高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何章末總結(jié)學(xué)案新人教A版選擇性必修第一冊

章末總結(jié)

體系構(gòu)建

空同向量的定義及K灰示

*>**?,京法運算

空仰角岫險塞及施治第

空網(wǎng)向M話力的定W痛退工

又及H幾何兔又

空間向li的線性運4,***????

律和收KPI運算

空間向胡運克的跖舞律業(yè)4明結(jié)合戊、翁旭律

空”向依星本定J9*向黃

&公充理

空間向依抵本定用與空河向收運算的坐標(biāo)我不空河直加米驚笈

審何向M話0的中標(biāo)N東

才命旬青

用空間向量解決川室同向胡龍木點.m空間向依研究立體幾何把同被送算

中的儂.平倒的位置關(guān)果

工體幾何向即an.平血等無拿-ftlif-

4.距離浦頭角問題建的幾何結(jié)槍

代,而用

我的距

而莉亞

題型整合

題型1空間向量的運算

例1如圖，在斜三棱柱-II/中，向量一>=,->=,

，三個向量之間的夾角均為2,點、分別在/八/上，且丁

t=；,I1=2,|*|=2,|；|=4.

(1)將向量一'用向量、表示，并求|―1;

(2)將向量*用、、表示.

答案：(1)*=>+J+-*=_*+/+^*=-[+

因為.=||||cos^=2x4x-}=4,

所以2=(_q+)2=32--?+2=\乂*-；X4+f=笥，

(2)因為—(=----；,所以為/的中點,

所以'=次-()=((~~(+++).

方法歸納

在幾何體中，根據(jù)圖形的特點，選擇公共起點最集中的向量中的三個不共面的向量作為基底

或選擇有公共起點且關(guān)系最明確(如夾角或線段的長度)的三個不共面的向量作為基底，這

樣更利于解題.

遷移應(yīng)用

1.如圖，在四棱錐-中，底面是邊長為1的正方形，到

的距離都等于2.給出以下結(jié)論：①一"+

②——>+—-,=:③—-)=―>■-1；?―>■一'=0,其

中正確結(jié)論的序號是.

答案：②③

解析：易知,+>=*+,=0,所以②中結(jié)論正確；因為底面

ABCD是邊長為1的正方形，====2,所以,=2x2x

cos/,(?'=2x2xcos^f，又N=/,所以

,所以③中結(jié)論正確；顯然①、④中結(jié)論不正確.故正確結(jié)論的序號是

②③.

題型2利用空間向量解決平行與垂直問題

例2(2021天津高二期中)如圖，在四棱錐中，底面是正方

1底面是的中點，已知

(1)求證：1；

(2)求證：平面1平面

答案：證明以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸建

立空間直角坐標(biāo)系,

因為底面是正方形，=2,=2,

所以{0,0,0)，(2,0,6，(2,2,0),(026，(0,0,2).

(1)因為是的中點，所以的坐標(biāo)為(1,1,1),

所以—'=，

易知"=(0>2,—2),所以."'=1x0+/x2+/x(—2)=0,

所以一―>，即_L

(2)因為底面是正方形，所以1,

因為1底面，u底面，

所以1，因為n=,,u平面，所以_L平

面，

所以平面的一個法向量為—,={-2,2,0),

設(shè)平面的法向量為=(,,),易知一'={2,0-2),

則1,二=￡=?取=/，得=/,=/,所以平面的一個法

(=2—2=0,

向量為=(1,1,1),

因為?(=/x(-0+/x2+Ox0=0,

所以1一(,

所以平面1平面

方法歸納

判斷平面與平面垂直有兩種思路，一是利用判定定理判斷；二是轉(zhuǎn)化為平面的法向量

進行判斷.

遷移應(yīng)用

2.如圖所示，已知1平面，四邊形為矩形，=,,

分別為，的中點.求證：

(1)II平面

(2)平面1平面

答案：證明(1)如圖所示，以為坐標(biāo)原點,所在的直線分別為

軸建立空間直角坐標(biāo)系

(,例，

因為，分別為，的中點，所以七,0,0),(―/~/~)，

所以—>=59，—?=(Q0,)，—>=(0,,0)，

所以—Y--

又因為仁平面，所以II平面

(2)由(1)可知*=(,)，*=(。，—).

設(shè)平面的法向量為/=(I，/,1),

令/=，得？=2,7=-，

則］二(2.

設(shè)平面的法向量為2=(2，2,2)，

令2=/，得2=。，2=，，則2=(QLD.

因為/,2=。一+=0,

所以1.L2，

所以平面1平面

題型3利用空間向量求空間距離

例3如圖，在四棱錐-中，△是以為斜邊的等腰直角三角形,

II，1,==2=2—2,為的中點.

(1)證明：II平面；

(2)求點到的距離；

(3)求直線到平面的距離.

答案：(1)證明：】雙的中點，連接、，

V為的中點,?1?IIII,=1=>?1?四邊形為

平行四邊形，.??II，

■,-C平面,C平面，[II平面

(2)取的中點，連接、，易得四邊形為正方形，二=

=1.

是以為斜邊的等腰直角三角形，1,=;=1,

V1,n=,u平面，

1平面

???II，：，1平面

VU平面，平面1平面

以為原點，、所在直線分別為、軸,在平面內(nèi)，作1平面

,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

電

RCx

則(0,0⑨,[-1,1,0)，{1,1,0)，.

V1平面，:1

在Rt△中，=V2—2=N=>/~3，

==1,

???N=12ff,

???(吟與，皆與，

???'US，1=(一『，給,

故>*'=2乂(一勺_1乂彳=-彳,

故點A到的距離=I?-(zzrr^=^.

\?Io

(3)由(1)知||平面，：,點到平面的距離即為所求.

由(2)知一?=(a|,y)，—'=[-1,1,0)，聯(lián)有

設(shè)平面的法向量為=(,,),

叫=0,即1￥+￥=〃

=0,(一+=0,

令=/,則=1,=-V5，

???=(7,7,-VJ),

二點到平面的距離=4?=/浸：［=高=*,

故直線到平面的距離為空.

5

方法歸納

(1)求點到平面的距離，常常利用向量法，將問題轉(zhuǎn)化為平面外一點與平面內(nèi)一點構(gòu)

成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的長度問題.(2)求直線到平面的距離，往往轉(zhuǎn)

化為點到平面的距離求解，且這個點要適當(dāng)選取，以易于求解為準則.

遷移應(yīng)用

中，四邊形為正方形，_L平面=2，

分別為，的中點.

(1)求證：II平面；

(2)求點到平面的距離.

答案:(1)證明：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

由題意知(0,0,6,[0,0,2),(1,0,0),(220),{0,1,1),

=—0,2),，=(1,2,6,'={0,1,1),

設(shè)平面的法向量為=(,,),

+2

則=0(=0,

=0I—+2=Of

令=2,得=1?

—，

=0,

II平面

(2)由(1)知II平面

二點到平面的距離等于點到平面的距離.

由⑴知平面的一個法向量為=(2,-1,1),=(.-1,0,0)，

\_2_屈

二點到平面的距離TV=^=~'

的距離為斗，即點到平面的距離為苧.

???點到平面

題型4利用空間向量求空間角

例4如圖所示,在四棱柱////中，側(cè)棱11底面

II平面1i1,1I-

2,為棱1的中點.

(1)證明:1/I

(2)求平面與平面1夾角的正弦值;

」所成角的正弦值辭，求線

(3)設(shè)點在線段；上，且直線與平面1

段的長.

答案:(1)證明：如圖所示，以為原點,所在直線分別為軸,

軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,

依題意得(0,0,6，{0,0,2),1(121)，(0,1,0)，

所以=5=(1,〃一］),一'={-1,1-1')，因為==。，所以//1

(2)設(shè)平面］的法向量為=(,,)，因為="一2,-1),

取—1,可得=-3,=-2,所以=.

由(1)知//_!_，又/_!.//,且/Cl=,/,u平

面/,所以/11平面J,

故-7-7=(/，0—/)為平面1的一個法向量，

所以c°s<晟l當(dāng),

所以sin<,—}—J>=岑，

故平面/與平面i夾角的正弦值為學(xué).

(3)易得一'=(0,1,0),----；=(1,1,1),

設(shè)(=/=(,,)>0<<1,則(=*+*=(,+/,),

易知為為平面//的一個法向量，

設(shè)為直線與平面//所成的角，

則sin=|cos<-，—>1=三言=7^4^^=萬拈韋'

所以萬號前=弓="(負值舍去)，則一=或為-

所以|-=］&+(乎+(92=0.故的長為位.

方法歸納

解決立體幾何中的夾角問題的思路：思路一：利用定義，在圖形中找出所求的角，解

三角形求出所求的角；思路二：利用向量法，轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量之間的

夾角.

遷移應(yīng)用

4.(2021山東濟南第H■?一中學(xué)期中)如圖，在四棱錐-中，1底面

，1，II，===2,=/，點為

棱的中點.

(1)證明：1;

(2)求直線與平面所成角的正弦值；

(3)若為棱上一點，且滿足1,求平面與平面夾角的

余弦值.

答案：(1)證明：以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系.

則[0,0,0)，(1,帥，(220)，(020),(0,00,(/,7,7),

所以-'=(QLI)，-=[2,0,0),

因為*-'=0,

所以1

(2)易知1,2,0),'=^1,0,~2).

設(shè)=(,,)為平面的法向量，

則｛

令=/,得=(2,1,1)為平面的一個法向量，

所以cosV,—>>=「言=熹=￥，所以直線與平面所成角的正弦

IHI76x723

值為手.

(3)易知'=(1,2,0),'=[-2,-2,2),>=[2,2,0),'=(1,0,0).

由點在棱上，設(shè)>=*,0<<1,故*=*+*=>+

*=(1-2,2-2,2).

1得'■"二^^因此式[一^)+式2-2)=0,解得=^,即(=

(一■及>

設(shè)/=(/，/，/)為平面的法向量，則[r—?=?即

(I-=0,

/=°>

/+'/+]1~0,

令=1,得/=("—3。為平面的一個法向量.

易知平面的法向量為2=3，。，則COS</,2>=-=急=-翳

所以平面與平面夾角的余弦值為呼.

題型5空間向量中的探索性問題

例5(2020天津濱海七校高二聯(lián)考)如圖，在三棱柱-///中，1

平面11,已知//=彳，—1>=1=2,點是棱/的

中點.

(1)求證：/J?平面；

(2)求平面/與平面//夾角的余弦值；

(3)在棱上是否存在一點，使得與平面//所成角的正弦值為呼？

若存在，求出一的值；若不存在，請說明理由.

答案：(1)證明：=1,1=2,N]=彳j=yj~3,

???2+f=2]、JJ_,

??,1平面11，又/U平面]1,

-L1

又,?,n=,u平面，

]1平面

(2)以為原點，―'，—；,一的方向分別為，，軸的正方向建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則(0,0,2),“I小。,《百。，,(1,0,0),

設(shè)平面/的法向量為=(〃〃/),

=(一/,~2)

(------>_n(-1+61-2j=0,

“一金書,+￥T,=0.

令/=近，則1=1,1=1,：.=(47).

設(shè)平面1/的法向量為=(2,2)2)9

力=(。。一3

令2~心，則2=1，2=0,

=(7,V5,0),

ACOS<,>=—=[="

IIII2/55

???平面/與平面1/夾角的余弦值為學(xué).

(3)假設(shè)存在點，設(shè)(，，)，

v'—>?G[0,/],

??(-1,,)=[-1,0,2).(2-,0,2),，=6一，一當(dāng)2).

由(2)知平面1j的一個法向量為=,

由|cos<\>|==乎，得692-38+5=0,即(3-/)-

2居-￥+52〃

[23-5)=0,

=」或=—,--或——.

323323

方法歸納

解決探索性問題的基本策略是：通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對象存在(或結(jié)論成立)，然后

在這個前提下進行邏輯推理，若能推導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實，則說明假設(shè)成立，即存

在，并可進一步證明；若推導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)論，則說明假設(shè)不成立，即不

存在.

遷移應(yīng)用

5.(2021山東聊城高二期中)如圖所示，在三棱柱-///中，/I平面

,1——=4,4-9ff,是/的中點.

（1）求直線與平面/所成角的正弦值；

（2）在棱/上是否存在一點，使得平面與平面,所成的角為4s若

存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

答案：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

則(4,0,0)，(040)，(0,0,2)，，所以—'=(-4,4,0)，------；=(4,0,2),

={0,4,-2）.

-af4+2

-令

即<

設(shè)平面/的法向量為=（-al4-2-

，，貝IJ=[1-1-2）,

所以cos<_；>=^^=^=一產(chǎn)，

所以直線與平面,所成角的正弦值為當(dāng).

（2）假設(shè)在棱/上存在一點，使得平面與平面/所成的角為45°,

設(shè)（?！ǎ?，0W<4,則-'={4,0-），

設(shè)平面的法向量為/=（〃〃/）,

叫；：—：?<-41+7°；=0,取L,則,=（，?

由（1）知平面!的法向量為=（1,一/,一劣.

所以|COSV/,>|==/8L=[，即2=1,

IIIIJ22+1&岳23

解得=平（負值舍去）.

故在棱/上存在一點，使得平面與平面/所成的角為好，點的

坐標(biāo)為（。4不.

高考鏈接

1.(2018課標(biāo)n理，9,5分)在長方體////中，

,=則異面直線/與,所成角的余弦值為()

A-iB-TC-7D-7

答案：

2.(2020新高考I,20,12分)如圖，四棱錐一的底面為正方形，1底

面.設(shè)平面與平面的交線為

(1)證明：1平面

(2)已知==1,為上的點，求與平面所成角的正弦值的

最大值.

答案：(1)證明：因為在正方形中,II

且C平面，u平面，

所以II平面，

又因為u平面，平面n平面=，所以II

因為在四棱錐-中，底面是正方形，所以1，所以JL

又1底面，U底面，所以1，所以1

因為n=,,u平面,所以1平面

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

因為==/,所以（〃。自，｛0,1,0）,（1,0,0）,（0,0,1），{1,1,0）,

設(shè)（,OQ,則—'={0,1,0）,~~*=（,0,1）,->={1,1-1），

設(shè)平面的法向量為=(,,),

則=：或即{="+=0

令=/,則=_,=o,所以平面的一個法向量為={1,0-），

.?_1+0+

則cos<

=III——I=展4+1

所以與平面所成角的正弦值為|cos<----->>I=I"I_qH+IR2

y[3'y/m^+131m^+1

￥?口1口9口l5w?E=%當(dāng)且僅當(dāng)=/時取等號，

所以當(dāng)點的坐標(biāo)為（1,0,1）時，直線與平面所成角的正弦值的最大值為乎.

3.（2020課標(biāo)m理,19,12分）如圖，在長方體1I中，點分

別在棱!上，且221■

（1）證明：點/在平面內(nèi);

(2)若=2,1=3,求平面與平面1夾角的正弦值.

，使得/，連接

答案：（1）證明：在棱/上取點1~2

1

在長方體1/中，II且1/，且

=2I

2

???四邊形為平行四邊形，則//且

同理可得四邊形/為平行四邊形,

/II且

/II且1—,則四邊形為平行四邊形,

???點1在平面內(nèi).

（2）以點/為坐標(biāo)原點，/八/八所在直線分別為軸、軸、軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系!

{,2,1,3)、、(2,0,2)、{0,1,1},

-=10,-L-I)，'={-2,0,-2),一「=[0,-1,2),一丁=(-2