河南省焦作市博愛(ài)2024-2025高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

河南省焦作2024—2025高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題考生留意：1．答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清晰；2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，在試卷上作答無(wú)效；3．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知函數(shù)，若f(x)在R上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.(，1] B.[，] C.(，+∞) D.[1，2]【答案】B【分析】依據(jù)函數(shù)，f(x)在R上是增函數(shù)，則每一段都為增函數(shù)，且左側(cè)的函數(shù)值不大于右側(cè)的函數(shù)值求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，f(x)在R上是增函數(shù)，所以，解得，故選：B2.已知，，，則的大小關(guān)系為A.B.C.D.【答案】A【分析】利用等中間值區(qū)分各個(gè)數(shù)值的大小．【詳解】，，，故，所以．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查大小比較問(wèn)題，關(guān)鍵選擇中間量和函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．3.已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖象的兩條對(duì)稱軸，則（）A. B. C. D.【答案】B【分析】由單調(diào)性及對(duì)稱性得出函數(shù)的最小正周期，從而求得，然后求得，最終計(jì)算即可．【詳解】由已知，最小正周期為，，，，，，，故選：B．4.趙爽弦圖是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要發(fā)覺(jué)，它是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）．已知小正方形的面積為1，直角三角形中較小的銳角為，且，則大正方形的面積為（）A.4 B.5 C.16 D.25【答案】D【分析】依據(jù)正切函數(shù)二倍角公式求得，依據(jù)趙爽弦圖直角三角的邊角關(guān)系得兩直角邊長(zhǎng)，即可得大正方形的邊長(zhǎng)，可求得面積.【詳解】因?yàn)?，所以由題意小正方形的面積為1，則小正方形的邊長(zhǎng)為1，設(shè)直角三角形較短的直角邊為，則較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為,所以，解得，所以大正方形的邊長(zhǎng)為，故大正方形的面積為.故選：D.5.若直線：經(jīng)過(guò)第四象限，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【分析】以直線的斜率為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)參數(shù)分類探討，解出即可.【詳解】若，則的方程為，不經(jīng)過(guò)第四象限．若，則的方程為，經(jīng)過(guò)第四象限．若且，將的方程轉(zhuǎn)化為，因?yàn)榻?jīng)過(guò)第四象限，所以或解得或或．綜上知，的取值范圍為，故選：6.如圖，在直三棱柱中，，，直線與平面所成角的正弦值為，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由直線與平面所成的角的正弦值得，計(jì)算，得異面直線與所成角的余弦值．【詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，過(guò)點(diǎn)且平行于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，易知平面，則直線與平面所成的角為，所以，解得，則，．則，，，，所以，，則，故異面直線與所成角的余弦值為．故選：D．7.設(shè)數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.的最大值為或【答案】D【分析】AB選項(xiàng)，先依據(jù)題目條件得到，從而，，AB錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由得到C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，得到當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，故D正確.【詳解】AB選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，因?yàn)閿?shù)列是以為公差的等差數(shù)列，所以，故，解得，又，所以，，AB錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由于，，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的最大值為或，D正確.故選：D8.若曲線在處的切線的斜率為3，則該切線在軸上的截距為（）A. B.2 C. D.【答案】A【分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋?/p>

所以，由，得或（舍去）.當(dāng)時(shí)，，所以該切線的方程為，令，所以該切線在軸上的截距為.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.下列各組函數(shù)中是同一個(gè)函數(shù)的是（）A.與B.與C.與D.與【答案】AC【分析】依據(jù)函數(shù)的定義,只需對(duì)應(yīng)關(guān)系和定義域一樣,即可推斷為同一個(gè)函數(shù).【詳解】關(guān)于選項(xiàng)A,因?yàn)閷?duì)應(yīng)關(guān)系和定義域一樣,所以A是同一個(gè)函數(shù);關(guān)于選項(xiàng)B,因?yàn)榈亩x域?yàn)?定義域?yàn)镽,定義域不一樣,所以B不是同一個(gè)函數(shù);關(guān)于選項(xiàng)C,因?yàn)閷?duì)應(yīng)關(guān)系和定義域一樣,所以C是同一個(gè)函數(shù);關(guān)于選項(xiàng)D,因?yàn)榈亩x域?yàn)?可得,定義域?yàn)?定義域不一樣,所以D不是同一個(gè)函數(shù).故選:AC10.若，，且，則（）A. B.C. D.【答案】AB【分析】依據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算求得正確答案.【詳解】依題意，由，得，所以，且，即，．故選：AB11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小正周期為B.在上單調(diào)遞減C.D.的定義域?yàn)椤敬鸢浮緼C【分析】考查正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得AC正確.【詳解】解：因?yàn)椋瑢?duì)于A：的最小正周期為，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，故C正確；對(duì)于D：令，，解得，，所以的定義域?yàn)?，故D錯(cuò)誤．故選：AC．12.已知復(fù)數(shù)，，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，對(duì)應(yīng)的向量分別為，，，則以下結(jié)論正確的有（）A.B.若，則C.若，則與的夾角為D.若，則為正三角形【答案】ABD【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式計(jì)算即可推斷A；依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可推斷B；依據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求出與的夾角的余弦值即可推斷C；結(jié)合C選項(xiàng)即可推斷D.【詳解】因?yàn)?，，，所以，則，對(duì)于A，，故，，所以，故A正確；對(duì)于B，若，則，故B正確；對(duì)于C，設(shè)與的夾角為，若，則，即，即，所以，所以，即與的夾角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，則，即，由C選項(xiàng)可知與的夾角為，同理與的夾角為，與的夾角為，又，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，方差為，若數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)比方差大4，則的最大值是_____________．【答案】【分析】依據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可解出．【詳解】數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，方差為，所以，，即，則，因?yàn)椋?，因函?shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，的最大值是．故答案為：．14.某同學(xué)畫“切面圓柱體”（用與圓柱底面不平行的平面切圓柱，底面與切面之間的部分叫做切面圓柱體），發(fā)覺(jué)切面與圓柱側(cè)面的交線是一橢圓（如圖所示）．若該同學(xué)所畫的橢圓的離心率為，則“切面”所在平面與底面所成銳二面角的大小為_(kāi)_________．【答案】【分析】如圖，“切面”所在平面與底面所成的角為，設(shè)圓的半徑為，，，，由離心率求得，從而可得的余弦值，得角的大小．【詳解】如圖，“切面”所在平面與底面所成的角為，設(shè)圓的半徑為，則,,,由題意得，即，所以，即，所以，即.即“切面”所在平面與底面所成銳二面角的大小為.故答案為：．15.是空間的一個(gè)基底，向量，是空間的另一個(gè)基底，向量，則__________.【答案】3【分析】將轉(zhuǎn)化成以為基底的向量，與聯(lián)立，即可求出的值.【詳解】，且.故答案為：316.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】8【分析】依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，由此可求得，，從而表示出，再依據(jù)基本不等式求解即可．【詳解】解：∵，且，∴，∴公比，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的前項(xiàng)和，考查基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.在銳角△ABC中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)向量，，且.（1）求證：（2）求的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）依據(jù)余弦定理，正弦定理，解三角方程即可證明；（2）依據(jù)正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，構(gòu)建關(guān)于角的函數(shù)，再利用換元法及對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，且，所以，又由余弦定理，，得，所以，即，由正弦定理可得，，在△ABC中，，代入上式，得，，即，又因?yàn)槭卿J角，所以，即.【小問(wèn)2詳解】由和正弦定理可得，，因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以，所以，所以，，令，則，因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以的取值范圍是.18.某蔬果經(jīng)銷商銷售某種蔬果，售價(jià)為每千克25元，成本為每千克15元，其銷售宗旨是當(dāng)天進(jìn)貨當(dāng)天銷售，若當(dāng)天未銷售完，未售出的全部降價(jià)以每千克10元處理完．據(jù)以往銷售狀況，按進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）依據(jù)頻率分布直方圖求該蔬果日需求量的平均數(shù)（同組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點(diǎn)值代表）；（2）該經(jīng)銷商某天購(gòu)進(jìn)了250千克蔬果，假設(shè)當(dāng)天的日需求量為千克（），利潤(rùn)為元．①求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；②依據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)利潤(rùn)不小于1750元的概率．【答案】（1）265千克；（2）①；②0.7.【分析】(1)用頻率分布直方圖中每一個(gè)矩形的面積乘以矩形的底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)的和即為平均值；(2)①依據(jù)日需求量與進(jìn)貨量250千克的關(guān)系，分類探討即可求出；②由解出日需求量的取值范圍，再依據(jù)頻率分布直方圖求出對(duì)應(yīng)的面積即可．【詳解】(1)50×0.001×100+150×0.002×100+250×0.003×100+350×0.0025×100+450×0.0015×100=265故該蔬果日需求量的平均數(shù)為265千克．(2)①當(dāng)日需求量低于250千克時(shí)，利潤(rùn)=（元）；當(dāng)日需求量不低于250千克時(shí)，利潤(rùn)（元），所以．②由，解得．所以==++=0.7故依據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)利潤(rùn)不小于1750元的概率為0.7【點(diǎn)睛】本題主要考查利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù)，以及分段函數(shù)的求法應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．結(jié)論點(diǎn)睛：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)等于最高矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)，中位數(shù)是把頻率分布直方圖分成左右兩邊面積相等的分界對(duì)應(yīng)的數(shù)值，平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每一個(gè)矩形的面積乘以矩形的底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)的和．19.如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，，分別是，的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，依據(jù)線面平行判定定理證明即可得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求平面與平面的法向量，在依據(jù)向量夾角余弦公式即可得所求.【小問(wèn)1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，．又底面為正方形，是的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以因?yàn)槠矫?，平面，所以平面【小?wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，．設(shè)，得，則，．因?yàn)?，所以，解得，從而，，．設(shè)平面的法向量為，則令，得設(shè)平面的法向量為，則令，得故平面與平面的夾角的余弦值為20.某外語(yǔ)學(xué)校的一個(gè)社團(tuán)有7名同學(xué)，其中2人只會(huì)法語(yǔ)，2人只會(huì)英語(yǔ)，3人既會(huì)法語(yǔ)又會(huì)英語(yǔ)，現(xiàn)選派3人到法國(guó)的學(xué)校溝通訪問(wèn).求：（1）在選派的3人中恰有2人會(huì)法語(yǔ)的概率；（2）求在選派的3人中既會(huì)法語(yǔ)又會(huì)英語(yǔ)的人數(shù)的分布列.【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.【分析】（1）利用組合的學(xué)問(wèn)計(jì)算出基本領(lǐng)件總數(shù)和滿意題意的基本領(lǐng)件數(shù)，依據(jù)古典概型概率公式求得結(jié)果；（2）確定全部可能的取值，依據(jù)超幾何分布概率公式可計(jì)算出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得到分布列.【詳解】（1）名同學(xué)中，會(huì)法語(yǔ)的人數(shù)為人，從人中選派人，共有種選法；其中恰有人會(huì)法語(yǔ)共有種選法；選派的人中恰有人會(huì)法語(yǔ)的概率.

（2）由題意可知：全部可能的取值為，；；；；的分布列為：【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率問(wèn)題的求解、超幾何分布的分布列的求解問(wèn)題；關(guān)鍵是能夠利用組合的學(xué)問(wèn)計(jì)算出基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)和超幾何分布中隨機(jī)變量每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，屬于基礎(chǔ)題型.21.已知函數(shù)（1）推斷的單調(diào)性；（2）若函數(shù)存在極值，求這些極值的和的取值范圍.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，，對(duì)（），用判別式進(jìn)行分類探討，以確定的零點(diǎn)與符號(hào)，從而確定的單調(diào)區(qū)間；（2）題意說(shuō)明在上有解，且在解的兩側(cè)符號(hào)相反.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，令．，即時(shí)，恒成立，此時(shí)，所以函數(shù)在上為減函數(shù)；，即或時(shí)，有不相等的兩根，設(shè)為（），則，．當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)，所以函數(shù)在和上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)．（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得.因?yàn)榇嬖跇O值，所以在上有解，即方程在上有解，即.明顯當(dāng)時(shí)，無(wú)極值，不合題意，所以方程必有兩個(gè)不等正根.設(shè)方程的兩個(gè)不等正根分別為，則，由題意知，由得，即這些極值的和的取值范