高一數(shù)學(xué)教材同步知識(shí)點(diǎn)專題詳解(蘇教版必修第一冊(cè))3.1不等式的基本性質(zhì)(原卷版+解析)

3.1不等式的基本性質(zhì)TOC\o"1-4"\h\z\u3.1不等式的基本性質(zhì) 1知識(shí)框架 1一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn) 1知識(shí)點(diǎn)1不等式 3知識(shí)點(diǎn)2不等式的性質(zhì) 4二、典型題型 5題型1由已知條件判斷所給不等式是否正確 6題型2由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）的大小關(guān)系 8題型3作差法比較代數(shù)式的大小 9三、難點(diǎn)題型 9題型1作商法比較代數(shù)式的大小 10題型2由不等式的性質(zhì)證明不等式 12題型3利用不等式求值或范圍 13四、活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練 22一．基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1不等式：(1)不等式的定義用數(shù)學(xué)符號(hào)“>”“<”“≥”“≤”“≠”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，含有這些不等號(hào)的式子叫作不等式．(2)關(guān)于a≥b和a≤b的含義①不等式a≥b應(yīng)讀作：“a大于或等于b”，其含義是a>b或a＝b，等價(jià)于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一個(gè)正確，則a≥b正確．②不等式a≤b應(yīng)讀作：“a小于或等于b”，其含義是a<b或a＝b，等價(jià)于“a不大于b”，即若a<b或a＝b中有一個(gè)正確，則a≤b正確．(3)不等式中常用符號(hào)語(yǔ)言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于><≥≤≤≥≥≤(4)兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小比較①如果a－b是正數(shù)，那么a>b；即a－b>0?a>b；②如果a－b等于0，那么a＝b；即a－b＝0?a＝b；③如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b；即a－b<0?a<b.例1如圖，在一塊長(zhǎng)為22m，寬為17m的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路分別與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，使草坪的面積不小于300m2.設(shè)道路寬為xm，根據(jù)題意可列出的不等式為（

）A． B．C． D．例2請(qǐng)根據(jù)“糖水加糖變得更甜了”提煉出一個(gè)不等式：______（設(shè)糖水為a克，含糖為b克，加入的糖為m克）．例3某蛋糕師制作A，B兩種蛋糕，原材料中面粉、黃油、牛奶的需求量如下：制作一個(gè)A種蛋糕需要面粉150g，黃油100g，牛奶50mL；制作一個(gè)B種蛋糕需要面粉200g，黃油140g，牛奶70mL．現(xiàn)有面粉1000g，黃油600g，牛奶350mL．若分別制作x個(gè)A種蛋糕，y個(gè)B種蛋糕．試列出x，y滿足的不等式組．知識(shí)點(diǎn)2不等式性質(zhì)：性質(zhì)1:若a>b，則b<a；(自反性)，a>b?b<a.性質(zhì)2：若a>b，b>c，則a>c；(傳遞性)性質(zhì)3：若a>b，則a＋c>b＋c；(加法保號(hào)性)性質(zhì)4：若a>b，c>0，則ac>bc；(乘正保號(hào)性)若a>b，c<0，則ac<bc；(乘負(fù)改號(hào)性)性質(zhì)5：若a>b，c>d，則a＋c>b＋d；(同向可加性)性質(zhì)6：若a>b>0，c>d>0，則ac>bd；(全正可乘性)性質(zhì)7：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N*)．(拓展)例1下列四個(gè)選項(xiàng)中，能推出的是（

）A． B． C． D．例2（多選題）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，則例3已知，，求，的取值范圍．二．典型題型題型1由已知條件判斷所給不等式是否正確解題技巧：利用不等式判斷正誤的2種方法①直接法：對(duì)于說(shuō)法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)證明；對(duì)于說(shuō)法錯(cuò)誤的只需舉出一個(gè)反例即可．②特殊值法：注意取值一定要遵循三個(gè)原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算；三是所取的值要有代表性．例1如果，那么下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．例2（多選題）如果，，那么下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．例3下列結(jié)論是否成立？若成立，試說(shuō)明理由；若不成立，試舉出反例．(1)如果，那么；(2)若，，則；(3)若，則；(4)若，，則．題型2由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）的大小關(guān)系解題技巧：用作差法或作商法例1已知，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．例2（多選題）下列四個(gè)命題中，正確的是（

）A．若，，則 B．若，且，則C．若，，則 D．若，則例3對(duì)于命題P：存在一個(gè)常數(shù)t，使得不等式對(duì)任意正數(shù)a，b恒成立.(1)試給出這個(gè)常數(shù)t的值（不需要證明）；(2)在（1）所得結(jié)論的條件下證明命題P.題型3作差法比較代數(shù)式的大小解題技巧：作差法比較兩個(gè)數(shù)大小的步驟及變形方法(1)作差法比較的步驟：作差→變形→定號(hào)→結(jié)論．(2)變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化(針對(duì)無(wú)理式中的二次根式)；⑤分類討論．例1設(shè)a＞b＞1，y1，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（

）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1例2（多選題）若，，，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．例3已知，試比較與的值的大?。y點(diǎn)題型題型1作商法比較代數(shù)式的大小解題技巧：作商法比較大小的三個(gè)步驟(1)作商變形；(2)與1比較大?。?3)得出結(jié)論．提醒：作商法比較大小僅適用同號(hào)的兩個(gè)數(shù)．例1已知c＞1，且x＝－，y＝－，則x，y之間的大小關(guān)系是（

）A．x＞y B．x＝y(tǒng)C．x＜y D．x，y的關(guān)系隨c而定例2（多選題）對(duì)于實(shí)數(shù)，，，正確的命題是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則， D．若，，則例3甲、乙兩車從A地沿同一路線到達(dá)B地，甲車一半時(shí)間的速度為a，另一半時(shí)間的速度為b；乙車一半路程的速度為a，另一半路程的速度為b．若，試判斷哪輛車先到達(dá)B地．題型2由不等式的性質(zhì)證明不等式解題技巧：(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問(wèn)題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．例1設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例2（多選題）下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若且，則C．若，則 D．若，則例3（1）比較與的大??；（2）已知，求證：．題型3利用不等式求值或范圍解題技巧：1．同向不等式具有可加性，同正具有可乘性，但是不能相減或相除，應(yīng)用時(shí)，要充分利用所給條件進(jìn)行適當(dāng)變形來(lái)求范圍，注意變形的等價(jià)性．2．已知兩個(gè)二元一次代數(shù)式的范圍，求第三個(gè)二元一次式的范圍，可以用雙換元的方法，也可以通過(guò)待定系數(shù)法，先用已知的兩個(gè)二元一次代數(shù)式表示未知的二元一次式．例1已知實(shí)數(shù)，滿足，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例2（多選題）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則可能取的值為（

）A． B． C． D．例3（1）已知，，求和的取值范圍；（2）已知，，求的取值范圍.四．活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練一、單選題1．已知，，則的范圍是（

）A． B． C． D．2．若，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．，若，則C．若，則 D．，，若，則3．對(duì)任意實(shí)數(shù)，命題：①若，則；②若，則；③若，則.④若，則，其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．34．已知，則且是且成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件5．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．6．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則（

）A． B．C． D．，大小不確定二、多選題7．已知的角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，則（

）A． B．C． D．8．若，則（

）A． B． C． D．9．下列命題正確的是（

）A． B．，，使得ax＞2C．a(chǎn)b=0是的充要條件 D．a(chǎn)≥b＞－1，則三、填空題10．已知真分?jǐn)?shù)（b>a>0）滿足>>>，….根據(jù)上述性質(zhì)，寫出一個(gè)全稱量詞命題或存在量詞命題（真命題）________11．給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③對(duì)于正數(shù)，若，則.其中真命題的序號(hào)是__________.12．已知表示，，…，這個(gè)數(shù)中最大的數(shù).能夠說(shuō)明“，，c，，”是假命題的一組整數(shù)，，，的值依次為___________.四、解答題13．已知集合，，其中，且．若，且對(duì)集合A中的任意兩個(gè)元素，都有，則稱集合A具有性質(zhì)P．(1)判斷集合是否具有性質(zhì)P；并另外寫出一個(gè)具有性質(zhì)P且含5個(gè)元素的集合A；(2)若集合具有性質(zhì)P．①求證：的最大值不小于；②求n的最大值．14．已知：實(shí)數(shù)，求證：不等式成立的充分條件是.15．比較下列各題中兩個(gè)代數(shù)式值的大?。?1)與；(2)與．16．若實(shí)數(shù)，，滿足，則稱比遠(yuǎn)離.(1)若比遠(yuǎn)離，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，，試問(wèn)：與哪一個(gè)更遠(yuǎn)離，并說(shuō)明理由.3.1不等式的基本性質(zhì)TOC\o"1-4"\h\z\u3.1不等式的基本性質(zhì) 1知識(shí)框架 1一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn) 1知識(shí)點(diǎn)1不等式 3知識(shí)點(diǎn)2不等式的性質(zhì) 4二、典型題型 5題型1由已知條件判斷所給不等式是否正確 6題型2由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）的大小關(guān)系 8題型3作差法比較代數(shù)式的大小 9三、難點(diǎn)題型 9題型1作商法比較代數(shù)式的大小 10題型2由不等式的性質(zhì)證明不等式 12題型3利用不等式求值或范圍 13四、活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練 22一．基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1不等式：(1)不等式的定義用數(shù)學(xué)符號(hào)“>”“<”“≥”“≤”“≠”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，含有這些不等號(hào)的式子叫作不等式．(2)關(guān)于a≥b和a≤b的含義①不等式a≥b應(yīng)讀作：“a大于或等于b”，其含義是a>b或a＝b，等價(jià)于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一個(gè)正確，則a≥b正確．②不等式a≤b應(yīng)讀作：“a小于或等于b”，其含義是a<b或a＝b，等價(jià)于“a不大于b”，即若a<b或a＝b中有一個(gè)正確，則a≤b正確．(3)不等式中常用符號(hào)語(yǔ)言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于><≥≤≤≥≥≤(4)兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小比較①如果a－b是正數(shù)，那么a>b；即a－b>0?a>b；②如果a－b等于0，那么a＝b；即a－b＝0?a＝b；③如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b；即a－b<0?a<b.例1如圖，在一塊長(zhǎng)為22m，寬為17m的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路分別與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，使草坪的面積不小于300m2.設(shè)道路寬為xm，根據(jù)題意可列出的不等式為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的草坪是一個(gè)長(zhǎng)方形，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式列不等式即可．【詳解】把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的草坪是一個(gè)長(zhǎng)方形，設(shè)道路的寬應(yīng)為x米，草坪面積為（22﹣x）（17﹣x），因?yàn)椴萜旱拿娣e不小于300m2，所以(22－x)(17－x)300，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出不等關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想與建模能力，屬于基礎(chǔ)題.例2請(qǐng)根據(jù)“糖水加糖變得更甜了”提煉出一個(gè)不等式：______（設(shè)糖水為a克，含糖為b克，加入的糖為m克）．【答案】【分析】克糖水中有克糖，若再添克糖，濃度發(fā)生了變化，只要分別計(jì)算出添糖前后的濃度進(jìn)行比較即得．【詳解】克糖水中有克糖，糖水的濃度為：；克糖水中有克糖，若再添克糖，則糖水的濃度為，又糖水變甜了，說(shuō)明濃度變大了，，，，，.故答案為：，例3某蛋糕師制作A，B兩種蛋糕，原材料中面粉、黃油、牛奶的需求量如下：制作一個(gè)A種蛋糕需要面粉150g，黃油100g，牛奶50mL；制作一個(gè)B種蛋糕需要面粉200g，黃油140g，牛奶70mL．現(xiàn)有面粉1000g，黃油600g，牛奶350mL．若分別制作x個(gè)A種蛋糕，y個(gè)B種蛋糕．試列出x，y滿足的不等式組．【答案】【分析】分別根據(jù)面粉、黃油、牛奶的用量不超過(guò)現(xiàn)有的存量列出不等式，即可得解【詳解】①制作A，B兩種蛋糕需要的面粉不超過(guò)1000g，用不等式表示為；②制作A，B兩種蛋糕需要的黃油不超過(guò)600g，用不等式表示為；③制作A，B兩種蛋糕需要的牛奶不超過(guò)350mL，用不等式表示為；④A，B兩種蛋糕的制作量都應(yīng)不少于0，且為整數(shù)個(gè)，故，．所以x，y滿足的不等式組為．知識(shí)點(diǎn)2不等式性質(zhì)：性質(zhì)1:若a>b，則b<a；(自反性)，a>b?b<a.性質(zhì)2：若a>b，b>c，則a>c；(傳遞性)性質(zhì)3：若a>b，則a＋c>b＋c；(加法保號(hào)性)性質(zhì)4：若a>b，c>0，則ac>bc；(乘正保號(hào)性)若a>b，c<0，則ac<bc；(乘負(fù)改號(hào)性)性質(zhì)5：若a>b，c>d，則a＋c>b＋d；(同向可加性)性質(zhì)6：若a>b>0，c>d>0，則ac>bd；(全正可乘性)性質(zhì)7：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N*)．(拓展)例1下列四個(gè)選項(xiàng)中，能推出的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：對(duì)A：因?yàn)?，所以；?duì)B：因?yàn)?，所以；?duì)C：因?yàn)?，所以；?duì)D：因?yàn)?，所以．故選：A.例2（多選題）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，則【答案】BC【分析】利用特殊值判斷A、D，利用基本不等式判斷B，利用作差法判斷C.【詳解】解：令，，，，則，，不滿足，故A錯(cuò)誤；，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故B正確；，∵，，∴，∴，，即，∴，故C正確；令，，滿足，但是不成立，故D錯(cuò)誤．故選：BC．例3已知，，求，的取值范圍．【答案】的取值范圍是，的取值范圍是．【分析】根據(jù)題意可得，進(jìn)而得到的范圍，再根據(jù)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)可得的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以?/p>

又，所以，即．

因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以?/p>

所以，即．

所以的取值范圍是，的取值范圍是．二．典型題型題型1由已知條件判斷所給不等式是否正確解題技巧：利用不等式判斷正誤的2種方法①直接法：對(duì)于說(shuō)法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)證明；對(duì)于說(shuō)法錯(cuò)誤的只需舉出一個(gè)反例即可．②特殊值法：注意取值一定要遵循三個(gè)原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算；三是所取的值要有代表性．例1如果，那么下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．例2（多選題）如果，，那么下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用賦值法及不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：取，，則，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，，所以，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，，所以，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，所以，，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：BC.例3下列結(jié)論是否成立？若成立，試說(shuō)明理由；若不成立，試舉出反例．(1)如果，那么；(2)若，，則；(3)若，則；(4)若，，則．【答案】(1)成立，理由見解析；(2)成立，理由見解析；(3)不成立，理由見解析；(4)不成立，理由見解析；【分析】由不等式的性質(zhì)判斷（1）（2）成立，取特殊值判斷（3）（4）不成立.(1)，，，故成立.(2)，,,即.(3)取時(shí)，滿足，但是不成立.(4)取，滿足，，但是不成立.題型2由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）的大小關(guān)系解題技巧：用作差法或作商法例1已知，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取特殊值說(shuō)明A、C、D選項(xiàng)錯(cuò)誤；再由不等式的性質(zhì)說(shuō)明B正確即可.【詳解】取，則，A錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；，D錯(cuò)誤；由可得，則，B正確.故選：B.例2（多選題）下列四個(gè)命題中，正確的是（

）A．若，，則 B．若，且，則C．若，，則 D．若，則【答案】BCD【分析】利用賦值法、作差比較法及不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】對(duì)A：取，，則，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)椋?，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)C：因?yàn)椋?，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D：因?yàn)椋?，，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.例3對(duì)于命題P：存在一個(gè)常數(shù)t，使得不等式對(duì)任意正數(shù)a，b恒成立.(1)試給出這個(gè)常數(shù)t的值（不需要證明）；(2)在（1）所得結(jié)論的條件下證明命題P.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)題意，利用特殊值法，令可得，，分析即可得的值；（2）由分析法的思路：先證明，再類比可以證明，綜合即可得證明.(1)根據(jù)題意，由于對(duì)任意正數(shù)，恒成立，令得：，故；(2)先證明.∵，，要證上式成立，只要證，即證，即證，這顯然成立.∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，再證明.∵，，要證上式成立，只要證，即證，即證，這顯然成立.∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，綜上，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.題型3作差法比較代數(shù)式的大小解題技巧：作差法比較兩個(gè)數(shù)大小的步驟及變形方法(1)作差法比較的步驟：作差→變形→定號(hào)→結(jié)論．(2)變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化(針對(duì)無(wú)理式中的二次根式)；⑤分類討論．例1設(shè)a＞b＞1，y1，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（

）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1【答案】C【分析】利用作差法先比較y1，y2，再比較y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小關(guān)系.【詳解】解：由a＞b＞1，有y1﹣y20，即y1＞y2，由a＞b＞1，有y2﹣y30，即y2＞y3，所以y1＞y2＞y3，故選：C.例2（多選題）若，，，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，只能推出，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，舉反例即可否定B；對(duì)于C選項(xiàng)，采用比較法，進(jìn)行因式分解，證明C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，分別判斷，根據(jù)不等式同項(xiàng)相乘的性質(zhì)判斷D正確.【詳解】因?yàn)?，所以不正確，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，，得，所以，即，故C正確；因?yàn)?，又，所以，故D正確.故選：CD.例3已知，試比較與的值的大?。敬鸢浮繒r(shí)，；時(shí)，．【分析】用做差法比較可得答案.【詳解】，可得，當(dāng)時(shí)，，，則，即；當(dāng)時(shí)，，則，即．綜上可得時(shí)，；時(shí)，．三．難點(diǎn)題型題型1作商法比較代數(shù)式的大小解題技巧：作商法比較大小的三個(gè)步驟(1)作商變形；(2)與1比較大小；(3)得出結(jié)論．提醒：作商法比較大小僅適用同號(hào)的兩個(gè)數(shù)．例1已知c＞1，且x＝－，y＝－，則x，y之間的大小關(guān)系是（

）A．x＞y B．x＝y(tǒng)C．x＜y D．x，y的關(guān)系隨c而定【答案】C【分析】應(yīng)用作商法比較的大小關(guān)系即可.【詳解】由題設(shè)，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故選：C.例2（多選題）對(duì)于實(shí)數(shù)，，，正確的命題是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則， D．若，，則【答案】ABD【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，，所以，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，，，所以，因?yàn)?，所以，即，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，令，，滿足，不滿足，.對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)?，，所以，故D正確.故選：ABD例3甲、乙兩車從A地沿同一路線到達(dá)B地，甲車一半時(shí)間的速度為a，另一半時(shí)間的速度為b；乙車一半路程的速度為a，另一半路程的速度為b．若，試判斷哪輛車先到達(dá)B地．【答案】甲先到達(dá)B地．【分析】設(shè)兩地間的路程為s，甲、乙兩輛車所用的時(shí)間分別為，則，．然后利用作差法或作商法比較大小，作商法中要注意結(jié)合基本不等式的使用得到結(jié)論.【詳解】設(shè)兩地間的路程為s，甲、乙兩輛車所用的時(shí)間分別為，則，．方法一

因?yàn)?，即，所以甲先到達(dá)B地．方法二

，因?yàn)?，所以，從而，即，所以甲先到達(dá)B地．【點(diǎn)睛】本題考查利用做差法或作商法比較大小在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，涉及基本不等式題型2由不等式的性質(zhì)證明不等式解題技巧：(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問(wèn)題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．例1設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可證充分性成立，舉例說(shuō)明可證必要性不成立.【詳解】，所以充分性成立，當(dāng)時(shí)，滿足，但不成立，所以必要性不成立．所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A．例2（多選題）下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若且，則C．若，則 D．若，則【答案】BD【分析】A選項(xiàng)可舉出反例；BCD選項(xiàng)，可通過(guò)不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行證明.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：可取，，，則滿足，但此時(shí)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以若，則；若，則；所以選項(xiàng)B正確；對(duì)選項(xiàng)C：若，則，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：若，所以；又因?yàn)?，所以由同向同正可乘性得：，所以，所以選項(xiàng)D正確，故選：BD．例3（1）比較與的大?。唬?）已知，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）求差法進(jìn)行大小比較即可；（2）求差法去證明即可解決.【詳解】（1）由，可得．（2），∵，∴，，，∴，∴．題型3利用不等式求值或范圍解題技巧：1．同向不等式具有可加性，同正具有可乘性，但是不能相減或相除，應(yīng)用時(shí)，要充分利用所給條件進(jìn)行適當(dāng)變形來(lái)求范圍，注意變形的等價(jià)性．2．已知兩個(gè)二元一次代數(shù)式的范圍，求第三個(gè)二元一次式的范圍，可以用雙換元的方法，也可以通過(guò)待定系數(shù)法，先用已知的兩個(gè)二元一次代數(shù)式表示未知的二元一次式．例1已知實(shí)數(shù)，滿足，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，，可得，再根據(jù)的范圍求解即可.【詳解】令，，則，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，所?故選：B例2（多選題）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則可能取的值為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】令，根據(jù)，求得的值，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，實(shí)數(shù)，滿足，，令，即，可得，解得，所以，則，，所以.故選：BC.例3（1）已知，，求和的取值范圍；（2）已知，，求的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)求解（2）由待定系數(shù)法配湊后求解【詳解】（1），又，，又，（2）設(shè)，得即而，四．活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練一、單選題1．已知，，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由不等式的性質(zhì)求解即可.【詳解】，故，，得故選：B2．若，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．，若，則C．若，則 D．，，若，則【答案】C【分析】利用特值法可判斷ABD，利用不等式的性質(zhì)可判斷C.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤，故選：C.3．對(duì)任意實(shí)數(shù)，命題：①若，則；②若，則；③若，則.④若，則，其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】取可判斷①的正誤；取可判斷②的正誤；利用不等式的基本性質(zhì)可判斷③的正誤；判斷的正負(fù)判斷即可【詳解】對(duì)于①，若，，則，①錯(cuò)；對(duì)于②，若，則，②錯(cuò)；對(duì)于③，若，則，由不等式的基本性質(zhì)可得，③對(duì)；對(duì)于④，若，則，則，④對(duì)故選：C4．已知，則且是且成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】利用充分不必要條件的定義和不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷可得答案.【詳解】因?yàn)榍?，所以且；取，，則且，但不滿足，所以前者是后者的充分不必要條件.故選：A.5．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過(guò)作差法，，確定符號(hào)，排除D選項(xiàng)；通過(guò)作差法，，確定符號(hào)，排除C選項(xiàng)；通過(guò)作差法，，確定符號(hào)，排除A選項(xiàng)；【詳解】由，且，故；由且，故；且，故.所以，故選：B.6．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則（

）A． B．C． D．，大小不確定【答案】B【分析】根據(jù)原不等式，利用，為正實(shí)數(shù)，可對(duì)不等式坐標(biāo)進(jìn)行平方差公式化簡(jiǎn)，然后對(duì)比不等式兩邊，判斷符號(hào)即可完成求解.【詳解】，為正實(shí)數(shù)，，而，可化為，若，則，兩邊同除，變?yōu)?，不成立，所以排除A；若，則，兩邊同除，變?yōu)椋闪?，故排除D選項(xiàng)，B選項(xiàng)正確；若，則原不等式化為，不成立，排除C.二、多選題7．已知的角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用大角對(duì)大邊及符號(hào)法則可得，結(jié)合條件利用特值法及不等式的性質(zhì)即得.【詳解】在中，，，又，∴，故正確；，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；又，，故C正確，錯(cuò)誤.故選：AC.8．若，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】當(dāng)時(shí)，由得，，當(dāng)時(shí)，由得，，可判斷AD；由得，且與同號(hào)，即可判斷BC.【詳解】由得，當(dāng)時(shí)，由得，即，可得，當(dāng)時(shí)，由得，即，所以，故AD正確；.由得，且與同號(hào)，即，所以與異號(hào)，即與同號(hào)，由得，故B錯(cuò)誤；故C正確；故選：ACD.9．下列命題正確的是（

）A． B．，，使得ax＞2C．a(chǎn)b=0是的充要條件 D．a(chǎn)≥b＞－1，則【答案】AD【分析】舉出一例判斷存在命題是否正確，判斷A，舉反例判斷BC，由不等式的性質(zhì)判斷D．【詳解】對(duì)A，時(shí)，，A正確；對(duì)B，時(shí)，對(duì)任意，，不成立，B錯(cuò)；對(duì)C，時(shí)滿足，但此時(shí)，C錯(cuò)；對(duì)D，，則，，則，D正確．故選：AD．三、填空題10．已知真分?jǐn)?shù)（b>a>0）滿足>>>，….根據(jù)上述性質(zhì)，寫出一個(gè)全稱量詞命題或存在量詞命題（真命題）___