2024年北京市高考數(shù)學(xué)試題

2024年北京高考數(shù)學(xué)一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．已知，則（

）．A． B． C． D．3．圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．4．在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．5．設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．設(shè)函數(shù).已知，，且的最小值為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．47．生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由提高到，則（

）A． B．C． D．8．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，，該棱錐的高為（

）.A．1 B．2 C． D．9．已知，是函數(shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．10．已知是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集.設(shè)是中兩點(diǎn)間距離的最大值，是表示的圖形的面積，則（

）A．， B．，C．， D．，二、填空題11．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．12．在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若，則的最大值為．13．若直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的一個(gè)取值為．14．漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．15．設(shè)與是兩個(gè)不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個(gè)結(jié)論：①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素；②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個(gè)元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個(gè)元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.三、解答題16．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，為鈍角，，．(1)求；(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．17．如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．18．某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：賠償次數(shù)01234單數(shù)假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤(rùn)定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.（i）記為一份保單的毛利潤(rùn)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）如果無索賠的保單的保費(fèi)減少，有索賠的保單的保費(fèi)增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與（i）中估計(jì)值的大?。ńY(jié)論不要求證明）19．已知橢圓：，以橢圓的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.過點(diǎn)且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，過點(diǎn)和的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．20．設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點(diǎn)處的切線．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間.(2)求證：不經(jīng)過點(diǎn).(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，，為與軸的交點(diǎn)，與分別表示與的面積．是否存在點(diǎn)使得成立？若存在，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？（參考數(shù)據(jù)：，，）21．已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對(duì)數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作；將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡(jiǎn)記為．(1)給定數(shù)列和序列，