2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理與題型歸納第16講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值最值學(xué)生版

第16講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用——導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值思維導(dǎo)圖學(xué)問(wèn)梳理1．函數(shù)的極值(1)函數(shù)的微小值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a旁邊其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a旁邊的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的微小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的微小值．(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b旁邊其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b旁邊的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．2．函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．題型歸納題型1利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題——依據(jù)函數(shù)圖象推斷函數(shù)極值【例1-1】如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則函數(shù)的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．3 B．2 C．1 D．0【例1-2】函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是A．函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn) B．函數(shù)在區(qū)間上是增加的 C．函數(shù)在區(qū)間上是增加的 D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值【跟蹤訓(xùn)練1-1】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于的結(jié)論正確的是A．在區(qū)間上為減函數(shù) B．在處取得微小值 C．在區(qū)間，上為增函數(shù) D．在處取得極大值【跟蹤訓(xùn)練1-2】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖，則下列敘述正確的是A．函數(shù)在上單調(diào)遞減 B．函數(shù)在處取得極大值 C．函數(shù)在處取得極值 D．函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)【名師指導(dǎo)】由圖象推斷函數(shù)y＝f(x)的極值，要抓住兩點(diǎn)：(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)y＝f(x)的可能極值點(diǎn)；(2)由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性．兩者結(jié)合可得極值點(diǎn)．題型2利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題——已知函數(shù)求極值或極值點(diǎn)【例2-1】已知函數(shù)，則的極大值點(diǎn)為A． B． C． D．【例2-2】函數(shù)的一個(gè)微小值點(diǎn)為A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練2-1】函數(shù)的微小值是A．4 B．2 C． D．【跟蹤訓(xùn)練2-2】函數(shù)的極大值為．【名師指導(dǎo)】求函數(shù)的極值或極值點(diǎn)的步驟(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)，不要遺忘函數(shù)f(x)的定義域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)檢查在方程的根的左右兩側(cè)f′(x)的符號(hào)，確定極值點(diǎn)或函數(shù)的極值．題型3利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題——已知函數(shù)的極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的值或范圍【例3-1】若函數(shù)存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．， C． D．，【例3-2】若當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練3-1】已知時(shí)，函數(shù)取得極大值，則A． B． C．4 D．2【跟蹤訓(xùn)練3-2】已知函數(shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【跟蹤訓(xùn)練3-3】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【名師指導(dǎo)】已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)(1)列式：依據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．(2)驗(yàn)證：因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必需驗(yàn)證根的合理性．題型4利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值【例4-1】已知，若，求函數(shù)的最小值．【例4-2】已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在，上的最大值和最小值．【跟蹤訓(xùn)練4-1】函數(shù)在，上的最大值為2，則的值為A． B．2 C．5 D．【跟蹤訓(xùn)練4-2】函數(shù)在，上的A．最小值為0，最大值為 B．最小值為0，最大值為 C．最小值為1，最大值為 D．最小值為1，最大值為【跟蹤訓(xùn)練4-3】已知函數(shù)，且（1）．（1）求的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值．【名師指導(dǎo)】導(dǎo)數(shù)法求給定區(qū)間上函數(shù)的最值問(wèn)題的一般步驟(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和極值；(3)求f(x)在給定區(qū)間上的端點(diǎn)值；(4)將f(x)的各極值與f(x)的端點(diǎn)值進(jìn)行比較，確定f(x)的最大值與最小值；(5)反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)和解題規(guī)范．題型5利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值和最值的綜合問(wèn)題【例5-1】已知函數(shù)，（Ⅰ）若，求證：當(dāng)，時(shí)，恒成立；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間，上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函數(shù)存在極大值和微小值，且極大值和微小值的差不超過(guò)4，求的取值范圍．【跟蹤訓(xùn)練5-1】已知，．（1）若在處取極值，求在點(diǎn)處切線方程；（2）若