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3.2基本不等式TOC\o"1-4"\h\z\u3.2基本不等式 1知識框架 1一、基礎(chǔ)知識點(diǎn) 1知識點(diǎn)1算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)與基本不等式 2二、典型題型 2題型1由基本不等式比較大小 4題型2由基本不等式證明不等關(guān)系 5題型3由基本不等式求積的最大值 7三、難點(diǎn)題型 7題型1由基本不等式求和的最小值 9題型2基本不等式“1”的妙用求最值 10題型3條件等式求最值 12題型4基本不等式恒成立問題 13題型5對勾函數(shù)求最值 14題型6基本不等式的應(yīng)用 15四、活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練 26一.基礎(chǔ)知識點(diǎn)知識點(diǎn)1算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)與基本不等式例1給出條件①,②,③,,④,,其中能使成立的條件有(
)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個例2(多選題)十六世紀(jì)中葉,英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用,后來英國數(shù)學(xué)家哈里奧特首次使用“<”和“>”符號,并逐漸被數(shù)學(xué)界接受,不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若a,b,,則下列命題正確的是(
)A.若,則 B.若,則C.若,,則 D.若,則例3(1)證明:若,,則.(2)利用基本不等式證明:已知都是正數(shù),求證:二.典型題型題型1由基本不等式比較大小解題技巧:1.在理解基本不等式時,要從形式到內(nèi)含中理解,特別要關(guān)注條件.2.運(yùn)用基本不等式比較大小時應(yīng)注意成立的條件,即a+b≥2eq\r(ab)成立的條件是a≥0,b≥0,等號成立的條件是a=b;a2+b2≥2ab成立的條件是a,b∈R,等號成立的條件是a=b.例1已知a,b是實(shí)數(shù),則“”是“”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件例2(多選題)a、b是正實(shí)數(shù),以下不等式①;②a>|a-b|-b;③a2+b2>4ab-3b2;④恒成立的序號為(
)A.① B.② C.③ D.④例3已知a>b>c,你能比較出4與(a-c)的大小嗎?題型2由基本不等式證明不等關(guān)系解題技巧:1.條件不等式的證明,要將待證不等式與已知條件結(jié)合起來考慮,比如本題通過“1”的代換,將不等式的左邊化成齊次式,一方面為使用基本不等式創(chuàng)造條件,另一方面可實(shí)現(xiàn)約分與不等式的右邊建立聯(lián)系.2.先局部運(yùn)用基本不等式,再利用不等式的性質(zhì)(注意限制條件),通過相加(乘)合成為符合待證的不等式,既是運(yùn)用基本不等式時的一種重要技能,也是證明不等式時的一種常用方法.例1已知,,,下列不等式正確的個數(shù)有(
)①,②,③,④.A.1 B.2 C.3 D.4例2(多選題)設(shè),,則下列說法正確的是(
)A. B.C. D.例3已知a,b,c為正數(shù).(1)求的最小值;(2)求證:.題型3由基本不等式求積的最大值解題技巧:在運(yùn)用基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a+b,2)求最值時,要把握好三個要點(diǎn)“一正、二定、三相等”.一正:a,b是正數(shù).二定:①和a+b一定時,由eq\r(ab)≤eq\f(a+b,2)變形得ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2)))2,即積ab有最大值eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2)))2;②積ab一定時,由eq\r(ab)≤eq\f(a+b,2)變形得a+b≥2eq\r(ab),即和a+b有最小值2eq\r(ab).三相等:取等號的條件都是當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.例1已知a>0,b>0,且a+2b=ab,則ab的最小值是()A.4 B.8 C.16 D.32例2(多選題)設(shè)正實(shí)數(shù)m、n滿足,則下列說法正確的是(
)A.的最小值為3 B.的最大值為1C.的最小值為2 D.的最小值為2例3已知正數(shù)a,b滿足a+3b=2(1)求ab的最大值,寫出取得最大值時a,b的值;(2)求的最小值,且寫出取得最小值時a,b的值.三.難點(diǎn)題型題型1由基本不等式求和的最小值解題技巧:在運(yùn)用基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a+b,2)求最值時,要把握好三個要點(diǎn)“一正、二定、三相等”.一正:a,b是正數(shù).二定:①和a+b一定時,由eq\r(ab)≤eq\f(a+b,2)變形得ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2)))2,即積ab有最大值eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2)))2;②積ab一定時,由eq\r(ab)≤eq\f(a+b,2)變形得a+b≥2eq\r(ab),即和a+b有最小值2eq\r(ab).三相等:取等號的條件都是當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.例1十六世紀(jì)中葉,英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用,后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號,并逐漸被數(shù)學(xué)界接受,不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若不相等的兩個正實(shí)數(shù)a,b滿足,且恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(
)A. B. C. D.例2(多選題)下列推導(dǎo)過程,正確的是(
)A.因為,為正實(shí)數(shù),所以B.因為,所以C.因為,所以D.因為,,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立例3求函數(shù)的最值.題型2基本不等式“1”的妙用求最值解題技巧:利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件,解題時應(yīng)對照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?、添項、配湊、變形”等方法?chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件.具體可歸納為三句話:一不正,用其相反數(shù),改變不等號方向;二不定應(yīng)湊出定和或定積;三不等,一般用單調(diào)性.例1已知為正實(shí)數(shù),且,則的最小值是(
)A. B. C. D.例2(多選題)已知,都為正數(shù),且,則(
)A.的最大值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最小值為例3(1)設(shè),求的最大值;(2)已知,,若,求的最小值.題型3條件等式求最值解題技巧:利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件,解題時應(yīng)對照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?、添項、配湊、變形”等方法?chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件.具體可歸納為三句話:一不正,用其相反數(shù),改變不等號方向;二不定應(yīng)湊出定和或定積;三不等,一般用單調(diào)性.例1若實(shí)數(shù)滿足:,則的最小值為(
)A.1 B.2 C.3 D.4例2(多選題)已知實(shí)數(shù),,,則的值可能是(
)A.7 B.8 C.9 D.10例3已知正實(shí)數(shù),滿足,求的最小值.題型4基本不等式恒成立問題解題技巧:含參數(shù)不等式的求解策略(1)觀察題目特點(diǎn),利用基本不等式確定相關(guān)成立條件,從而得參數(shù)的值或取值范圍.(2)在處理含參數(shù)的不等式恒成立問題時,往往將已知不等式看作關(guān)于參數(shù)的不等式,體現(xiàn)了主元與次元的轉(zhuǎn)化.例1當(dāng)時,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(
)A. B. C. D.例2(多選題)已知,,且,若恒成立,則實(shí)數(shù)的可能值是(
)A. B. C. D.例3(1)比較與的大小.(2)當(dāng),,且滿足時,有恒成立,求的取值范圍.題型5對勾函數(shù)求最值解題技巧:1.基本不等式常見的變形技巧有:(1)配湊系數(shù);(2)變符號;(3)拆補(bǔ)項.常見形式有y=ax+eq\f(b,x)(積定)型和y=ax(b-ax)(和定)型.2.多元最值問題,可以通過消元,轉(zhuǎn)化為一元最值問題來處理,注意消元后的變量的范圍.3.兩次同時應(yīng)用或兩次應(yīng)用基本不等式求最值時,多個等號必須同時取到.例1設(shè),則下列說法正確的是(
)A.B.“”是“”的充分不必要條件C.“”是“”的充分不必要條件D.,使得例2(多選題)下列函數(shù)中,最小值為2的函數(shù)是(
)A. B.C. D.例32022年,小林經(jīng)過市場調(diào)查,決定投資生產(chǎn)某種電子零件,已知固定成本為6萬元,年流動成本(萬元)與年產(chǎn)品產(chǎn)量x(萬件)的關(guān)系為,每個電子零件售價為12元,若小林加工的零件能全部售完.(1)求年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式;(2)求當(dāng)年產(chǎn)量x為多少萬件時年利潤最大?最大值是多少?題型6基本不等式的應(yīng)用解題技巧:在應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題時,應(yīng)注意如下思路和方法(1)先理解題意,設(shè)出變量,一般把要求最值的量定為函數(shù);(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系,把實(shí)際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題;(3)在定義域內(nèi),求出函數(shù)的最大值或最小值;(4)正確寫出答案.例1一家金店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店里購買8克黃金,售貨員先將4克的砝碼放在天平左盤中,取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡;再將4克的砝碼放在天平右盤中,取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡;最后將兩次稱得的黃金交給顧客,則該顧客實(shí)際得到的黃金(
)A.等于8克 B.大于8克 C.小于8克 D.不能確定例2(多選題)下列命題中正確的是(
)A.若,則B.已知,若,則C.已知,若,則D.命題“,都有成立”的否定是“,使成立”例3某水庫堤壩因年久失修,發(fā)生了滲水現(xiàn)象,當(dāng)發(fā)現(xiàn)時已有的壩面滲水,經(jīng)測算知滲水現(xiàn)象正在以每天的速度擴(kuò)散,當(dāng)?shù)卣e極組織工人進(jìn)行搶修,已知每個工人平均每天可搶修滲水面積,每人每天所消耗的維修材料費(fèi)25元,勞務(wù)費(fèi)75元,另外給每人發(fā)放100元的服裝補(bǔ)貼,每滲水的損失為75元.現(xiàn)在共派去x名工人,搶修完成共用n天.(1)寫出n關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)要使總損失最小,應(yīng)派多少名工人去搶修(總損失=滲水損失+政府支出).四.活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練一、單選題1.“,”是“”的(
)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件3.已知,則的最大值為()A.2 B.4 C.5 D.64.已知,則的最小值為()A.6 B.4 C.3 D.25.已知x,y都是正數(shù),若,則的最小值為(
)A. B. C. D.16.已知,,,則的最小值為(
)A.2 B.4 C. D.二、多選題7.已知,且,則下列不等式中,恒成立的是(
)A. B.C. D.8.已知,,則下列不等式成立的是(
)A. B.C. D.9.已知,(m是常數(shù)),則下列結(jié)論正確的是(
)A.若的最小值為,則B.若的最大值為4,則C.若的最大值為m,則D.若,則的最小值為2三、填空題10.若“,不等式恒成立”為真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.12.已知實(shí)數(shù),,且滿足,則的最小值為__.四、解答題13.(1)已知,求的最小值;(2)已知是正實(shí)數(shù),且,求的最小值.14.若,,求的最大值.15.已知,求的最小值.16.某光伏企業(yè)投資萬元用于太陽能發(fā)電項目,年內(nèi)的總維修保養(yǎng)費(fèi)用為萬元,該項目每年可給公司帶來萬元的收入.假設(shè)到第年年底,該項目的純利潤為萬元.(純利潤累計收入總維修保養(yǎng)費(fèi)用投資成本)(1)寫出純利潤的表達(dá)式,并求該項目從第幾年起開始盈利.(2)若干年后,該公司為了投資新項目,決定轉(zhuǎn)讓該項目,現(xiàn)有以下兩種處理方案:①年平均利潤最大時,以萬元轉(zhuǎn)讓該項目;②純利潤最大時,以萬元轉(zhuǎn)讓該項目.你認(rèn)為以上哪種方案最有利于該公司的發(fā)展?請說明理由.3.2基本不等式TOC\o"1-4"\h\z\u3.2基本不等式 1知識框架 1一、基礎(chǔ)知識點(diǎn) 1知識點(diǎn)1算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)與基本不等式 2二、典型題型 2題型1由基本不等式比較大小 4題型2由基本不等式證明不等關(guān)系 5題型3由基本不等式求積的最大值 7三、難點(diǎn)題型 7題型1由基本不等式求和的最小值 9題型2基本不等式“1”的妙用求最值 10題型3條件等式求最值 12題型4基本不等式恒成立問題 13題型5對勾函數(shù)求最值 14題型6基本不等式的應(yīng)用 15四、活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練 26一.基礎(chǔ)知識點(diǎn)知識點(diǎn)1算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)與基本不等式例1給出條件①,②,③,,④,,其中能使成立的條件有(
)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式的性質(zhì)可直接判斷.【詳解】由基本不等式可知,要使成立,則,所以,同號,所以①③④均可以,故選:C.例2(多選題)十六世紀(jì)中葉,英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用,后來英國數(shù)學(xué)家哈里奧特首次使用“<”和“>”符號,并逐漸被數(shù)學(xué)界接受,不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若a,b,,則下列命題正確的是(
)A.若,則 B.若,則C.若,,則 D.若,則【答案】ABC【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì),或者做差法,即可判斷選項.【詳解】對于A,因為,所以,故A正確;對于B,,故B正確;對于C,若,,則,即,故C正確;對于D,當(dāng),時,滿足,但,故D不正確.故選:ABC.例3(1)證明:若,,則.(2)利用基本不等式證明:已知都是正數(shù),求證:【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.【分析】(1)利用不等式的性質(zhì)證明即可,(2)根據(jù)題意利用基本不等式可得,,,再利用不等式的性質(zhì)可證得結(jié)論【詳解】(1)證明:因為,,所以,,所以,即,所以,得證;(2)因為都是正數(shù),所以(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號);(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號);(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號);所以(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),即.二.典型題型題型1由基本不等式比較大小解題技巧:1.在理解基本不等式時,要從形式到內(nèi)含中理解,特別要關(guān)注條件.2.運(yùn)用基本不等式比較大小時應(yīng)注意成立的條件,即a+b≥2eq\r(ab)成立的條件是a≥0,b≥0,等號成立的條件是a=b;a2+b2≥2ab成立的條件是a,b∈R,等號成立的條件是a=b.例1已知a,b是實(shí)數(shù),則“”是“”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用基本不等式及兩個條件的推出關(guān)系可得正確的選項.【詳解】若,則,故,取,則成立,但,故推不出,故“”是“”的充分不必要條件,故選:A.例2(多選題)a、b是正實(shí)數(shù),以下不等式①;②a>|a-b|-b;③a2+b2>4ab-3b2;④恒成立的序號為(
)A.① B.② C.③ D.④【答案】BD【分析】對于①④:利用基本不等式進(jìn)行判斷,注意等號成立的條件;對于②:根據(jù)絕對值不等式,進(jìn)行處理判斷;對于③:利用作差法進(jìn)行整理判斷,注意等號成立的條件.【詳解】①,即當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,①不正確;②∵a、b是正實(shí)數(shù),則,∴,②正確;③,即,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,③不正確;④,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,即,④正確;故選:BD.例3已知a>b>c,你能比較出4與(a-c)的大小嗎?【答案】(a-c)≥4【分析】由a-c=(a-b)+(b-c)得(a-c)=[(a-b)+(b-c)],利用基本不等式求得最小值即可判斷.【詳解】(a-c)≥4,理由如下:因為a-c=(a-b)+(b-c),所以[(a-b)+(b-c)]=2++,又a>b>c,所以+≥2,故(a-c)≥4,當(dāng)且僅當(dāng)=時,取等號.題型2由基本不等式證明不等關(guān)系解題技巧:1.條件不等式的證明,要將待證不等式與已知條件結(jié)合起來考慮,比如本題通過“1”的代換,將不等式的左邊化成齊次式,一方面為使用基本不等式創(chuàng)造條件,另一方面可實(shí)現(xiàn)約分與不等式的右邊建立聯(lián)系.2.先局部運(yùn)用基本不等式,再利用不等式的性質(zhì)(注意限制條件),通過相加(乘)合成為符合待證的不等式,既是運(yùn)用基本不等式時的一種重要技能,也是證明不等式時的一種常用方法.例1已知,,,下列不等式正確的個數(shù)有(
)①,②,③,④.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【分析】由于,得,根據(jù)基本不等式對選項一一判斷即可.【詳解】因為,,,所以,得,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,②對;由,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,①對;由得,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,③對;由,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,④對故選:D例2(多選題)設(shè),,則下列說法正確的是(
)A. B.C. D.【答案】CD【分析】根據(jù)特值可判斷A,利用基本不等式可判斷BCD.【詳解】因為,,令,則,故A錯誤.因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,故B錯誤;所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,故C正確;因為,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,故D正確.故選:CD.例3已知a,b,c為正數(shù).(1)求的最小值;(2)求證:.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1),然后利用均值不等式可得答案;(2)由,,可證明.(1)因為,當(dāng)且僅當(dāng)“”時等號成立,所以當(dāng)時,的最小值為.(2)因為,同理,,所以三式相加得,所以,當(dāng)且僅當(dāng)“”時等號成立題型3由基本不等式求積的最大值解題技巧:在運(yùn)用基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a+b,2)求最值時,要把握好三個要點(diǎn)“一正、二定、三相等”.一正:a,b是正數(shù).二定:①和a+b一定時,由eq\r(ab)≤eq\f(a+b,2)變形得ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2)))2,即積ab有最大值eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2)))2;②積ab一定時,由eq\r(ab)≤eq\f(a+b,2)變形得a+b≥2eq\r(ab),即和a+b有最小值2eq\r(ab).三相等:取等號的條件都是當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.例1已知a>0,b>0,且a+2b=ab,則ab的最小值是()A.4 B.8 C.16 D.32【答案】B【分析】利用基本不等式可得答案.【詳解】∵已知a>0,b>0,且a+2b=ab,∴ab≥2,化簡可得2,∴ab≥8,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時等號成立,故ab的最小值是8,故選:B.例2(多選題)設(shè)正實(shí)數(shù)m、n滿足,則下列說法正確的是(
)A.的最小值為3 B.的最大值為1C.的最小值為2 D.的最小值為2【答案】ABD【分析】根據(jù)基本不等式判斷.【詳解】因為正實(shí)數(shù)m、n,所以,當(dāng)且僅當(dāng)且m+n=2,即m=n=1時取等號,此時取得最小值3,A正確;由,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時,mn取得最大值1,B正確;因為,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時取等號,故≤2即最大值為2,C錯誤;,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,此處取得最小值2,故D正確.故選:ABD例3已知正數(shù)a,b滿足a+3b=2(1)求ab的最大值,寫出取得最大值時a,b的值;(2)求的最小值,且寫出取得最小值時a,b的值.【答案】(1)的最大值為,此時(2)的最小值為,此時【分析】(1)利用基本不等式求得的最大值,并求得此時的值.(2)利用基本不等式求得的最小值,并求得此時的值.(1),當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立.(2),當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立.三.難點(diǎn)題型題型1由基本不等式求和的最小值解題技巧:在運(yùn)用基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a+b,2)求最值時,要把握好三個要點(diǎn)“一正、二定、三相等”.一正:a,b是正數(shù).二定:①和a+b一定時,由eq\r(ab)≤eq\f(a+b,2)變形得ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2)))2,即積ab有最大值eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2)))2;②積ab一定時,由eq\r(ab)≤eq\f(a+b,2)變形得a+b≥2eq\r(ab),即和a+b有最小值2eq\r(ab).三相等:取等號的條件都是當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.例1十六世紀(jì)中葉,英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用,后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號,并逐漸被數(shù)學(xué)界接受,不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若不相等的兩個正實(shí)數(shù)a,b滿足,且恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】運(yùn)用基本不等式,求出的最小值即可.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,,,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,;故選:B.例2(多選題)下列推導(dǎo)過程,正確的是(
)A.因為,為正實(shí)數(shù),所以B.因為,所以C.因為,所以D.因為,,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立【答案】AD【分析】根據(jù)基本不等式的“一正:各項都是正數(shù);二定:積或和是定值;三相等:等號能取到”逐個選項判斷即可.【詳解】對A,因為,為正實(shí)數(shù),所以,均大于零,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,故A正確;對B,,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,不符合,故B錯誤;對C,當(dāng)時,,故C錯誤;對D,由基本不等式推導(dǎo)過程知D正確;故選:AD例3求函數(shù)的最值.【答案】最大值為,沒有最小值【分析】由基本不等式求解即可【詳解】
,(當(dāng)取到等號),,故函數(shù)的最大值為,沒有最小值.題型2基本不等式“1”的妙用求最值解題技巧:利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件,解題時應(yīng)對照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?、添項、配湊、變形”等方法?chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件.具體可歸納為三句話:一不正,用其相反數(shù),改變不等號方向;二不定應(yīng)湊出定和或定積;三不等,一般用單調(diào)性.例1已知為正實(shí)數(shù),且,則的最小值是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】應(yīng)用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式的最小值,注意等號成立條件.【詳解】因為,所以,而為正實(shí)數(shù),所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,故的最小值為8.故選:C例2(多選題)已知,都為正數(shù),且,則(
)A.的最大值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最小值為【答案】ABD【分析】利用基本不等式結(jié)合已知條件逐個分析判斷.【詳解】對于A,因為,都為正數(shù),且,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即,時取等號,所以的最大值為,所以A正確,對于B,因為,所以,由選項A可知,所以,當(dāng)且僅當(dāng),時取等號,所以的最小值為,所以B正確,對于C,因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即,時取等號,但,都為正數(shù),故等號取不到,所以C錯誤,對于D,因為,都為正數(shù),且,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即即,時取等號,所以的最小值為,所以D正確,故選:ABD例3(1)設(shè),求的最大值;(2)已知,,若,求的最小值.【答案】(1);(2).【分析】(1)將轉(zhuǎn)化為,用基本不等式求最大值即可;(2)將變形為,整理后用基本不等式求最值.【詳解】(1)因為,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,所以的最大值為;(2)因為,,所以,.又,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,所以的最小值為題型3條件等式求最值解題技巧:利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件,解題時應(yīng)對照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦棥⑻眄?、配湊、變形”等方法?chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件.具體可歸納為三句話:一不正,用其相反數(shù),改變不等號方向;二不定應(yīng)湊出定和或定積;三不等,一般用單調(diào)性.例1若實(shí)數(shù)滿足:,則的最小值為(
)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【分析】根據(jù)基本不等式可求的最小值.【詳解】因為,所以,由基本不等式可得,故,解得或(舍),即當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,故的最小值為1,故選:A.例2(多選題)已知實(shí)數(shù),,,則的值可能是(
)A.7 B.8 C.9 D.10【答案】BCD【分析】根據(jù)題中條件配湊,再運(yùn)用“1”的代換與基本不等式求出原式范圍即可得到答案.【詳解】因為,,,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,所以,可能為8,9,10.故選:BCD例3已知正實(shí)數(shù),滿足,求的最小值.【答案】0.【分析】根據(jù)題意,化簡得到,結(jié)合基本不等式,即可求解.【詳解】由題意,正實(shí)數(shù),滿足,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時,即時,等號成立,所以的最小值.題型4基本不等式恒成立問題解題技巧:含參數(shù)不等式的求解策略(1)觀察題目特點(diǎn),利用基本不等式確定相關(guān)成立條件,從而得參數(shù)的值或取值范圍.(2)在處理含參數(shù)的不等式恒成立問題時,往往將已知不等式看作關(guān)于參數(shù)的不等式,體現(xiàn)了主元與次元的轉(zhuǎn)化.例1當(dāng)時,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】由題意當(dāng)時,不等式恒成立,由于的最小值等于3,可得,從而求得答案.【詳解】當(dāng)時,不等式恒成立,對均成立.由于,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,故的最小值等于3,,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選:D.例2(多選題)已知,,且,若恒成立,則實(shí)數(shù)的可能值是(
)A. B. C. D.【答案】BCD【分析】將與相乘,展開后利用基本不等式可求得的最小值,可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式,解之即可.【詳解】因為,,且,則,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,所以,,解得.故選:BCD.例3(1)比較與的大小.(2)當(dāng),,且滿足時,有恒成立,求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析;(2).【分析】(1)利用作差法求解即可,(2)先利用基本不等式求出的最小值為8,然后解不等式即可【詳解】(1)作差得:(i)當(dāng)時,,故;(ii)當(dāng)時,,故;(iii)當(dāng)時,,故.2故,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立依題意必有,即,得,所以k的取值范圍為題型5對勾函數(shù)求最值解題技巧:1.基本不等式常見的變形技巧有:(1)配湊系數(shù);(2)變符號;(3)拆補(bǔ)項.常見形式有y=ax+eq\f(b,x)(積定)型和y=ax(b-ax)(和定)型.2.多元最值問題,可以通過消元,轉(zhuǎn)化為一元最值問題來處理,注意消元后的變量的范圍.3.兩次同時應(yīng)用或兩次應(yīng)用基本不等式求最值時,多個等號必須同時取到.例1設(shè),則下列說法正確的是(
)A.B.“”是“”的充分不必要條件C.“”是“”的充分不必要條件D.,使得【答案】C【分析】舉反例否定選項A;求得“”與“”的邏輯關(guān)系判斷選項B;求得“”與“”的邏輯關(guān)系判斷選項C;當(dāng)時,求得的取值范圍判斷選項D.【詳解】選項A:當(dāng)時,顯然有.判斷錯誤;選項B:由可得或,即由不能得到;由可以得到.則“”是“”的必要不充分條件.判斷錯誤;選項C:時,(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立),而只需即可,則“”是“”的充分不必要條件.判斷正確;選項D:當(dāng)時,有,故,使.判斷錯誤.故選:C.例2(多選題)下列函數(shù)中,最小值為2的函數(shù)是(
)A. B.C. D.【答案】BCD【分析】A中x無法確定正負(fù),不能求出最值;B是二次函數(shù),配方求解最值;C看成關(guān)于的二次函數(shù),配方求最值;D變換構(gòu)造,用基本不等式求最小值﹒【詳解】A中的正負(fù)無法確定,其函數(shù)值可以為負(fù)數(shù);B中,最小值為2;C中,當(dāng)時,其最小值為2;D中,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號﹒故選:BCD﹒例32021年,小林經(jīng)過市場調(diào)查,決定投資生產(chǎn)某種電子零件,已知固定成本為6萬元,年流動成本(萬元)與年產(chǎn)品產(chǎn)量x(萬件)的關(guān)系為,每個電子零件售價為12元,若小林加工的零件能全部售完.(1)求年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式;(2)求當(dāng)年產(chǎn)量x為多少萬件時年利潤最大?最大值是多少?【答案】(1);(2)萬件時最大利潤為18萬元.【分析】(1)由題意,結(jié)合已知函數(shù)寫出解析式;(2)根據(jù)二次函數(shù)、對勾函數(shù)分別求出、上對應(yīng)的利潤最大值,比較它們的大小,即可確定最大年利潤及對應(yīng)的年產(chǎn)量.(1)由題設(shè),,所以.(2)當(dāng)時,故時最大利潤為12萬元;當(dāng)時,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,此時最大利潤為18萬元;綜上,當(dāng)萬件時最大利潤為18萬元.題型6基本不等式的應(yīng)用解題技巧:在應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題時,應(yīng)注意如下思路和方法(1)先理解題意,設(shè)出變量,一般把要求最值的量定為函數(shù);(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系,把實(shí)際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題;(3)在定義域內(nèi),求出函數(shù)的最大值或最小值;(4)正確寫出答案.例1一家金店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店里購買8克黃金,售貨員先將4克的砝碼放在天平左盤中,取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡;再將4克的砝碼放在天平右盤中,取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡;最后將兩次稱得的黃金交給顧客,則該顧客實(shí)際得到的黃金(
)A.等于8克 B.大于8克 C.小于8克 D.不能確定【答案】C【分析】設(shè)天平的左右臂長分別為,第一次加黃金克,第二次加黃金克,則根據(jù)物理知識可得,,根據(jù)基本不等式可得克.【詳解】設(shè)天平的左右臂長分別為,第一次加黃金克,第二次加黃金克,則根據(jù)物理知識可得,且,即,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,因為,所以等號不成立,所以克.故選:C例2(多選題)下列命題中正確的是(
)A.若,則B.已知,若,則C.已知,若,則D.命題“,都有成立”的否定是“,使成立”【答案】BC【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)、基本不等式,以及全稱命題與存在性命題的關(guān)系,逐項判定,即可求解.【詳解】對于A中,當(dāng)時,若,則,所以A錯誤;對于B中,由基本不等式,得,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,因為,可得,故B正確;對于C中,由,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,又由,故C正確;對于D中,命題“,者有成立”的否定是“,使成立”,故D錯誤.故選:BC.例3某水庫堤壩因年久失修,發(fā)生了滲水現(xiàn)象,當(dāng)發(fā)現(xiàn)時已有的壩面滲水,經(jīng)測算知滲水現(xiàn)象正在以每天的速度擴(kuò)散,當(dāng)?shù)卣e極組織工人進(jìn)行搶修,已知每個工人平均每天可搶修滲水面積,每人每天所消耗的維修材料費(fèi)25元,勞務(wù)費(fèi)75元,另外給每人發(fā)放100元的服裝補(bǔ)貼,每滲水的損失為75元.現(xiàn)在共派去x名工人,搶修完成共用n天.(1)寫出n關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)要使總損失最小,應(yīng)派多少名工人去搶修(總損失=滲水損失+政府支出).【答案】(1)(且)(2)21名【分析】(1)根據(jù)搶修的面積等于滲水的面積列出方程,求出(且);(2)求出總損失關(guān)于x的關(guān)系式,再利用基本不等式求出最小值,得到答案.(1)由題意知:搶修n天時,維修工人搶修的面積之和為,而滲水的面積為所以有,可得(且).(2)設(shè)總損失為y,則,當(dāng)且僅當(dāng)時,即時,等號成立.所以應(yīng)派21名工人去搶修,總損失最小.四.活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練一、單選題1.“,”是“”的(
)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】D【分析】由a=b時即可證明充分性不成立,由a、b異號可證明必要性不成立,從而得到結(jié)論.【詳解】當(dāng),時,,即,當(dāng)時,不成立,故充分性不成立;當(dāng)時,,可以異號,故,不一定成立,故必要性不成立.綜上,知“,”是“”的既不充分又不必要條件.故選:D.2.函數(shù)的最大值是(
)A.6 B.8 C.10 D.18【答案】A【分析】根據(jù)題意,直接利用基本不等式,即可得到答案【詳解】解:因為,所以所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時,等號成立,所以的最大值是6,故選:A3.已知,則的最大值為()A.2 B.4 C.5 D.6【答案】A【分析】由基本不等式求解即可【詳解】因為,所以可得,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時,上式取得等號,的最大值為2.故選:A.4.已知,則的最小值為()A.6 B.4 C.3 D.2【答案】A【分析】利用基本不等式可得答案.【詳解】∵,∴,∴≥=6,當(dāng)且僅當(dāng)即時,取最小值6,故選:A.5.已知x,y都是正數(shù),若,則的最小值為(
)A. B. C. D.1【答案】B【分析】利用基本不等式求解.【詳解】因為,所以.因為x,y都是正數(shù),由基本不等式有:,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時取“=”.故A,C,D錯誤.故選:B.6.已知,,,則的最小值為(
)A.2 B.4 C. D.【答案】B【分析】對原式化簡,然后根據(jù)基本不等式求解.【詳解】因為,,.所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.故選:B.二、多選題7.已知,且,則下列不等式中,恒成立的是(
)A. B.C. D.【答案】BCD【分析】利用特殊值判斷A,利用基本不等式判斷B、C、D.【詳解】解:對于A:當(dāng)時,滿足,但是,故A錯誤;對于B:因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,故B正確;對于C:因為,所以,,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,故C正確;對于C:因為,所以,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,故D正確;故選:BCD8.已知,,則下列不等式成立的是(
)A. B.C. D.【答案】AB【分析】AB選項,利用基本不等式進(jìn)行求解;C
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