shè)等腰三角形的腰長AB＝AC＝2x，BC＝y(tǒng)，∵BD是腰上的中線，∴AD＝DC＝x，若AB+AD的長為12，則2x+x＝12，解得x＝4cm，則x+y＝9，即4+y＝9，解得y＝5cm；若AB+AD的長為9，則2x+x＝9，解得x＝3cm，則x+y＝12，即3+y＝12，解得y＝9cm；所以等腰三角形的腰長為8cm或6cm．故答案為：8cm或6cm．2．（1）等腰三角形中有一個角是70°，則它的頂角是70°或40°．（2）等腰三角形中有一個角是100°，則它的另兩個角是40°，40°．（3）等腰三角形的一個內(nèi)角為70°，它一腰上的高與底邊所夾的度數(shù)為35°或20°．【分析】（1）等腰三角形一內(nèi)角為70°，沒說明是頂角還是底角，所以有兩種狀況．（2）由于等腰三角形的兩底角相等，所以100°的角只能是頂角，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求得另兩底角．（3）題中沒有指明已知角是底角還是頂角，故應(yīng)當(dāng)分狀況進(jìn)行分析從而求解．【解答】解：（1）①當(dāng)70°角為頂角，頂角度數(shù)即為70°；②當(dāng)70°為底角時，頂角＝180°﹣2×70°＝40°．（2）∵等腰三角形的兩底角相等∴兩底角的和為180°﹣100°＝80°∴兩個底角分別為40°，40°．（3）①當(dāng)∠A＝70°時，則∠ABC＝∠C＝55°，因為BD⊥AC，所以∠DBC＝90°﹣55°＝35°；②當(dāng)∠C＝70°時，因為BD⊥AC，所以∠DBC＝90°﹣70°＝20°故答案為：70°或40°；40°，40°；35°或20°．3．假如等腰三角形的周長是35cm，一腰上中線把三角形分成兩個三角形，其周長之差是4cm，則這個等腰三角形的底邊長是9cm或cm．【分析】依據(jù)題意畫出圖形，設(shè)等腰三角形的腰長為xcm，則底邊長為（19﹣2x）cm，再依據(jù)兩個三角形的周長差是4cm求出x的值即可．【解答】解：如圖所示，等腰△ABC中，AB＝AC，點D為AC的中點，設(shè)AB＝AC＝xcm，∵點D為AC的中點，∴AD＝CD＝，BC＝25﹣（AB+AC）＝35﹣2x，當(dāng)△ABD的周長大于△BCD的周長時，AB+AD+BD﹣（BC+CD+BD）＝4，即x+﹣（35﹣2x）﹣＝4，解得x＝13，底邊長為35﹣13×2＝9（cm）；當(dāng)△BCD的周長大于△ABD的周長時，則BC+CD+BD﹣（AB+AD+BD）＝4，即35﹣2x+﹣（x+）＝4，解得x＝，底邊長為35﹣×2＝（cm）．綜上所述，這個等腰三角形的底邊長為9cm或cm．故答案為：9cm或cm．4．已知△ABC中，CA＝CB，AD⊥BC于D，∠CAD＝50°，則∠B＝70°或20°．【分析】利用直角三角形兩銳角互余可求得∠C，再利用三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)可求得∠B．【解答】解：若△ACB是銳角三角形，如圖1．∵AD⊥BC，∠CAD＝50°，∴∠C＝90°﹣∠CAD＝90°﹣50°＝40°，∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB，且2∠B+∠C＝180°，∴∠B＝70°，若△ACB是鈍角三角形，如圖2．∵AD⊥BC，∠CAD＝50°，∴∠DCA＝90°﹣∠CAD＝90°﹣50°＝40°，∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB，且∠DCA＝∠B+∠CAB∴∠B＝20°故答案為：70°或20°．5．如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的P點有（）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個【分析】依據(jù)等腰三角形的判定定理，結(jié)合圖形即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，第1個點在CA延長線上，取一點P，使BA＝AP；第2個點在CB延長線上，取一點P，使AB＝PB；第3個點在AC延長線上，取一點P，使AB＝PB；第4個點在BC延長線上，取一點P，使AB＝PA；第5個點在AC延長線上，取一點P，使AB＝AP；第6個點在AC上，取一點P，使∠PBA＝∠PAB；∴符合條件的點P有6個點．故選：B．6．用一根長為21厘米的鐵絲圍成一個三條邊長均為整數(shù)厘米的等腰三角形，則方案的種數(shù)為（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】設(shè)等腰三角形的腰為x，底邊為y，依據(jù)三角形的周長求出y＝21﹣2x，依據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出x+x＞y，求出x+y＞21﹣2x，再求出不等式組的解集即可．【解答】解：設(shè)等腰三角形的腰為x，底邊為y，則x＞0，y＞0，x+x＞y，則x+x+y＝21，即①y＝21﹣2x＞0，所以②x+x＞21﹣2x，解①②得：5＜x＜10.5，所以整數(shù)x可以為6，7，8，9，10，共5種，故選：A．7．如圖，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，假如射線OA上的點E滿足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度數(shù)為120°或75°或30°．【分析】求出∠AOC，依據(jù)等腰得出三種狀況，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，依據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出即可．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，①當(dāng)E在E1時，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；②當(dāng)E在E2點時，OC＝OE，則∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣30°）＝75°；③當(dāng)E在E3時，OC＝CE，則∠OEC＝∠AOC＝30°；故答案為：120°或75°或30°．8．如圖，∠AOB＝60°，C是BO延長線上一點，OC＝12cm，動點P從點C動身沿CB以2cm/s的速度移動，動點Q從點O動身沿OA以1cm/s的速度移動，假如點P、Q同時動身，用t（s）表示移動的時間，當(dāng)t＝4或12s時，△POQ是等腰三角形．【分析】依據(jù)等腰三角形的判定，分兩種狀況：（1）當(dāng)點P在線段OC上時；（2）當(dāng)點P在CO的延長線上時．分別列式計算即可求．【解答】解：分兩種狀況：（1）當(dāng)點P在線段OC上時，設(shè)t時后△POQ是等腰三角形，有OP＝OC﹣CP＝OQ，即12﹣2t＝t，解得，t＝4s；（2）當(dāng)點P在CO的延長線上時，此時經(jīng)過CO時的時間已用6s，當(dāng)△POQ是等腰三角形時，∵∠POQ＝60°，∴△POQ是等邊三角形，∴OP＝OQ，即2（t﹣6）＝t，解得，t＝12s故答案為4s或12s．9．如圖，是四張形態(tài)不同的紙片，用剪刀沿一條直線將它們分別剪開（只允許剪一次），不能夠得到兩個等腰三角形紙片的是（）A． B． C． D．【分析】假如一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，據(jù)此進(jìn)行推斷即可．【解答】解：A、如圖所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；B、如圖所示，△ABC不能夠分成兩個等腰三角形；C、如圖所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；D、如圖所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；故選：B．10．已知△ABC的三條邊長分別為3，4，6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）A．5條 B．6條 C．7條 D．8條【分析】依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別利用AB，AC為底以及為腰得出符合題意的圖形即可．【解答】解：如圖所示：當(dāng)BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7時都能得到符合題意的等腰三角形．故選：C．11．如圖，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，在射線BA上找一點D，使△ACD為等腰三角形，則∠ADC的度數(shù)為75°或120°或15°．【分析】分三種情形分別求解即可．【解答】解：∵△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，如圖，有三種情形：①當(dāng)AC＝AD時，∠ADC＝＝75°．②當(dāng)CD′＝AD′時，∠AD′C＝180°﹣30°﹣30°＝120°．③當(dāng)AC＝AD″時，∠AD″C＝＝15°，故答案為：75°或120°或15°．12．如圖，等邊△ABC的邊長為6，點P沿△ABC的邊從A→B→C運動，以AP為邊作等邊△APQ，且點Q在直線AB下方，當(dāng)點P、Q運動到使△BPQ是等腰三角形時，點Q運動路途的長為3或9．【分析】如圖，連接CP，BQ，由“SAS”可證△ACP≌△ABQ，可得BQ＝CP，可得點Q運動軌跡是A→H→B，分兩種狀況探討，即可求解．【解答】解：如圖，連接CP，BQ，∵△ABC，△APQ是等邊三角形，∴AP＝AQ＝PQ，AC＝AB，∠CAP＝∠BAQ＝60°，∴△ACP≌△ABQ（SAS）∴BQ＝CP，∴當(dāng)點P運動到點B時，點Q運動到點H，且BH＝BC＝6，∴當(dāng)點P在AB上運動時，點Q在AH上運動，∵△BPQ是等腰三角形，∴PQ＝PB，∴AP＝PB＝3＝AQ，∴點Q運動路途的長為3，當(dāng)點P在BC上運動時，點Q在BH上運動，∵△BPQ是等腰三角形，∴BQ＝PB，∴BP＝BQ＝3，∴點Q運動路途的長為3+6＝9，故答案為：3或9．13．如圖，在△ABC中，∠ACB＝2∠A，過點C的直線能將△ABC分成兩個等腰三角形，則∠A的度數(shù)為45°或36°或或．【分析】依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解答】解：∵過點C的直線能將△ABC分成兩個等腰三角形，①如圖1，∵∠ACB＝2∠A，∴AD＝DC＝BD，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝45°；②如圖2，AD＝DC＝BC，∴∠A＝∠ACD，∠BDC＝∠B，∴∠BDC＝2∠A，∴∠A＝36°，③AD＝DC，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD，∠A＝∠ACD，∴∠BCD＝∠BDC＝2∠A，∴∠BCD＝2∠A，∵∠ACB＝2∠A，故這種狀況不存在．④如圖3，AD＝AC，BD＝CD，∴∠ADC＝∠ACD，∠B＝∠BCD，設(shè)∠B＝∠BCD＝α，∴∠ADC＝∠ACD＝2α，∴∠ACB＝3α，∴∠A＝α，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴α+α+3α＝180°，∴α＝，∴∠A＝，⑤如圖4，AC＝CD＝DB，∴∠A＝∠CDA，∠B＝∠DCB，∵∠CDB＝180°﹣∠CDA＝180°﹣∠A，∴∠B＝∠DCB＝＝，∴∠ACB＝∠A＝180°﹣，∵∠ACB＝2∠A，∴180°﹣＝2∠A，∴綜上所述，∠A的度數(shù)為45°或36°或或．故答案為：45°或36°或或．14．已知等邊△ABC的邊長為3，點E在直線AB上，點D在直線CB上，且ED＝EC，若AE＝6，則CD的長為3或9．【分析】①E在線段AB的延長線上時，過E點作EF⊥CD于F，②當(dāng)E在線段AB的延長線時，過E點作EF⊥CD于F，依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出BE長和∠ABC＝60°，解直角三角形求出BF，求出CF，即可求出答案．【解答】解：點E在直線AB上，AE＝6，點E位置有兩種狀況：①E在線段AB的延長線上時，過E點作EF⊥CD于F，∵△ABC是等邊三角形，△ABC的邊長為3，AE＝6，∴BE＝6﹣3＝3，∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，∴∠BEF＝30°，∴BF＝BE＝，∴CF＝+3＝，∵ED＝EC，∴CF＝DF，∴CD＝×2＝9；②如圖2，當(dāng)E在線段AB的延長線時，過E點作EF⊥CD于F，∵△ABC是等邊三角形，△ABC的邊長為3，AE＝6，∴BE＝6+3＝9，∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，∴∠BEF＝30°，∴BF＝AE＝，∴CF＝﹣3＝，∵ED＝EC，∴CF＝DF，∴CD＝×2＝3；即C＝9或3，故答案為：3或9．15．△ABC的高AD、BE所在的直線交于點M，若BM＝AC，求∠ABC的度數(shù)．【分析】分兩種狀況考慮：當(dāng)∠ABC為銳角時，如圖1所示，由AD垂直于BC，BE垂直于AC，利用垂直的定義得到一對直角相等，再由一對對頂角相等，得到∠CAD＝∠MBD，依據(jù)一對直角相等，再由BM＝AC，利用AAS得出三角形BMD與三角形ACD全等，由全等三角形對應(yīng)邊相等得到AD＝BD，得到三角形ABD為等腰直角三角形，可得出∠ABC＝45°；當(dāng)∠ABC為鈍角時，如圖2所示，同理利用AAS得出三角形ADC與三角形DBM全等，由全等三角形對應(yīng)邊相等得到AD＝BD，得出三角形ABD為等腰直角三角形，求出∠ABD＝45°，利用鄰補(bǔ)角定義即可求出∠ABC＝135°．【解答】解：分兩種狀況考慮：當(dāng)∠ABC為銳角時，如圖1所示，∵AD⊥DB，BE⊥AC，∴∠MDB＝∠AEM＝90°，∵∠AME＝∠BMD，∴∠CAD＝∠MBD，在△BMD和△ACD中，，∴△BMD≌△ACD（AAS），∴AD＝BD，即△ABD為等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°；當(dāng)∠ABC為鈍角時，如圖2所示，∵BD⊥AM，BE⊥AC，∴∠BDM＝∠BEC＝90°，∵∠DBM＝∠EBC，∴∠M＝∠C，在△BMD和△ACD中，，∴△BMD≌△ACD（AAS），∴AD＝BD，即△ABD為等腰直角三角形，∴∠ABD＝45゜，則∠ABC＝135゜．16．已知點P為線段CB上方一點，CA⊥CB，PA⊥PB，且PA＝PB，PM⊥BC于M，若CA＝1，PM＝4．求CB的長．【分析】依據(jù)全等三角形的判定得出△PMB≌△PNA，進(jìn)而分類探討得出答案即可．【解答】解：此題分以下兩種狀況：①如圖1，過P作PN⊥CA于N，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵∠NPM＝90°，∴∠NPA＝∠BPM，在△PMB和△PNA中，，∴△PMB≌△PNA，∴PM＝PN＝4＝CM，BM＝AN＝3，∴BC＝7；②如圖2，過P作PN⊥CA于N，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵∠NPM＝90°，∴∠NPA＝∠BPM，在△PMB和△PNA中，，∴△PMB≌△PNA，∴PM＝PN＝4＝CM，BM＝AN＝5，可得BC＝9．綜合上述CB＝7或9．17．如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，點D在BC所在的直線上，點E在射線AC上，且AD＝AE，連接DE．（1）如圖①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度數(shù)；（2）如圖②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度數(shù)；（3）當(dāng)點D在直線BC上（不與點B、C重合）運動時，摸索究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC＝110°，依據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）依據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠E＝75°﹣18°＝57°，于是得到結(jié)論；（3）設(shè)∠ABC＝∠ACB＝y(tǒng)°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β，①如圖1，當(dāng)點D在點B的左側(cè)時，∠ADC＝x°﹣α，②如圖2，當(dāng)點D在線段BC上時，∠ADC＝x°+α，③如圖3，當(dāng)點D在點C右側(cè)時，∠ADC＝x°﹣α，依據(jù)題意列方程組即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝35°，∴∠BAC＝110°，∵∠BAD＝80°，∴∠DAE＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，∴∠E＝75°﹣18°＝57°，∴∠ADE＝∠AED＝57°，∴∠ADC＝39°，∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，∴∠BAD＝36°；（3）設(shè)∠ABC＝∠ACB＝y(tǒng)°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β①如圖1，當(dāng)點D在點B的左側(cè)時，∠ADC＝x°﹣α，∴，（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，∴2α＝β；②如圖2，當(dāng)點D在線段BC上時，∠ADC＝x°+α，∴，（2）﹣（1）得α＝β﹣α，∴2α＝β；③如圖3，當(dāng)點D在點C右側(cè)時，∠ADC＝x°﹣α，∴，（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，∴2α＝β．綜上所述，∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系是2∠CDE＝∠BAD．18.定義：假如兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線．（1）圖①是頂角為36°的等腰三角形，這個三角形的三分線已經(jīng)畫出，請你在圖②中用不同于圖①的方法畫出頂角為36°的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個等腰三角形頂角的度數(shù)．（若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為同一種）（2）圖③是頂角為45°的等腰三角形，請你在圖③中畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個等腰三角形頂角的度數(shù)．（3）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分線，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD＝BD，DE＝CE，設(shè)∠C＝x°，則x全部可能的值為．【分析】（1）在圖②中用不同于圖①的方法畫出頂角為36°的等腰三角形的三分線即可；（2）在圖③中畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線即可；（3）分兩種狀況：AD為等腰三角形的腰或底作圖即可得結(jié)論．【解答】解：（1）在圖②中用不同于圖①的方法畫出頂角為36°的等腰三角形的三分線；（2）在圖③中畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線．每個等腰三角形頂角的度數(shù)為：90°、135°、45°．故答案為：90°、135°、45°．（3）如下圖作△ABC，①如圖1：當(dāng)AD＝AE時，∵2x+x＝30+30，∴x＝20．②如圖2：當(dāng)AD＝DE時，∵2x+x+30+30＝180．∴x＝40．所以x的全部可能的值為20°或40°．故答案為20°或40°