高中數(shù)學：數(shù)列求和的方法技巧

高中數(shù)學：數(shù)列求和的方法技巧

數(shù)列求和是數(shù)列的重要內容之一，在現(xiàn)行高中教材中，

只對等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進行了計算推導，

而數(shù)列種類繁多，形式復雜，絕大多數(shù)既非等差數(shù)列又

非等比數(shù)列，也就不能直接用公式來求解。對于這種非

常規(guī)數(shù)列的求和問題，針對具體情況，現(xiàn)歸結為以下幾

種方法。

一、倒序相加法

此法例1.已知1g(對)=&Sn=lgx"+lg(X?ly)+lg(x"-2y2)+“.+lgyn或

sn.

nn-1n22n

解:Sa=1gx+lg(xy)+lg(x-y)+???+1gy0①

把等式①的右邊順序倒過來寫，即①可以寫成以下式

子：

nn1n22n

Sn=lgy+lg(y-x)+lg(y-x)+-+lgx.②

把①②兩式相加得2Sn=8+1)1g的廣=n(n+l)lg(xy)=an(n+l).

Sn=--n(n+1).

二、錯位相消法

此法例2.求數(shù)列812a2居3....6,…的前n項和。

解：設SR=a+2a，+3a3+???+nan.

oircn(n+1)

當a=l時，Sn=l+2+3+...+n=-

當awl時,Sn=a+2a2+3a3+…+na".①

①式兩邊同時乘以公比3,得aS「a2+2a3+3a4+“?+naZ

a+a2+a3+???+an-nan+1=~——-nan+1

①②兩式相減得1-a

_nan+2-(n+l)an+1+a

n=

三、拆項分組法

把一個數(shù)列分拆成若干個簡單數(shù)列(等差數(shù)列、等比數(shù)

列)，然后利用相應公式進行分別求和。

例3.求數(shù)列，…+k+會的前n項和。

解：設數(shù)列的前n項和為％,則

號"1+H+白卜…+卜+總；

k+±+2)+(X'+++2)+.“+(x2n+*+2)=(x2+x4+-“+x2n)+[±+g+

…+W)+2n

x"x*-l)x~2(x-2n-1)(x&-1)3a+2+1)

、[3ri3乳=o+o+，n=/Xxo+2n.

當XW±1時，X2-lX-2-lxRxa-l)

當乂=±1時,S“=4n.

說明：在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，應對q=l

與的情況進行討論。

四、裂項相消法

用裂項相消法求和，需要掌握一些常見的裂項技巧。如

n(n+1)nn+1

11

(n+1)「ni------=——----------------------=—

'"(口+1)!n!(n+1)!'n(n+l)(n+2)2n(n+1)(n+l)(n+2)

一i——=Jn+1-瓜.

Vn+1+Vn

1_____1_____1________1_

例4.求數(shù)列l(wèi)x3,2x4,3x5，，n(n+2)，的前n項和。

解：n(n+2)21nn+2/

+)]

五、奇偶數(shù)討論法

如果一個數(shù)列為正負交錯型數(shù)列，那么從奇數(shù)項和偶數(shù)

項分別總結出“與n的關系進行求解。

例5.已知數(shù)列&｝，a「-2[n-(-l力求該數(shù)列的前n項和4。

解：an=-2[n-(-l)n]=-2n+2(-1尸,對n分奇數(shù)、偶數(shù)討論求

和。

①當n=2m(meN，)時,

2

Sn=S2m=-2(l+2+3+-+2m)+2[(-l)+(-1)+???+

(-1產(chǎn)]=-2(1+2+3+■■?+2m)=-(2m+1)-2m=-n(n+1).

②當n=2m-l(meN.)時,

2m

Sn=S2m_1=S2m=-(2m+l)-2m+2[2m-(-l)]

=-(2m+1)-2m+2(2m-l)=-4m2+2m-2=-(n+I)2+(n+1)-2=-n2-n-2.

n(n+l)(n為正偶數(shù))，

"*=1-n2-n-2(n為正奇數(shù)).

六、通項公式法

利用S"-,問題便轉化成了求數(shù)列0)的通項問題。

這種方法不僅思路清晰，而且運算簡潔。

例6.已知數(shù)列｛4｝4=入3可求該數(shù)列的前0項和4。

解：

Sn+1-sn=an+i=(n+1)-3n=3n-1(4n+4)=3n-9[(2n+1)-3-(2n-l)]=

44

n+1nn+1

卜2n+l)-3-l(2n-l)-3,目口Sn+1-1(2n+1).3=Sn-l(2n-1).3n

44用J44

???數(shù)列,《37寸｝是一個常數(shù)列，首項為

S1-l-3=a1-2=1.

1444

二&一*麗"

七、綜合法

這種方法靈活性比較大，平時注意培養(yǎng)對式子的敏銳觀

察力，盡量把給定數(shù)列轉化為等差或等比數(shù)列來處理。

例7.已知312-22+32_42+...+(_1嚴代求$11.

分析：注意觀察到：0-22=0-2)(1+2)=-(1+2),

32-42=(3-4)(3+4)=-(3+4),

其他可依次類推。關鍵是注意討論最后的n是奇數(shù)還是

偶數(shù)。

解：①當n為奇數(shù)時，由以上的分析可知：

Sn=