高中數(shù)學(xué)第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題 (41)(含答案解析)

第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題（41）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共7小題，共35.0分）

1.a,b,c是不同的直線，a,/?,y是不同的平面，以下結(jié)論成立的個(gè)數(shù)是（）

①a〃b,b//c=>a//c@a1b,6_Lc=a〃c

③a10,0_Ly=川丫④a1p,an￡=a,bJLanbJL/?

A.1B.2C.3D.4

2.設(shè)a、6是兩條不重合的直線，a、/?是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中不正確的一個(gè)是（）

A.若a1a,alp,則a//SB.若a_L0,貝Ua〃b

C.若bl/?,a±B，KiJa1bD.若a〃氏bQ0,則a〃匕

3.已知正方體ABC。過(guò)對(duì)角線BO】作平面a交棱44i于點(diǎn)E,交棱CC】于點(diǎn)F,則：

①四邊形BFJE一定是平行四邊形；

②多面體力BE-CCFCi與多面體。傳1尸-4B1BE的體積相等；

③四邊形BFDiE在平面44D1D內(nèi)的投影不可能是正方形；

④平面a有可能垂直于平面BB15D.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（）

A.①②B.②③④C.①④D.①②④

4.已知棱長(zhǎng)為1的正方體4BCO-點(diǎn)尸是四邊形內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)，。是81cl

中點(diǎn)，有下列四個(gè)結(jié)論：

（l）AC-BP=0-,②當(dāng)尸點(diǎn)為名。1中點(diǎn)時(shí)，二面角P-4。-C的余弦值/③4Q與BC所成角的

正切值為2?④當(dāng)CQ14P時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為|.

其中所有正確的結(jié)論序號(hào)是（）

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

5.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖)

A.16TTB.177rC.187rD.19兀

6.直角△ABC中，AB=AC=V3，。為BC邊上一點(diǎn)，沿AO將△ACD折起，使點(diǎn)C在平面4BO

內(nèi)的正投影H恰好在AB上，若AH=1,則二面角C-4D-B的余弦值是（）

A-IBTC-TDT

7.如圖，正方體4BC0-41/65中，P為底面48C。上的動(dòng)點(diǎn)，PE141C于E,且P4=PE,

則點(diǎn)P的軌跡是（)

A.線段B.圓

C.橢圓的一部分D.拋物線的一部分

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，共16.0分）

8.已知正方體力BCD-41B1G01中，以下結(jié)論正確的為（）

A.AC與BG所成的角為g

B.&C與平面BDD/i所成的角的正切值為了

C.二面角4—一B的大小為g

D.三棱錐仆域的內(nèi)切球半徑為軍

9.如圖，在三棱錐。一48。中，△48。與△CBD是全等的等腰直角

三角形，0為斜邊8。的中點(diǎn)，AB=4,二面角4-BD-C的大

小為60。，以下結(jié)論正確的是（）

A.AC1BD

B.AAOC為正三角形

C.四面體4-BCD外接球的表面積為32兀

D.cos^ADC=-

10.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體4BC0-41B1GD1中,P,M分別為棱CD,CCi

的中點(diǎn)，。為面對(duì)角線上任一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.平面APM內(nèi)存在直線與劣劣平行

B.平面APM截正方體4BCD-&B1GD1所得截面面積為：

O

C.直線AP和。。所成角可能為60。

D.直線AP和。。所成角可能為30°

11.如圖，正方體ABCD-ABiGDi的棱長(zhǎng)為1,E,F,G分別為8C,CCX,BB1的中點(diǎn)，則

Dy

D

,4

A.直線與直線AF垂直

B.直線4G與平面AE尸平行

C.點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEP的距離相等

D.平面4EF截正方體所得的截面面積為：

O

三、填空題（本大題共6小題，共30.0分）

12.魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在為仇章算術(shù)》作注時(shí)，提出利用“牟

合方蓋”解決球體體積，“牟合方蓋”由完全相同的四個(gè)曲面

構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一圓柱的側(cè)面上，正視圖和側(cè)視圖

都是圓，每一個(gè)水平截面都是正方形，好似兩個(gè)扣合（牟合）在

一起的方形傘（方蓋）.二百多年后，南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家祖咂在前

人研究的基礎(chǔ)上提出了律且瞄原理》：“暴勢(shì)既同，則積不容異”，意思是：兩等高立方體,

若在每一等高處的截面面積都相等，則兩立方體體積相等.如圖，有一牟合方蓋，其正視圖與

側(cè)視圖都是半徑為1的圓，正方形ABC。是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線，根據(jù)祖眶原理，該

牟合方蓋體積為.

13.在梯形ABCQ中，ADUBC,AB1BC,AD=2AB=2BC=2,將△ABC沿對(duì)角線AC翻折到

△4MC,連結(jié)MD.當(dāng)三棱錐M—ACD的體積最大時(shí)，該三棱錐的外接球的表面積為.

M

14.在三棱錐中，PA_L平面ABC,4B=8C=C4=2及，且三棱錐P-ABC的體積為|,若三棱錐

P-4BC的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的球面上，則該球的表面積為.

15.己知矩形ABC。的長(zhǎng)4B=4,寬4。=3,將其沿對(duì)角線3。折起，得到四面體4-BCD,如圖

所示，給出下列結(jié)論：

①四面體A-BCD體積的最大值為學(xué)

②四面體力-BCD外接球的表面積恒為定值；

③若E,尸分別為棱AC,BQ的中點(diǎn)，則恒有EFL41.EF_L3O:

④當(dāng)二面角力一BD-C為直二面角時(shí)，直線AB、C。所成角的余弦值為

其中正確結(jié)論的序號(hào)有.（請(qǐng)寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

16.在正方體4BCD-4/心。1中，E為棱CC上一點(diǎn)，且CE=2CE,尸棱A&的中點(diǎn)，且平面8EF

與交于點(diǎn)G,與AG交于點(diǎn)H,則箴=，券=-

17.己知二面角P-AB-C的大小為120。，S.APAB=/.ABC=90°,AB=AP,AB+BC=6.若

點(diǎn)尸、A、B、C都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積的最小值為.

四、解答題（本大題共13小題，共156.0分）

18.如圖所示，三棱臺(tái)4BC-&B1G中，△ABC是面積為46的等邊三角形，△4&G的面積為百，

平面4BC平面BCQBi，=乙B$C.

(1)求證：AB1CC1；

(2)若梯形BCCiBi的面積為48，求三棱錐G的體積.

19.如圖，在斜三棱柱48。一4當(dāng)。1中，側(cè)面是菱形，4C[1B1G，4G與&C交于點(diǎn)0.

(I)求證：AO1ArB；

(n)己知4B&C=30。，24cl=34C,求二面角4一-C的正切值.

20.如圖，在四棱錐S-4BCO中，側(cè)面SCO為鈍角三角形且垂直于底面ABC。，CD=SD,點(diǎn)、M是

SA的中點(diǎn)，ADHBC,Z.ABC=90°,AB=AD=|fiC=a.

(1)求證：平面MBD_L平面SC。；

(2)若NSDC=120°,求三棱錐C-M8Z)的體積.

21.如圖(1),在矩形A8CD中，已知4B=2,AD=2?M,N分別為A￡＞和8c的中點(diǎn)，對(duì)角線

8。與MN交于。點(diǎn)，沿MN把矩形ABMW折起，使兩個(gè)半平面所成二面角為60。，如圖(2).

(1)求證：BO1DO；

(2)求AO與平面B。。所成角的正弦值.

22.如圖，在四棱臺(tái)ABCD-&BiGDi中，底面A8C。是菱形，/.ABC=p4B$D=g

乙B1BA=Z.B1BC,AB=2A1B1=2,B1B=3

(1)求證：直線4cl平面BDBi；

(2)求直線4Bi與平面4CG所成角的正弦值.

23.如圖1,在矩形ABCZ)中，AB=2CB=2CE.將△DAE沿AE折起至APAE的位置(如圖2),使得

PA1PB.

圖I圖2

(I)證明：PA1BE；

(n)若CB=2,求點(diǎn)C到平面PAE的距離.

24.如圖，正三棱柱ABC—中底面邊長(zhǎng)為a,D、E分別在BB'與CC'上，且BO=",CE=a.

(1)求截面44DE的面積;

(2)4E上是否存在一點(diǎn)尸，使得。P，面4CCW?若不存在，說(shuō)明理由；若存在，指出產(chǎn)的位置.

25.在RtzMBC中，乙4BC=90。，tan乙4cB=：.已知E,尸分別是BC,4c的中點(diǎn).將aCEF沿EF

折起，使C到C'的位置且二面角C'-EF-B的大小是60。.連接C'B,C'A,如圖:

(1)求證：平面C'FA，平面ABC'；

(2)求平面4FC'與平面BEC'所成二面角的大小.

26.四棱鏈S-4BC0中，底面ABCO是平行四邊形，側(cè)面S8C_L底面ABC。，/.ABC=45°,4S48是

等邊三角形.

(/)證明：S41BC;

(口)若8。=逐，AB=SA=SB=用,求二面角。一S4-B的余弦值

如圖1,在44BC中，AB=y[2BC=2^2,Z.ABC=—,。為AC的中點(diǎn)，將團(tuán)ABD沿8。折起,

27.4

得到如圖2所示的三棱錐P-BCD,二面角P-BD—C為直二面角.

(1)求證：/。，平面燈?。；

(2)設(shè)EE為PC的中點(diǎn)，CF=3FB^求二面角C-0E—F的余弦值.

28.如圖，在四棱錐P-ABC。中，PAABCD,四邊形ABC。為菱形，40=2,^ADC=60°,

E,F分別為A。，PC的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面PA8；

(2)點(diǎn)G是線段P￡＞上一動(dòng)點(diǎn)，若CG與平面PAO所成的角中最大角的正切值為通，求二面角

G-EC-F的余弦值.

29.如圖，在四棱錐P-4BC。中，P4_L底面ABC。，ADLAB,

AB“DC,AD=DC=AP=2,4B=1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).

(1)證明：BE1PD；

(2)若尸為棱PC上一點(diǎn)，滿足BF14C,求二面角F-AB-D的

余弦值.

30.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABC。為直角梯形，.AO//BUA。，AB.PA，平面ABC。,

過(guò)43的平面與PC,PB分別交于點(diǎn)M,N,連接MN.

(1)證明:BC//MN；

(2)若PA=4。=4B=2BC=2,平面4DMN1平面P8C,求二面角P-BM-D的正弦值.

【答案與解析】

L答案：A

解析：

主要考查了線線平行、面面平行、線面垂直，利用線、面平行、垂直的定理一一判定即可.

解：@a//b'b〃c今a〃c,正確，這是平行公理；

②1c=>a//c,不正確，在平面內(nèi)正確，在空間不正確，比如直線〃垂直平面內(nèi)兩相交直

線a,c,a,c不一定平行；

③a,°,夕1y=a//y,在正方體中底面作為0,相鄰兩側(cè)面作為a,y,滿足條件，卻不滿足結(jié)論，

故錯(cuò)誤；

④a_L3，an6=a,bJ.a=blS，不正確，面面垂直性質(zhì)定理中有條件bua,缺少了就可能出

問(wèn)題，事實(shí)上，此處的b都有可能在出當(dāng)然結(jié)論就不成立了，故錯(cuò)誤；

綜上正確的只有①這一個(gè)，

故選A.

2.答案：D

解析：解：若ala,a10,由垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，可得a〃/?,故A正確；

若b16，由線面垂直的性質(zhì)定理，可得a〃匕，故8正確；

若6_1/?,由線面垂直的定義（性質(zhì)），可得a_Lb,故C正確；

若a〃￡,bU夕，則a與6沒(méi)有交點(diǎn)，故a//b或a,異面，故。不正確.

故選。

由垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，可判斷A的真假；

由線面垂直的性質(zhì)定理，可判斷8的真假；

由線面垂直的定義（性質(zhì)），可判斷C的真假；

由線面平行的幾何特征，我們可以分析出a〃b或a,%異面，進(jìn)而判斷出。的真假；

本題以命題的真假判斷為載體考查了空間直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面之間的位置關(guān)系

和平面與平面之間的位置關(guān)系，熟練掌握空間線面關(guān)系的定義、判定及幾何特征是解答的關(guān)鍵.

3.答案：D

解析：

本題主要考查了正方體的截面性質(zhì)，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于較難

題.

①根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可作出判定；②根據(jù)對(duì)稱性可作出判定；③尋找特殊情況可找到反例;

④尋找特殊情況，并利用線面垂直的判定定理可找到垂直的情況.

解：①?.?四邊形BFCiE與面BCC/i的交線為BF,與面力的交線為。花，且面8。加殳〃面

ADDA，：.BF"D\E,同理可證明出BE//D/,

???四邊形BF/E一定是平行四邊形，故結(jié)論①正確.

②由正方體的對(duì)稱性可知，平面a分正方體所得兩部分的體積相等

???多面體4BE-DCF。1與多面體AC/-人避避后是全等的，故體積相等，結(jié)論②正確.

③???當(dāng)E與點(diǎn)必重合時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，四邊形BFDiE在平面44也。內(nèi)的投影是正方形4。。出,

故結(jié)論③錯(cuò)誤.

④當(dāng)E,尸分別是441，CCi的中點(diǎn)時(shí)，

EF//AC,AC1BD,

??EF±BD,

???BB'1?ABCD,ACu面ABCD,

BB11AC,

■■BB]1EF,

BBiu面BDD1B1，BDu面BDOiB】，BDnBB1=B,

EFJ?面BDD1B1，

vEFu面BFO]E,

???平面BFCiEl.W\BDD1B1.

故結(jié)論④正確.

故選D

4.答案：B

解析：

本題主要考查正方體的幾何特征的了解，以及線面垂直，線面平行等位置關(guān)系的判定，涉及到的知

識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng).

對(duì)于①，

連接B￡>,在底面正方形ABCQ中，有4CJ.BD,

又BB]_L底面ABCD,ACu底面ABCD,

BBi1AC,

又BBiCBD=B,

BBiu平面BBL，

BDu平面BBi。"，

???AC1平面B&Di。，

又BPu平面BB15D,

ACIBP,即前,前=0，

結(jié)論①正確.

對(duì)于②

設(shè)BD,4C交于。點(diǎn)，取的中點(diǎn)E,

連接PO,OE,PE

貝II易得P。IJgffiABCD,

又在△04D中，0A=OD,E為4。的中點(diǎn),

易得。E_L4O,同理易得PE140,

???NPE。即為二面角P-4D-C的平面角，

在RtAPOE中，P0=1,0E=p

PE4+Q)T

OE\/5

co?ZFh(7=——=——，

PE5

即二面角P-AD-C的余弦值為匹，

5

故結(jié)論②錯(cuò)誤，

對(duì)于③連接4。，QD

?,ADIIBC

44。即為AQ與8C所成的角,

在AAQD中，AQ=QD=Jgj+）

AD=1,

AQ^+AD^-QD2

?2/nQAn3―2AQ^AD-

（丁+Y）、i

2x?xl3

sh\Z.QAD=

/.tmiAQAD=2\歷.

故③正確.

對(duì)于④

分別取CCi，DL?i的中點(diǎn)M,N,

連接4N,MN,BM,BN,

在正方體力BCD-4/1Ci%中，

易得48，平面BCCiB],

又CQu平面BCGBi，

AB1CQ,

又在正方形BCGBi中，

。點(diǎn)為&G的中點(diǎn)，M點(diǎn)為QC的中點(diǎn)，

???CQ1BM,

又易得AB"MN,

A,B,四點(diǎn)共面，

又ABCiBM=B,

ABu平面ABMN,

BMu平面ABMN,

CQ1平面ABMN,

又平面ABMNn平面=BN,

???P在BN上時(shí)，易得CQ1AP,

即P點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)即為BN=J(|)2+(>/2)2=|.

故④正確.

故正確的結(jié)論為①③④.

故正確答案為B

5.答案：B

解析:

本題考查了空間幾何體的三視圖和球的表面積，由三視圖得為四棱錐，如圖，設(shè)球心到底面ABC。

22

的距離為x,球的半徑為〃可得r=收+22=J(2-X)+(V2)＞解出工，得出，，即可得出結(jié)果.

解：由三視圖得為四棱錐，如圖，

設(shè)球心到底面ABCD的距離為x,球的半徑為r,

可得r=V%24-22=J(2—%)2+(V2)2?

解得X=可得r=檢+22=?,

所以，球的表面積4兀x(當(dāng))2=17兀，

故選B.

6.答案：A

解析：

本題考查空間的二面角及線面垂直的判定，屬于難題.

過(guò)點(diǎn)H作HMJ.AD交A。于點(diǎn)M,連接CM,故是

二面角C—4。一B的平面角，即可求解.

解：如圖所示:

過(guò)點(diǎn)”作HM交于點(diǎn)M,連接CM.

因?yàn)辄c(diǎn)C在平面AB。內(nèi)的正投影”恰好在AB上，

所以。"，平面A03,

又AOU平面AD3，

則4D1CH,

又HMHCH=H,HMC平面CHA/,CHC平面CHAf,

則.40±平面C7LU,

又CMC平面C'〃A/

則4D1CM,

故NCMH是二面角C-4D-B的平面角，

在直角△4HC中，

AC=y/3,AH=1.貝UCH=混，

設(shè)CM=K，MH=y,

3

=—

唯?;解得2

_V

-2

即CM=I，MH=|,

在直角△CHM中，

1

-1

2

……MH=-=-

33

cosZ.CMH=—-

CM2

則二面角C-AD-B的余弦值為

故選A.

7.答案：A

解析:

本題主要考查空間直線的位置關(guān)系的判斷，以及空間點(diǎn)的軌跡的求法，綜合性較強(qiáng)，難度較大.由

/^，4也于￡,且弘=2七，得到點(diǎn)E是定點(diǎn)，然后根據(jù)P4=PE,得到點(diǎn)尸位于線段AE的中垂面

上，從而得到點(diǎn)P的軌跡.

解：連接&P，由題意知_L4P,

因?yàn)镻E14為且PA=PE,

所以△&4P三△&￡?「，

所以4遇=4送，即E為定點(diǎn).

因?yàn)镻4=PE,

所以點(diǎn)尸位于線段AE的中垂面上，

又點(diǎn)P在底面上，

所以點(diǎn)P的軌跡為AE的中垂面與底面正方形的相交線段.

故選A.

8.答案：AC

解析：

本題考查正方體中的異面直線所成的角，線面角，二面角的平面角，三棱錐的內(nèi)切球問(wèn)題，考查知

識(shí)全面，難度適中.

A、連接A%,可得4DJ/BC1，可得NDp4C為AC與所成的角，B、連接AC交8。于E,易得CE，面

BDDiBi，垂足為E,連接BQ,交4C于F,可得NCFE為所求，C、設(shè)與AC相交0,易得BO1平面

AArC,過(guò)。作。G1&C,連接BG,則40GB為二面角A—4C—B的平面角，。、根據(jù)等積法求解.

解：4連接AD1，可得4DJ/BG，可得ND14C為AC與BG所成的角，易得；，

?)

故正確.

B.連接AC交20于E,易得CE_1面8。。1占，垂足為E,連接8歷，交41c于F,可得NCFE為所求,

-AB

在RtACEF中，tanaCFE=—=^―=V2,

EF

故錯(cuò)誤.

C.設(shè)8。與AC相交0,易得BOJL平面A&C,過(guò)。作。G14C,連接8G,

???B。_L平面4&C,&Cu平面4&C,

BO1A^C,

又。Gl&C,BOCOG=0,BO、OGu平面BOG,

41c1平面BOG,

又BGu平面BOG,

???4。1BG,

則40GB為二面角4-ArC-B的平面角，

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為小在RtAOGB，OB=A，計(jì)算可得OG=逅a，

26

可得tanZ_0G8=—=V3,

OG

故=I

故正確.

。.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為4,.,?匕=^。3,

設(shè)內(nèi)切圓半徑r,得=|(|a2x2+1xV2a24-1xV2a2)r,

解得廠=生la,故錯(cuò)誤.

2

故選AC.

9.答案：ABC

解析：

本題是以三棱錐為載體，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、二面角的定義、余

弦定理和四面體的外接球的如何確定球心和求半徑等，綜合性強(qiáng)，考查了的知識(shí)點(diǎn)多，難度較大.

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得。4_LBD,0C1BD,且0C=。4=0B=。。再由線面垂直

的判定定理判斷出A、8的正確性：由余弦定理求出cos4ADC的值判斷出。正確性；由條件求出四

面體A8CQ的外接球的半徑，求出它的表面積判斷出C正確性.

解：???△48。與ACBO是全等的等腰直角三角形，。為斜邊8。的中點(diǎn)，

OAVBD,0C1BD,且I0C=0A=±18D,

2

又???04n0C=0,BD，平面AOC,

則4C_LBD,即A正確；

由二面角4-BD-C的大小為60。得，AAOC=60°,

???0C=。4,.??△40C為正三角形，即B正確；

由AB=4得，AD=CD=4,且4c=OC=OA=2vL

加「22242+42-(2VZ)2

???cosZ-ADC=-A-D---￥-C--D----A--C-=-------———=」3,

2ADCD2X4X44

故。不正確；

由04=。8=0C=0。得，四面體ABCD的外接球的球心是O,且半徑r=2vL

???四面體ABC。的外接球的面積為32兀，故C正確，

故選：ABC.

10.答案：BC

解析：

本題主要考查的是正方體的結(jié)構(gòu)特征，以及線面平行的性質(zhì)和異面直線所成角，屬于較難題目.

根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合線面平行的性質(zhì)和異面直線所成角，依次進(jìn)行計(jì)算判斷即可.

對(duì)于選項(xiàng)A,若平面APM內(nèi)存在直線與平行，

則45〃平面APM,從而平面APM,事實(shí)上平面APM=A,

所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)8,連接G。，4/，因?yàn)镻,M分別為棱C。，CG的中點(diǎn)，所以PM〃GD,PM=^CrD,

在正方體力BCD-A/】Ci劣中，

AB\〃CD\,所以PM"當(dāng),連當(dāng)"，則梯形481Mp為所求的截面，

AP==J1+；=亨，

所以等腰梯形4B1MP的高為JAP2一(當(dāng)啤=卜的2=乎，

所以梯形4B1MP的面積為工x^x越=2,選項(xiàng)5正確；

2248

對(duì)于選項(xiàng)C和。，建立以D為原點(diǎn)，以D4,DC,DD1為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)項(xiàng)=4項(xiàng)(0<4W1),則的=西+項(xiàng)=(1,尢1一/1)，AP=(-1,1,0),

設(shè)直線AP和。。所成角為。,

|而?醐_板T|_|A-2|

則COS。

麗麗I―察2?-2露一V5XV2A2-2A+2

若要成6°。，則礪緊帚制,解得"手，

因?yàn)?S4S1,所以；1=±1

2

若要成30。，則l尸；了?即13不-72+7=0,此方程無(wú)實(shí)數(shù)解,

V5xV2Az-2A+22

所以選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)。不正確.

故選BC.

11.答案：BD

解析：

本題考查線線垂直的判定，線面平行的判定，幾何體的截面和點(diǎn)到面的距離等知識(shí)，屬于中檔題.

根據(jù)線線垂直的判定定理可判斷A錯(cuò)誤，根據(jù)線面平行的判定定理可判斷B正確，截面AEF截正方

體所得的截面為等腰梯形AEFDi，求出截面面積可判斷。正確，根據(jù)CG的中點(diǎn)不在E尸上，可判斷

C錯(cuò)誤.

解：對(duì)于A,因?yàn)?名垂直底面ABC。，AF不與面A8C。平行也不在面ABCD內(nèi)，

所以直線與直線AF不垂直，A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,截面AEF截正方體所得的截面為等腰梯形4EFD],

A[G〃D]F,AiGC平面AEFDi，D】Fu平面AEFD*

所以直線4G與平面AEF平行，B正確，

對(duì)于。，截面AEF截正方體所得的截面為等腰梯形ZEFDi，

ADr=y/2,EF=—,AE=DXF=—.

梯形的高為歸二i=吃，

7482V2

所以Sjgffi=等）X-%,。正確,

對(duì)于C,因?yàn)镃G的中點(diǎn)不在EF上，所以點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離不相等，C錯(cuò)誤,

故選2D.

12.答案：y

解析：

本題考查了幾何體的體積計(jì)算，以數(shù)學(xué)文化為背景，對(duì)于這類問(wèn)題要克服陌生名詞的懼怕心理，強(qiáng)

化讀題能力，屬于中檔題.

取立方體與內(nèi)切的牟合方蓋的;來(lái)做研究，由祖曬原理可知，與立方體同底等高的正四棱錐體積與方

蓋差（立方體之內(nèi)牟合方蓋之外部）的體積相等，即可求出牟合方蓋體積.

解：取立方體與內(nèi)切的牟合方蓋的;來(lái)做研究，設(shè)在高為力處的一個(gè)平面截兩個(gè)立體，截面如圖陰影

部分所示，

與該立方體等底等高的四棱錐的截面是正方形，其面積是九2,

方蓋差（立方體之內(nèi)牟合方蓋之外部）上的截面是拐尺形，其面積計(jì)算如下：

在RtZUiB。中，OBi=l,4醫(yī)=1一九2,

所以圖中陰影的拐形面積S=I2-A.Bl=1一（1一F）=九2,顯然等于正四棱錐截面面積,

從而由祖眶原理可知，正四棱錐體積與方蓋差的體積相等，

所以方蓋差的體積為：xI2x1=i,

從而可得牟合方蓋體積為Q3-|）X8=y.

故答案為日.

13.答案：47r

解析：

本題考查空間幾何體的體積、球的表面積問(wèn)題，可利用題設(shè)條件分析，三角形棱長(zhǎng)關(guān)系，得知三角

形AC。、三角形均為等腰直角三角形，然后利用該三棱錐的外接球定義進(jìn)行解答.

解：因?yàn)槿忮FM-AC。底面ACQ固定，因此其體積最大時(shí)，

即點(diǎn)M到底面ACQ距離最長(zhǎng)，此時(shí)必有平面ACM垂直于平面ACD,

由題設(shè)知三角形4MC為等腰直角三角形，三棱錐M-ACD,

根據(jù)題意和勾股定理，有4c—y/AB2+BC2=V2>

設(shè)A。中點(diǎn)為E,于是4E=DE=1,

因此四邊形ABCE'為正方形，CD=VDE2+CE2=夜，

三角形AC。為等腰直角三角形，

因此三棱錐M-ACD外接球的球心必在底面ACD邊過(guò)E的法線上，

又設(shè)AC中點(diǎn)為F,因?yàn)槠矫鍹AC_L平面ACC,EF1.AC,MF1AC,

于是三角形MFE為直角三角形,其中EF=2CO=在，MF=-AC=-，

2222

于是三角形MFE為等腰直角三角且ME=&xMF=1,

于是點(diǎn)E到三棱錐M-4CD的四個(gè)頂點(diǎn)距離相等，均為1,

顯然E為三棱錐M-/C。的外接球球心，

即該外接球的半徑為1,于是其表面積為47r.

故答案為47r.

14.答案：167r

解析：

本題考查球的內(nèi)接體與球的關(guān)系，考查空間想象能力，利用割補(bǔ)法結(jié)合球內(nèi)接多面體的幾何特征求

出球的半徑是解題的關(guān)鍵，是中檔題.

由三棱錐P-4BC的體積為"求出PA,將三棱錐補(bǔ)成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底

面的距離d等于三棱柱的高抬的一半，求出球的半徑，然后求出球的表面積.

解：???三棱錐P—ABC的體積為g,

A-x—x(2V2)2xP/4=-,

34V73

PA=迪，

3

將三棱錐補(bǔ)成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心,

球心到底面的距離d等于三棱柱的高PA的一半，

4BC是邊長(zhǎng)為2企的正三角形，

???△48C外接圓的半徑r=壁，

3

球的半徑為J凈+聾)2=2,

.■.球0的表面積為47rx22=167r.

故答案為：167r.

15.答案：②③④

解析：

本題考查了平面與立體幾何的關(guān)系，平面圖形的折疊問(wèn)題，考查了三棱錐中線線關(guān)系，二面角以及

三棱錐的外接球的表面積，較綜合，屬于中檔題.

將矩形折疊后得到三棱錐，①四面體A8C。體積最大值為兩個(gè)面互相垂直求三棱錐的底面積和高計(jì)

算;②求出三棱錐的外接球半徑，計(jì)算表面積;③連接AF,CF則A尸=CF,連接。得到DE=BE,

利用等腰三角形的三線合一一可得：④過(guò)點(diǎn)C做CQ1BD于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)A作AP〃BD且4P=BD,連

接。P,PC,PQ,則"DC為直線AB,CO所成角或其補(bǔ)角，借助余弦定理求出"DC即可.

解：對(duì)于①，由題意可得，當(dāng)平面CBO_L平面A3。時(shí)，

直角三角形CBD的斜邊上的高就是四面體4一BCD的底面ABD上的高，為言=y.

此時(shí)，四面體4—8C0體積的體積最大，且體積的最大值為?5"皿?￡=9乂^*3乂4)*￡=§,

故①不正確.

對(duì)于②，設(shè)3。中點(diǎn)O,則04=OB=0C=0。=|,故O為三棱錐A-BCD的外接球球心，

故半徑為|，所以三棱錐4-BCD外接球的表面積為47rx(|)2=25兀，故②正確.

對(duì)于③，若E、尸分別為棱AC、的中點(diǎn)，連接4凡CF,則4F=CF,可得EFJ.4C；

連接DE,BE,容易判斷△4CD三△ACB,得到DE=BE,所以EF1BD,故③正確.

對(duì)于④，如圖，過(guò)點(diǎn)C做CQJL8。于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)A作4P〃BD且4P=BD,連接。P,PC,PQ,

則四邊形ABDP為平行四邊形，PD//AB,PD=AB=4,

NPDC為直線AB,CD所成角或其補(bǔ)角,

4PDQ=/.PDA+/-ADB=90°+^ADB,

故COSNPDQ=-sinz.ADB=—

又CQ1BD,可得“=￡,DQ號(hào),

由余弦定理可得，PQ2=PD2+DQ2-2PD-DQcos^PDQ,則PQ=管,

CP=JPQ2+CQ2=警,

PD?+CD2-CP216

由余弦定理可得COSNPDC—,

2PDCD25

則直線A8與C。所成角的余弦值為故④正確.

故答案為②③④.

16.答案：卜|

OO

解析:

本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象力及構(gòu)造能力，屬于難題.

直接利用幾何圖形的比例關(guān)系，得到線段比例.

解：因?yàn)槠矫?A3B小曲平面「0。］。，8F在平面ABB送1內(nèi),

則BF〃平面CDDC,

因?yàn)槠矫鍮EGFn平面CDOiG=EG,BFC平面BEGF,

則“〃GE,

則irt.ii4一P=一DG，即tir-t一DG=-1

ABDEDE2

又CE=2DE,則黑

ULf-yO

連接AC交BE于點(diǎn)M,過(guò)M作用N〃CC「

MN與Ag交于N,連接FM,

則”為尸M與4G的交點(diǎn).

因?yàn)?B〃CE,

ll?、14MAB3

所以一=一=-

MCCE2

eANAM3

則一=一=一

人MC2

廠廠1MN3

所以標(biāo)=

▼“MN6HN

所以一=-=一

FA5AH

AH3

故--=一

入HQ8

故答案為;;|.

OO

2HH7T

17.答案:

解析：

【試題解析】

本題考查空間幾何體的外接球問(wèn)題，屬較難題.

由題意設(shè)4B=x(0<x<6),求出外接球半徑。82=5(%-/)2+￡,利用二次函數(shù)圖像性質(zhì)求出

球半徑的最小值，進(jìn)而求出該球的表面積的最小值.

解：設(shè)AB=x(0cx<6),則BC=6-x,易知，三棱錐外接球的球心是過(guò)△P4B與△48C的外心

E,H,且分別垂直這兩個(gè)三角形所在平面的垂線的交點(diǎn)O,OB為三棱錐外接球半徑，取A8的中點(diǎn)

為G.由條件知，EG=]GH=3-^,GB=|,在△EG"中，

EH2=(-)2+(3--)2-2---(3--)cos-=---x+9,

所以△EGH的外接圓直徑OG=梟=專?一N+%

所以。B2=OG?+GF?—"+9)+$=-%一打+11,

當(dāng)x=3時(shí)，OB?的最小值為B，此時(shí)該球的表面積的最小值為47r.0B2=等.

故答案為等.

18.答案：(1)證明：取BC的中點(diǎn)。，連接OB】,

Cl

由幾何體ABC-4181cl是三棱臺(tái)，平面48c〃平面A1B1G，BC〃/G，

4BC是面積為4舊的等邊三角形，△公&前的面積為百，

故BC=2/G，

??.CD^CiBi，」?四邊形CDBIG為平行四邊形，???CG〃D8「

???NBiCB=NBiBC,B]C=BB],。為BC的中點(diǎn)，

DB]1BC,CCX1BC,

???平面ABC，平面BCGB1，且交線為BC,CC】u平面8。的當(dāng)，

ACCj1平面ABC,ABu平面ABC,

???AB1CCi；

(2)解：???三棱臺(tái)ABC-必當(dāng)Ci的底面是正三角形，且BC=2B[Ci，

?*,AC=2Alei，；?S&Acc、=2s△A.jC],

==

2^B-ACCA~3%「ABC，

由(1)知，CGI平面ABC,

???△ABC是面積為4%的等邊三角形，BC=4,BG=2,

??,直角梯形BCGB1的面積為4次，

二絲4b,

473

:.CC]=~9

..1..11z-cc11A4\/38

"NCT-ABA=J%i-48C=JX3-S&ABC,CC'="X-X4V3X—=-

解析：本題考查棱臺(tái)及其結(jié)構(gòu)特征，棱錐的體積，線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題.

(1)由題意由線面垂直的判定定理證明CG1平面ABC,再由ABu平面ABC,由線面垂直的性質(zhì)定理

可得結(jié)論；

(2)通過(guò)轉(zhuǎn)化%「.BA=^B-AA1C1=2%-4CG=T%L4BC，求出CC1=W，利用三棱錐的體積公式可

得.

19.答案：(I)證明：在A41GC中，

?.?4。1與4。交于點(diǎn)。，；.40141。，

又ZCi_LBiQ,B&//BC,???AO1.BC,

且&C、BCu平面&BC,ArCCtBC=C,

4。_L平面&BC,貝iJS。14B；

(n)在平面4BC內(nèi)作0Hlz1B于，，連接AH,

???4。?L平面&BC,0HJ.&B,

AXB1AH,

???乙4Ho為二面角4-ArB-。的平面角，

設(shè)4C=2,則4G=3,

3

???4。=1,AO=

???乙BA/=30°,???OH=

3

O4-

23

=--

-1

??。H

?tanZ.AHO-

2

解析：(I)在44iC[C中，由己知可得401&C,又AC1J.B1C1，81c4/BC,可得4。1BC,利用線

面垂直的判定可得4。1平面41BC,進(jìn)一步得到A。

(H)在平面4BC內(nèi)作OH14B于"，連接AH,由4。1平面4BC,OHJLaB,可得4B14H,即

乙4”。為二面角4一AiB-C的平面角，設(shè)4]C=2,然后求解三角形得答案.

本題考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查二面角的平面角的求法，關(guān)鍵是找到二面角的平面角，

是中檔題.

20.答案：解：(1)證明：取BC中點(diǎn)E,連接。E,設(shè)48=40=a,BC=2a,

依題意得，四邊形ABED為正方形，且有BE=DE-CE-a,BD=CD=V2a.

???BD2+CD2=BC2,則BO1CD,

又平面SCD1?底面ABCD,平面SCOn底面4BCD=CD,

BD1平面SCD,

平面MBD_L底面ABCD；

(2)過(guò)點(diǎn)S作CD的垂線，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)”，連接AH,

可證?！樾本€SD在底面ABCD內(nèi)的射影，

NSDH為斜線S。與底面ABCD所成的角，即NSDH=60°,

由(1)得，SD=CD=&a，

二在RtZiSHD中，SD=V2a>HD=SH=

22

M到平面ABCD的距離d=—a,

4

三棱錐C—MB。的體積為：VC-MBD=^M-BCD=-，->BD?CD-d=--y/2a?\[2a-=—a3.

326412

解析：本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積、表面積和體積、面面垂直的判定和性質(zhì)、直線與平面

所成角，屬于中檔題.

(1)證出BO1CD,利用面面垂直的性質(zhì)得出BO_L平面SCD,即可證出結(jié)果；

(2)做輔助線，得出ZSDH為斜線S。與底面ABC。所成的角，求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，利用棱錐的體

積公式，即可求出結(jié)果.

21.答案：解：(1)證明：翻折前，由于M,N是矩形ABCD的邊AO和BC的中點(diǎn),

所以4MJLMN,DM1MN,折疊后垂直關(guān)系不變，

所以Z4MD是兩個(gè)半平面所成二面角的平面角，

所以N4MD=60°.

連結(jié)AD,由4M=DM,可知△M4D是正三角形，

所以力。=V2.

在RtABA。中，AB=2,AD=V2,所以8。=傷，

由題可知8。=0。=b，由勾股定理可知三角形80力是直角三角形，

所以801D0.

(2)如圖,

設(shè)E,F分別是BD,C￡>的中點(diǎn)，

連結(jié)EF,OE,OF,BC,又BD=V6>BC=V2.CD=2,

所以DC1BC,則EFlCD.

又OF1CD,EFQOF=F,EF,OFu平面。EF,

所以CD1_平面OEEOEu平面OEF,

OE1CD.

又BO=OD,所以0E1BD,又BDCCD=D,

所以O(shè)E_L平面ABCQ.

又OEu平面BOD,所以平面80。_L平面ABCD.

平面B。。n平面力BCD=BD,

過(guò)4作4HJ.BD,由面面垂直的性質(zhì)定理，可得力HJL平面80￡),

連結(jié)?！?，則?！笔茿O在平面B。。內(nèi)的投影，

所以44。"為AO與平面BOO所成的角.

又AH是RtAABD斜邊上的高，所以4"=2，又04=百，

3

所以sinzTlOH=—=

OA3

故AO與平面BO。所成角的正弦值為|.

解析：本題考查了面面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，考查了二面角，考查了求線面角，屬于中檔

題.

(1)由圖形的翻折性質(zhì)，折前與折后的變與不變，可得AM1MN,DM1MN,從而可得々AMD=60°,

再由勾股定理可證明B。1DO；

(2)過(guò)A作4HlB。，先證4H平面BOD,乙4OH為AO與平面3。。所成的角，由此可解.

22.答案：解：(1)證明：方法一：連接4C,B0交于O,

因?yàn)?4BiBA=LB$C,B、B=BB?

所以gBCwgBA,故Bi4=BC

又因?yàn)镺為菱形對(duì)角線交點(diǎn)，即是線段AC的中點(diǎn)，所以BtOlAC,

又四邊形ABCD為菱形，故AC1BZ)

而SOC\BD=0,

所以AC，平面BOB*

方法二：因?yàn)榻M84=乙BiBC,

所以點(diǎn)為在平面A8CC內(nèi)的射影點(diǎn)。在乙4BC的平分線上，

又四邊形A8CD為菱形，

故BD為N4BC的平分線，則點(diǎn)。€直線BD,

故當(dāng)。u平面當(dāng)8。，又當(dāng)0_L平面ABCD,

故平面BDBi1平面ABCD,

而平面BDan平面4BCD=BD,

又四邊形ABCQ為菱形，故AC1BD,

ACu平面ABCD,

所以AC1平面BOB1；

(2)法一：延長(zhǎng)44,BBi，CCi，DDi交于點(diǎn)P,

平面即為平面8￡?P,平面ZCC]即平面ACP,

由(1)得平面ACP1平面BDP,

0P=平面ACPn平面BDP,

所以過(guò)當(dāng)作Bi”10P,則B]H_L平面ACP,

故即為直線必當(dāng)與平面ACCi所成角，

(若研究直線AB與平面ACC1所成角的正弦值則線段等比例擴(kuò)大2倍結(jié)果不變)

因?yàn)樗睦馀_(tái)力BCD—4B1GD1中48=24祖=2,

所以=1,BP=2BB]=6

因?yàn)?B=BC=2,所以BD=2W，

作PGJ.B。，因?yàn)?8/。=?,

6

則BG=3痘,PG=3,

所以P。=VH,

36+21-39

COS乙BP0=---7==—

2x6xVn2y/21

sinZ-BPO=—?B1H=乎，

1414

故sin乙BAH=既=除

法二