人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)-《相交線與平行線》教師教案

人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)一?相交線與平行線？教師教

案

相交線與平行線〔教師教案〕

第一段典型例題

【開課】教師在正式開課前，先把本次課程的內(nèi)容簡(jiǎn)單概括一下：今

天的內(nèi)容主要包括以下幾局部?jī)?nèi)容：

一.相交線、垂線的概念

二.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角等的概念

三.平行線的的性質(zhì)和判定

【課程目標(biāo)】

1.理解相交線的定義、對(duì)頂角的定義和性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的定義，正確識(shí)

別“三線八角”；

2.理解垂線的定義、點(diǎn)到直線的距離的定義，掌握垂線的性質(zhì)；

3.理解平行線的概念，正確地表示平行線，會(huì)利用三角尺、直尺畫平

行線，理解平行公理和平行公理的推論；

4.掌握兩直線平行的判定方法和平行線的性質(zhì)；

5.能綜合運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定證明和計(jì)算。

【課程安排】

1教師簡(jiǎn)要介紹本次課程的關(guān)鍵點(diǎn)，同學(xué)做題，然后教師講解

2教師總結(jié)，學(xué)生做綜合練習(xí)〔第二段〕教師講解

【教師講課要求】

教師先將第一段練習(xí)發(fā)給每一位學(xué)生，學(xué)生做題時(shí)教師必須巡視，了解

學(xué)生做題情況，學(xué)生完成練習(xí)后，教師進(jìn)行講解。

第一局部相交線、垂線

課時(shí)目標(biāo)：理解相交線的定義、對(duì)頂角的定義和性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的定義，

正確識(shí)別“三線八

角〃；理解垂線的定義、點(diǎn)到直線的距離的定義，掌握垂線的性質(zhì)；

教師講課要求

【知識(shí)要點(diǎn)】：請(qǐng)學(xué)生看一下做好上課的準(zhǔn)備

〔一〕相交線

1.相交線的定義

在同一平面內(nèi)，如果兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩條直線叫做相

交線，公共點(diǎn)稱為兩條直線的交點(diǎn)。如圖1所示，直線AB與直線CD相交于

點(diǎn)0。

A

CBCDA4123D10B

圖1圖2圖3

2.對(duì)頂角的定義

假設(shè)一個(gè)角的兩條邊分別是另一個(gè)角的兩條邊的反向延長(zhǎng)線，那么這兩

個(gè)角叫做對(duì)頂角。如圖2所示，N1與N3、N2與N4都是對(duì)頂角。

注意：兩個(gè)角互為對(duì)頂角的特征是：［1）角的頂點(diǎn)公共；〔2〕角的兩

邊互為反向延長(zhǎng)線；

〔3〕兩條相交線形成2對(duì)對(duì)頂角。

3.對(duì)頂角的性質(zhì)

BC

對(duì)頂角相等。

4.鄰補(bǔ)角的定義

如果把一個(gè)角的一邊反向延長(zhǎng)，這條反向延長(zhǎng)線與這個(gè)角的另一邊構(gòu)成

一個(gè)角，此時(shí)就說這兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角。如圖3所示，N1與N2互為鄰補(bǔ)

角，由平角定義可知Nl+N2=180°。

〔二〕垂線

1.垂線的定義

當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線

互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。

ADA

C1DBBC

圖4

如圖4所示，直線AB與CD互相垂直，垂足為點(diǎn)0,那么記作ABLCD

于點(diǎn)0。其中“J_〃是“垂直〃的記號(hào)；是圖形中“垂直〃（直角）的標(biāo)

記。

注意：垂線的定義有以下兩層含義：

⑴VABXCD（）⑵VZ1=9O°。

.,./1=90。［垂線的定義）.-.AB±CD1垂線的定義）

2.垂線的性質(zhì)

〔1〕性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，經(jīng)過直線外或直線上一點(diǎn)，有且只有一

條直線與直線垂直，即過一點(diǎn)有且只有一條直線與直線垂直。

〔2〕性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最

短。即垂線段最短。

3.點(diǎn)到直線的距離

直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。

圖5圖6

如圖5所示，m的垂線段PB的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)P至1J直線m的距離。

4.垂線的畫法〔工具：三角板或量角器）

5.畫線段或射線的垂線

11）垂足在線段或射線上

〔2〕垂足在線段的延長(zhǎng)線或射線的反向延長(zhǎng)線上

［三］“三線八角〃

一兩條直線被第三條線所截，可得八個(gè)角，即“三線八角〃,如圖6所

Zj\O

〔1〕同位角：可以發(fā)現(xiàn)N1與N5都處于直線1的同一側(cè)，直線a、b

的同一方，這樣位置的一對(duì)角就是同位角。圖中的同位角還有N2與N6,

N3與N7,N4與N8。

〔2〕內(nèi)錯(cuò)角：可以發(fā)現(xiàn)N3與N5都處于直線1的兩旁，直線a、b的

兩方，這樣位置的一對(duì)角就是內(nèi)錯(cuò)角。圖中的內(nèi)錯(cuò)角還有N4與N6。

(3)同旁內(nèi)角：可以發(fā)現(xiàn)N4與N5都處于直線1的同一側(cè)，直線a、

b的兩方，這樣位置的一對(duì)角就是同旁內(nèi)角。圖中的同旁內(nèi)角還有N3與

Z6o

范例1.判斷以下語句是否正確，如果是錯(cuò)誤的，說明理由。

〔1〕過直線外一點(diǎn)畫直線的垂線，垂線的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線

的距離；

〔2〕從直線外一點(diǎn)到直線的垂線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離；

13〕兩條直線相交，假設(shè)有一組對(duì)頂角互補(bǔ)，那么這兩條直線互相垂

直；

〔4〕兩條直線的位置關(guān)系要么相交，要么平行。

分析：此題考查學(xué)生對(duì)根本概念的理解是否清晰。〔1〕、〔2〕都是對(duì)

點(diǎn)到直線的距離的描述，由“直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做

點(diǎn)到直線的距離〃可判斷〔1〕、〔2〕都是錯(cuò)的；由對(duì)頂角相等且互補(bǔ)易

知，這兩個(gè)角都是90°,故［3)正確；同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系

是相交或平行，必須強(qiáng)調(diào)“在同一平面內(nèi)〃。

解答：［1)這種說法是錯(cuò)誤的。因?yàn)榇咕€是直線，它的長(zhǎng)度不能度

量，應(yīng)改為“垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離〃。

〔2〕這種說法是錯(cuò)誤的。因?yàn)椤包c(diǎn)到直線的距離〃不是指點(diǎn)到直線的

垂線段的本身，而是指垂線段的長(zhǎng)度。

13〕這種說法是正確的。

〔4〕這種說法是錯(cuò)誤的。因?yàn)橹挥性谕黄矫鎯?nèi)，兩條直線的位置關(guān)

系才是相交或平行。如果沒有“在同一平面內(nèi)〃這個(gè)前提，兩條直線還可能

是異面直線。

說明：此題目的是讓學(xué)生抓住相交線平行線這局部概念的本質(zhì)，弄清易

混概念。

范例2.如以下圖〔1〕所示，直線DE、BC被直線AB所截，問1與

4,2與4,3與4各是什么角？

A

D

1

23

E

4

C

圖⑴

分析：圖形不標(biāo)準(zhǔn)，開始學(xué)不容易看，可把此圖畫成如以下圖［2）的

樣子，這樣就容易看了。

A

D

1

23

E

4

C

圖⑵

答案：1與4是同位角，2與4是內(nèi)錯(cuò)角，3與4是同旁內(nèi)

角。

范例3如以下圖〔1〕，

12

6

411

13

圖⑴

⑴1與2是兩條直線與被

第三條直線所截構(gòu)成的角。

⑵1與3是兩條直線與被第

三條直線所截構(gòu)成的角。

⑶3與4是兩條直線與被

第三條直線所截構(gòu)成的角。

〔4〕5與6是兩條直線與,被第

三條直線所截構(gòu)成的角。

分析：從較復(fù)雜的圖形中分解出有關(guān)角的直線，因此可以得到1與

3是由直線11,13被第三條直線12所截構(gòu)成的同位角，如以下圖

12),類似可知其他情況。

12

11

尢?個(gè)ZvWC?使ZAUC'>

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(nQ.

13

圖⑵

答案：門)1與2是兩條直線12與13被第三條直線11所截構(gòu)成

的同位角。

12〕1與3是兩條直線11與13被第三條直線12所截構(gòu)成的同位

角。

〔3〕3與4是兩條直線11與13被第三條直線12所截構(gòu)成的內(nèi)錯(cuò)

角。

(4)5與6是兩條直線11與12被第三條直線13所截構(gòu)成的同旁

內(nèi)角。范例4按要求作圖，并答復(fù)以下問題。

范例5作圖題

III

flm

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范例6證明垂直

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第二局部平行線

［課時(shí)目標(biāo)］理解平行線的概念，正確地表示平行線，掌握兩直線平行

的判定方法和平行線的性質(zhì)能綜合運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定證明和計(jì)算。

教師講課要求

知識(shí)要點(diǎn)：請(qǐng)學(xué)生看一下準(zhǔn)備上課

1.平行線的概念

在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。

注意：

〔1〕在平行線的定義中，“在同一平面內(nèi)〃是個(gè)重要前提；

〔2〕必須是兩條直線；

(3)同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系是：相交或平行，兩條互相重合

的直線視為同一條直線。

兩條直線的位置關(guān)系是以這兩條直線是否在同一平面內(nèi)以及它們的公共

點(diǎn)個(gè)數(shù)m進(jìn)行

住村外1*而向

HI二1

5節(jié)

MH個(gè)千女內(nèi)m*0

A

2.平行線的表示方法BD

平行用“〃〃表示，如圖7所示，直線AB與直線CD平行，記作

AB//CD,讀作AB平行于CD。

3.平行線的畫法

4.平行線的根本性質(zhì)

〔1〕平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與直線平行。

〔2〕平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩

條直線也平行。

5.平行線的判定方法：

11〕兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線

平行。

12〕兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線

平行。

13〕兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直

線平行。

〔4〕兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行。

〔5〕在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時(shí)垂直于同一條直線，那么這兩

條直線平行。

6.平行線的性質(zhì)：

〔1〕兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡(jiǎn)記：兩直線平

行，同位角相等。

12〕兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。簡(jiǎn)記：兩直線平

行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

13〕兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。簡(jiǎn)記：兩直線平

行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

范例1如圖，NAMF=NBNG=75°,ZCMA=55°，求NMPN的大小圖7

BFH

答案：50°

解析：因?yàn)镹AMF=NBNG=75°,又因?yàn)镹BNG=NMNP,所以

ZAMF=ZMNP,所以EF〃GH,所以NMPN=NCME,又因?yàn)镹

AMF=75°,NCMA=55°,所以NAMF+NCMA=130°,即NCMF=130°,所

以NCME=180°-130°=50°,所以NMPN=50°

范例2如圖，N1與N3為余角，N2與N3的余角互補(bǔ)，N4=115。，

CP平分NACM,求NPCM

答案：57.5°

解析：因?yàn)镹l+N3=90°,Z2+〔90°-Z3)=180°,所以

Z2+Zl=180°,所以AB

1

//DE,所以NBCN=N4=H5

°,所以NACM=H5°,又因?yàn)镃P平分NACM,所以NPCM=2

1

ZACM=2X115°=57.5°,所以NPCM=57.5

范例3如圖，：Nl+N2=180°,N3=78°,求N4的大小

答案：102°

解析：因?yàn)镹2=NCDB,又因?yàn)镹l+N2=180。，所以

Zl+ZCDB=180°,所以得到AB〃CD,所以N3+N4=180°,又因?yàn)?/p>

Z3=78°,所以N4=102°

范例4如圖，：NBAP與NAPD互補(bǔ)，N1=N2,說明：NE=NF

解析：因?yàn)镹BAP與NAPD互補(bǔ)，所以AB〃CD,所以NBAP=NCPA,又

因?yàn)镹1=N2,所以NBAP—N1=NCPA—N2,即NEAP=NFPA,所以

EA/7PF,所以NE=NF

范例5如圖，AB〃CD,P為HD上任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)的直線交HF于0

點(diǎn)，試問：NHOP、NAGF、NHP0有怎樣的關(guān)系？用式子表示并證明

答案：ZHOP=ZAGF-ZHPO

解析：過。作CD的平行線MN,因?yàn)锳B〃CD,且CD〃MN,所以

AB〃MN,所以NAGF=NMOF=NHON,因?yàn)镃D〃MN,ZHPO=ZPON,所以

ZHOP=ZHON-ZPON=ZHON-ZHPO,所以NHOP=NAGF—Z

HPO

范例6如圖，AB〃CD,說明：ZB+ZBED+ZD=360°

ABAB

E

a

CDCDE

分析：因?yàn)锳B〃CD,所以在NBED的內(nèi)部過點(diǎn)E作AB的平行線，將NB

+Z

BED+ZD的和轉(zhuǎn)化成對(duì)平行線的同旁內(nèi)角來求。

解：過點(diǎn)E作EF〃AB,那么

ZB+ZBEF-18O0〔兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)〕

VAB/7CD。

EF//AB〔作圖）

/.EF/7CD1平行于同一條直線的兩直線平行〕

.,.ZD+ZDEF=180°〔兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)〕

AZB+ZBEF+ND+NDEF=360°

ZB+ZBED+ZD=ZB+ZBEF+ZD+ZDEF

.".ZB+ZBED+ZD=360°

范例7.小張從家〔圖中A處〕出發(fā)，向南偏東40°方向走到學(xué)?！矆D

中B處），再從學(xué)校出發(fā)，向北偏西75。的方向走到小明家〔圖中C

處），試問NABC為多少度？說明你的理由。

解：VAE/7BD0

ZBAE=ZDBA〔兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等〕

VZBAE=40°〔〕

.,.ZABD=40°〔等量代換〕

VZCBD=ZABC+ZABD〔）

.'.ZABC=ZCBD-ZABD〔等式性質(zhì)〕

VZABD=40°〔〕

，NABC=75°-40°=35°

范例8如圖，NADC=NABC,Zl+Z2=180°,AD為NFDB的平分

線，說明：BC為NDBE的平分線。

分析：從圖形上看，AE應(yīng)與CF平行，AD應(yīng)與BC平行，不妨假設(shè)它們

都平行，這時(shí)

欲證BC為NDBE的平分線，只須證N3=N4,而N3=NC=N6,

N4=N5,由AD為NFDB的平分線知N5=N6,這樣問題就轉(zhuǎn)化為證

AE/7CF,且AD〃BC了，由條件Nl+N2=180°不難證明AE〃CF,利用它的

平行及NADC=NABC的條件，不難推證AD〃BC。

證明：VZ1+Z2=18O°

Z2+Z7=180°〔補(bǔ)角定義〕

.-.Z1=Z7［同角的補(bǔ)角相等〕

/.AE/7CF［同位角相等，兩直線平行〕

/.ZABC+ZC=180°〔兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)〕

又NADC=NABC口，CF〃AB〔已證〕

.-.ZADC+ZC=180°〔等量代換〕

.?.AD〃BC［同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行〕

/.Z6=ZC,Z4=Z51兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等〕

又N3=NC1兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

AZ3=Z6［等量代換）

又AD為NBDF的平分線

.*.N5=N6

.\Z3=Z4［等量代換）

；.BC為NDBE的平分線

范例9如圖，DE,BE分別為NBDC,NDBA的平分線，ZDEB=Z1+

Z2

⑴說明：AB〃CD

〔2〕說明：ZDEB=90°

分析：〔1〕欲證平行，就找角相等與互補(bǔ)，但就此題，直接證NCDB

與NABD互補(bǔ)比擬困難，而N1+N2=NDEB,假設(shè)以E為頂點(diǎn)，DE為一邊,

在NDEB內(nèi)部作NDEF=N2,再由DE,EB分別為NCDB,NDBA的平分線，

就不難證明AB〃CD了，〔2〕由〔1〕證

得AB〃CD后，由同旁內(nèi)角互補(bǔ),易證Nl+N2=90°,進(jìn)而證得

ZDEB=90°

證明：〔1〕以E為頂點(diǎn)，ED為一邊用量角器和直尺在NDEB的內(nèi)部作

ZDEF=Z2

?DE為NBDC的平分線□

?,.Z2=ZEDC［角平分線定義）

.\ZFED=ZEDC〔等量代換〕

.?.EF〃DC［內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

VZDEB=Z1+Z2。

???NFEB=N1（等量代換），NEBA=NEBF=N1（角平分線定義〕

AZFEB=ZEBA〔等量代換〕

...FE〃BA〔內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

又EF〃DC

.,.BA/7DC〔平行的傳遞性）

⑵VAB/7DC（已證）

.,.ZBDC+ZDBA=180°〔兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

11

又N1=2NDBA,N2=2NBDC〔角平分線定義〕

.-.Zl+Z2=90°

又N1+N2=NDEB

/.ZDEB=90°

第二段

一.選擇題

1.如圖1,直線a、b相交，Zl=120°,那么N2+N3=1)

A.60°

答案：C

a214baB.90°C.120°D.180°3

圖1圖2圖3

2.如圖2,要得到a〃b,那么需要條件

A.Z2=Z4B.Zl+Z3=180°

C.Zl+Z2=180D.Z2=Z3

答案：C

3.如圖3,給出了過直線外一點(diǎn)作直線的平行線的方法，其依據(jù)是

A.同位角相等，兩直線平行B.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

C.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行D.兩直線平行，同位角相等

答案：A

4.如圖4,AB/7ED,那么NA+NC+ND=〔）

A.180°

A

CB.270°BC.360°D.540°

圖4圖5

答案：C

5.如圖5所示，11/712,Zl=120°,Z2=100°,那么N3=〔〕

DE

A.20°B.40°C.50°D.60°

答案：B

6.：如圖6,NAOB的兩邊0A、OB均為平面反光鏡，NA0B=40°,

在OB上有一點(diǎn)P,從P點(diǎn)射出一束光線經(jīng)0A上的Q點(diǎn)反射后，反射光線QR

恰好與0B平行，那么NQPB的度數(shù)是〔〕

A.60°B.80°C.100°D.120°

答案：B

圖7圖8

7.以下說法正確的選項(xiàng)是〔)

A.兩條不相交的直線叫做平行線B.同位角相等

C.兩直線平行，同旁內(nèi)角相等D.同角的余角相等

答案：D

8.如果N1和N2是兩平行線a,b被第三條直線c所截的一對(duì)同位

角，那么1)

A.N1和N2是銳角B.Zl+Z2=180°1

1

C.2/1+2/2=90°D.N1=N2

答案：D

9.如圖5,AB/7CD,那么結(jié)論：⑴N1=N2；〔2〕N3=N4；(3)

N1+N3=N2+N4中正確的選項(xiàng)是〔

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIMIIIIIIIII

A.只有⑴B.只有⑵

C.⑴和(2)C.⑴⑵⑶

答案：D

圖5

10.如圖6,AB〃CD,假設(shè)N3是N1的3倍，那么N3為〔〕

A.45

答案：BB.135C.120D.

圖6圖7

11.如圖7,DH/7EG/7BC,且DC〃EF,那么圖中與N1相等的角〔不包

括ND的個(gè)數(shù)是1)

A.2B.4C.5D.6

答案：C

12.如圖8,AB〃CD,CE平分NACD,NA=110°,那么NECD的度數(shù)為

A110°B.70°C.55°D.35°

答案：D

圖8圖9

13.如圖9,如果DE〃BC,那么圖中互補(bǔ)的角的對(duì)數(shù)是1〕

A.2對(duì)B.3對(duì)C.4對(duì)D.5對(duì)

答案：C

二.填空題

1.如圖7,CB±AB,NCBA與NCBD的度數(shù)比是5:1,那么NDBA=

度，NCBD的補(bǔ)角是度。

答案:72°；162°

2.如圖8,AC±BC,CDLAB,點(diǎn)A到BC邊的距離是線段的長(zhǎng),

點(diǎn)B到CD邊的距離是線段的長(zhǎng)，圖中的直角有,ZA

的余角有，和NA相等的角有o

答案：AC；BD；ACB,ADC,CDB；B,ACD；DCB

3.如圖9,當(dāng)N1=N時(shí)，AB〃CD；當(dāng)ND+N=180°

時(shí)，AB/7CD；當(dāng)NB=N時(shí)，AB〃CD。

答案：4；DAB；5

圖9圖10

4.如圖10,AB〃CD,直線1平分NAOE,Zl=40°,那么N2=

.答案：70

5.假設(shè)兩個(gè)角的兩邊分別平行，而一個(gè)角比另一個(gè)角的3倍少

30°,那么兩個(gè)角的度數(shù)分別是o

答案：15和15或52.5和127.5

6.如圖1,（）〃〔〕［）,/.ZD=〔）〔〕又

VZD=Z3〔）

答案：AD/7BE,內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，ZDBE,兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)

角相等，NDBE=

N3,BD/7CE,內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

A

圖1圖2

7.如圖2,AD/7BC,Zl=60°,N2=50°,那么NA=[),ZCBD=

〔),ZADB=〔),NA+NADB+N2=〔)

答案：60°,70°