高中數(shù)學(xué)向量

高中數(shù)學(xué)向量專題

【本章學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念.掌握向量的加法和減法.掌握實(shí)數(shù)與向量的積，

理解兩個(gè)向量共線的充要條件.

2.掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式，掌握線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并能熟練運(yùn)用，掌握平移公式.掌握平面向

量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件.

3.了解平面向量的基本原理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.掌握正弦定理、余弦定理，

并能初步運(yùn)用它們解斜三角形.

向量是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，作為數(shù)形結(jié)合的有力工具，它的應(yīng)用極其廣泛，在復(fù)數(shù)、平幾、解幾、立幾、物理

等知識(shí)中均有涉及.

本章在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了平面向量的概念及運(yùn)算的基礎(chǔ)上，突出了向量的工具作用，利用向量的思想方法解決問題是

本章特點(diǎn)的個(gè)方面，向量本身具有數(shù)與形結(jié)合的雙重身份，這為解決問題過程中充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法創(chuàng)造

了條件.通過本章學(xué)習(xí)，繼續(xù)提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

【基礎(chǔ)知識(shí)精講】

1.向量的定義

既有方向，又有大小的量叫做向量.它一般用有向線段表示.薪及示從點(diǎn)A到B的向量（即A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的

向量），也可以用字母a、b、c…等表示.（印刷用黑體a、b、c,書寫用Z、b.】注意：長(zhǎng)度、面積、體積、質(zhì)量等為

數(shù)量，位移、速度、力等為向量）.

2.向量的模

所謂向量布的大小，就是向量標(biāo)的長(zhǎng)度（或稱模），記作I族I或者IZI.向量不能比較大小，但向量的模

可以比較大小.

3.零向量與單位向量：長(zhǎng)度為o的向量稱為零向量，用6表示.6向量的方向是不定的，或者說任何方向都是6向

量的方向，因此6向量有兩個(gè)特征：一長(zhǎng)度為o；二是方向不定.長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量.

4.平行向量、共線向量

方向相同或相反的非零向量稱為平行向量.特別規(guī)定零向量與任一向量都平行.因此，零向量與零向量也可以平行.

根據(jù)平行向量的定義可知：共線的兩向量也可以稱為平行向量.例如施與就也是一對(duì)平行向量.

由于任何一組平行向量都可移到同一直線上，故平行向量也叫做共線向量.例如，若四邊形ABCD是平行四邊形，

則向量Q與五是一組共線向量；向量而與就也是一組共線向量.

5.相等向量

長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若向量展與向量B相等，記作.零向量與零向量相等，任意兩個(gè)

相等的非零向量都可以用一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān).

【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】

通過本節(jié)學(xué)習(xí)，應(yīng)該掌握：（1）理解向量、零向量、單位向量、相等向量的概念；（2）掌握向量的幾何表示，會(huì)用

字母表示向量；（3）了解平行向量的概念及表示法，了解共線向量的概念.

例1判斷下列各命題是否正確

⑴若I5I=IB|,則】=1

(2)若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，則AB=0C是四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件.

⑶若a=1,B=c,貝ija=c

⑷兩向量〉、b相等的充要條件是

C\a\=\b\

\.a//b

(5)I?I=II是向量1=3的必要不充分條件.

(6)薪=而的充要條件是A與C重合，B與D重合.

解：(1)不正確，兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同.

(2)正確.???布=麗，|Q|=|麗|且茄〃麗.

又A、B、C、D是不共線的四點(diǎn).

四邊形ABCD是平行四邊形，反之，若四邊形ABCD是平行四邊形則慈么DC,且薪與皮方向相同，因此

AB^DC.

⑶正確...id

：.a,B的長(zhǎng)度相等且方向相同；

又,:辦=7

：.h,1的長(zhǎng)度相等且方向相同.

/.a,1的長(zhǎng)度相等且方向相同，故a=c

(4)不正確.當(dāng)Z〃兀但方向相反，即使Ia\^\b\,也不能得到］=Z,故

■I31=12I

a//b

不是】=g的充要條件.

(5)正確.這是因?yàn)镮a1=1bl?a=3,但a=gnIaI=I3I,所以laI=I3I是a=%的必要不充分條件.

(6)不正確.這是因?yàn)轷?而時(shí)，應(yīng)有：I族1=13I及由A到B與由C到D的方向相同，但不一定要有A

與C重合、B與D重合.

說明：①針對(duì)上述結(jié)論(1)、(4)、(5),我們應(yīng)該清醒的認(rèn)識(shí)到，兩非零向5、B相等的充要條件應(yīng)是Z、區(qū)的方

向相同且模相等.

②針對(duì)結(jié)論(3),我們應(yīng)該理解向量相等是可傳遞的.

③結(jié)論(6)不正確，告訴我們平面向量1與各相等，并不要求它們有相同的起點(diǎn)與終點(diǎn).當(dāng)然如果我們將相等的兩

向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn).則這時(shí)它們的終點(diǎn)必重合.

例2如圖所示，AABC中，三邊長(zhǎng)IABI、IBCI、IACI均不相等，E、F、I)是AC,AB,BC的中點(diǎn).

(1)寫出與Eb共線的向量.

(2)寫出與9的模大小相等的向量.

(3)寫出與前相等的向量.

解：⑴；E、F分別是AC,AB的中點(diǎn)

.,.EF/7BC

從而，與加共線的向量，包括：

FE,BD,DB,~DC,CD,BC,CB.

(2)；E、F、D分別是AC、AB、BC的中點(diǎn)

.,.EF=-BC,BD=DC=-BC.

22

XVAB.BC、AC均不相等

從而，與赤的模大小相等的向量是：FE.BD,茄、DC.CD

(3)與浮相等的向量，包括：~DB.CD.

例3判斷下列命題真假

(1)平行向量一定方向相同.

(2)共線向量-定相等.

(3)起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的兒個(gè)向量是相等的向量.

(4)不相等的向量，則一定不平行.

(5)非零向量的單位向量是土1

解：(D假命題，還可以方向相反；

(2)假命題，共線向量?jī)H方向相同或相反；大小不一定相等；

(3)真命題，因?yàn)橄蛄颗c起點(diǎn)位置無關(guān)；

⑷假命題，因?yàn)槿鬦,各方向相同，但只要IZI彳MI,則ZrB.

(5)真命題，任一非零向量：［的單位向量為土卷.

例4如圖，已知：四邊形ABCD中，N、M分別是AD、BC的中點(diǎn)，又通=皮.

求證：CN=MA,

證明：VAfi-DC

IABI=IDCI,且AB〃DC.從而，四邊形ABCD是平行四邊形.

，AD〃BC,AD=BC

：N、M分別是AD、BC的中點(diǎn).

.,.AN--AD,MC=-BC.

22

AAN=MC.

又AN〃MC,

四邊形AMCN是平行四邊形.于是得：AM〃NC,IAMI=INCI.

又由圖可知：CN與MA的方向一致.

：.CN=MA

【難題巧解點(diǎn)拔】

例1如圖，已知四邊形ABCD是矩形,0是兩對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)集M={A,B,C,D,0}、向量的集合T={PQ\

任P,QGM,且P、Q不重合},試求集合T的子集個(gè)數(shù).

分析：要確定向量為元素的集合T有多少個(gè)子集，就需搞清楚集合T中有多少個(gè)相異的向量.

解：以矩形ABCD的四頂點(diǎn)及它的對(duì)角線交點(diǎn)0,五點(diǎn)中的任一點(diǎn)為起點(diǎn)，其余四點(diǎn)中的一點(diǎn)為終點(diǎn)的向量共有20

個(gè)，但是這20個(gè)向量不是各不相等的，我們下面將這20個(gè)向量一一列舉出來：AO=OC、OA=CO;OO=OB、

BO^OD;AC,CA；BD、DB；AO=8C、DA=CB;AB=DC,BA=CO.它們中有12個(gè)向量是各不相等的.

故T是一個(gè)12元集.所以T有2吆個(gè)子集.

說明：在上述解題過程中，我們一定要根據(jù)集合元素的互異性.算出T中的元素個(gè)數(shù)為12.而不是20.這樣才能得

到正確的結(jié)果.

例2已知；如圖，點(diǎn)D在AABC的邊BC上，且與B、C不重合，E、F分別在AB、AC上，而=礪.

(1)求證：ABDE^ADCF.

(2)求當(dāng)D在什么位置時(shí)，四邊形AEDF的面積可以取到最大值?

證明：(I)：?而=而

，DF〃AE,IDFI=IEAI.

從而，得：四邊形AEDF是平行四邊形

；.DE〃AF,|DE|=|AF|

由DE〃AF可得：ZBDE=ZC

由DF〃AE可得：ZB=ZEDC

.".△BDE^ADCF

⑵設(shè)|BCI=a,IACI=b,IABI=c,IBDI=x,則IDCI=a-x.

VABDE^ADCF.

.\BD\_\BE\_\ED\

''\CD\\DF\\FC\

從而,圖則設(shè)比為

xa-x

J\~ED\\―FCL\,設(shè)比為k2.

xa-x

由IBE|+IDFI=c,IEDI+IFCI=b.

可得:xki+(a-x)ki=c,Aki=—.

a

b

xkz+(a-x)k=b,kz=—.

2a

IDF|=~(a'x)

a

IDE|=—x

a

由點(diǎn)F作FT_LAB,垂足為T

由銳角三角函數(shù)，IFTI=IAFIsinA=2x?sinA

a

S￡7AEDF=IDFI?IFTI=—(a-x)?—x,sinA

aa

=-^-(ax-x2)sinA

a"

be「a?a、21.ybe.、

L——-(x--)JsinAW—sinA

a2424

當(dāng)且僅當(dāng)x=g時(shí)，等號(hào)成立.

2

答：D是BC邊的中點(diǎn)時(shí)，Sgw取到最大值.

例3如圖從，由，…A,是。0上的八個(gè)等分點(diǎn)，則在以A”由…扇及圓心0九個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的向

量中，模等于半徑的向量有多少個(gè)?模等于半徑、歷倍的向量有多少個(gè)？

分析：(1)由于A、A?…As是。0上的八個(gè)等分點(diǎn)，所以八邊形AA…A,是正八邊形，正八邊形的邊及對(duì)角線長(zhǎng)均與

。。的半徑不相等.所以模等于半徑的向量只可能是兩與而(1=1,2,-,8)兩類.

(2)00內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)是半徑的后倍，所以我們應(yīng)考慮與圓心0形成90。圓心角的兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量個(gè)數(shù).

解：(1)模等于半徑的向量只有兩類，一類是就(i=l,2,…，8)共8個(gè)；另一類是麗(i=l,2,…,8)也有8

個(gè)，兩類合計(jì)16個(gè).

(2)以A"A”…，As為頂點(diǎn)的。。的內(nèi)接正方形有兩個(gè)，一是正方形AAAA；另一個(gè)是正方形AAA6AB.在題中所

述的向量中，只有這兩個(gè)正方形的邊(看成有向線段，每一邊對(duì)應(yīng)兩個(gè)向量)的長(zhǎng)度為半徑的J5倍.所以模為半徑痣倍

的向量共有4X2X2=16個(gè).

說明：(1)在模等于半徑的向量個(gè)數(shù)的計(jì)算中，要計(jì)算可與麗(i=l,2,…，8)兩類，一般我們易想到兩

(i=l,2,…，8)這8個(gè)，而易遺漏雨(i=l,2,8)這8個(gè).

(2)圓內(nèi)接正方形的一邊對(duì)應(yīng)了長(zhǎng)為后的兩個(gè)向量.例如邊AA對(duì)應(yīng)向量病與*.因此與(1)一樣，在解題

過程中主要要防止漏算.認(rèn)為滿足條件的向量個(gè)數(shù)為8是錯(cuò)誤的.

【命題趨勢(shì)分析】

本節(jié)著重考查對(duì)向量的概念的理解，高考中將會(huì)以選擇題、填空題形式命題.

【典型熱點(diǎn)考題】

例1給出下列3個(gè)命題：（1）單位向量都相等；（2）單位向量都共線；（3）共線的單位向量必相等.其中真命題的個(gè)

數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

分析：本題考查單位向量和共線向量的概念及它們之間的聯(lián)系等基礎(chǔ)知識(shí)，增加了考點(diǎn)，加大了難度.因?yàn)椴煌?/p>

單位向量有不同的方向，所以（1）和（2）較易判斷是假命題.因?yàn)楣簿€的單位向量有可能方向相反，它們不一定相等，所

以⑶也是假命題.

.?.選A.

例2如圖，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形.

（1）與向量A8相等的向量有；（2）若IAB|=3,則向量EC的模等于.

分析：本題考查用向量的觀點(diǎn)對(duì)平面圖形進(jìn)行初步判斷的能力，是容易題，山條件，可得而=薪且加=踵，

所以=于是E、D、C三點(diǎn)共線，故IECI=IEDI+|OCI=2IABI=6.

答：⑴ED,DC；(2)6

例3下列命題中，正確的是(

A.Ia\-\b|=a=3B.\a\>\bI=>a>&

C.a=b\a\//\b\D.IaI=0=>a=0

解：由向量的定義知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A、B,零向量、數(shù)字0是兩個(gè)不同的

概念，零向量是不等于數(shù)字0的.

二應(yīng)排除D,...應(yīng)選C.

例4下列四個(gè)命題：①若IZI=0,則1=0；②若I3I=IBI,則K或3=-九③若［與各是平行向量，則I

a\^\b\；④若1=6,則-3=6正確命題個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

分析：①是忽略了。與。不同，由于IaI=0=>3=6,但。不能寫成0；

②是對(duì)兩個(gè)向量的模相等與兩個(gè)實(shí)數(shù)相等混淆了，兩個(gè)向量的模相等，只能說明它們的長(zhǎng)度相同，并不意味它們

的方向相同或相反；

③是對(duì)兩個(gè)向量平行的意義理解不透，兩個(gè)向量平行，只是這兩個(gè)向量的方向相同或相反，而它們的模不一定相

等；

④正確，故選A.

本周強(qiáng)化練習(xí):

【同步達(dá)綱練習(xí)】

一、選擇題

1.下列命題中的假命題是（）

A.向量AB與84的長(zhǎng)度相等

B.兩個(gè)相等向量若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)必相同

C.只有零向量的模等于0

D.共線的單位向量都相等

2.如圖，在圓。中，向量而，0C,彳5是（）

A.有相同起點(diǎn)的向量B.單位向量

C.相等的向量D.模相等的向量

3.如圖，AABC中，DE〃BC,則其中共線向量有（）

A.一組B.二組C.三組D.四組

4.若。是任一非零向量，b是單位向量，下列各式①Ia>IbI；?a//b；③laI>0；④IbI=±1；

a-*

⑤符=b，其中正確的有（)

H

A.①④⑤B.③C.①②③⑤D.②③⑤

5.四邊形ABCD中，若向量A8與CD是共線向量，則四邊形ABCD（）

A.是平行四邊形B.是梯形

C.是平行四邊形或梯形D.不是平行四邊形，也不是梯形

6.把平面上所有單位向量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)，那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是（）

A.~"條線段B.一個(gè)圓面

C.圓上的一群弧立點(diǎn)D.一個(gè)圓

7.若3,g是兩個(gè)不平行的非零向量，并且1〃Ab//c,則向量展等于（）

A.6B.aC.hD.】不存在

8.命題p：「與［是方向相同的非零向量，命題q:［與1是兩平行向量，則命題p是命題4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、判斷題

1.向量Q與直是兩平行向量.（）

2.若］是單位向量，Z也是單位向量，則3=3.（）

3.長(zhǎng)度為1且方向向東的向量是單位向量，長(zhǎng)度為1而方向?yàn)楸逼珫|30°的向量就不是單位向量.（）

4.與任一向量都平行的向量為6向量.（）

5.若嘉=反，則A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形.（）

6.兩向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同.（）

7.設(shè)0是正三角形ABC的中心，則向量花的長(zhǎng)度是次長(zhǎng)度的百倍.（）

8.已知四邊形ABCD是菱形，貝IJI就|=I訪I是菱形ABCD為正方形的充要條件.（）

9.在坐標(biāo)平面上，以坐標(biāo)原點(diǎn)0為起點(diǎn)的單位向量的終點(diǎn)P的軌跡是單位圓.（）

10.凡模相等且平行的兩向量均相等.（）

三、填空題

1.已知a,b,c為非零向量，且a與B不共線，若?！╝,則c與Z必定.

2.已知\OA\=4,\AB\=8,/A0B=60°,貝IJI踵I=.

3.如圖，已知0是正六邊形的中心，則在圖中所標(biāo)出的各向量中，模等于該正六邊形邊長(zhǎng)的向量共有個(gè).

4.如圖所示，四邊形ABCD與ABDE都是平行四邊形，則

①與向量布共線的向量有;

②若I踵I=1.5,則I在I=.

5.已知四邊形ABCD中，而=L比，月一|而|=|元|,則四邊形ABCD的形狀是

2

四、解答題

1.如圖，在aABC中，已知：向量詬=而，而=族，求證：DE=AF.

2.在直角坐標(biāo)系中，將所有與y軸共線的單位向量的起點(diǎn)移到x軸上，其終點(diǎn)的集合構(gòu)成什么圖形?

【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】

1.已知ab是任意兩個(gè)向量，下列條件：①ad;?IaI=IBI;③。與否的方向相反；④a=6或各=6;@tz

與否都是單位向量.其中，哪些是向量Z與.共線的充分不必要條件.

2.已知ABCD是等腰梯形，AB〃DC,下列各式：①蕊=麗；②而=就；③IAC\^\BD\;@\AB\^\

~DCI;⑤鼐〃①.

正確的式子的序號(hào)是.

3.不相等的向量Z和各，有可能是平行向量嗎?若不可能，請(qǐng)說明理由；若有可能，請(qǐng)把各種可能的情形一一列出.

4.下列各組量是不是向量?如果是向量，說明這些向量之間有什么關(guān)系？

(1)兩個(gè)三角形的面積S“S2；

(2)桌面上兩個(gè)物體各自受到的重力R,F2；

(3)某人向河對(duì)岸游泳的速度vi與水流的速度v2；

(4)浮在水面上的物體受到的重力W和水的浮力F.

【生活實(shí)際運(yùn)用】