高中數(shù)學(xué)課堂講義-立體圖形的直觀圖

高中數(shù)學(xué)課堂講義一立體圖形的直觀圖

目錄

1.教學(xué)大綱....................................................................1

2.知識(shí)點(diǎn)I直觀圖的概念......................................................1

3.知識(shí)點(diǎn)2斜二測(cè)畫(huà)法.......................................................2

4.知識(shí)點(diǎn)3空間幾何體直觀圖的畫(huà)法...........................................3

5.練習(xí)........................................................................3

6.探究點(diǎn)一平面圖形的直觀圖的畫(huà)法..........................................4

7.探究點(diǎn)二空間幾何體的直觀圖..............................................6

8.探究點(diǎn)三直觀圖的還原與計(jì)算..............................................7

9.課堂作業(yè)....................................................................8

10.課時(shí)作業(yè)（二十一）立體圖形的直觀圖.......................................10

1.教學(xué)大綱

新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求

1了.解"斜二測(cè)畫(huà)法”的概念并掌握斜二測(cè)畫(huà)法的步

驟.（數(shù)學(xué)抽象）

能用斜二測(cè)法畫(huà)出簡(jiǎn)水平2會(huì).用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出一些簡(jiǎn)單平面圖形和立體圖

單空間圖形（長(zhǎng)方體、形的直觀圖.（直觀想象）

球、圓柱、圓錐、棱柱3.強(qiáng)化直觀圖、原空間幾何體形狀之間的相互轉(zhuǎn)

及其簡(jiǎn)單組合）的直觀換.（邏輯推理）

圖.通過(guò)觀察空間幾何體原圖形和直觀圖，了解空間圖

水平

形的不同表示形式及不同形式間的聯(lián)系.（直觀想

象）

2.知識(shí)點(diǎn)1直觀圖的概念

把空間圖形（平面圖形和立體圖形的統(tǒng)稱）畫(huà)在平面內(nèi)，使得既富有立體感，

又能表達(dá)出主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系的圖形叫做直觀圖.

［點(diǎn)撥］在立體幾何中，立體圖形的直觀圖通常是在平行投影下得到的平面

圖形.

1,畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖，步驟如下：

（1）畫(huà)軸：在已知圖形中畫(huà)出x,y軸，兩軸交點(diǎn)為O,ZxOy=90°.在

直觀圖中，把它們化成x',y'軸，兩軸交點(diǎn)為0',且使Nx'O'y'=45°

（或135°）0

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(2)畫(huà)線：①已知圖形中平行于x,y軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成

平行于x',y'軸。②已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度不變；平

行于y軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度減半。

(3)成圖：連線成圖，擦去坐標(biāo)軸，輔助線等。

注意把握：

不變的：平行關(guān)系，與x軸平行或重合的線段長(zhǎng)度

變化的：垂直關(guān)系，角的大小，一般線段的長(zhǎng)度

規(guī)則口訣是：

橫相等，縱減半，平行關(guān)系不改變.

2、畫(huà)幾何體的直觀圖，比畫(huà)平面圖形的直觀圖，多畫(huà)一個(gè)與x軸，y軸都

垂直的z軸，

并且使平行于z軸的線段的平行性和長(zhǎng)度都不變.

口訣：平行依舊垂改斜，橫等縱半豎不變，眼見(jiàn)為實(shí)遮為虛，空間觀感好

體現(xiàn).

3.知識(shí)點(diǎn)2斜二測(cè)畫(huà)法

用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟

［點(diǎn)撥］

(1)斜二測(cè)畫(huà)法中，“斜”是指把直角坐標(biāo)系變?yōu)樾弊鴺?biāo)系使

NVOy'=45°(或135°)；“二測(cè)”是指畫(huà)直觀圖時(shí)，平行于X軸的線段長(zhǎng)度不

變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度減半.

(2)斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)圖的關(guān)鍵是在原圖中找到?jīng)Q定圖形位置與形狀的點(diǎn)，并在

直觀圖中畫(huà)出.

(3)斜二測(cè)畫(huà)法的位置特征與度量特征簡(jiǎn)記為：橫不變、縱折半，平行位置

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不改變.

4.知識(shí)點(diǎn)3空間幾何體直觀圖的畫(huà)法

1.畫(huà)軸：與平面圖形的直觀圖畫(huà)法相比多了一個(gè)Z軸，直觀圖中與之對(duì)應(yīng)

的是Z，軸.

2.畫(huà)底面：平面voy表示水平平面，平面和V。/表示豎直平面.

3.畫(huà)側(cè)棱：已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平

行性和長(zhǎng)度都不變.

4.成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線.

［點(diǎn)撥］(1)畫(huà)空間圖形的直觀圖在要求不太嚴(yán)格的情況下，長(zhǎng)度和角度可適

當(dāng)選取.為了增強(qiáng)立體感，被擋住的部分通常用虛線表示.

(2)斜二測(cè)畫(huà)法保持了原圖形的平行性、共線性，保持了平行線段的長(zhǎng)度比.

(3)坐標(biāo)系的建立要充分利用幾何體的對(duì)稱性，坐標(biāo)原點(diǎn)一般建在圖形的對(duì)

稱中心處，使幾何體的頂點(diǎn)盡可能多地落在坐標(biāo)軸上.

(4)要先畫(huà)出底面的直觀圖，再畫(huà)出其余各面.

5.練習(xí)

1.判斷正誤(正確的打“，錯(cuò)誤的打“義”)

(1)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖中的線段，原來(lái)垂直的仍

垂直.()

(2)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖中的線段，原來(lái)平行的仍

平行.()

(3)正方形的直觀圖為平行四邊形.()

(4)梯形的直觀圖不是梯形.()

答案：(1)X(2)7(3)V(4)X

2.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的△ABC時(shí)，若NA的兩邊分別平行于x軸，

y軸，且乙4=90°,則在直觀圖中N4=()

A.45°B.135°

C.45°或135°D.90°

C［在畫(huà)直觀圖時(shí)，NA'的兩邊依然分別平行于V軸，y'軸，而NVOy

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=45°或135°.故選C.]

3.利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)邊長(zhǎng)為1cm的正方形的直觀圖，可能是下面的()

C[正方形的直觀圖是平行四邊形，且邊長(zhǎng)不相等，故選C項(xiàng).]

4.如圖所示的直觀圖△405,其原平面圖形的面積為.

解析：由直觀圖可知其對(duì)應(yīng)的原平面圖形△AOB中，NAOB=90°,OB

=3,0A=4,所以SAAOB=；0A0B=2X4X3=6.

答案：6

6.探究點(diǎn)一平面圖形的直觀圖的畫(huà)法

畫(huà)正五邊形的直觀圖.

解析：(1)以正五邊形的中心為原點(diǎn)。，建立如圖(1)所示的直角坐標(biāo)系

xOy,再建立如圖(2)所示的坐標(biāo)系使Nx，Oy=45°.

(2)在圖(1)中作8G_Lx軸于點(diǎn)G,E"_Lx軸于點(diǎn)H,在坐標(biāo)系/。了中作O'H'

=0H,O'G'=0G,O'A'=|OA,O'F'=|OF,過(guò)點(diǎn)F作CO〃/軸，

使C'D'=CD且尸為的中點(diǎn).

(3)在坐標(biāo)系voy中，過(guò)點(diǎn)G作GE〃y軸，且GE=；GB,過(guò)點(diǎn)次作

'軸，且HE=3HE.連接A'B',B'C',CD',D'E',E'A',

得五邊形A'B'C'D'E'為正五邊形ABCDE的平面直觀圖.

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方法技巧

畫(huà)平面圖形直觀圖的關(guān)鍵

(1)在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系時(shí)盡量利用原圖形的對(duì)稱性和圖形中的垂

直關(guān)系.

(2)畫(huà)水平放置的平面多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形的頂點(diǎn)位置.頂

點(diǎn)位置可以分為兩類：一類是在軸上或在與軸平行的線段上，這類頂點(diǎn)比較容

易確定；另一類是不在軸上且不在與軸平行的線段上，這類頂點(diǎn)一般通過(guò)作過(guò)

此點(diǎn)且與軸平行或垂直的線段，將此點(diǎn)轉(zhuǎn)到與軸平行或垂直的線段上來(lái)確定.

［對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練］

如圖是正方形ABCE和正三角形COE所組成的平面圖形，試用斜二測(cè)畫(huà)法

畫(huà)出其水平放置時(shí)的直觀圖.

解析：(1)以所在的直線為光軸，的垂直平分線為y軸，建立平面

直角坐標(biāo)系，如圖①所示；

(2)建立坐標(biāo)系x'O'y',使Nx，Oy=45°.以。為中點(diǎn)，在/軸上截取

=AB,分別過(guò)4,B'作y軸的平行線，并截取AE=TAE,B'CBC,

在y軸上截取077=30D，如圖②所示；

(3)連接E。，E'C,CD',并擦去作為輔助線的V軸、y軸，就得到

所求的直觀圖，如圖③所示.

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7.探究點(diǎn)二空間幾何體的直觀圖

畫(huà)正六棱柱的直觀圖.(底面邊長(zhǎng)為2cm,側(cè)棱長(zhǎng)為5cm)

解析：畫(huà)法：(1)畫(huà)軸.畫(huà)V軸、軸、z，軸，使/x，Oy=45°(或135°),

Nx'O'z'=90°.

(2)畫(huà)底面.根據(jù)V軸、y軸，畫(huà)正六邊形的直觀圖A8COER使b長(zhǎng)為4cm.

(3)畫(huà)側(cè)棱.過(guò)A,B,C,D,E,尸各點(diǎn)分別作Y軸的平行線，在這些平行

線上分別截取4V,BB',CC',DD',EE',FF'都等于側(cè)棱長(zhǎng)5cm.

(4)成圖.順次連接4,B',C,D',E',F',并加以整理(去掉輔助

線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到正六棱柱的直觀圖.

方法技巧

畫(huà)空間幾何體的直觀圖的策略

(1)畫(huà)空間幾何體時(shí)，首先按照斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則畫(huà)出幾何體的底面直觀圖，

然后根據(jù)平行于z軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度保持不變，畫(huà)出幾何體的各側(cè)面，

并成圖.

(2)畫(huà)空間幾何體的步驟可簡(jiǎn)單總結(jié)為：

畫(huà)軸—*畫(huà)底面—,■畫(huà)側(cè)棱—*成圖

［對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練］

畫(huà)一個(gè)正四棱錐(底面為正方形，側(cè)面為全等的等腰三角形)的直觀圖(尺寸

自定).

解析：步驟：

(1)畫(huà)軸.如圖①，畫(huà)x軸、y軸、z軸，使/無(wú)Oy=45°,NxOz=90°.

(2)畫(huà)底面.以。為中心，在xOy平面內(nèi)，畫(huà)出正方形的直觀圖ABCD

(3)畫(huà)頂點(diǎn).在Oz軸上截取OS,使OS等于已知正四棱錐的高.

(4)畫(huà)棱.連接SA,SB,SC,SD,擦去輔助線(坐標(biāo)軸)，得到正四棱錐S-ABCD

的直觀圖，如圖②所示.

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X

8.探究點(diǎn)三直觀圖的還原與計(jì)算

已知△ABC的平面直觀圖是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，那么原

△ABC的面積為（）

A近2口盅2

A.2aB.a

C.坐*D.y16a2

則坐a.又Nx，Oy=45°,?.A,O'=乎a.畫(huà)△ABC的實(shí)際圖形,

2

如圖(2)所示，AO=2A'O'=yj6a,BC=B'C'=a,/.SAABC=|BCAO=*a.]

方法技巧

1.直觀圖的還原技巧

由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與V軸，y'軸平行的直線或線段，且平

行于V軸的線段還原時(shí)長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段還原時(shí)放大為直觀圖中相應(yīng)

線段長(zhǎng)的2倍，由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn)，順次連接即可.

2.直觀圖與原圖面積之間的關(guān)系

若一個(gè)平面多邊形的面積為S,其直觀圖的面積為則有$=乎S或S

=2P利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖

形面積.

［對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練］

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用斜二測(cè)畫(huà)法得到一個(gè)水平放置的平面圖形0A8C的

直觀圖為如圖所示的直角梯形02,夕C,其中梯形的上底

長(zhǎng)是下底長(zhǎng)的;，若原平面圖形0ABC的面積為36，則

O'A'的長(zhǎng)為（）

A.2B.72

3

C.小D.

D[由原平面圖形與直觀圖的面積之比為1：乎，設(shè)O'A'=x,則直觀圖

的面積為山（“+4所以原平面圖形O4BC的面積為2小x|/=

3也,得尤=2，故選D.]

9.課堂作業(yè)

1.（多選）用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖，對(duì)其中的線段說(shuō)

法正確的是（）

A.原來(lái)相交的仍相交B.原來(lái)垂直的仍垂直

C.原來(lái)平行的仍平行D.原來(lái)共點(diǎn)的仍共點(diǎn)

ACD[根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法知，原來(lái)垂直的直線在直觀圖中未必垂直，因此B

錯(cuò)誤，A、C、D正確.]

2.若把一個(gè)高為10cm的圓柱的底面畫(huà)在fOy平面上，則圓柱的高應(yīng)畫(huà)

成（）

A.平行于7軸且大小為10cm

B.平行于z，軸且大小為5cm

C.與7軸成45°且大小為10cm

D.與/軸成45°且大小為5cm

A[平行于z軸（或在z軸上）的線段，在直觀圖中的方向和長(zhǎng)度都與原來(lái)保

持一致.故選A.]

3.如圖所示，矩形（74夕C是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O'A'

=6cm,CD'=2cm,則原圖形是（填四邊形的形狀）.

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解析：如圖所示，在原圖形0A5C中,

應(yīng)有Q4=OA，=6(cm),

OD=2O'D'=2X2yf2=46(cm),

CD=C'D'=2(cm),

：.0C=y)0D2+CD2

=yj(4^2)2+22=6(cm),

：.OA=OC,XOA//BC,OA=BC,

故四邊形0ABe是菱形.

答案：菱形

4.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)上底面邊長(zhǎng)為1cm,下底面邊長(zhǎng)為2cm,高(兩底

面之間的距離，即兩底面中心連線的長(zhǎng)度)為2cm的正四棱臺(tái).

解析：(1)畫(huà)軸.如圖(1)所示，畫(huà)x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)0,使

ZxOy=45°,ZxOz=90°.

(2)畫(huà)下底面.在平面xQy上畫(huà)邊長(zhǎng)為2cm的正方形的直觀圖，即平行四邊

形ABCD.

(3)畫(huà)上底面.在0z上截取00,=2cm,過(guò)。分別作平行于軸Ox.軸Oy

的軸。*、軸。y,在平面voy上用畫(huà)正四棱臺(tái)下底面直觀圖的方法畫(huà)出正四

棱臺(tái)的邊長(zhǎng)為1cm的上底面的直觀圖，即平行四邊形49CO.

(4)依次連接4T,BB',CC,DD',整理(去掉輔助線，將被遮擋部分

改成虛線)得到正四棱臺(tái)的直觀圖，如圖(2)所示.

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io.課時(shí)作業(yè)（二H—）立體圖形的直觀圖

（本欄目?jī)?nèi)容，在學(xué)生用書(shū)中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂?。?/p>

［A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)］

1.（多選）用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)平面圖形的直觀圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.水平放置的正方形的直觀圖可能是梯形

B.兩條相交直線的直觀圖可能是平行直線

C.互相垂直的兩條直線的直觀圖仍然互相垂直

D.線段的中點(diǎn)在直觀圖中仍然是線段的中點(diǎn)

ABC［斜二測(cè)畫(huà)法中，平行性不變，相交直線仍相交，故A和B錯(cuò)誤，D

正確，而直觀圖中X'軸和y'軸所成的角為45°（或135°），故C錯(cuò)誤.故選ABC.］

2.如圖，水平放置的三角形的直觀圖，D'是49邊上的一點(diǎn)且。

A'B',A'B'//Y'軸，C'D'//X'軸，那么C'A',CB',CD'三條線

段對(duì)應(yīng)原圖形中的線段CA,CB,。。中（

A.最長(zhǎng)的是C4,最短的是C3

B.最長(zhǎng)的是CB,最短的是C4

C.最長(zhǎng)的是C4,最短的是CD

D.最長(zhǎng)的是C3最短的是C。

D［因?yàn)锳b〃:r軸，C'D'//X'軸，所以在原圖中，ABJ_CD,A8=2AE,

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CD=C'D',所以CB2=CD2+BD2=CD2+（2B'D'f,CA1=CD1+AD2=CD2+

（240）2,因?yàn)锳'=|A'B>,所以CB〉?！?。，故選D.]

3.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形（749C是一個(gè)水平放置的平面圖形OABC的

直觀圖，則圖形OA3C的面積是（）

*

B.喙

C.啦D.2啦

D[由直觀圖夕C畫(huà)出原圖OABC,如圖，因?yàn)镺'B'=y/2,所以0B

=2也，0A=1,則圖形0A8C的面積是2啦.故選D.]

4.一個(gè)平面圖形的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖是一個(gè)直角邊為。的等腰直角三角

形，則原圖形的面積為（）

A.坐a2B.2y[2a2

C.乎a2D.也a2

D「.?平面圖形的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖是一個(gè)直角邊為a的等腰直角三角

形，.'.S'a2,則原圖形的面積S=2&X；/=也々2.故選D.]

5.（多選）水平放置的△A8C的直觀圖如圖所示，其中用。，=。。，=1,A'

0',那么原△ABC是一個(gè)（）

A.等邊三角形B.直角三角形

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C.三邊互不相等的三角形D.面積為小的三角形

AD[由題中圖形知，在原△ABC中，AO±BC.'：A'O'=苧，：.AO=

小，"：B'O'=C'0'=\,：.BC=2,AB=AC=2,：./\ABC為等邊三角

形....△ABC的面積為:X2X小=小，故選AD.]

6.已知水平放置的四邊形A3CQ,按照斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它的直觀圖4g

如圖所示，其中4D=2,B'C'=4,A'B'=\,則0c的長(zhǎng)度是.

解析：畫(huà)出原圖如下圖所示，由圖可知DC=#22如22=26.

答案:2吸

7.△ABC為邊長(zhǎng)為2cm的正三角形，則其水平放置《斜二測(cè)畫(huà)法》的直

觀圖的面積為..其直觀圖的周長(zhǎng)為

解析：如圖所示

△ABC為邊長(zhǎng)為2cm的正三角形,

則其水平放置的直觀圖9C的面積為

S—坐邛X乎X2』乎

其直觀圖的周長(zhǎng)為

L=A'B'+B'C'+C'A'

—2X1X坐Xcos135。+

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2+y4+（坐j—2X1X坐Xcos45°

=（乎+{l+2+（乎-3=2+加■

答案：乎2+#

8.利用斜二測(cè)畫(huà)法得到：

①三角形的直觀圖是三角形；

②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；

③正方形的直觀圖是正方形；

④菱形的直觀圖是菱形.

以上結(jié)論中，正確的是（填序號(hào)）.

解析：斜二測(cè)畫(huà)法得到的圖形與原圖形中的線線相交、線線平行關(guān)系不

會(huì)改變，有的邊的長(zhǎng)度會(huì)發(fā)生變化，因此三角形的直觀圖是三角形，平行四邊

形的直觀圖是平行四邊形.

答案：①②

9.一個(gè)機(jī)器部件，它的下面是一個(gè)圓柱，上面是一個(gè)圓錐，并且圓錐的底

面與圓柱的上底面重合，圓柱的底面直徑為3cm,高為3cm,圓錐的高為3cm,

畫(huà)出此機(jī)器部件的直觀圖.

解析：（1）畫(huà)軸.如圖①，畫(huà)x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)0,使/尤Oy

=45°,ZxOz=90°.

（2）畫(huà)圓柱的兩底面.在xOy平面上畫(huà)出底面圓。，使直徑為3cm,在z軸

上截取00,使0O=3cm,過(guò)。作Ox的平行線OY,Oy的平行線0y，利用

0X與0曠畫(huà)出底面圓。，，使其直徑為3cm.