高中數學《二項式定理》考點講解與訓練

《6.3二項式定理》考點講解

【思維導圖】

二項式定理(a+b)-=CU"+CUM-1b+.??+Cio*+0^(/1eN*)

nai=c?-慟，它表示第4+1項

I若二項展開式的通項為7，+1=?，＞#＞（，=0,1?2........./＞）,冢聽0

|則有以下常見結論：

通項公式、。）*（,）=00刀+1是常數項

I（2）*（，）是非負整數O7,+i是整式項

|（3）*（，）是負整數0人+1是分式項

\（4）*（，）是整數07-1是有理項

二項展開式中各項的系數為a,ci,...?a

（a+ft）"展開式的二項式系數和：C2+Cl+C?+...+Ca=2".

二二項式系數與系數的區(qū)別

項（1）二項式系數只與各項的項數有關，與a、b的值無關

式（2）系數指該項中除了變量外的常數部分，不僅與各項

的項數有關還與a、b中的數字有關

定

理CS=1C3=lU+i=CJT-i+CJT

當”是偶數時，項的二項式系數最大

二當“是奇數時，鼻與鼻T項的二項式系數相等且最大

項

式

系r

數

性質

【常見考點】

考法一二項式定理展開式

【例1】(1)求(34+一六)4的展開式為.

(2)已知C：—4c+42。；-43。；+…+(-1)"4"。；=729,則〃的值為

【一隅三反】

1.化簡多項式(2x+l)5-5(2x+l)"+10(2x+l)3-10(2x+l)2+5(2x+DT的結果是()

A.(2x+2”B.2x5

C.(2x-l)5D.32x5

2.化簡：32y+C'?-32n-2+C；-32,,-4+…+?3?=.

考法二二項式指定項的系數與二項式系數

【例2】(1)在(x-6)'。的展開式中，x°的系數是

(2)二項式(x+工)的展開式中常數項是(用數字作答)

/\30

(3)Vx1

+不的有理項共有項

/

【一隅三反】

1.二項式（2/—,）6的展開式中的常數項是（用數字作答）

X

2.在二項展開式中，常數項是_____.

Ix）

3.若x+聲）的展開式中力的系數為7,則實數。=.

4.已知（2丁+!）”的展開式的常數項是第7項，則"=.

X

考法三多項式系數或二項式系數

1V

【例3】（1）%2+4-2的展開式中常數項是（）

A.-252B.-220C.220D.252

/\5

(2).若(1+2)&x的展開式中常數項為一80,則”()

1%)

A.2B.1C.-2D.-1

【一隅三反】

1.11+塔一1］展開式中常數項為（）.

A.6B.10C.15D.16

4.在（1+X+擊尸的展開式中，X?項的系數為（）

A.30B.45C.60D.90

/1xl（）

5.若12_qx+的展開式中尤6的系數為30,則。等于（)

11

A?—B.—C.1D.2

32

考法四二項式定理的性質

【例2】（1）（多選）的展開式中二項式系數最大的項是（)

A.第5項B.第6項C.第7項D.第8項

（N

（2）（多選）二項式x2+-的展開式中，系數最大的項為（）?

IX）

A.第五項B.第六項C.第七項D.第八項

（1Y

（3）若x-上的展開式中只有第7項的二項式系數最大，則展開式中含/項的系數是

IX）

A.-462B.462C.792D.-792

【一隅三反】

1.在（x—l）”（〃eN+）的二項展開式中，若只有第5項的二項式系數最大，則

（2五-9）的二項展開式中的常數項為（）

A.960B.1120C.-560D.-960

2.（ax+》（2乂-1）5的展開式中各項系數的和為2,則該展開式中常數項為（）

A.-顫|B.-MC.10D.20

3.（多選）已知（a+b）”的展開式中第5項的二項式系數最大，則n的值可以為（）

A.7B.8C.9D.10

4.已知（3x+1,展開式中各項系數的和為m,且〃=10g2機，求2）展開式中二項

式系數最大的項的系數.

5.二項式2x—」-的展開式中，二項式系數最大的項是第4項，則其展開

\2xJ

式中的常數項是.

考法五二項式系數或系數和

【例5】若/(x)=(1+2x)7_4+4%+出廠+…+a7f.

求：(1)4+q+…+%；

(2)4+%+%+%；

⑶同+同+同+…+㈤.

【一隅三反】

1.在(2x+1)5的二項展開式中，二項式系數之和為；所有項的系數之和為.

10H,J

2.若(6—x)=ao+aix+a2xN---FaiOx,則(a()+a2+,??+aio).一(ai+a3+**-+a9)=

n

3.已知(1+2x)=4+41+4/+???+4]01|°+q[婢，則a}-2a2+10<710+]la”=

4.設(2工-1)"=g+4%+//+~+41展開式中只有第1010項的二項式系數最大.

(1)求n；

⑵求同+同+同+…+HI；

⑶求4+/+冬+…+卜

考法六二項式定理運用

【例6】(1)7產除以100的余數是

(2)(1.05)6的計算結果精確到0.01的近似值是

【一隅三反】

1.已知7428。+a能夠被15整除，則。=.

2.3'被5除所得的余數是.

3.0.996的計算結果精確到0.001的近似值是

答案解析

考法一二項式定理展開式

【例1】(1)求(34++)4的展開式為.

(2)已知C，—4&+42亡—4'c；+…+(—1)"4"C；=729,則〃的值為

119

【答案】(1)-+—+54+108x+81x2

XX

【解析】(1)方法一(3市+關|』(3市)''+或(34)36，+璐(35)(左)+琮

(3也)^^}+C(^')=81x'+108x+54+?+*.

方法二(35+力'=(苛l]'="(l+3x)'="?[1+C；?3x+d(3x)2+d(3x)3+d(3x)']

1112

=-(1+12X+54X2+108X3+81X)=-+—+54+108x+81x2.

XXX

(2)由C：-4C：+42C,"43C；+…+(—1)"4"C：=729得

C-1"?(T)"+C：?卅.(T)i+C；-I"-2-(-4)2+C;I.㈠7+…+C；；-l°?(T)"=729

則(1—4)"=729,即(-3)"=729=(-3)6,解得〃=6.

【一隅三反】

1.化簡多項式(2x+l)S-5(2x+D"+10(2x+l)3-10(2x+l)2+5(2x+l)-l的結果是()

A.(2x+2)5B.2x5

C.(2x-l)5D.32x5

【答案】D

【解析】依題意可知，多項式的每一項都可看作G(2x+l)j(―1)',故為[(2%+1)-1了

的展開式，化簡[(21+1)-=(2x)5=32x5.故選D.

2.化簡：32"-C°+C\-32"-2+-32n-4+...+C；；-'-32=—.

【答案】10"—1

【解析】

(32+1)"=x(32/。xl°+C'?x(32「xl'4-...+Cf'x(32)'x1"-'+C"x(32)°x1"

則32WC+C\-32n-2+C；了…+…+?32+1=(32+1)"=10n

所以32"+C1皿+c,；了…+…+c：i.32=10"—1故答案為：10"—1.

考法二二項式指定項的系數與二項式系數

【例2】（1）在（x-百）|°的展開式中，內的系數是

（2）二項式（x+工）的展開式中常數項是

（用數字作答）

<]、30

(3)\/~XH—廣的有理項共有..項

<VX7

【答案】⑴9C；）⑵70（3）6

【解析】（1）由耳?產C：oxl°-k（-V3）S令10-k=6,解得k=4,系數為（-G）'C[=9C；＞

（2）二項式（x+工）的展開式的通項公式（用二品/7!二最^^,令8_2廠=0,得

48x7x6x5

「=4,則常數項為LC；=IH=7。，故答案為：70

(3)的通項公式為:〃=G0(叼C=端"

r=0,1=C，/=6,7；=C/，

r=12,7；3=C$°"=18,7；9=C：M，

r=24,G=C2T。,=30,7；,=，

所以有理項共有6項，故選：C

【一隅三反】

1.二項式（2f—‘）6的展開式中的常數項是.（用數字作答）

x

【答案】60

【解析】有題意可得，二項式展開式的通項為:

&=q（2x2/=（-

令12-3廠=0可得r=4,此時n=22。：=60.

2.在（2/+，］二項展開式中，常數項是一

IX）

【答案】60

【解析】展開式的通項公式是IT=C-（2尤2）6=2（>-r-C^xl2-3r,當12-3「=0

時，r=4

7；M=22.C：=6（）.故答案為60

的展開式中尤4的系數為7,則實數

【解析】根據二項展開式的通項公式可得:

令8-4-r=4,可得r=3,。8%'=08a%a=7,解得：a=~1,故答案為：：1

322

4.己知（21+'）”的展開式的常數項是第7項，則〃=

X

【答案】8

【解析】根據題意，可知第7項為=￡>2"-6./-24,而常數項是第7

\xJ

項，則

3〃—24=0,故〃=8.故答案為：8.

考法三多項式系數或二項式系數

【例3】（1）^+4.-2^的展開式中常數項是（）

\XJ

A.-252B.-220C.220D.252

/\5

（2）.若（x+2）g-x的展開式中常數項為一80,則。=（）

A.2B.1C.-2D.-1

【答案】（1）A（2）C

【解析】（1）由@2H--2）5=（x-）10,

X~X

可得二項式a—L尸的展開式通項為&=Gt/F—,）「二（―,

XX

令10—2r=0,解得廠=5,所以展開式的常數項為（—1）5C；）=—252.故選：A.

/、5

（2）V\--x的展開式的通項公式為：4+1=C＞（—,顯然，2L5為

lx）

奇數，

/、5

???若求（x+2）--X展開式的常數項，.?.2〃—5=—1,解得r=2

1%）

故（x+2）@—%的展開式的常數項等于：C；1=-80.?.&=—2故選：C.

lx）

【一隅三反】

1.卜+二―1）展開式中常數項為（）.

A.11B.-11C.8D.-7

【答案】B

【解析】將x+4看成一個整體，展開得到：*=c8+3產（一1），

Xx~

（X+1嚴的展開式為：Tm+i=.x-2,"=瑪"取4一r_3m=0

X

當〃2=0時，r=4系數為：C：xC；x（-1）4=1當加=1時，廠=1系數為：

C：xC；x（-iy=-12

常數項為1-12=—11故答案選B

A.-30B.30C.-25D.25

【答案】C

【解析】的通項為&

、5

-3x|1--/4

+—,根據式子可知

<4X

7

當r=4或r=2時有常數項，令r=4ng=C；(—1)［十］；令

r=2n4=C；(T)2(+);故所求常數項為C；-3xC；=5—30=—25,故選C.

/(\、6

3.(1+x4)1+-的展開式的常數項為()

\XJ

A.6B.10C.15D.16

【答案】D

【解析】由題意得jl+工］的展開式的通項為？；+i=CW(r=0,l,2「、6),

IX)

(1、6

令「=4,則C：=15,所以(1+d)1+士的展開式的常數項為1+15=16.故選：1).

\x)

4.在(1+X+強尸的展開式中，X?項的系數為()

A.30B.45C.60D.90

【答案】B

【解析】在(1+X+擊尸的展開式中,/

通項公式為Tr+i=Cl04x+-^

對于，通項公式為TE=C：”-。2叫kWr,r、keN,rW10.

令r-2021k=2,可得r=2+2021k,故k=0,r=2,故x?項的系數為C；)?C；=45,故

選：B.

5.若卜2

的展開式中f的系數為30,則。等于()

1

A.-B.C.1D.2

32

【答案】D

10'°(110

【解析】將題中所給式子可化為C?11

x+一I=X2工+一-axH—

XX

(iY°

根據二項式定理展開式通項為籌+i，x+-的通項為

IX)

x-rr10-2r

〃+1=Qo'°(g)=c10x

令10—2r=4解得，=3

所以九6的項為/.c%/=120%6令10-2r=6解得廠=2

所以的項為一。.G*力=-45or6

綜上可知，1的系數為12()-45。=30解得。=2故選:1)

考法四二項式定理的性質

【例2】(1)(多選)(x—L)的展開式中二項式系數最大的項是()

A.第5項B.第6項

C.第7項D.第8項

(1A"

(2)(多選)二項式x2+-的展開式中，系數最大的項為().

IX)

A.第五項B.第六項C.第七項D.第八項

(1Y

(3)若x-士的展開式中只有第7項的二項式系數最大，則展開式中含/項的系

IX)

數是

A.-462B.462C.792D.-792

【答案】(1)BC(2)BC(3)1)

【解析】(1)因為n=ll為奇數，所以展開式中第L區(qū)項和第上1!+1項，即第6項和

22

第7項的二項式系數相等，且最大.故選：BC

（2）二項式（產+工）的展開式中，每項的系數與二項式系數相等，共有12項

所以系數最大的項為第六項和第七項故選：BC

（3）—的展開式中只有第7項的二項式系數最大，，〃為偶數，展開式共有13

項，則〃=12.

（X—工）的展開式的通項公式為令12—2r=2,得r=5.

展開式中含/項的系數是（—1）5（2；=—792,故選D.

【一隅三反】

1.在（x—l）”（〃wN+）的二項展開式中，若只有第5項的二項式系數最大，則

的二項展開式中的常數項為（）

A.960B.1120C.-560D.-960

【答案】B

【解析】在（x-1）"（nGN*）的二項展開式中，若只有第5項的二項式系數最大，則

n=8,

則（2?—-+）的二項展開式的通項公式為…?（-1）

令4-r=0,求得r=4,可得展開式中的常數項為C；吆'"-1）"=1120,故選B.

2.（ax+》（2%-1）5的展開式中各項系數的和為2,則該展開式中常數項為（）

A.-輯瞅B.C.10D.20

【答案】C

【解析】由己知，當％=1時，（Q+；）（2—1）S=2,即a=1,所以（％+1）（2%—1）5展開式

中常數項為3X《2%X（-1）4=10,故選C.

3.（多選）已知（Q+b）”的展開式中第5項的二項式系數最大，則n的值可以為（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】ABC

【解析】V已知(a+3”的展開式中第5項的二項式系數C：最大,則〃=7或n=8或n=

9故選：ABC.

4.已知(3x+1)，展開式中各項系數的和為m,且〃=10g2機，求(五—展開式中二項

式系數最大的項的系數.

【答案】59136

【解析】設(3x+l)6=4+4%+4/+…+4丁，令x=l,得根=(3+1)6=46=2設，

所以〃=log2加=12,則(4-2］展開式中有13項，且中間一項(第7項)的二項式系

數最大，

該項為7；=3(4)6=(—2)63丁=59136/.故所求的系數為59136.

5.二項式(〃eN*)的展開式中，二項式系數最大的項是第4項，則其展開

式中的常數項是.

【答案】-20

【解析】由題意知，展開式中有7項，〃=6.因為

"+1=（2力6-［一5）=（-1/C；26-2rx6-2r

令6—2r=0,得r=3,所以常數項為（一1）3。；=一20.

考法五二項式系數或系數和

［例5］若f(X)=(1+2x)7=%+。1工+。2工2+,??+%/.

求：(1)+%+…+%；

(2)。［+。3+。5+。7；

(3)周+聞+同+…+同.

【答案】(1)27；(2)14；(3)27.

【解析】(1)令X=1,可得AD=33=%+4+〃2+。3+。4+。5+〃6+。7=27,

/.%+q+。2+/+。4+。5+。6+%=27.①

(2)令X=-1可得/(—I)=(—1)3=1()_4+g_〃3+%_—〃7，

?，?4—q+—%+-%+—〃7=-].(2)

由①一②得2(。]+。3+。5+。7)=28,

I.q+%+%+%=14.

(3)由題意得二項式(l+2x)7展開式的通項為=C；(2x)「=2「3,，

.??每項的系數4〉0(，=01,2,…,7),

；?|q)|+141+1%I+,?,+1%|=%+4+%+/+/+%+4+%=27.

【一隅三反】

1.在(2x+1)5的二項展開式中，二項式系數之和為;所有項的系數之和為—.

【答案】32243

【解析】根據二項展開式的性質，展開式的二項式系數之和為2〃=25=32,

令x=l可得所有項的系數之和為(2x1+1)5=35=243,故答案為：32,243

2.若(J5—x)lo=ao+aix+a2X2++aiox!0,則(ao+a2+…+aio)2—(a1+a3+…+39)?=

【答案】1

【解析】令x=l,得/+4+…+。]0=(逐一1)，令工=-1,得

%-q+%-03+。。+4o=(V2+1)，

(a。+々2+,??+q())—(%+/+???+49)-

=(4+4+…+。[0)([)—q+。2—%---^4o)=(V^+1)-1)=1.故選：A.

3.已知(1+2x)=/+u^x+出爐+…+〃]0父°+q,則4—2%+???—1。4()+1?=

【答案】22

210

【解析】對等式(1+2x)”=/+ci^x+ci2x+…+4Z]QX+a”尤“兩邊求導，得

10910

22(1+2x)=aj+2a2x4---F10a10x+1l^jX,令x=—1,則

q—2a+??,—1O〃io+Ila”=22.

4.設(2'-1)"=%+0/+4召+~+%/展開式中只有第1010項的二項式系數最大.

(1)求n；

(2)求同+聞+同+…+同;

⑶求卷+/+強+…+條

【答案】(1)2018；(2)32018;(3)-1.

【解析】(1)由二項式系數的對稱性，一+1=1010,〃=2018

2

2018

(2)|tz0|+|a1|+|a2|+---+|a2018|=?0-a1+a2+---+?20|8=3

(3)令X=0,得%=(1-0)2-=1,

令x=g，得爭次+$+…+舞"—Di，故

a\,a2,a3,02018_1

T+F2^'2^""

考法六二項式定理運用

【例6】(1)7產除以100的余數是

(2)(1.05)6的計算結果精確到0.01的近似值是

【答案】(1)41(2)1.34

72727271

【解析】⑴71=(70+1)=C?270+C；270+-+C^70+C^

=m4024-72x70+l(/ne?/)=mAO2+5041

即7J2除以100的余數為41故答案為：41.

2

(2)(1.05)6=(1+0os/=1+ci.0.05+亡.0.05+---?1+0.3+0.0375=1.3375?1.34

故答案為：1.34

【一隅三反】

1.已知742020+a能夠被15整除，則a=

【答案】14

【解析】由題可知,

...74202。=(75-1產°

20920

=4。752叫—1)。+42G75刈9(-1)'+…+C^75'(-1)'+C藕>75。(-if

_,7^-2020z^>l^7^2019.x-?2019.i

=^2020I。一^2020/J+^2020+'

02

所以742°2°+a=C2()752°-虢751i+a,

而75能被15整除，要使742°2°+。能夠被15整除，只需1+。能被15整除即可,

所以l+a=15,解得：。=14.故答案為：14.

2.38被5除所得的余數是.

【答案】1

【解析】因為新=(5—2)8

=C：?51(+C；?5,x(-2)+《-56x(-2K+K+C；?5x(-2)7+C；-5°x(-2)8

=5(C；?5’+C；?56x(-2)+C；-55X(一2尸+K+C；(-2)7)+C：-5°x(-2)8,

所以轉化為求C：-5°x(-2)8=256被5除所得的余數，

因為256=51x5+1,所以38被5除所得的余數是1,故答案為：I

3.0.996的計算結果精確到0.001的近似值是

【答案】0.941

［解析］(0.99)6=(1-0.01)6=點X1-CX0.01+C；X(00］)2YX(0.01)3…

=1-0.06+0.0015—0.00002...。0.941故選B

《6.3二項式定理》考點訓練

【題組一二項式定理展開式】

1.計算2"-|。：+2"2。：+2"-36；+-+0：等于()

A.3"B.2x3"C.3"—1D.3"-2"

2.設〃eN",化簡I+C：］()+C3H)2+C3O3+…+&q()"=,

3.已知〃GN*,若C：+2C；+2?C；+…+2TC『+2"-'=40,則n=

22n2213

4.求值2"-'-C\n_x-2-+C*-2-+……+(―1嚴2C2，--2.2+(_產=

【題組二二項式指定項的系數與二項式系數】

3

1.展開式中含的項是（)

A.第8項B.第7項C.第6項D.第5項

2.二項式（1—工產°展開式中的第2020項是（）

A.1B.2020/39c.-2O2Ox2019D.%2020

3.二項式的展開式中，常數項為

在的展開式中，第6項為常數項.

（1）求〃；（2）求含/的項的系數；（3）求展開式中所有的有理項.

【題組三多項式指定項系數或二項式系數】

1.在（l+2-x）的展開式中，項的系數為（）

A.-50B.-3（）C.30D.50

2.（犬+3%+2『展開式中》的系數為（）

A.92B.576C.192D.384

3.（x—y）（x+2y+z）6的展開式中，fy3z2的系數為（）

A.—30B.120C.240D.420

4.代數式,+2）（*'的展開式的常數項是一（用數字作答）

丁-1卜4+2）6的展開式中的常數項為.（用數字作答）

5.

6.求（1+x）6（2y+1）5的展開式中x4y2的系數.

7.（f+3x+2）5的展開式中1的項的系數是

8.的展開式中/的系數是一10,求實數a的值

【題組四二項式定理的性質】

九，廠1

1.在——x的展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則展開式中爐的系數為

I2.

7

()

3535

A.-7B.C.—D.7

T8

2.若（x-L）的展開式中只有第7項的二項式系數最大，則展開式中含f項的系數是

（）

A.132B.-132C.-66D.66

3.（石-2］展開式中只有第六項的二項式系數最大，則展開式中的常數項是

IxJ

（）

A.180B.90C.-180D.-90

4.（多選）在（x-L］的展開式中，下列說法正確的有（）

（X

A.所有項的二項式系數和為64B.所有項的系數和為0

C.常數項為20D.二項式系數最大的項為第4項

5.（多選）已知（4+板）"（其中〃<15）的展開式中第9項，第10項，第11項的二

項式系數成等差數列.則下列結論正確的是（）

A.n的值為14B.展開式中常數項為第8項

C.展開式中有理項有3項D.二項式系數最大的項是第7項

6.關于（a—的說法，正確的是（）

A.展開式中的二項式系數之和為2048

B.展開式中只有第6項的二項式系數最大

C.展開式中第6項和第7項的二項式系數最大

D.展開式中第6項的系數最大

/2Y

7.（多選題）已知/+3_?展開式中，各項系數的和比它的二項式系數的和大992,

I）

則下列結論正確的為（）

A.展開式中偶數項的二項式系數之和為25

B.展開式中二項式系數最大的項只有第三項

C.展開式中系數最大的項只有第五項

D.展開式中有理項為第三項、第六項

【題組五二項式系數或系數和】

1,若（1+工）^（1-2x）4=￡1。+4尤+4％2+?,?+a7％'，則/+。2+“4+“6=（）

A.3B.4C.5D.6

2.已知（l+x）〃=%+。］++。2工2+…，4）+〃］+%+…+?！?16,則自然數〃等

于（）

A.6B.5C,4D.3

3.若。（/02。+4》2?！埃菀磺?4婢"］_力2+一+%磔（］_司2。2。=］,則

%+。1+,一+。2020=（）

A.1B.0C.22020D.22021

4.已知多項式（2x7）5_5（2X_1）4+10（2X_1）3_10（2X_1）2+5（2X_1）_］可以寫

成。0+。3/+。4丁+。5/，貝1］。（）+。2+。4=（）

A.0B.-1024C.-512D.-256

5.已知（工-1=］的展開式中第9項為常數項，則展開式中的各項系數之和為（）

2G

A./B?C?210D，-210

6.設復數X=2」,（i是虛數單位），則C：O|9X+MH9X2+CO|9X3+...+C；T；X239=

l-i

（）

A.iB.—iC.—1+zD.-1—i

7.已知（1+/U）〃展開式中第三項的二項式系數與第四項的二項式系數相等，

n2n

（1+Ax）=a0+axx+a2xH-----1-anx,若4+g+…?！?242,則

%-4+4-------卜（-1）”了的值為（）

A.1B.-1C.81D.-81

10

8.已知（x+l”°=ai+a2x+a3x2H---Faux.若數列a”a2,a3,,,,,ak（l^k^ll,k￡N*）

是一個單調遞增數列，則k的最大值是（）

A.5B.6C.7D.8

【題組六二項式定理的運用】

1.1一9OC：o+9（）2?！?。3小+…+90”（：；）除以88的余數是（）

A.2B.1C.86D.87

2.設acZ,且04。w13,若51232+Q能被13整除，則。=（）

A.0B.1C,11D.12

3.已知機＞0,且152°20+相恰能被14整除，則加的取值可以是（）

A.一1B.1C.7D.13

4.設a￡Z,且0WaV13,若5/2。+@能被13整除，則a=（）

A.0B.1C.11D.12

5.設n￡N*,則C；ln80+C\1n-a+C：ln-282+C；ln-383+……+通…+C；108n除以9

的余數為（）

A.0B.8C.7D.2

6.1.026的近似值（精確到0.01）為（）

A.1.12B.1.13C.1.14D.1.20

7.1.957的計算結果精確到個位的近似值為（）

A.106B.107C.108D.109

8.已知〃為正整數，若+則〃的值為（）

A.2B.3C.4D.5

答案解析

【題組一二項式定理展開式】

1.計算2"-'C：+2'-2C；+2"3C；+…+C,：等于()

A.3"B.2x3"C.3n-lD.3"-2"

【答案】D

【解析】原式可變?yōu)?2"C>2ZC；+2n-2c：+2n-3c：+-+C：)-2"C°=

(2+1)"-2"=3"-2"選項D.

2.設〃eN*,化簡l+C40+C0102+C；403+—+C；」0"=.

【答案】11"

【解析】容易知1+&?io+?io?+c；」。'+…+c：?io,,=(i+⑼"=11".故答案為:

11”.

3.已知〃eN*,若C：+2C；+22C；+…+2"-2C：I+2"T=40,則〃=.

【答案】4

【解析】&+2022價..+*靖+》16+2&+22。"..+2勺-1)

=；[(1+2)"—1]=；(3"—1)=40.?.幾=4故答案為：4

4.求值22"-'-C；?_,-22"-2+C^?_,-22-3+……+(-1)?"-c；：二;.2+(-1)2"-'=

【答案】1

【解析】通項展開式中的。=-l,a=2,故

221—C；,T.224+*T?22T+……+(T廣2嘲2+(_1廣=(2-1嚴-1=]

【題組二二項式指定項的系數與二項式系數】

展開式中含了總的項是

1.)

A.第8項B.第7項C.第6項D.第5項

【答案】C

y/x___3_丫

【解析】展開式的通項公式為:

34x

令二—r=-：nr=5；故展開式中含/I的項是第6項.故選：C.

22人

2.二項式（1-》產°展開式中的第2020項是（）

A.1B.2O2Ox2019C.-2O2O%2019D.x2020

【答案】C

【解析】由二項展開式（1一%產°,可得展開式的通項為0|=。嬴（一X）'，

所以展開式中第2020項為4）2。=嘲（-%）20'9=-2O2O%2019.故選：C.

3.二項式+的展開式中，常數項為_________.

Ixj

【答案】40夜

【解析】（岳的展開式的通項公式為

Tr+l=C?（小『二口J=*?（及廠產2"

\xJ

令6—2r=（）,可得r=3,所以展開式的常數項為（右）’=40底，故答案為:

40vL

4.已知I3&_在的展開式中，第6項為常數項.

(1)求〃；

(2)求含/的項的系數；

(3)求展開式中所有的有理項.

6345

【答案】(1)〃=10；(2)—；(3)—X2

44~8，256/

【解析】(1)

n-r

*=C”,因為第6項為常數項，所以r=5時，有

fi—2廠

——=0,解得〃=10.

71-2尸11

⑵令一亍一=2,得，?=](〃-6)=]X(10—6)=2,所以含產的項的系數為

10-2r

-----eZ

3i0_2

(3)根據通項公式與題意得,令二^=k〈kwZ),則10-2r=3%,即

reZ

3

r=5——k.rwZ，二七應為偶數.又OWrWlO,二七可取2,0,-2,即「可取2,

2

5,8.所以第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為

6345

"T>256*2

【題組三多項式指定項系數或二項式系數】

1.在11+2—x)的展開式中，工2項的系數為()

A.-50B.-3()C.30D.50

【答案】B

【解析】0+2-x)表示5個因式(1+|-x)的乘積，在這5個因式中，

有2個因式都選一x,其余的3個因式都選1,相乘可得含f的項；

或者有3個因式選一x,有1個因式選工，1個因式選1,相乘可得含爐的項，

X

故/項的系數為C；+(-C：?G?2)=—30,故選B.

2.(f+3x+2)6展開式中x的系數為()

A.92B.576C.192D.384

【答案】B

【解析】(尤2+3%+2?展開式中含》的項為C：(3x)-C；2'=6x3xx32=576x,即x的

系數為576；故選B.

3.(x—y)(x+2y+z)6的展開式中，Vy3z2的系數為()

A.-30B.120C.240D.420

【答案】B

【解析】］(x+2y)+z了展開式中含Z2項為C；(x+2?z2,(x+2y)4展開式中孫3項的

系數為C：x23,x2y項的系數為C；x22,/.(x-y)(x+2y+z)6展開式中x2y3z2的系數為

C汨X23-C；C；X22=480-360=12(),故選B.

4.代數式(J+2)(二-Ip的展開式的常數項是_______(用數字作答)

【答案】3

【解析】［5一1)的通項公式為加=6《尸(―1),=(—1)「C021。.

令2尸—10=—2,得r=4；令2尸—10=0,得r=5.

...常數項為（一1）4C；+2（-Ip以=5-2=3故答案為3.

（丁-。（?+?）6的展開式中